专题2.3 椭圆导学案-2025-2026学年高二数学必备知识与考点专练（人教A版选择性必修第一册）

该高中数学导学案以“椭圆”为核心，围绕定义、标准方程、几何性质及应用构建学习目标，通过“必备知识梳理→考点分类专练→综合强化实训”的递进式设计，将椭圆定义、焦点三角形、离心率等知识点系统关联，形成完整知识网络。 亮点在于考点分层训练与核心素养融合，如“椭圆方程及轨迹问题”结合动圆与定圆位置关系实例，“离心率求值”融入阿波罗尼奥斯光学性质情境，培养数学眼光与推理能力。强化实训含综合解答题，为教师单元复习提供结构化教学方案，助力学生深度学习与能力提升。

专题2.3 椭圆 高中数学导学案 专题2.3 椭圆 考点预览 一、必备知识 1．椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 2．椭圆的标准方程及几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 一般方程 图形       焦点坐标 ， ，   顶点坐标 ，， ， ，， ， 长轴 长轴，a是长半轴的长 短轴 短轴，b是短半轴的长 焦距 焦距，c是半焦距长 范围 ， ， 离心率 ．(是椭圆上的点) e越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越圆 3．直线与椭圆的位置关系，判断方法： 联立消得关于的一元二次方程． 当时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当时，方程无解，直线与椭圆相离． 4.焦点三角形：叫做焦点三角形，其周长为，若，则其面积且椭圆离心率的取值范围为. 5.中点弦公式：直线与椭圆交于两点，为中点，直线的斜率. 若椭圆为，则 ； 若椭圆为，则. 6.共焦点的椭圆方程： 凡是与椭圆有共同焦点的椭圆方程均可设为; 凡是与椭圆有共同焦点的椭圆方程均可设为. 二、考点专练： 地 城 考点01 椭圆方程及轨迹问题 【例题1-1】(24-25高二上·广西合浦县·期中)已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例题1-2】 (25-26高二上·海南琼海嘉积中学·月考)一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知曲线表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知点的轨迹方程为，则PC的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】2．(25-26高二上·安徽县中联盟·)已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 椭圆基本量及基本性质 【例题2-1】(24-25高二上·广西百色·期末)（多选）已知椭圆，则下列正确的是（    ） A．焦点在x轴 B．焦点在y轴 C．焦距是 D．焦距是2 【例题2-2】 “天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，则就是“天问一号”在点P时对火星的观测角．图（2）所示的Q，R，S，T四个点处，对火星的观测角最大的是（    ） A．Q B．R C．S D．T 【变式2-1】椭圆的长轴长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2-2】 (24-25高二上·广西示范性高中·期中)椭圆的焦距为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 地 城 考点03 椭圆焦点三角形问题 【例题3-1】(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)已知椭圆，为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【例题3-2】(25-26高二上·四川达州第一中学校·月考)已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为16 B．面积的最大值为12 C．存在点P，使得∠ D．的取值范围为 【变式3-1】(24-25高二上·广西部分学校·)椭圆的两个焦点为，椭圆上有一点，则的周长为（    ） A． B．12 C． D．20 【变式3-2】已知点为椭圆左右焦点，点P为椭圆C上的动点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】(24-25高二上·贵州黔西南州·期末)已知椭圆：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【例题4-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点P满足，且，则椭圆的离心率为（    ）地 城 考点04 椭圆离心率求值问题 A． B． C． D． 【例题4-2】如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为 ．   【变式4-1】若椭圆的短轴长是焦距的倍，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】(23-24高二上·广西桂林·期末)古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为、，若从的右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为 . 【变式4-3】(24-25高二上·广西部分学校·)（多选）古希腊数学家阿基米德在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的面积为，则该椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】(22-23高二上·重庆部分区·期末)已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【例题5-1】已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，四边形是等腰梯形，，则的离心率的取值范围是（    ）地 城 考点05 椭圆离心率求取值范围问题 A． B． C． D． 【例题5-2】已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在一点P，使得△PF1F2的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】(24-25高二上·广西柳州高级中学·期中)已知是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】椭圆的右焦点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-4】(25-26高二上·河北大数据应用调研阶段性测评·调研)若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-5】(25-26高二上·广东卓越教育发展联盟学校·)已知椭圆的左、右焦点分别是，其中．椭圆上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-6】 (24-25高二上·广东汕头金山中学·期末)已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 三、强化实训 1．(24-25高二上·广西名校联盟·期中)已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点.若，则（   ） A．1 B．6 C．7 D．4 2．设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（    ） A． B． C．4 D． 3．(24-25高二下·广西来宾高级中学·开学考)已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ( ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 4．(25-26高二上·广东广雅中学·期中)已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．(25-26高二上·山西卓越大联考·期中)已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 6．已知动圆M与圆：内切，同时与圆：外切，则动圆M的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．(25-26高三上·山西大同灵丘豪洋中学·)已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则此椭圆的短轴长为 ；弦长 . 9．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)如图，椭圆与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，点P是过左焦点F1且垂直x轴的直线与椭圆的一个交点，O为坐标原点，若AB//OP，则椭圆的焦距为（    ） A． B． C．1 D．2 10．(24-25高二上·广西桂林·期末)设为坐标原点，为椭圆的左焦点，是该椭圆上的点，且是正三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高二上·广西南宁·期末)（多选）椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与椭圆交于，两点，其中是椭圆的上顶点，是面积为的正三角形，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．椭圆的离心率为 C．的长为 D．的面积为 13．(23-24高二上·重庆第八中学校·月考)已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．若，则 C．满足为等腰三角形的点只有2个 D．的取值范围为 14．(24-25高二上·重庆松树桥中学·期中)椭圆E的焦点分别为、且经过，两点.   (1)求椭圆E的标准方程和椭圆E的离心率e、长轴长、短轴长，并在坐标系中画上椭圆E的草图 (2)设点M为椭圆E上一点且满足，求的周长和面积. 15．(22-23高一上·北京朝阳区北京中学·期中)设椭圆的离心率为，上、下顶点分别为A，B，．过点，且斜率为k的直线l与x轴相交于点F，与椭圆相交于C，D两点． (1)求椭圆的方程； (2)若，求k的值； (3)是否存在实数k，使？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 16．已知点在圆上，而为在轴上的投影，且点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若是曲线上两点，且，为坐标原点，求的面积的最大值. 17．(20-21高二上·湖北鄂州高中、鄂南高中·)已知椭圆的离心率为，点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由. 18．(23-24高二上·宁夏银川宁夏育才中学·期中)如图，已知点M在圆上运动，轴(垂足为N)，点Q在NM的延长线上，且.   (1)求动点Q的轨迹方程； (2)直线l：与1中动点Q的轨迹交于两个不同的点A和B，圆O上存在两点C、D，满足，，求m的取值范围； 19．(23-24高二上·广西三新学术联盟·期末)已知的周长为，其中点，. (1)求点C的轨迹方程； (2)设D为点A关于直线的对称点，求线段CD的长度的取值范围. 20．(24-25高三上·山东百师联考·期中)如图，已知椭圆：（）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点.   (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程； (3)当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 试卷第1页，共3页 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $专题2.3 椭圆 高中数学导学案 专题2.3 椭圆 考点预览 一、必备知识 1．椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 2．椭圆的标准方程及几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 一般方程 图形       焦点坐标 ， ，   顶点坐标 ，， ， ，， ， 长轴 长轴，a是长半轴的长 短轴 短轴，b是短半轴的长 焦距 焦距，c是半焦距长 范围 ， ， 离心率 ．(是椭圆上的点) e越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越圆 3．直线与椭圆的位置关系，判断方法： 联立消得关于的一元二次方程． 当时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当时，方程无解，直线与椭圆相离． 4.焦点三角形：叫做焦点三角形，其周长为，若，则其面积且椭圆离心率的取值范围为. 5.中点弦公式：直线与椭圆交于两点，为中点，直线的斜率. 若椭圆为，则 ； 若椭圆为，则. 6.共焦点的椭圆方程： 凡是与椭圆有共同焦点的椭圆方程均可设为; 凡是与椭圆有共同焦点的椭圆方程均可设为. 二、考点专练： 地 城 考点01 椭圆方程及轨迹问题 【例题1-1】(24-25高二上·广西合浦县·期中)已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意易得，则，因为椭圆的离心率为，所以，则， 故的标准方程为，故选：A． 【例题1-2】 (25-26高二上·海南琼海嘉积中学·月考)一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆，即的圆心，半径为，圆，即的圆心，半径为，设动圆圆心为点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图，依题意，三点共线，三点共线，，，因此，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，长轴长，半焦距，则，所以点的轨迹方程为.故选：C 【变式1-1】已知曲线表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，即.故选：D. 【变式1-2】(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知点的轨迹方程为，则PC的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点坐标为，点坐标为，由中点坐标公式得，即， 将代入，得点的轨迹方程为：，即. 故选：B 【变式1-3】2．(25-26高二上·安徽县中联盟·)已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点，则，且，可得，化简得，即，且.故选：D. 地 城 考点02 椭圆基本量及基本性质 【例题2-1】(24-25高二上·广西百色·期末)（多选）已知椭圆，则下列正确的是（    ） A．焦点在x轴 B．焦点在y轴 C．焦距是 D．焦距是2 【答案】BD 【详解】方程可化为，表示焦点在y轴的椭圆，A错误，B正确； 由方程可得，，，故焦距，C错误，D正确.故选：BD. 【例题2-2】 “天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，则就是“天问一号”在点P时对火星的观测角．图（2）所示的Q，R，S，T四个点处，对火星的观测角最大的是（    ） A．Q B．R C．S D．T 【答案】A 【详解】设火星半径为R，椭圆左焦点为，连接，则，因为，所以越小，越大，越大，所以当点P位于条件中点Q处，对火星的观测角最大.故选A. 【变式2-1】椭圆的长轴长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【详解】由椭圆知，，即，所以椭圆的长轴长为.故选：D 【变式2-2】 (24-25高二上·广西示范性高中·期中)椭圆的焦距为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意得，则其焦距为2.故选：B. 【变式2-3】已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【详解】因为椭圆的左顶点为A，上顶点为B，所以，，所以．故选：D 地 城 考点03 椭圆焦点三角形问题 【例题3-1】(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)已知椭圆，为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，所以，因为，所以，而，所以，所以的面积为.故选：C. 【例题3-2】(25-26高二上·四川达州第一中学校·月考)已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为16 B．面积的最大值为12 C．存在点P，使得∠ D．的取值范围为 【答案】BCD 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，   对于A：的周长为，A错误； 对于B：设，，则，B正确； 对于C：由，得以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交， 当P为此交点时，，因此存在点P，使得∠，C正确； 对于D：，，D正确. 故选：BCD 【变式3-1】(24-25高二上·广西部分学校·)椭圆的两个焦点为，椭圆上有一点，则的周长为（    ） A． B．12 C． D．20 【答案】B 【详解】由题意，所以，故的周长为. 故选：B 【变式3-2】已知点为椭圆左右焦点，点P为椭圆C上的动点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】椭圆的焦点，设， ， 所以，由于，， 所以的取值范围为.故选：A 【变式3-3】(24-25高二上·贵州黔西南州·期末)已知椭圆：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】D 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为，则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：D. 【例题4-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点P满足，且，则椭圆的离心率为（    ）地 城 考点04 椭圆离心率求值问题 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设，∴，∵，∴， ∴离心率.故选：C． 【例题4-2】如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为 ．   【答案】 【详解】设，则由条件及椭圆的定义可知：， 在中，根据余弦定理可知， 解之得或（舍去），则，即，解之得. 故答案为： 【变式4-1】若椭圆的短轴长是焦距的倍，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设椭圆的焦距为，因为短轴长是焦距的倍，所以，即， 所以，所以离心率.故选：B 【变式4-2】(23-24高二上·广西桂林·期末)古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为、，若从的右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为 . 【答案】/ 【详解】由题意，可作图如下：，则，，即，可设，，，由，则，即，，在中，，则.故答案为：. 【变式4-3】(24-25高二上·广西部分学校·)（多选）古希腊数学家阿基米德在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的面积为，则该椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意可知，则.因为，且， 所以或或或或或 当或时，，离心率为； 当或时，，离心率为； 当或时，，离心率为.故选：ABD 【变式4-4】(22-23高二上·重庆部分区·期末)已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意:设，设椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，则由椭圆及双曲线定义可得：， 又因为，且分别为，的中点，所以, 所以到渐近线的距离为， 所以，，结合，可得：① 因为，所以即， 整理得：，将①代入，，所以.故选：C. 【例题5-1】已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，四边形是等腰梯形，，则的离心率的取值范围是（    ）地 城 考点05 椭圆离心率求取值范围问题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令椭圆的半焦距为c，依题意，，如图， 由椭圆性质知，椭圆上一点到焦点的距离的最小值为长轴端点到相邻焦点的距离，于是，解得，，在中，， 显然，解得， 所以的离心率的取值范围是.故选：B 【例题5-2】已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在一点P，使得△PF1F2的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的面积为因为的内切圆半径为，所以面积可表示为，所以解得因为所以 两边平方得：又因为整理得： 因为不等式两边同时除以，得：；解得：故选：A 【变式5-1】(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，由，消去得，,，解得，设，则，则点，由直线的斜率小于，得，由，，得，椭圆焦点在轴上，所以椭圆离心率，所以椭圆的离心率的取值范围为.故选：C. 【变式5-2】(24-25高二上·广西柳州高级中学·期中)已知是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图设分别为椭圆的左、右焦点，设直线与椭圆相交于，连接得四边形为平行四边形.所以有，由余弦定理有，即，所以，当且仅当时取等号，又的斜率存在，故不可能在轴上.所以等号不能成立,即即，所以.故选：A 【变式5-3】椭圆的右焦点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，又，，，，整理得，又，∴解不等式得：．故选：D． 【变式5-4】(25-26高二上·河北大数据应用调研阶段性测评·调研)若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设是椭圆的左右焦点，又椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，，又，，，解得，即，又椭圆离心率的取值范围为， .故选：C. 【变式5-5】(25-26高二上·广东卓越教育发展联盟学校·)已知椭圆的左、右焦点分别是，其中．椭圆上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点，则，即，所以点在以为圆心，半径为的圆上，又因为点在椭圆上，所以圆与椭圆有交点，根据对称性可知，即，则，则，则，即椭圆离心率，故选：D. 【变式5-6】 (24-25高二上·广东汕头金山中学·期末)已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，则线段的方程为，则，在线段上取一点，则，所以，由 ，得，因为，所以，从而，整理得，即，即，即，结合，解得.故选：B 三、强化实训 1．(24-25高二上·广西名校联盟·期中)已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点.若，则（   ） A．1 B．6 C．7 D．4 【答案】D 【详解】因为椭圆，所以椭圆长轴长为，由椭圆定义知，所以.故选：D 2．设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【详解】椭圆，则，所以，因为是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为.故选：D 3．(24-25高二下·广西来宾高级中学·开学考)已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ( ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 【答案】D 【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得. 4．(25-26高二上·广东广雅中学·期中)已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，分别过点做直线的垂线，垂足分别为，则，切点为,，，是中点，是梯形的中位线，，又圆C的方程为，，，，即，动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，设该椭圆的方程为，则，，动点的轨迹方程为.故选：A 5．(25-26高二上·山西卓越大联考·期中)已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心，半径为，由题意可知，又点是圆上的点，则，且，则，由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，，则点的轨迹方程；故选：B. 6．已知动圆M与圆：内切，同时与圆：外切，则动圆M的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知圆心 ，半径 ，整理得 ，圆心， 半径 设动圆圆心为， 半径为 ，因为动圆与内切，与外切，所以，，则，由椭圆的定义可知，是以 为焦点的是椭圆， 则，动圆M的圆心的轨迹方程为．故选：D 7．(25-26高三上·山西大同灵丘豪洋中学·)已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，因为，所以，所以. 故选：A. 8．已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则此椭圆的短轴长为 ；弦长 . 【答案】 【详解】直线经过椭圆的左焦点，则，的周长为，解得，故，椭圆的短轴长为，由，得，.故答案为：；.   9．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)如图，椭圆与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，点P是过左焦点F1且垂直x轴的直线与椭圆的一个交点，O为坐标原点，若AB//OP，则椭圆的焦距为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】由题意知，，则点，所以直线BA的斜率为，直线PO的斜率为，由，得，所以，即，又，所以，所以焦距为.故选：D 10．(24-25高二上·广西桂林·期末)设为坐标原点，为椭圆的左焦点，是该椭圆上的点，且是正三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设椭圆另一焦点为，不妨设在第二象限，连接，根据题意，作图如下，因为为等边三角形，即可得，则，则，由椭圆定义可知：，故可得．故选：B 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，由椭圆的定义得，，由得，即，整理得，解得或（舍去），∴，故点在轴上.如图，在直角中，， 在中，，化简得，∴椭圆的离心率.故选：C. 12．(24-25高二上·广西南宁·期末)（多选）椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与椭圆交于，两点，其中是椭圆的上顶点，是面积为的正三角形，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．椭圆的离心率为 C．的长为 D．的面积为 【答案】AD 【详解】如图，由题意：为面积是的正三角形，故且，故；的周长为，故A正确； 椭圆的离心率，故B错误； 设，则，由知； 由余弦定理：，所以，故C错误； ，故D正确，故选：AD. 13．(23-24高二上·重庆第八中学校·月考)已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．若，则 C．满足为等腰三角形的点只有2个 D．的取值范围为 【答案】ABD 【详解】由椭圆的左右焦点分别为、，则， 将代入，则，解得，则，， 由，则，即，将其代入，可得，化简可得，由，解的，所以.对于A，当点为椭圆的上顶点时，最大，如下图：  由椭圆，则，，在中，，易知此时，所以的取值范围为，故A正确；对于B，根据题意可作图如下：  ，设，，则，，在中，根据余弦定理，则，所以，整理可得，则，故B正确；对于C，设，，则，，当时，为等腰三角形，易知此时的坐标为或，当时，为等腰三角形，此时，设，则，消去化简可得，由，则方程有解，故C错误； 对于D，设，，则，则，在中，根据余弦定理可得，则，化简可得，由选项A可知，则，，所以，解得，故D正确.故选：ABD. 14．(24-25高二上·重庆松树桥中学·期中)椭圆E的焦点分别为、且经过，两点.   (1)求椭圆E的标准方程和椭圆E的离心率e、长轴长、短轴长，并在坐标系中画上椭圆E的草图 (2)设点M为椭圆E上一点且满足，求的周长和面积. 【详解】（1）设椭圆方程为，，在椭圆上， 则，解得：，所以椭圆的标准方程为， 所以，，，所以，，， 所以椭圆的离心率，长轴，短轴长； 椭圆E的草图如图所示：   （2）由（1）得的周长为， 设， ，，则中，， 即，即，解得， 所以的面积. 15．(22-23高一上·北京朝阳区北京中学·期中)设椭圆的离心率为，上、下顶点分别为A，B，．过点，且斜率为k的直线l与x轴相交于点F，与椭圆相交于C，D两点． (1)求椭圆的方程； (2)若，求k的值； (3)是否存在实数k，使？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由题意，解得，故椭圆的方程为； （2）由题意知，，直线的方程为，则，联立，可得，，设，有，则中点横坐标为， 又，则中点横坐标为， 又因为，且四点共线，取中点，则， 所以，即，所以是的中点，即的中点重合， 即，解得. （3）不存在实数，使直线平行于直线，证明如下：由题意，， 则， 若，则，所以，即， 即， 化简得，，由（2）得 ，解得， 解得， 所以，整理得，无解， 所以不存在实数，使直线平行于直线. 16．已知点在圆上，而为在轴上的投影，且点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若是曲线上两点，且，为坐标原点，求的面积的最大值. 【详解】（1）设,轴，所以 又设,由有代入有， 即曲线的方程为； （2）设，， 当直线AB斜率存在时，设直线方程为：， 联立得 则，故， 由，得， 故原点到直线的距离，∴， 令，则， 又∵，当，时; 当斜率不存在时，不存在; 综合上述可得面积的最大值为1. 17．(20-21高二上·湖北鄂州高中、鄂南高中·)已知椭圆的离心率为，点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由. 【详解】（1）椭圆离心率为，即， 点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形， ，，，故椭圆的方程为. （2）由直线与椭圆交于，两点，设，，则 联立得， ，则 ，. ， . 原点到的距离， 为定值. 18．(23-24高二上·宁夏银川宁夏育才中学·期中)如图，已知点M在圆上运动，轴(垂足为N)，点Q在NM的延长线上，且.   (1)求动点Q的轨迹方程； (2)直线l：与1中动点Q的轨迹交于两个不同的点A和B，圆O上存在两点C、D，满足，，求m的取值范围； 【详解】（1）设动点，点，由点在圆上，则， 由，则，，把，代入， 得动点的轨迹方程为 （2） 联立直线与（1）中的轨迹方程得， ，由于有两个交点、，故，解得， 设，，的中点，由根与系数的关系得， 则，故AB的垂直平分线方程为，即 由圆上存在两点、，满足，， 可知的垂直平分线与圆交于、两点， 由直线与圆的位置关系可得，解得：， 由、解得，的取值范围是. 19．(23-24高二上·广西三新学术联盟·期末)已知的周长为，其中点，. (1)求点C的轨迹方程； (2)设D为点A关于直线的对称点，求线段CD的长度的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，所以， 根据椭圆定义可知，点C轨迹为椭圆，且 因此，c＝1，可得，则点C轨迹方程为，； （2）设点，因为点A与点D关于直线对称，于是有， 解出，即点， 设点为点C轨迹方程上一点，满足，， 则， 由于，所以时，，时，， 又因为，所以，因此. 20．(24-25高三上·山东百师联考·期中)如图，已知椭圆：（）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点.   (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程； (3)当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【详解】（1）由椭圆：上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和，结合椭圆的几何性质，得，解得，则， 故椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，，. 由消去，整理得. 由，得，则，. ，解得或. 当时，直线的方程为，此时直线过点； 当时，直线的方程为，满足题目条件. 所以直线的方程为. （3）证明：因为直线，均不与轴垂直， 所以直线：不经过点和，则且， 由（2）可知，， 为定值. 试卷第1页，共3页 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $