5.2 导数的运算-【重难点手册】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）浙江专用

重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 5.2导数的运算 重点和难点 课标要求 1.能根据导数的定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y= x,y= 重点：求简单函数的导数 √x的导数 难点：求简单复合函数的导数 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 求简单函数的导数，能求简单复合函数[限于形如f(ax十b)]的导数. 3.会使用导数公式表 门-01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1基本初等函数的导数 1.几个常用函数的导数 卫划重点7 函数 导数 (1)左栏的导数公式表是 比较全面的，涵盖了基本初等 f(x)=c(c为常数) f(x)=c'=0 函数中的常数函数、指数函 f(x)=x f(x)=x=1 数、对数函数、幂函数和三角 f(x)=x2 f(x)=(x2)'=2x 函数，幂函数的导数公式中幂 f(x)=x f(x)=(x3)'=3.x2 指数可以推广到全体实数. f(x)=1 f)=()/=是 (2)若函数式中含有根 式，一般将其转化为分数指数 f(x)=√元 f(x)=(a'=,1 2√元 幂的形式，再利用y=x的导 数公式解决 2.基本初等函数的导数公式 (3)记忆正弦函数、余弦函 函数 导数公式 数的导数时，一要注意函数名 f(x)=c(c为常数) f(x)=0 的变化，二要注意符号的变化. f(x)=x(a∈Q,且a≠0) f(x)=ax1 (4)各类考试中最常见的 f(x)=sin x f'(x)=cos x 是求暴函数和以自然常数为 底数的特殊指数函数y=e f(x)=cos x f'(x)=-sin x 与对数函数y=lnx的导数. f(x)=a'(a>0,且a≠1) f'(x)=a"In a P提个醒7 f(x)=er f(x)=e 中学阶段研究的函数都 f(x)=logax(a>0,且a≠1) f(x)=1 xln a 是连续可导的函数，若无特殊 说明，一般不涉及函数是否可 f(x)=In x f)- 导的问题 82 第五章一元函数的导教及其应用么 知识点2导数的四则运算法则 1.导数的四则运算法则 P拓视野 若函数f(x),g(x)均为可导函数，则有： (1)导数的加法与减法法 导数运算法则 语言叙述 则，可由两个可导函数推广到 任意有限个可导函数的情形 两个函数的和（差）的导数，等于 (1)Lf(x)±g(x)]'=f(x)士g'(x) (一般化)，即[u(x)土v(x)士… 这两个函数的导数的和（差） 士(x)]'=u(x)士v'(x)士… 两个函数的积的导数，等于第 士'(x). (2)[f(x)g(x)J=f(a)g(x)+f(x) 个函数的导数乘以第二个函数， (2)函数的积的导数可以推 g'(x) 加上第一个函数乘以第二个函数 广到有限个函数的乘积的导数， 的导数 即[u(x)v(x)·…·w(x了= l'(x)o(x)·…·0(x)+ (3)「f'=(xg()-fg( 两个函数的商的导数，等于分子 u(x)(x)·…·(x)十…十 Lg(x) [g(x)]2 的导数乘以分母，减去分子乘以 [g(x)≠0] 分母的导数，再除以分母的平方 u(x)u(x)·…·(x). 2.法则(2)和法则(3)的特殊情况 P提个醒7 (1)法则(2)的特殊情况 注意[f'≠f ①当g(x)=c(c为常数)时，法则(2)可简化为[cf(x)]'= g(x)J千g(x) c'f (x)+c[f(x)=0+cf(x)=cf(x),cf(x)=cf(x). ②由上述结论及法则(1)可得[af(x)十bg(x)]'=af(x)十 卫记方法7 对于较复杂的函数解析 bg(x),其中a,b为常数. 式，先进行适当的化简变形， (2)法则(3)的特殊情况 化为较简单的函数解析式后 当f）-1,g)≠0时得-高[- 再求导，可简化求导过程. g'(x) Lg(x)]2 知识点3简单复合函数的导数 1.复合函数的定义 同敲黑板 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变 中学阶段不涉及较复杂 的复合函数的求导问题，只研 量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和 究y=f(ax十b)型复合函数 u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x). 的求导. 2.复合函数的求导法则 般地，对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y= f(g(x),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y= y·,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积， 即若y=f(g(x),则y=[f(g(x)门=f'(g(x)·g(x)】 83 重雕包手细高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 重难拓展 重难点1复合函数导数的求法探讨 求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行： 见提个醒7 (1)适当选定中间变量，正确分解复合关系； 求复合函数的导数时的 注意点： (2)分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）； (1)分解后的函数通常为 (3)把中间变量代回写成原自变量（一般是x)的函数 基本初等函数； 也就是说，首先选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系 (2)求导时分清是对哪个 y=f(u),u=g(x);然后将已知函数对中间变量求导y;最后求 变量求导 y以·x,并将中间变量代回为原自变量的函数.整个过程可简记 (3)计算结果尽量简洁. 为分解一求导一回代.熟练以后，可以省略中间过程.若遇多重复 合，可以相应地多次使用中间变量。 例①(2025·湖北荆州中学单元检测)求下列函数的导数： (Dy-(y=log(1);(3)y-(4)y- sin(2x+5）片 解析(1)y=(1一2x2)-之，设y=u之，u=1一2x2, 则y2=(uy.1-2x2y=(-2w）(-4x)=-号1 2x2)-·(-4x)=2x(1-2.x2)-. (2)设y=log2u,u=2x+1, 则y.=y.·t=n2(2x+iDn2 2 2 (3)设y=e“,u=cosx十1， 则yz=yw·ux=e4·（-sinx)=-eosx+sin a. -os(z+ (4)由题意得y= 2 2,设t=cos(4x+2）,u 园敲黑板 4z+,则t=cosu,则：=·d=-4sinu=-4sin(4x+）月 (1)奇函数的导数是偶函 数的证明 故=2sin(红+5)月 设y=f(x)是可导的奇 函数，则有f(一x)=一f(x), 重难点2导函数的奇偶性及周期性的探究 两边同时对x求导，得f'(一x)· 如图①是奇函数的图象，图②是偶函数的图象，图③是周期 (-x)'=-f'(x),即-f'(-x) 函数的图象 =-f(x),f(-x)=f(x), 84 第五章一元函数的导教及其应用生里 =f(x) yg(x） V y=(x) 从而∫(x)为偶函数 -A A (2)偶函数的导数是奇函 数的证明 ① 设y=f(x)是可导的偶 观察图中各曲线的切线，可知： 函数，则有f(一x)=f(x),两 (1)图①中曲线在点A,B处的切线斜率相等，即f(a)= 边同时对x求导，得f'(一x) f(-a); f'(-x)·(-x)'=-f'(-x)= (2)图②中曲线在点A,B处的切线斜率互为相反数，即 f'(x),即f'(-x)=-f(x), g(a)=-g(-a); 从而f(x)为奇函数. (3)周期函数的导数还是 (3)图③中曲线在点A,B,C处的切线斜率相等，即o'(a一 周期函数的证明 T)=p'(a)=p'(a+T). 设f(x)是可导的周期函 因此，我们可以得到如下结论： 数，T为f(x)的一个周期，则 (1)奇函数的导数是偶函数. 对定义域内的每一个x,都有 例如，y=sinx是奇函数，它的导数y=cosx是偶函数. f(x十T)=f(x),两边同时对 (2)偶函数的导数是奇函数 x求导，得f'(x+T)·(x十T)' 例如，y=x2是偶函数，它的导数y=2x是奇函数. =f'(x),即f(x+T)=f(x), (3)周期函数的导数还是周期函数. 从而f(x)也是以T为周期 例如，y=sinx的最小正周期是2π，它的导数y=cosx的最 的函数 小正周期是2π. 例2(2025·湖南浏阳一中高二单元检测)已知函数f(x)= P拓视野 ax+bx2+c,若f(1)=2,则f(-1)=(). (1)若函数f(x)的图象关 A.-1 B.-2 C.2 D.0 于点(a,b)对称，则导数f'(x) 解析方法一由f(x)=a.x十bx2十c,得f'(x)=4ax3十2bx. 的图象关于直线x=a对称. 因为f(1)=2,所以4a十2b=2,即2a十b=1. (2)若函数f(x)的图象 则f(-1)=-4a-2b=-2(2a+b)=-2. 关于直线x=a对称，则导函 数f(x)的图象关于点(a,0) 方法二易知f(x)是偶函数，则f(x)是奇函数， 对称 所以f(-1)=-f(1)=-2. 答案B 口-02关键能力提升。 题型方法 公式求导. 题型1函数导数的计算 (2)若给出的函数不是基本初等函数，则 1.利用基本初等函数的导数公式求函数 通过恒等变形对解析式进行变形后求导.如根 的导数 (1)若函数是基本初等函数，则直接利用 式要化成指数幂的形式求导，y一是可以写成 85 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) y=x4,y=x可以写成y=x等，这样就可 导公式和导数的运算法则直接求解，但这样往 以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求 往比较烦琐，因此可以考虑先对函数进行适当 导过程中出现指数或系数的运算失误， 变形一分子、分母有理化，有两种形式：一是 例3(2025·湖南雅礼中学高二月考)求 分子中含有根式，则进行分子有理化；二是分 下列函数的导数： 母中含有根式，则进行分母有理化.如果所给 (1Dy=sin石，(2)y=(2)广；(3)y=lgx 两项的分母是互为有理化因式的结构形式，直 (4)y= 接通分就能达到分母有理化的效果，从而使化 (5)y=2cos2受-1. 简过程更为简捷， 解标(1y=(号)/=0. ③对于多个整式乘积形式的函数，可以考 虑展开，化为和差形式 (2y-(2)in合-（合广in2 若待求导的函数为多个整式乘积的形式， (3'=rn10 可以利用多项式的乘法法则，先化为和差的形 (4)y=琴=， 式，再求导，其运算过程将会简化，运算量将会 减小. y=(y-2= ④对于三角函数，可考虑恒等变换， 对三角函数求导，往往需要利用三角恒等 (6)ry=2s号-1=c0s 变换，对函数式进行化简，使函数的种类减少， .'.y=(cos x)'=-sin x. 次数降低，结构尽量简单，从而便于求导. 2.利用函数的运算法则求函数的导数 例4求下列函数的导数： (1)解决函数的求导问题，应先分析所给 函数的结构特点，选择正确的公式和法则. (2)对于比较复杂的函数，若直接套用求 导公式，则会使求导的过程烦琐冗长，且易出 (2y=x(x-2x-6+2, 错.故可先对函数的解析式进行合理的恒等变 (3)y=cos xln x; 形，转化为容易求导的结构形式再求导数，尽量 (40=: 回避利用积与商的求导公式.常见类型如下： ①对于分式中分子、分母齐次结构的函 (5)y=x(x+1)(x+2)(x>0). 数，可考虑通过裂项化为和差形式 解(1)y-(侵+sin受cos受} 若待求导的函数是两个函数商的形式，可 以直接利用商的导数运算法则进行求导，但这 (y+(分m=-2x+2osx=-是+ 样做运算量较大，如果先对函数进行适当变 形，再对函数求导，这样会大大减少运算量. 2cos x. ②对于根式型函数，可考虑进行有理化变形 若待求导的函数中含有根式，可以应用求 2)y=(x-3x2-6x+2y=(xy 86 第五章一元函教的导教及其应用生 (3c2-(6z)'+2'=3x2-3x-6. =x'√1+x2十x(√/I+x2) (3)y'=(cos zln x)'=(cos x)'In x+ =V1十x+x √/1+x cos (In x)'=-sin xln x+cos =(1+2x2)W1+x 1+x2 4④)y-(}-ecey=g- (e)2 (3):y=xcos(2x+）)sin(2z+}= 1-x xsin 2)cos 2sin x, (5)方法一y=[x(x+1)(x+2)] x'(x+1)(x+2)+x(x+1)'(x+2)+x(x+1)· sin 4a)=-sin 4a- (x+2)'=(x十1)(x+2)+x(x+2)+x(x+ cos sin.xcos 4. 1)=3x2+6x+2. 方法二因为y=x(x十1)(x十2)=(x2十 题型2导数运算在相关求值问题中的应用 x)(x+2)=x3+3x2+2x,所以y=(x3+3x2+ 1.利用导数运算求函数的解析式 2x)'=3x2+6x+2. (1)函数f(x)中含有f(a)时，通常将导 3.求简单的复合函数的导数 数f(x)中的x取a,求出f(a)的具体值，代 求复合函数的导数的步骤： 入函数f(x)中，从而确定函数的解析式， (2)函数式中含有参数的，一般利用待定 分解 选定中间变量，正确分解复合函数，即 说明复合过程y=∫(u),u=g(x) 系数法、导数的运算法则确定参数的值即可. 分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对 例6已知函数f(x)的导函数为f(x), 求导 哪个变量的求导，要特别注意中间变量 对自变量的求导)，即先求y,再求： 且f(x)=sinx,则函数f(x)的解析式可能是 ,也可能是 回代 计算y·u,并用g(x)替代u 解析因为(cosx)'=一sinx,所以f(x) 说明：熟练以后，可以省略中间过程， 可能是f(x)=-cosx或f(x)=-cosx+1 例5(2025·浙江乐清知临中学高二单 (其他满足题意的解析式均可) 元检测)求下列函数的导数： 答案f(x)=一cosx(答案不唯一)； 1y=h3,2y=xV1+2 f(x)=-cosx十1（答案不唯一）. 2.利用导数运算求函数f(x)中含有f(a) (3)y-xcos(2x+2)sin(2z+2). 的导数值问题 先求出f(x),然后利用f(a)与待求导数 解析(1)：(1n3x)'=。·(3x)/=1 3x 式的关系求出待求的导数值.如果不能求出函 y=(In 3x)'e'-(In 32)(e) 数解析式，那么要分析函数f(x)的性质，用整 (ex)2 体法求解。 1-In 3x 1-cln 3x 例⑦已知函数f(x)=f(-1)e2一x2,则 e xe f'(-1)= (2)y=(x√1+x2) 解析因为f(x)=f'(-1)e一x2,所以 87 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) f'(x)=f'(-1)e-2x.令x=-1,则f'(-1)= 又f(x)=2x一8，所以a=1,b=-8. f(-1De+2,所以f(-1)-2 (2)由(1)可知g(x)=esin x十x2-8x+3, 所以g(x)=e"sin x+e"cos x+2x-8. 图裹。2 所以g'(0)=e°sin0十e°cos0十2X0 3.利用导数运算，由f(0)的值求x的值 8=-7. 例8(2025·天津河东区期未)设f(x) 又g(0)=3,所以曲线g(x)在x=0处的切 ln(2x一1)，若f(x)在xo处的导数f(xo)=1, 线方程为y-3=-7(x-0),即7x十y-3=0. 则xo的值为( ) 2.利用导数运算求与切点坐标相关的问题 A. C.1 D 利用基本初等函数的求导公式，可求函数 图象在某一点P(x,yo)处的切线方程.一些与 解析由f(x)=ln(2x-1),得f(x)= 距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与 2 2x-1 函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分 析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意 由f(x)=22-1,解得 2 21 义准确计算， 答案B 例10(2025·天津南开中学高二月考) 题型3导数运算在解决切线问题中的应用 抛物线y=x2上的点到直线x一y一2=0的最 1.利用导数运算求曲线的切线方程或切 短距离为 线斜率 解析依题意知，与直线x一y一2=0平行 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导 的抛物线y=x2的切线的切，点到直线x一y 数、切线方程三个主要元素，其他条件可以进 2=0的距离最短，设切，点坐标为(x0,x6) 行转化，从而转化为这三个要素间的关系， .y=(x2)'=2x, (2)准确利用求导法则求出导函数是解决 .2x0=1. 0=1 此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做 到准确. 切点坐标为（合，》 (3)分清是求曲线在某点的切线还是过某 点的切线.若是求曲线过某点的切线，则要设 是-2 ∴.所求的最短距离d 7√2 出切点，这是解题时的易错点、 √2 8 例9(2025·西南大学附中质量测评)已 知函数f(x)=ax2十bx+3(a≠0)，其导函数 答案7y2 8 为f(x)=2x-8. 3.利用导数运算求与切线相关的含参问题 (1)求a,b的值； 求解此类导数的应用问题，正确求出此函 (2)设函数g(x)=e"sin x十f(x),求曲线 数的导数是前提.审题时注意所给点是不是切 g(x)在x=0处的切线方程， 点，挖掘题目隐含条件，求出参数.解决已知经 解析(1)因为f(x)=ax2十bx十3(a≠ 过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的 0),所以f(x)=2ax十b. 关键。 88 第五章 一元函数的导数及其应用么出型 例11(2024·湖北武汉外国语学校高二 s引-日-小-a++2 月考)设f(x)=ln(x+1)+√x十1十ax十b(a, b∈R,a,b为常数)，曲线y=f(x)与直线y= ×2+2)=1 多x在点(0,0)处相切，则4一 ,b= 当且仅当a=1,即a=1时，等号成立. ,.直线1与两坐标轴围成的三角形面积的 解析由曲线y=f(x)过，点(0,0)，可得 最小值为1. ln1+1+b=0,故b=-1. 答案1. 由f(x)=ln(x+l)+x+I+ax+b,得 题型4导数运算在研究导函数的图象特征 中的应用和导数运算的创新问题 1 1.利用导数运算，由导函数f(x)的图象 则f'0)=1+号十a=号+a,即为曲线y 特征求原函数f(x)的解析式 例13已知函数f(x)= f(x)在，点(0,0)处的切线的斜率」 ax3十bx2十cx的图象过点(1， 由题意得十a=》,故a=0. 5),其导函数y=f(x)的图象 如图所示，则函数f(x)的解 答案0；-1. 析式为 4.利用导数运算求与切线相关的距离、面 [解析因为f'(x)=3a.x2十2bx十c,f′(1)= 积的最值问题 3a+2b+c=0, 利用基本初等函数的求导公式和导数的 0,f(2)=0,f(1)=5,所以312a+4b+c=0,解 四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决 a十b+c=5, 一些与距离、面积有关的最值问题.这种题目 a=2, 往往使用函数与方程的思想，而解题的切入点 得b=一9，故函数f(x)的解析式是f(x)= 是确定切点，求切线方程。 c=12. 例2已知函数f(x)=丈-1(a>0)的 2x3-9x2+12x. a 答案f(x)=2x3-9x2+12x. 图象在x=1处的切线为1，则l与两坐标轴围 2.利用导数运算，由导函数的图象求原函 成的三角形面积的最小值为 数在某处的函数值 扬“f)=妥，“f1)= 例14(2025·西南大学附中高二月考) 又“f1)=1-1,曲线f()在x=1 如图所示，有一个图象是函数f()=3x+ a.x2+(a2一1)x十1(a∈R,且a≠0)的导函数的 处的切线1的方程是y一日十1=名(x-1.令 图象，则f(一1)=( =0,得一日-1令y0,得x 2 ∴.1与两坐标轴围成的三角形的面积为 1 ② ③ 89 重难点手册高中教学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) A日 B.3 答案C 4.利用导数运算的创新问题 c 例16(2024·重庆八中适应性考试)以 解析f'(x)=x2+2ax十a2-1=[x十 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值 (a十1)][x十(a一1)].在图①与图②中，导函 定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数 数的图象的对称轴都是y轴，此时a=0,与题 之间的重要联系，是微积分学重要的理论基 设不符，故图③中的图象是函数f(x)的导函数 础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核 的图象.由图③知f(0)=0,由根与系数的关 心内容.其定理如下：如果函数f(x)在闭区间 系得2a>0, a2-1=0, 解得a=-1.故f(x)=3x [a,b]上的图象不间断，在开区间(a,b)内可导， 则在区间(a,b)内至少存在一个点，使得f(b) 一x2+1.所以f(-1)=- 3 f(a)=f'()(b-a),称为函数y=f(x)在闭 答案B 区间[a,b]上的中值点.则函数f(x)=tanx在 点评由于三次函数的导数是二次函数， 区间一平，牙】上的中值点的个数为()， 元 因此将导数的计算与二次函数的图象和性质 A.1 B.2 C.3 D.4 结合起来就很容易理解了，这类题目比较受命 题者青睐，解题时应回顾二次函数的单调性、 解析由题意知，函数f(x)=tanx,x∈ 最值、图象的对称轴、二次项系数对图象的影 响等。 [-平，]，所以f(-)=-1,f(）=1, 3.利用导数运算识别导函数的图象 f(x)= (sin 1 cos x cos2x 例15(2025·浙江杭州外国语学校单元 检测)已知函数f(x)=2x2sinx+xosx,则 所以(）-f-到=2，f⑧=s 其导函数f(x)的大致图象是( 由拉格朔日中位定里得2=×登即 c0s-平，所以60s5=士受 因为当x[-至，]时，osz∈[经，1]： 解机因为f(x)=2x2sinx十xcos a,所 以f()=2 o+cosx因为f(-x)= 所以cos=-受在[-平，]上无解，0s (-z)cos(-)+cos(-)=cosx+ 受在[一年]上有2个解所以函数f) cosx=f'(x),所以f(x)的导函数f(x)为偶 tanx在区间[一年，]上的中值点的个数为2 函数，图象关于y轴对称，且f(0)=1,只有C 符合 答案B 90 第五章一元函教的导教及其应用么型 易错警示 y=x和y=ax2+15, 9(a≠0)都相切，则 ●易错题13（错误率30%）(2025·重庆 a=( 一中高二月考)函数y=xel-x的导数y= A-1或器 B.-1 ●易错题14（错误率35%）(2025·广 n-子 东珠海调考)若存在过点(1,0)的直线与曲线 参考答案见《全书易错题集》第3页 口03-核心素养聚焦。 考向分类 答案1. 考向1函数在某点处的导数值的计算问题 命题意图：考查导数的四则运算法则以及 例17（经典·天津卷）已知函数f(x)= 运算求解这一关键能力 命题规律 真题探源：教材第77页例4的逆向变式 elnx,f(x)为f(x)的导函数，则f(1)的值 拓展 为 常考题型选填题难度系数0.55 高考热度 ★★ 解机由题意得f(x)=elnx十e·1 核心素养 数学运算 素养水平水平二 x 考向3利用导数运算求切线方程 e(ax+),则f)=e 例19（经典·全国I卷）函数f(x)=x 答案e. 2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为 命题意图：考查基本初等函数的导数公式 ( 和导数的四则运算法则以及运算求解这 A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 命题规律一关键能力 C.y=2x-3 D.y=2x+1 真题探源：教材第81页[习题5.2]第6题 的变式 解析f(x)=4x3-6x2,f(1)=一2.又 常考题型选填题难度系数0.6高考热度 ★★ f(1)=-1,则函数f(x)的图象在(1，一1)处 核心素养 数学运算 素养水平水平 的切线方程为y一（一1）=f(1)(x一1)，即y= 考向2与导数运算有关的求参问题 -2x+1. 例18（经典·全国Ⅲ卷）设函数f(x)= 答案B 千a若f)=景则a= 命题意图：考查利用导数的四则运算法则 求曲线的切线方程以及运算求解这一关 解析本题考查导数的应用.由f(x)= 命题规律 键能力 真题探源：教材第81页[习题5.2]第4题 二a将f)=a,因比r1 第(2)问与第5题的综合变式 常考题型选填题难度系数0.6 高考热度★★★ a2o=,解得a=l. 核心素养 数学运算 素养水平水平二 91