精品解析：浙江省金华市部分示范高中2025～2026学年高二上学期1月素养检测数学试题

2025~2026学年度第一学期1月高二素养检测 数学试题 考生注意： 1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知数列，，，2，，…则该数列的第2025项为（ ） A. 45 B. C. 55 D. 2. 已知点P在抛物线上，且点P与点的距离和点P到直线的距离相等，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 等差数列的前n项和为，若则的值为（ ） A. 30 B. 60 C. 45 D. 15 5. 直线与圆相交于，两点，且，则实数的值为（ ） A. 1 B. 5 C. 或5 D. 1或 6. 已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为. 若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列，则（ ） A. 3 B. ±3 C. D. 8. 若是椭圆的半焦距，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆的半径为2，则（ ） A. B. 点在圆C的外部 C. 圆与圆外切 D. 当直线平分圆的周长时， 10. 已知数列的通项公式为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列是等差数列，且公差 C. 对于任意的正整数，均有成立 D. 存在唯一的正整数，使数列的前项和取得最小值 11. 用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合.若抛物线：的焦点为F，为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，则（ ） A. 的准线方程为 B. C. 若点，则 D. 设直线与的准线的交点为N，则点N不在直线上 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是__________. 13. 已知圆与轴切于点，与轴切于点，设劣弧的中点为，则过点的圆的切线方程是________． 14. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，满足，_____________． 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选_____________”） （1）求的通项公式； （2）设，求的前n项和． 16. 已知圆的半径为3，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为. （1）求圆方程； （2）过圆心的直线与圆交于M、N两点，且的面积是6（为坐标原点），求直线的方程. 17. 在四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，为等边三角形，点，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 18. 设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且． （1）求证：为等差数列，并分别求，的通项公式； （2）设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围． 19. 已知椭圆过点，其中一个焦点在直线上，为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，. （1）求椭圆的方程； （2）若，为坐标原点，求的面积最大时实数的值； （3）若直线，的斜率分别为，，且，直线，与圆分别交于点，.证明：直线过定点，并求出定点坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期1月高二素养检测 数学试题 考生注意： 1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知数列，，，2，，…则该数列的第2025项为（ ） A. 45 B. C. 55 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由给定的前5项具有的共同性质写出通项公式，进而求出第2025项. 【详解】依题意，该数列的奇数项为负数、偶数项为正数，各项绝对值是项数的算术平方根， 因此该数列的第项为，所以该数列的第2025项为. 故选：B 2. 已知点P在抛物线上，且点P与点的距离和点P到直线的距离相等，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合，根据抛物线的定义，先确定点横坐标，在根据抛物线定义求值. 【详解】如图： 根据抛物线的定义，过做垂直抛物线的准线，垂足为，则，又， 所以，故点横坐标为，所以. 故选：C 3. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知，所求直线的斜率为，进而根据点斜式求解即可. 【详解】解：因为直线的斜率为， 所以，过点且与直线垂直的直线的斜率为， 所以，所求直线方程为. 故选：A 4. 等差数列的前n项和为，若则的值为（ ） A. 30 B. 60 C. 45 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】设基本量，再结合等差数列的性质与求和公式求解即可. 【详解】在等差数列中，设首项为，公差为， 因为，所以， 则，即. 所以. 故选：A 5. 直线与圆相交于，两点，且，则实数的值为（ ） A. 1 B. 5 C. 或5 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】结合圆的方程求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合题意建立方程求出参数值即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由题意得圆的圆心，半径， 由，得圆心到直线的距离为， 则，即，解得或，故D正确. 故选：D 6. 已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为. 若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求点到双曲线的渐近线的距离，由条件列方程，化简可求离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为，则右焦点的坐标为，， 双曲线的渐近线方程为， 不妨设点在渐近线上，则， 所以，因为，所以，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：C. 7. 已知等比数列，则（ ） A. 3 B. ±3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算得解. 【详解】在等比数列中，，由，得， 而，因此，又，且同号，则， 所以. 故选：C 8. 若是椭圆的半焦距，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆中的关系，结合基本不等式先求的取值范围，再求的取值范围. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当时，等号成立. 且. 故. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆的半径为2，则（ ） A. B. 点在圆C的外部 C. 圆与圆外切 D. 当直线平分圆的周长时， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据半径为2可判断A；根据点与圆的位置关系可判断B；根据圆与圆的位置关系可判断C，根据直线经过圆心可判断D. 【详解】根据题意可得，所以，故A错误； 圆，由，得点在圆的外部，故B正确； 圆的圆心为，半径为8，因为， 所以圆与圆，外切，故C正确； 圆的圆心坐标为，半径为2，若直线平分圆的周长， 所以直线过点，则，得，故D错误． 故选：BC 10. 已知数列的通项公式为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列是等差数列，且公差 C. 对于任意的正整数，均有成立 D. 存在唯一的正整数，使数列的前项和取得最小值 【答案】AB 【解析】 【分析】先判断数列类型及公差，由等差数列的前项和公式可以判断选项A，利用等差中项性质可以验证选项C，通过二次函数性质分析前项和最小值情况判断选项D. 【详解】因为，所以为常数， 又，故数列是以为首项，3为公差的等差数列，所以选项B正确； 由等差中项的性质 故C错误； 又，所以，所以选项A正确； 对于选项D，因为，令，二次函数的对称轴为. 由二次函数的对称性知，当或时，取到最小值，所以选项D错误． 故选：AB. 11. 用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合.若抛物线：的焦点为F，为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，则（ ） A. 的准线方程为 B. C. 若点，则 D. 设直线与的准线的交点为N，则点N不在直线上 【答案】ABC 【解析】 【分析】由抛物线准线定义即可判断A；设，与抛物线方程联立并结合韦达定理即可求解判断B；求出点A、B，结合弦长公式即可求解判断C；由直线求出点A坐标，接着由求出点B纵坐标即可判断D. 【详解】对于A，因为抛物线：，所以抛物线C准线方程为，故A正确； 对于B， ，故可设，联立， ，，故，故B正确； 对于C，若点，则，则， 故，故C正确； 对于D，由题可得，令得， 所以，又由B可知，故点N在直线上，故D错误； 故选：ABC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是__________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据给定条件，判断数列的单调性，再利用等差数列通项公式建立函数关系求解即得. 【详解】若等差数列的各项均为正整数，则数列是严格递增数列，于是公差， 因此为正整数，关于单调递减，而， 则当时，取得最小值为7. 故答案为：7 13. 已知圆与轴切于点，与轴切于点，设劣弧的中点为，则过点的圆的切线方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】设切线方程为，利用直线与圆相切求的值. 【详解】圆与轴切于点，与轴切于点，圆心的坐标为，半径为1， 如图所示：设点与圆相切的直线方程为， 利用圆心到直线的距离，解得或， 根据图象不符合题意，故，故圆的切线方程为． 故答案为： 14. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为________． 【答案】##2.5 【解析】 【分析】由椭圆及双曲线的定义可得，，设，从而可得，在中，由余弦定理求得，在中，由余弦的定义可得，从而得，求出的值，再由离心率公式求解即可. 【详解】由椭圆的定义知，①，， 由双曲线的定义知，②， 由①②解得，， 设， 因为点与右焦点的连线交轴于点， 且平分， 所以， 在中，由余弦定理知， ③， 设， 则， 由角平分线定理知，， 即， 解得， 在中，④， 由③④得，， 解得或（舍）， 所以双曲线的离心率为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，满足，_____________． 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选_____________”） （1）求的通项公式； （2）设，求的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的基本量的运算可得，进而即得； （2）利用分组求和法即得. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为 若选择条件①，则由， 得，解得， ； 若选择条件②，则由， 得，解得， ； 若选择条件③，则由， 得，解得， ； 【小问2详解】 由（1）知，选择三个条件中的任何一个，都有， 则， 的前n项和 16. 已知圆的半径为3，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为. （1）求圆方程； （2）过圆心的直线与圆交于M、N两点，且的面积是6（为坐标原点），求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由题意设圆心，则圆的方程为 ，由垂径定理结合弦长即可求解； （2）分斜率存在与不存在两种情况结合三角形面积求解即可. 【小问1详解】 设圆心，则圆的方程为 ， 或舍去， 圆的方程为. 【小问2详解】 由题意得，则点到直线的距离， ①当斜率不存在时，此时直线l方程为， 原点到直线的距离为，满足题意. 此时直线方程为 ②当斜率存在时，设直线l的方程为， 原点到直线l的距离，解得， 此时直线方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 17. 在四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，为等边三角形，点，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1） 连接，因为点，分别为的中点，所以， 因为四边形为直角梯形，，，， 所以，， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以，所以， 又因为为等边三角形，点为的中点，所以， 又因为侧面平面，侧面平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为，平面，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用余弦定理可得，结合勾股定理可得，可得，由面面垂直的性质可得平面，进而可得，可证结论； （2）取的中点，连接，可证，，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得两平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面所成角的余弦值； （3）设，设平面与平面所成的夹角为，可得，利用换元法，结合二次函数的性质，可求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，可得， 又平面，又平面，所以， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为； 【小问3详解】 设，则， 又， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的夹角为， 则， 令，， 则， 令，可得， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 18. 设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且． （1）求证：为等差数列，并分别求，的通项公式； （2）设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】（1） 由题意知，且当时，， 所以由得， 所以，由得，即， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，即，所以； 当时，， 当时，也符合上式，所以． （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义证得数列是等差数列，求得，进而求得，利用求得. （2）利用裂项求和法求得，根据的最小值列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 所以 ， 所以 ， 所以数列是单调递增数列，所以， 因为不等式对任意正整数恒成立， 所以，即，又， 所以解得，所以的取值范围为. 【点睛】易错点睛： 小问1：在证明是等差数列时，必须清楚地理解递推关系如何构建，并确保每一步的推导是严谨的.尤其是求得后，要确保与的关系准确无误. 小问2：求和时，特别是在裂项求和法中，要小心每一项的符号和相加的顺序，特别是涉及到单调性和不等式的推导时，不能忽略最小值的正确性. 19. 已知椭圆过点，其中一个焦点在直线上，为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，. （1）求椭圆的方程； （2）若，为坐标原点，求的面积最大时实数的值； （3）若直线，的斜率分别为，，且，直线，与圆分别交于点，.证明：直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由直线方程求得焦点坐标，根据已知点，可得答案； （2）联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用点到直线距离以及弦长公式，根据三角形的面积公式，结合基本不等式，可得答案； （3）分直线的斜率存在与否两种情况，联立方程写出韦达定理，根据斜率建立方程，可得答案. 【小问1详解】 由焦点在直线上，令，解得， 由过点，则，解得， 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 当时，直线，设，， 联立，消去可得， 由，则， 可得，， 点到直线的距离， 弦长， 则的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的值为. 【小问3详解】 由（1）可知，所以圆，又，所以， （i）若直线垂直于轴，，设的方程：，，， 则，消去可得， 则（*），且， 可得，解得，不满足（*），不合题意； （ii）若直线不垂直于轴， 则设的方程：，，， 则，消去可得， 由，则，， 可得. 因为，则，即， ,∴ 所以直线方程为：， 所以直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $