双曲线方程和几何性质学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦双曲线，系统梳理定义、图象与性质，通过对比椭圆引入，明确距离差绝对值的轨迹条件及特殊情况，以表格形式呈现标准方程、范围等核心要素，搭建知识支架。 资料通过多层次例题及变式训练，覆盖定义辨析、方程求解等题型，结合课堂小测巩固知识，培养学生的推理意识与应用意识，助力用数学语言表达和解决问题，提升学习效率与学科素养。

双曲线 Ⅰ.知识结构 1、双曲线的定义：平面上到两定点的、的距离之差的绝对值等于常数（）的点的轨迹，叫做双曲线。定点、是焦点，是双曲线的焦距。 （当时，若，则动点的轨迹是两条射线；若，则轨迹不存在。当时，动点的轨迹是一条直线） 2、双曲线的图象与性质： 图象 x y O 标准方程 范围 顶点 对称性 焦点 ，，的意义 渐近线 Ⅱ.典例精讲 例1.“ab<0”是“方程表示双曲线”的（　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 例2、动圆与两圆和都相切，则动圆圆心的轨迹为（　） A．抛物线 B．圆 C．双曲线的一支 D．椭圆 变式训练：P为双曲线上的一点，F为一个焦点，以PF为直径的圆与圆的位置关系是（　） A．内切 B．内切或外切 C．外切 D．相离或相交[来源:Zxxk.Com] 例3、已知点和，曲线上的动点P到、的距离之差为6，则曲线方程为（　 ）[来源:学科网] A． B． C．或 D． 变式训练： 1． 已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2． （多选）已知曲线的方程为，则可能是（    ） A．半径为的圆 B．焦点在上的椭圆，且长轴长为 C．等轴双曲线 D．焦点在上的双曲线，且焦距为 3． （多选）已知曲线，则下列判断正确的是（    ） A．若，则是圆，其半径为 B．若，则是双曲线，其渐近线方程为 C．若，则是椭圆，其焦点在轴上 D．若，则是两条直线 4、已知圆：，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 例4、（1）已知双曲线过点，它的一条渐近线的方程是，求双曲线的方程； （2）已知左右焦点分别为的双曲线的一条渐近线方程为，是双曲线上一点。若，则 。 例5、已知为双曲线的左右焦点，以双曲线右支上任意一点P为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆内切，则双曲线两条渐近线的夹角为（ ） A． B C D 变式训练： 1、已知双曲线的左、右焦点分别为、，的一条渐近线方程为，且，求的方程 2、已知双曲线的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1，求的方程 3、已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C的渐近线上，O是坐标原点，，则的面积为（    ） A．1 B． C． D． 例5、已知､是双曲线的两个焦点，点M是双曲线C上一点，且，的面为________ 变式训练： 1、已知P是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积为9，则的值为__________. 2、已知为双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 例6、已知是双曲线的左右焦点，若直线上存在唯一的点使得，则（ ） A．2 B C D 变式训练：双曲线的两个焦点为，点P在双曲线上的面积为，则等于（ ） A．2 B C -2 D - 例7、设椭圆和双曲线的公共焦点为，P是两曲线的一个公共点，则等于（ ） A． B C D 例8、如果以圆点为圆心的圆经过双曲线的焦点，而且被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率等于（ ） A． B C D 变式训练： 1、若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其离心率为　　　　　． 2、双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为　　　　　． 例9、设P是双曲线的右支上的动点，F是双曲线的右焦点，已知A（3，1）， （1）求的最小值 （2）求的最小值并求此时P点的坐标。 课堂小测 1、已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹方程。 2、设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( ) A. B. C. D. 3、已知的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使，求点A的轨迹 4、k＞9是方程表示双曲线的( ) （A）充要条件 （B）充分不必要条件 （C）必要不充分条件 （D）既不充分又不必要条件 双曲线性质 典例精讲： 例1、平面内有两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是(　　)． A. (x≤－4) B. (x≤－3) C. (x≥4) D. (x≥3) 例2、与椭圆C：共焦点且过点(1， )的双曲线的标准方程为(　　) A．x2－＝1 B．y2－2x2＝1 C. D. －x2＝1 例3、求以为渐近线，且过点（1,2）的双曲线标准方程 变式练习：与双曲线有共同的渐近线，且经过点（）的双曲线方程 例4、一动圆C与两定圆C1：x2+(y-1)2=1和圆C2：x2+(y+1)2=4都外切，求动圆圆心C的轨迹方程。 A. 4y2+x2=1（y≥） B. 4y2-x2=1（y≥） C. 4y2-x2=1（y） D. 4y2+x2=1（y） 例5、已知双曲线C： = 1（a>0,b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为( ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 变式训练：双曲线的顶点到渐进线的距离等于（ ） A. B. C. D. 例6、已知双曲线x2－=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点. 求直线AB的方程； 例7、已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y=x，点P（,y0）在该双曲线上，则=( ) （A）-12 (B)-2 (C)0 (D)4 例8、已知双曲线，为双曲线上任一点，,求的面积。 变式训练：已知双曲线的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=　(　　) A.1 B. C.2 D.3 例9、如果双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为___． 变式训练：若双曲线上存在四个点，使得四边形是正方形，则双曲线的离心率的取值范围是 . 例10、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点． (1)求双曲线的方程； (2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|. 11、已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点． (1)求双曲线C2的方程； (2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2，求k的取值范围． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $