4.1 数列的概念-【重难点手册】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）浙江专用

第四章 数列 4.1 数列的概念 重点和难点 课标 重点：数列的概念以及通项公式. 通过日常生活和数学中的实 难点：数列的概念。 (列表、图象、通项公式)，了解数 ☑01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1数列的概念 1.数列的相关概念 般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数 列中的每一个数叫作这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫 作这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫作 这个数列的第2项，用a2表示…第n个位置上的数叫作这个数 列的第n项，用am表示.其中第1项也叫作首项. 数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}. 2.数列的分类（按项数分） (1)有穷数列：项数有限的数列叫作有穷数列. (2)无穷数列：项数无限的数列叫作无穷数列. 3.数列是一种特殊的函数 由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应 关系： 序号123…n… YY 项a1a2a3…an 所以数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…， n})到实数集R的函数，其自变量是序号n,对应的函数值是数列 的第n项am,记为an=f(n).也就是说，当自变量从1开始，按照 从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1),f(2),·, f(n),…就是数列{an}.另一方面，对于函数y=f(x),如果f(n) (n∈N*)有意义，那么f(1),f(2),…,f(),…构成了一个数列 {f(n)}. 要求 例，了解数列的概念和表示方法 列是一种特殊的函数 刀划重点 (1)概念中的“一列数”， 即不止一个数. (2)概念中的“确定的顺 序”，即数列中的数是有序的. (3)数列中项与项之间用 “,”隔开. (4)数列{am}与am是不 同的.{an}表示数列：a1,a2, ag,…,an,….a表示数列{an}》 中的第n项. (5)数列中的项与项的序 号是不同的.数列中的项是指 这个数列中的某一个确定的 数，而项的序号是指这个数在 数列中的具体位置. (6)有穷数列一般表示为 a1,a2,a3,…,am,要把末项（有 穷数列的最后一项)写出；无穷 数列一般表示为a1,a2,a,…, a,…,由于无法写出末项，因 此要用“…”结尾. 敲黑板 数列和数集的区别与联系 它们都是一些数的全体 数集中的元素具有无序性、互 异性和确定性；数列中的项具 有有序性、可重复性和确定 性，这称为数列的三大特性， 即数列中的项有序且可以相 1 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 知识点2数列的表示方法 1.数列的列表法和图象法表示 与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示 (1)列表法 列表法就是通过列出表格来表示项的序号与项的关系.即： 项的序号 1 3 n 项 0 a2 a3 an (2)图象法 由于数列的定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1， 2,…,n}),因此，数列的图象是以(n,an)为坐标的无限（或有限） 个孤立的点， 2.数列的通项公式表示 (I)如果数列{an}的第n项am与它的序号n之间的对应关系 可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的通项 公式 (2)常见数列的通项公式如下： ①数列1,2,3,4，…的一个通项公式为am=n; ②数列1,3,5,7，…的一个通项公式为an=2n一1； ③数列2,4,6,8，…的一个通项公式为am=2n; ④数列1,2,4,8，…的一个通项公式为an=2m-1; ⑤数列1,4,9,16，…的一个通项公式为an=n2; ⑥数列1,2,3,4…的-个通项公式为a.- 知识点3数列的递推公式 1.数列的递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式 子来表示，那么这个式子叫作这个数列的递推公式.如am=3am-1 (≥2).知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了. 2.数列的递推公式的特点 (1)递推公式也是表示数列的一种重要形式.递推公式和通 项公式一样都是关于项数的恒等式，用符合要求的正整数依次 去替换n,就可以求出数列的各项. (2)利用递推公式通过赋值逐一求出数列的项，直至求出数 列的任何一项 (3)运用递推法表示数列，可以揭示数列的一些性质，但不容 2 同.数列的列举与集合的列举 有区别，数列没有“{}”，集 合有“{}”. P划重点7 (1)数列的通项公式就是 数列的函数解析式，根据通项 公式可以写出数列的各项. (2)根据通项公式可以判 断某个数是否为该数列中的项 或求某个数是数列的第几项 (3)一个数列的通项公式 可以有不同的形式，如an一 (-1)n可以写成an=(-1)2, 运似号浅-- ∈N,这些通项公式虽然形 式不同，但都表示同一个数列. (4)并不是所有的数列都 有通项公式，就像并不是所有的 函数都能用解析式表示一样 P提个醒 为了方便起见，在画图时， 平面直角坐标系中的两条坐标 轴上的单位长度可以不同. D作比铰 数列表示方法的优缺点 方法 优点 缺点 便于求出数列 通项 中任意指定的 一些数列的通 公式 一项，有利于对 项公式表示比 法 数列的性质进 较困难 行研究 要确切表示一 内容具体、方法 个无穷数列或 列表 简单，给定项的 项数比较多的 法 序号，易得相 有穷数列时比 应项 较困难 能直观形象地 数列项数较多 图象表示出随着序 时用图象表示 法 号的变化，相应 比较困难 项变化的趋势 可以揭示数列 递推 不容易了解数 的一些性质，如 公式 列的全貌，计 前后几项之间 法 算也不方便 的关系 易了解数列的全貌，计算也不方便，所以我们经常用它得出数列 的通项公式或者得到一个特殊数列，如具有周期性的数列. 知识点4数列{an}的前n项和 1.数列前n项和的概念 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数 列{an}的前n项和，记作Sm,即Sm=a1十a2十…十au. 2.前n项和Sm与am的关系 如果数列{an}的前n项和Sm与它的序号n之间的对应关系 可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的前n项和 公式. 显然S1=a1,而Sm-1=a1十a2十…十am-1(n≥2)， S1,n=1, 于是我们有an= Sn-Sm-1,n≥2. 重难拓展 重难点1数列的单调性 1.数列单调性的定义 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫作递增数 列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫作递减数列 特别地，各项都相等的数列叫作常数列. 2.数列的分类（按单调性分）】 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前 摆动数列 项的数列 例①(2025·浙江金华一中月考)已知数列{an}的通项公式 为an=3n2-n(n∈N*),则该数列是(). A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 解析方法一an=3n2-,a+1=3(n十1)2-(n十1)， 则a+1-an=3(n+1)2-(n十1)-(3n2-n)=6n+2>0, 即a+1>an,故数列{an}是递增数列. 方法二am=3n2-n,a+1=3(n十1)2-(n+1), 则2-+-t1》-"1,子1 an 3n2-n 第四章数列 P划重点7 (1)若an=Sn-Sm-1(n≥ 2)中，令n=1求得的a1与利 用a1=S1求得的a1相同，则 说明an=Sn-Snm-1（n≥2)也 适合n=1的情况，数列的通项 公式可用an=Sn-Sn-1表示. (2)若an=Sn-Sm-1(n≥ 2)中，令n=1求得的a1与利 用a1=S1求得的a1不相同， 则说明an=S一Sn-1(n≥2)不 适合n=1的情况，此时数列的 通项公式应采用分段形式表示， S,n=1, 即an=s。-S1心2. 记方法词 判断数列单调性的方法 (1)定义法：对一切正整 数n,若an+1>an,则数列{an} 是递增数列；若a+1<an,则 数列{am}是递减数列；若a+1= an,则数列{an}是常数列. (2)作差法：对一切正整 数n,若an+1一an>0,则数列 {an}是递增数列；若am+1一 an<0,则数列{an}是递减数 列；若an+1-an=0(an≥an+1 且an≤a+1),则数列{an}是 常数列. (3)作商法：对一切正整 数n,若a中>1(an>0)或 an +1<1(an<0),则数列{an》} An 为递增数列；若a中<1(an> an 0)或a>1(a,<0),则数列 {an}为递减数列；若am中1=1 an 3 重难点手册高中数学选择性必修第二册？A(浙江专用】 又易知am>0,故an+1>an,即数列{an}是递增数列. (a≠0)，则数列{an}是常数列. 方法三令y=3x2一x,则函数的图象是开口向上的抛物 (4)转化为函数，借助于 线，其对称轴为直线x一日，日<1，则函数y=32-x在（合， 函数的单调性或函数的图象 来判断 十o∞上单调递增，故数列{an}是递增数列. 答案A 重难点2数列的周期性 1.观察摆动数列一1,1，一1,1，一1,1，一1,1，…，我们可以发 冒敲黑板 现，数列的项-1,1重复出现，用公式表示为am=a+2.若记f(n)= 数列是一种特殊的函数， am,则可以表示为f(n)=f(n十2)，即数列中的项循环出现，我们 因此可类比周期函数来理解 称此类数列为周期数列. 周期数列. 2.周期数列递推公式的一般形式为am+k=an(n∈N*,k∈ N*,≥2)，如数列1,2,3,1,2,3,1,2,3，…是周期为3的周期数 列，满足a+3=a.(n∈N*). 用记方法 例2(2024·湖北部分学校联考)若数列{am}满足am+1= 要判断一个数列是否具 有周期性，主要方法是利用递 1一1，且a1=2,则a22s的值为( ). an 推公式求出数列的若千项，观 A 察得到的规律或由递推公式 B.-1 C.2 D.1 直接推导出an=am十k, 留折由a1=1-及a1=2得a=号a=-1,au=2,至 an 此可发现数列a是周期为3的凋期数列：2,2，-12,2，-1，… 而2023=674X3+1,故a223=a1=2. 答案C ☑-02关键能力提升。 题型方法 (2)1,-3,5,-7,9,…; 题型1根据数列的前几项写出数列的一个 (822,8832 通项公式 (4)3,5,9,17,33,…. 1根据数列的前几项写出数列的一个通 项公式 解析(1)各项加1后，变为10,100,1000， 例3(2025·浙江杭州二中单元检测)写 10000,…,新数列{bn}的通项公式为bn=10”, 出下面各数列{an}的一个通项公式： 可得原数列{am}的一个通项公式为an= (1)9,99,999,9999,…; 10m-1. (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…， 是连续的正奇数，记为数列{b},则数列{bn}的 通项公式为bn=2n一1，考虑到（一1）+1具有转 换正、负号的作用，所以原数列{αn}的一个通项 公式为am=(-1)m+1(2m-1). (3)数列的项有的是分数，有的是整数，可 将各项统一成分数再观察，各项可变为2，兰， 2,空，罗…，所以数列{0}的一个道项公式为 91625 (4)3可看作21+1,5可看作22+1,9可看 作23十1,17可看作24十1,33可看作25+1，…，所 以数列{an}的一个通项公式为an=2m十1. 2.根据几个图形的特征寻求图形的一般 性规律 例④(2025·湖北孝感高中期末)如图， 第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来的 (n=1,2,3,…),则第n一2(n≥3)个图形中共 有 个顶点. ② ④ ⑤ 解析观察5个图形可知，第n个图形是 由正n十2边形的每条边都向外“扩展”一个新 的正n十2边形而得到的，故第n个图形的顶 点个数为(n+2)十(n十2)2=(n十2)(n+3). 从而第n一2(n≥3)个图形中的顶点个数为 n(n+1)=n2+n. 答案n2十n. 第四章数列么出 题型2数列的通项公式的应用 1.数列中项的求解与判断 (1)如果已知数列的通项公式，那么只要 将相应序号代入通项公式中，就可以写出数列 中的指定项. (2)判断某数是否为数列的项，只需将此 数代入数列的通项公式中求出n的值.若求出 的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数 不是数列的项. 例5(2025·湖南浏阳一中单元检测)已 知数列{an}的通项公式为an=3n2一28n. (1)写出该数列的第4项和第6项， (2)一49是否为该数列的一项？如果是， 是哪一项？68是否为该数列的一项？ (3)数列{an}中有多少个负数项？ 解析(1)a4=3×16-28×4=一64，a6= 3×36-28×6=-60. (2)令3n2-28n=-49,解得n=7或n= 了（舍去).所以一49是该数列的第7项。 令3m一28m=68,解得n=兰支n=-2. 因为EN,-2GN, 所以68不是该数列的项. (3)am=n(3n-28),令an<0,又n∈N*, 解得n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,即数列{am}中有 9个负数项. 2.利用函数知识解决数列中项的问题 在利用函数的有关知识解决数列中项的 问题时，要注意定义域为正整数集或其有限子 集这一约束条件， 例6(2025·湖北襄阳四中月考)已知数 列{an}的通项公式为an=n2一7n一8. (1)数列中有多少项为负数？ (2)数列{am}是否有最小项？若有，求出其 最小项 5 重难点手册高中数学选择性必修第二册 解析(1)令an<0,即n2-7n-8<0,得 -1<n<8.又n∈N*,所以n=1,2,3,…,7.故 数列第1项至第7项均为负数，共7项. (2)函数y=x2一7x一8的图象的对称轴 为直线，所以当1≤≤3时，函数单调递 减；当x≥4时，函数单调递增.所以数列{am》 有最小项.又ag=a4=一20，所以数列{an}的最 小项为a3和a4. 题型3由数列的递推关系求通项公式 1.累加法 若数列{an}的递推关系式形如an+1=an十 f(n)(n∈N*),且数列{f(n)}可求和，通常用 累加法求通项公式，其方法如下：由递推关系 得a+1-an=f(n),即a2一a1=f(1),a3一a2= f(2),a4-a3=f(3),…,am-an-1=f(n-1). 以上n一1个等式左右两边分别相加，得 a.-a=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1), 所a-a+亨f2. 此方法也可写作a.=a十(a2一a1)十(ag a)+十a.-)=a+022》, 这种方法又被称为逐差法 例7(2025·河北廊坊一中月考)已知在 数列{an}中，a1=1,a+1=an十2，则数列{an}的 通项公式为am= [解析因为a1=1,am+1=an十2，所以a2 a1=2,a3-a2=2,a4-a3=2,…,an-am-1=2 (≥2).将以上各式等号左右两边分别相加， 得am-a1=2(n-1).又a1=1,所以am=2n-1 (n≥2).经验证，a1=1也满足该式，所以所求 数列的通项公式为am=2n一1. 答案2n-1. 6 UA(浙江专用) 2.累乘法 若数列{an}的递推关系式形如an+1= f(n)an(an≠0，n∈N“),即2+=f(n,且数列 an {f(n)}可求积，通常用累乘法求通项公式，其 方法如下： 由递推关系得8：=f1),0-2),2 a3 f8)…,a2-=f0m-1m≥2》. 以上n一1个等式左右两边分别相乘，得 8=f1)·f2)·f3)·f(n-1),所以 am=a1·f(1)·f(2)·f(3)·…·f(n-1) (n≥2). 此方法也可写作an=a1·a2..…· al a2 am(n≥2). an-1 这种方法又被称为逐商法. 例⑧(2025·湖北黄冈中学月考)在数列 {an}中，a1=1,an+1=2an,则数列{an}的通项公 式am= 解析由已知得a-1≠0,01=2(n心2)，所 an-1 以2=2，=2,4=2，…，an=2(n≥2).将以 a a2 a3 a2-1 上各式等号左右两边分别相乘，得2·· a az a4.…·am=a=2a-1(n≥2).又a1=1,所以 a3 an-1 a1 an=2-1(n≥2)，且an=2m-1对n=1也成立，所 以所求通项公式为an=2m-1. 答案2”-1 3.迭代法 迭代法适用于“已知an+1=f(an)且知a1 的值”型的递推式，可通过逐次递减“下标值” 来进行迭代，最后使an与a1(或a2)建立联系， 从而求出an 例9(2025·山东潍坊一中期中)在数列 {a,}中，a1=2,a+1=a.十ln(1+),则数列 {an}的通项公式为an=(). A.2+In n B.2+(n-1)In n C.2+nln n D.1+n+In n 解析方法一（迭代法）a2=a1十ln（1十 ),as=a+ln(1+号)，a.=a-1+ln(1+ n己）(m≥2)， 则a.=a+ln(×××…X） 2+lnn(n≥2). 又a1=2=2十ln1,所以am=2+lnn. 方法二（累加法）a+1一a,=ln1十月) n1+n=ln(1十n）-lnn, a1=2, a2-a1=ln2, as-a2=In 3-In 2, a-as=In 4-In 3, an-an-1=In n-In(n-1)(n>2). 将以上各式等号左右两边分别相加，得 an=2+In 2+(In 3-In 2)+..+[In n- ln(n-1)]. 所以am=2+lnn(n≥2). 因为a=2也适合上式，所以am=2十lnn. [答案A 4.归纳法 依据数列的首项及递推公式逐项推得a2, a3,a4,…,再按数列a1,a2,a3,a4,…的规律归 纳、猜测，从而得出其通项公式. 第四章教列么出型 例10(2025·湖南雅礼中学月考)已知 数列{an}满足a+1=2an十1(n∈N*). (1)若a1=一1，写出这个数列的前5项， 并推测它的通项公式； (2)若a1=3,写出这个数列的前5项，并 推测它的通项公式， 解析（1)，a1=-1,an+1=2an十1， ∴.a2=2a1+1=2X(-1)+1=-1. .a1=a2=a3=a4=a5=一1，由此可以推 测它的通项公式为an=一1. (2),'a1=3,a+1=2am十1， ∴.a2=2a1+1=7,a3=2a2+1=15. 同理得a4=31,a5=63. 由3,7,15,31,63，…可以推测它的通项公 式为an=2m+1-1. 题型4数列单调性的应用 1.利用数列的单调性确定变量的取值范围 解决此类问题时，常利用以下等价关系： 数列{an}递增台an+1>an(n∈N*); 数列{an}递减台an+1<am(n∈N). 进而转化为不等式成立（恒成立），通过分 离变量转化为代数式的最值来解决；或由数列 的函数特征，通过构建变量的不等关系，解不 等式（组）来确定变量的取值范围， 例11已知数列{an}满足a=1,a+1= a2n∈N),若a=(n-2)+1jn∈ N),6=一x,且数列6，}是递增数列，则实 数λ的取值范围是 图折由a-1及a1一a,千2知a,>0, 且1=2+1， an+1 an 所以，+1=2+2=2(+小 an 重难包手册高中教学选择性必修第二册 f是得2.+1=2a品+1=2x2a2十+1) =2(。2十+1）=2×2(22+=2(2+1 ==2(+1）=2*(≥2》. 又1十1=2满足上式，所以1十1=2 a 所以bn+1=(n-2λ)X2m(n∈N*),则b2= (1一2λ)×2=2一4λ.由数列{b}是递增数列得 6>6,即2-4以>-昌x,解得号 又当n≥2时，bu+1-bn.=（n-2λ)X2m (n-1-2λ)X2m-1=2m-1[2(n-2λ)-(n-1 2λ)]=2m-1(n十1-2λ)>0恒成立，即2<n十 1心2恒成立，所以X<多 综上可知，以的取值范周是（一©，》 (-，) 点评之所以在1=2+1的等号两边 an+1 an 同时加1，是因为b+1的表达式中有十1，这 a. 样才会得到十1-2（公+1小，利用选代法即 得1+1=2(n≥2)，又1+1=2，所以1+1= 1 2m,从而得出bn+1=(n一2λ)X2m.需要注意的 是这里的n∈N*,该式并不包含b1.由数列 {bn}是递增数列可得出b+1一bm>0(n≥2)恒 成立，切不可忽视b2一b1>0. 2.求数列{an}的最大（小）项 (1)利用数列的单调性确定数列的最大 (小)项.当数列不单调时，还需解不等式a+1 am>0(或+>1，此时要关注an的符号)来确 an 定数列的单调性，进而求其最大（小）值.需要注 6 UA(浙江专用) 意的是，解不等式at1一a>0(或2>l得到 n的取值范围后，对数列单调“区间”的确定要 当心. (2)通过解不等式组来确定，即设第 (k∈N*,>1)项是数列的最大（小）项，则 (ak≥ak-1, akak-1, 或 ,求出的正整数值 ak≥ak+1(ak≤ak+1 后代入通项公式中，即可得到数列的最大（小） 项，这样就不必再判断数列的单调性了， 例12(2025·山东省实验中学月考)已 知数列a的通项公式是a.=(n+2)×(层) (n∈N*),试问数列{an}是否有最大项？若有， 求出最大项；若没有，请说明理由。 解析方法一作差比较am+1与am的大 小，判断{an}的单调性.an+1一an=（n十3)X (8-(m+2)×(g)°-(g)×5g”. 当n<5时，an+1一an>0,即an+1>an; 当n=5时，a+1一an=0,即am+1=an; 当n>5时，an+1一an<0,即am+1<an. 故a<a2<a3<a4<a5=a6>a?>a8>…. 所以数列{am}有最大项，最大项为a5和 76 a6,且a5=a6=85. 方法二作商比较an+1与an的大小，判断 {an}的单调性. an+1_ 3)× 7(n+3) an a+2)×( 8(n+2) 易知am>0, 令0n出1>1，解得n<5;令am1=1,解得n= an 5;令a<1,解得n>5. an 故a<a2<a3<a4<s=a6>a7>a8>…. 所以数列{am}有最大项，最大项为a5和 u,且a=au- 方法三假设数列{am}有最大项，且最大 an≥an-1, 项为第n项，则 am≥am+1y a+2)×(3)≥(+1x(g)， 即 a+2)×(3)≥(n+3)×(g), n≤6， 解得 即5≤n≤6. n≥5， 所以数列{an}有最大项，最大项为a5和 a6,且a5=a6= 76 题型5由前n项和Sm求通项公式 例13(2025·湖北武汉二中月考)已知 数列{a}的前n项和为S。=n2+2n十5，则数 列{an}的通项公式为an= g当%=1时，a=S=号： 当n≥2时a.=S.一S.1=(r+2+5) [(m-1)2+2(m-1)+5]=2m-2 又2X1-言昌≠a,所以载列a,}的道 13 2,n=1, 项公式为an= 1 2m-2n≥2. 1 2,n=1, [答案 2n-2n≥2. 注意利用an=Sn-S-1(n≥2)求出am 的表达式后，一定要验证a1是否符合该式. 第四章数列么出型 题型6数列概念的综合问题 1.周期数列的求和问题 例14(2025·浙江金华一中月考)定义 函数f(x)如下表所示，数列{an}满足am+1= f(an)(n∈N*),若a1=2,则a1十a2+a3+…+ a2020=( x 2 3 4 f(x) 3 4 6 2 A.7046 B.7062 C.7067 D.7266 解析因为a1=2,由表格及a+1=f(an)知， a2=f(a1)=f(2)=5,a3=f(a2)=f(5)=1, a4=f(a3)=f(1)=3,a5=f(a4)=f(3)=4, a6=f(a5)=f(4)=6,a=f(a6)=f(6)=2,…, 所以数列{an}是周期为6的周期数列. 由2020=336×6+4，得a+a2+ag+…+ a2020=336×(2+5+1+3+4+6)+2+5+ 1+3=7067. 答案C 2.有关数列的新定义问题 例15(2025·河北衡水中学单元检测) 若数列{am}满足：对任意的n∈N*,只有有限 个正整数m使得am<n成立，记这样的m的 个数为(an)*,则得到一个新数列{(an)*}.例 如，若数列{an}是1,2,3，…，n,…,则数列 {(am)*}是0,1,2，…，n一1，….已知对任意的 n∈N*,an=n2,则（a5)*= ((am)*)*= 解析，an=n2, ∴.(a5)*为满足am<5的m的个数. 又.a1=12=1<5,a2=22=4<5,a3= 32=9>5,.m=1或2..(a5)*=2. .数列{am}为1,4,9,16,25，…，(n-1)2, n2,…, 重难点手册高中数学选择性必修第二册 ∴.(a1)*=0,(a2)*=1,(g)*=1,(a4)*=1, (a5)*=2,…,(an2-1)*=n-1,(a2)*=n-1, (an2+1)*=n,… .数列{(an)*}为0,1,1,1,2,2,2,2,2，…， n-1,n-1,…,n-1,…. (2n-1)个 ∴.((a1)*)*=1,((a2)*)*=4=22, ((a3)*)*=9=32,…,(an)*)*=n2. 答案2；n2. 3.数学文化在数列中的体现问题 例16(2025·广东深圳中学单元检测) 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再 加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上 述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环 圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹 猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数6，根据 上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→ 2→1，共需要8个步骤变成1（简称为8步“雹 程”).现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已 知数列{an}满足a1=m(m为正整数)，an+1三 受a:为偶数， 当m=13时，要使得am= 3am+1,am为奇数， 1,需要 步“雹程”；若a=1,则m所有 可能的取值所构成的集合M=」 解析由递推公式得，当m=13时，有13→ 40-→20→10→5→16→8→4→2→1.即当m= 13时，要使得an=1,需要9步“雹程”. 当a7=1时，采用倒推法，逆向操作题中的 运算法则，可得数据如下表所示： 03一核心 考向分类 考向】数列通项公式的求解及应用 例17（经典·全国乙卷）嫦娥二号卫星 10 RUA(浙江专用) as a as ai 2 8 2 5 10 16 32 64 故m所有可能的取值为1,8,10,64，集合 M={1,8,10,64}. 答案9；{1,8,10,64}. 解题反思 近两年关于数学文化的考题频繁出现， 与数学文化有关的考题主要以数学史作为试 题背景，主要包括数学家生平故事、数学史事 件、数学名著、数学名题、数学发展的历史等 数学文化体现了数学的人文价值和科学价 值，在培养学生数学素养的教育过程中扮演 着重要角色 易错警示 ●易错题1（错误率25%）(2025·重庆 巴蜀中学月考)已知数列{an}满足a1a2a…a =n2(n∈N*),则an= ●易错题2（错误率30%）(2025·湖北 襄阳四中月考)已知数列{an}的通项公式为 an=n十tn,若数列{an}为递增数列，则t的 取值范围是 ●易错题3（错误率30%）(2025·辽宁 沈阳一中月考)已知数列{an}的前n项和为 Sm,且Sn=n2十1，则数列{an}的通项公式 an= 参考答案见《全书易错题集》第1页 素养聚焦一。 在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为 我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究 嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用