4.3.1 等比数列的概念-【重难点手册】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）浙江专用

重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 4.3 等比数列 4.3.1等比数列的概念 重点和难点 课标要求 1.通过生活中的实例理解等比数列的概念和通项公式 重点：等比数列的定义、通项公式以及它们的 的意义 应用 2.体会等比数列与指数函数型的关系. 难点：等比数列通项公式的推导与应用， 3.掌握等比数列的应用。 01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1等比数列的定义 同敲黑板 1.等比数列的定义 由于等比数列的每一项 般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 都可能作分母，故每一项都不 能为0，公比q也不能为0. 比都等于同一常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作 刀划重点 等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然q≠0）. (1)若一个数列不是从第 2.等比数列定义的递推式表达 2项起，而是从第3项或第n 此定义还可表述为在数列{an}中，若a士1=g(q≠0)，则数列 (n>3,n∈N)项起，每一项 an 与它前一项的比都是同一个 {an}是等比数列. 常数，则此数列不是等比 3.等比数列定义中两个关键词的理解 数列. (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.同时注意公比 (2)常数列都是等差数 是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒. 列，但不一定是等比数列.当 常数列各项都为0时，它就不 (2)定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把 是等比数列；当常数列各项不 “同”字省略，这是因为如果一个数列从第2项起，每一项与它的 为0时，它是等比数列. 前一项的比都是一个与n无关的常数，但是这些常数不相同，那 后敲黑板7 么此数列也不是等比数列.当且仅当这些常数相同时，数列才是 (1)同正或同负的两个数 等比数列 才有等比中项；两个数的等比中 知识点2等比中项 项有两个，且它们互为相反数 (2)一个等比数列从第2项 1.等比中项的概念 起，每一项（有穷数列末项除 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，那么 外)是它的前一项与后一项的 G叫作a与b的等比中项. 等比中项 38 第四章 数列宝出型 2.等比中项的数学表达式 (3)“G=ab”与“G是a与 若G是a,6的等比中项，则9-名，所以心=ab,即G b的等比中项”不等价.若a=0 或b=0,则G=0,02=0·b= 士√ab. a·0,但此时G不是a与b的 3.等比中项在判定等比数列中的功能 等比中项.若G是a与b的等 在等比数列{an}中，任取相邻的三项a-1,an,an+1,则an是 比中项，则G=ab. a+1与a,-1的等比中项.由此可得等比数列的第二种判定方 刀记方法7 法等比中项法，即判断“。=。2（≥2）是否成立。 (1)在已知首项a1和公比 q的前提下，利用通项公式可 4.等差中项与等比中项的区别 求出等比数列中的任意一项 (1)任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等 (2)在公式中，有am,a1, 比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项， q,n四个基本量，如果已知其 (2)任意两数的等差中项是唯一的，而若两数有等比中项，则 中的三个量可求出第四个量 等比中项有两个，且互为相反数. (3)可以利用通项公式来 知识点3等比数列的通项公式 判断数列是否为等比数列. (4)在记忆公式时，要注 1.等比数列的通项公式 意q的指数比项数小1这一 首项为a1,公比为q(q≠0)的等比数列{an}的通项公式为 特点。 an=aig"-1, 圆问题探究 2.等比数列通项公式的推导 如果一个数列{an》的通 (1)方法一（归纳法）由等比数列的定义可知，a2=a1q,a3= 项公式为am=aq,其中a,q a2q=a1q,a4=a3q=a1q,a5=a4q=a1q,…,归纳得an=a1g”-1 都是不为0的常数，那么这个 (n≥2). 数列是等比数列吗？ 当n=1时，上面的等式两边均为a1,所以等式也成立，因此 这个数列是等比数列.证 当n∈N*时，an=a1q-1成立.需要注意的是上述过程不是证明的 明如下： 过程，我们以后可以用数学归纳法来完成证明， 取数列{an}中的任意相 (2)方法二（累乘法）根据等比数列的定义可知，2=q,2=q, 邻两项an与a+1,作商得an+l an a &-4…,a2=4上述(a-1)个等武两边分别相采，得8- =ag"ti =q,由于a,q都是不 ag" 为0的常数，所以数列{an}是等 q-1,所以am=a1g”-1(n≥2).当n=1时等式也成立 比数列，其公比为q,首项为aq. (3)方法三（迭代法）因为数列{an}是等比数列，所以an= 从而，我们得到等比数列 am-1q=(am-2q)q=am-2q=(am-3q)q=…=a1q”-1(n≥2).当n= 的第三种判定方法—通项 1时等式也成立， 公式法.运用此方法时注意a, 3.等比数列通项公式的变形及应用 g都是不为0的常数 因为{an}是等比数列，所以an=a1q”-1,am=a1q"-1,所以 2=q,所以a.=ag 39 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) (1)在已知等比数列{am}中任一项am及公比g的前提下，可 以利用an=amg”m求等比数列中的任意一项am. (2)已知等比数列{an}中的am和an两项，就可以使用a= am gm求公比，其中m可大于n,也可小于n. 重难拓展 重难点】等比数列与指数型函数的关系 等比数列{a}的通项公式a=a91,还可f()=号g 同敲黑板 (5a 由等比数列的通项公式 以整理为a,一g·,当9>0且9≠1时，等比 a5---- 可知，公比影响数列各项的符 数列{an}的第n项an是函数f(x)=4·g(x∈ 号.当q>0时，等比数列各项 (4,a 的符号都相同；当q<0时，等 3,a3)/ R)当x=n时的函数值，即an=f(n)(如图所 a3b6- 比数列各项的符号正负交替 示).因此等比数列{an}的图象是函数f(x)= O12345x 号·g(∈RW)图象上的一些孤立的点。 P提个醒 与等差数列相比，等比数 例①(2025·湖北宜昌一中月考)在等比数列{am}中，公比 列的单调性要复杂得多， q<1,则等比数列{am}( P划重点 A.是递增数列 B.是递减数列 等比数列的单调性 C.是常数项 D.单调性不确定 已知等比数列{an}的首项 解析等比数列{（一1）"}的公比q=一1，满足q<1,它是摆 为a1,公比为q(a,q≠0)，则 动数列，不具有单调性；由公比q<1知，等比数列不可能为常数 条件 单调性 列等比数列{（侵）}，公比9=，是递减数列，而教列{-（侵）门}， a0或 g>1 数列{an}为递增 /a<0, 数列 公比q=2,是递增数列.故单纯由公比不能确定数列的单调性. 0<q<1 a>0, 答案D 或 (0<q1 数列{an〉为递减 重难点2等比数列的常用性质 |a<0, 数列 9>1 若数列{an}是公比为q的等比数列，由等比数列的定义可得 数列{an)为常数 等比数列具有如下性质： 9=1 列，不存在单调性 (1)an=amg"m(m,nEN*). 数列{an}为摆动 (2)若m十n=p十q,m,n,p,q∈N*,则amam=aag 数列（所有奇数项 (3)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则am,au,ap成等比 同号，所有偶数项 90 同号，但奇数项与 数列 偶数项异号)，不 (4)①数列{can}(c是不为0的常数)仍是公比为g的等比 存在单调性 数列； 40 第四章 教列么型 ②数列}是公比为2的等比数列； 司敲黑板 an 对于性质(2)，①若m十n= ③数列{an}是公比为g的等比数列； 2r,则anan=a2,m,n,r∈N; ④若数列{bn}是公比为g的等比数列，则数列{abn}是公比 ②a1an=a2a.-1=… 为qg的等比数列. aam+1-i=…(i=1,2,3,…,n); (5)在数列{an}中每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序 ③若m十n+t=p十r十 排列，所得数列仍为等比数列，且公比为g+1 S,则AmAna,=apa,a,其中m, (6)在数列{an}中，连续相邻k项的和（或积）构成公比为g n,t,p,r,s∈N*. (或d)的等比数列. (7)若数列{an}各项均为正数，则数列{logaan}(a>0且a≠ 1)是等差数列，且公差为logq. (8)若数列{bn}是等差数列，公差为d,则数列{c}是等比数 P提个醒7 列，且公比为c4(c为常数且c≠0). 在等比数列的有关运算 例②(2025·山东省实验中学单元检测)已知数列{an}是公 中，常常涉及次数较高的指数 比为2的等比数列，且各项均为正数，若a3a1=16,则a5= 运算，若按常规解法，建立1， (). q的关系进行运算会很麻烦， A.1 B.2 C.4 D.8 如果结合等比数列的性质，进 解析方法一由等比数列的性质知a号=a3a11=l6,所以 行整体变换，会起到化繁为简 a7=4.所以a5=a7g-7=4X2-2=1. 的效果 方法二由a3a11=16,得a1qa1q0=16,即a1×22=16,得 =2所以a=aX2=安×2=1. [答案A 口02一关健能力提升。 题型方法 得1-9=号，所以g=-司=-1，所以a 3 题型1等比数列的通项公式及其应用 1.由给定条件求等比数列的项 a=1x(-2}=-8 例B已知在等比数列{am}中，a1十a2= 合4-a=,则a4=( 答案A 2.由给定条件求有限等比数列的所求项 A-日 B C.-4 D.4 例④(2025·湖南雅礼中学月考)有四个 1 a1十a19=2' 数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数 解析由题意得 两式相除， 列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个 a-ag=3 4 数的和为18，则这四个数为 41 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 图指方法一设简三个数分别为号， 比为9：当四个教成等比数列时，可设为导，号 aq(q≠0)，则第四个数为2aq一a. aq,aq,此时公比为q.在解题中要特别注意， [a+(2aq-a)=21, 若四个数成公比为负数的等比数列，则不可如 由题意得9 a+aq=18, 此项，可设为号，日g,ad 解得9=2或9= 3.由给定条件求等比数列的通项公式 例5(2025·湖北武汉二中月考)已知数 当q=2时，a=6,这四个数为3,6,12,18； 列{an}是等比数列，其中a7=1,且a4,a5十1，a6 当=时=望这四个数为空军翠是 成等差数列，则数列{an}的通项公式为 方法二设后三个数分别为a一d,a,a十 d,则第一个数为a一) 解析设等比数列{an}的公比为q,由已知 a a=1,得an=aq-7=q-7. 由题意得 ra-d2+(a+d)=21, a 所以a4=q3,a5=q2,a6=q1. (a-d+a=l8, 由a4,a5十1，a6成等差数列，知q3十 32 q1=2(g2+1),即q1(q2+1)=2(g2+1), a=12, 4 解得 或 d=6 /d、9 从而g是 放速网个数为86,12.18或孕早名导 故a.=g=(2” 方法三设第一个数为a,则第四个数为 答案 a-(2》 21一a,设第二个数为b,则第三个数为18一b. 题型2等比数列的判定与证明 a(18-b)=b2, 由题意得 判定或证明一个数列{an}是等比数列的方 b+(21-a)=2(18-b), 法主要有：(1)定义法，即如果a中=q(n∈N*, an a=3, 4 解得 或 q为非零常数)，那么数列{an}是等比数列； b=6 645 (2)等比中项法，即要证明数列{an}是等比数 故这四个数为36,12,1因成平，卓7是 列，可以证a品+1=anan+2对任意n∈N*都成立， 但应注意这里an≠0；(3)通项公式法，即如果 36,1218或5，景 数列{an}的通项公式是an=a1q-1(n∈N*), 那么数列{am}是等比数列，但应注意这里a1≠ 点评解决已知三个数或四个数成等比 0且q≠0. 数列的问题，灵活地设项至关重要.一般地，当 注意]不能由仅有的数列的有限项成等比 三个数成等比数列时，可设为g,a,aq,此时公 数列而得出这个数列是等比数列，但要证明一 42 第四章教列出型 个数列不是等比数列，只要证存在连续三项不 (-1)(层a,-2mt14到=-号(-1)(a. 是等比数列即可. 1.由条件证明给定的代数式构成等比数列 3n+21)=- b 例6(2025·天津南开中学月考)已知a, b1=-(+18), b,c,d成等比数列，a+b,b十c,c十d均不为0， ∴.当入=一18时，b1=0,此时数列{b}不 证明：a十b,b十c,c+d成等比数列. 是等比数列； 国面由已知可设县-6=号-gg为常 当入≠-18时，61≠0，此时中1=一 bn 数且q≠0)， N*),数列{bn}是等比数列. ,a十b,b十c,c十d均不为0， 题型3等比数列性质的应用 牛后6是 1.经典问题1一性质(2)的应用 例8(2025·江西六校联考)已知等比数 故a十b,b十c,c十d成等比数列. 列{an}满足an>0,n=1,2,…,且a5a2m-5=22n 2.与等比数列的判定和证明有关的含参 (n≥3)，则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+ 问题 l0g2a2m-1=( ). 例7(2025·湖北黄冈中学调考)已知数 A.n(2n-1) B.(n+1)2 列{an}和{bn}满足a1=入，am+1= 3am+n-4, C.n2 D.(n-1)2 bn=(-1)"(am-3n十21)，其中入为常数，n为 解析因为aa2-1=3a2-3=a5a2m-5=…= 正整数 (an)2=22,所以1log2a1+log2ag十…十log2a2r-1 (1)证明：对任意实数λ，数列{an}不是等 =log2(aa3a2m-1)=log[(a1a2r-1)(aga2r-3）·…· 比数列； (a2m-1a1)]t=log22m2=n2. (2)试判断数列{bn}是否为等比数列. 答案C 解析()：a+1=专am十n一4且a1=入， 2 2.经典问题2—性质(6)的应用 例⑨(2025·湖北荆州中学期中)已知在 ∴a=号入-3，a=x-4 2、 奇数项均为正数的等比数列{an}中，aa2a3= 假设存在一个实数入，使数列{an}是等比 5,a7a8ag=10,则a4a5a6=(). 数列， A.5√2 B.7 则=aa,即（号x-3)=λ（片入-4，即 C.6 D.±52 解析由等比数列的性质知aa2a3,a4a5a6, 号2-4以十9=42-4以.∴9=0矛盾。 a7a8ag构成等比数列，所以(a1a2a)(aagg)= ∴.{an}不是等比数列， (a4a5a6)2,所以a4a5a6=a3=√5X10=士5√2. (2).bn=(-1)"(am-3n+21), 又因为奇数项为正数，所以a4a5a6=5√2. ∴.bn+1=(-1)+1[an+1-3(n+1)+21]= 答案A 43 重难包手细高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 题型4构造等比数列（或辅助数列）求数列的 答案-5×2m-1十3. 通项公式 2.已知f(am,Sm)=0,求am和Sn 1.已知递推关系式am+1=bam十c(b≠0， 解决此类问题的关键在于能灵活运用公 b≠1，c≠0)，求am· 式an=Sm-Sa-1. 由a+1=ba,+c→a1-1b=6a, 例1(2025·浙江一模)已知数列{an》 的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sm+1=2Sn十 Ib n十5(n∈N*),证明：数列{an+1}是等比数列. 证明，Sn+1=2Sn十n十5， 当a二6≠0时，数列{a二6是以 ∴.当n≥2时，Sn=2Sm-1十n+4. a1一1一b为首项，以6为公比的等比数列，即根 两式相减，得S+1一Sn=2(Sn一S-1)十 1,即am+1=2an+1, 据公式可求出数列a,一二6的通项公式，最 从而an+1+1=2(an+1)(n>2). 后可得a.的通项公式. 当n=1时，S2=2S1十6， .a1+a2=2a1+6. 硅意这里特别提醒二6的由来，如何恰 又a=5,∴.a2=11,满足42十1=2(a1十1). 好拼凑出口。户b这一等比数列，这里给大 故对于任意的n∈N,都有a+1十1= 2(am+1). 家介绍两种方法 (1)待定系数法 又a1=5,…a+1≠0，从而2+2 设an+1一λ=b(am-入)→an+1=ban十(1- ∴.数列{am十1}是以6为首项，2为公比的 b)λ. 等比数列. .a+1=ban十c,∴.(1-b)λ=c. 点评要证数列{an十1}是等比数列，只需 入=1-6 证0+1十1 a十T=常数（不为0），而a+1与a,只能从 (2)特征根法 Sn+1-Sn与Sn-Sn-1中产生. 令an+1与an都为x,由an+1=ban十c得 3.已知递推关系a+1=cam十d(cd≠0， x=bx十c,.x=1-6 c≠d),求an an+1=can十dm(cd≠0，c≠d)可转化为 例10(2025·西北工大附中单元检测) 已知数列{an}满足a1=一2，an+1=2an一3，则 am+1- 。产小或将道推关系式两 an 边同时除以d+1,或两边同时除以c+1,累加求 [解析由an+1=2an一3→an+1一3=2(an 通项公式 3).∴.数列{am一3}是以a1-3=-5为首项， 例巴已知在数列{a}中，a= 6,am+1= q=2为公比的等比数列..am一3=一5× 2m-1.∴.an=-5X2m-1十3. a.+(侵)，则数列{a)的通项公式a.- 44 第四章散列宝出 1+1=3≠0，.{bn}是以b=3为首项，9=3 铜令a1-A×(2)1=[a,-A× 为公比的等比数列..bn=3×3m-1=3” ∴.an=3m-n-1. （2)门，则a1=3a+×(侵》”. 答案3m-n-1. 由已知条件知1，得A=3, 题型5等比数列的创新应用问题 1.等比数列的实际应用问题 所以ar+1 3×侵》-43x门 例141979年，李政道博士在访问中国 又a-3×(2》'=-号0， 科技大学时，给少年班的同学提出了一个“猴 子分苹果”的趣题：海滩边五只猴子分一堆苹 所以{0，-3×(2)”}是首项为-号，公比 果，第一只猴子把苹果分成五等份，还多一个， 把多的一个扔到海里，取走一份；第二只猴子 为的等比数列。 把剩下的分成五等份，也多一个，把多的一个 于是a,-3x(份)”=号×(3)， 扔到海里，取走一份.剩下的三只猴子都是如 此处理，则最初至少有多少个苹果？最后至少 故a,=3×(2)°-2×(3）”： 剩下多少个苹果？ 蜜案3×(2°-2×（传）”： 解析设最初的苹果数为1，五只猴子分 剩的苹果数依次为a2,a3,a4,a5,a6,由题意得 4.已知递推关系an+1=can十An十B(c≠ 0,A≠0)，求a a1=a,-1-a,-10=-， an+1=can十An十B可转化为am+1十p(n十 不难得出a十4=a十0， 1)十q=c(an十n十q),p,q的值由待定系数法 确定 a.+4=(a+40(停》，m=123,4, 例13(2025·广东深圳中学月考)在数 5,6. ∴as=(a+4( °-4. 列{an}中，a1=1,a+1=3an+2n十1，则{an}的 通项公式an= 又a6是整数，∴.a1十4的最小值是55， 解析设am+1十A(n十1)十B=3(am十 即a1的最小值是55一4=3121， An+B),.a+1=3a.+2An+2B-A. 即最初至少有3121个苹果，从而最后至 2A=2, 少剩下a6=45-4=1020个苹果. 与原式比较系数得 2B-A=1, 2.与等比数列相关的创新问题 A=1, 例15（经典·江苏卷）已知数列{amn} 解得 B=1. (n∈N*)的首项a1=1,前n项和为Sm.设入与 .am+1+(n+1)+1=3(am+n+1). k是常数，若对一切正整数n,均有S+1一S= 令bn=an十n十1，则bn+1=3bn且b1=a1十a+1成立，则称此数列为“入~k”数列. 45 重难包手细高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) (1)若等差数列{an}是“λ~1”数列，求 因为am≥0，而a1=1, 入的值 所以S+1≥Sm>0, （2)若数列a.是-2”数列，且a.>0, 3[S+1一1. 3 國二1=入S 求数列{an}的通项公式. (3)对于给定的入，是否存在三个不同的数 令-，则1=1活1 列{an}为“入~3”数列，且an≥0？若存在，求 1),即(cm-1)3=3(c-1)(cm≥1).（￥) 入的取值范围；若不存在，请说明理由. ①若λ≤0或入=1，则()式只有一解为 解析(1)因为等差数列{an}是“入~1”数 cm=1,即符合条件的数列{am}只有一个，此时 数列{an}为1,0,0,0，… 列，所以Sn+1-Sn=an+1,即an+1=λan+1,所 ②若入>1，则(*)式化为(cm一1)· 以（入一1）an+1=0,此式对一切正整数n均 成立. (G++1)=a 若λ≠1，则a+1=0恒成立，故a3一a2=0. 而a2一a1=一1，这与{an}是等差数列矛盾. 固为6，≥1，所以后++1>0，则 所以λ=1. ()式只有一解为cm=1, 即符合条件的数列{an}只有一个，此时数 (2)因为数列{amEN)是2”数列， 3 列{am}为1,0,0,0，… 所以vS1-S-写a,即VS ⑧若011，则层号11=0的两 /5 根分别在(0,1)与(1，十∞)内， 则（￥）式有两个解，其中一个为1，另一个 因为an>0,所以S+1>Sm>0. 大于1，记此解为t,则S+1=Sm或Sm+1=tSm. 所以√袋-1-9√装-1 由于数列{S}由任何一项求其后一项均 3 S 有两种不同结果，所以这样的数列{S}有无数 令-么，则么一1=停服，即 多个，则对应的数列{an}有无数多个. 综上所述，存在三个各项均为非负的数列 (b.-1)2=3(%-1)(b>1). {an}为“λ~3”数列，的取值范围(0,1) 易错警示 郎得么=2，即、=2所以=4 Sn ◆易错题7（错误率30%）(2025·辽宁 所以数列{S}是公比为4的等比数列. 沈阳调研)已知等比数列{an}中的前三项为 因为S1=a1=1,所以Sm=4-1. a,2a十2,3a十3，则实数a的值为 1,n=1, ●易错题8（错误率25%）(2025·山东 则an= 3X4m-2,n≥2. 青岛二中月考)在等比数列{an}中，a3a4a6a7 (3)假设存在各项均为非负的数列{am》 =81,则a1ag的值为(). (n∈N*)为“λ~3”数列，则S京+1一S京=λa京+1， A.9 B.-9C.±9 D.18 即Sm+1-9Sn=λSm+1-S. 参考答案见《全书易错题集》第2页 46 第四章数列收 口03核心素养聚焦。 考向分类 (2)由(1)知log3am=n-1, 考向1等比数列的基本运算 故Sn=n(n-1) 2 例16（经典·全国I卷）设数列{an}是 由Sn十Snm+1=Sm+3得m(m-1)十(m十1)· 等比数列，且a1十a2十a3=1,a2十a3十a4=2, m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0. 则a6十a7十a8=(). 解得m=-1(舍去)，m=6. A.12 B.24 C.30 D.32 所以m=6. 解析设等比数列{am}的公比为q,所以 a2十as十a4=(a十a2+a3)9=g=2.由a1十 命题意图：考查等比数列的定义、通项公 a1+a2十a3a1+a2+a3 式，等差数列的前n项和公式以及运算求 a2十a3=a1(1+q+q)=a1(1+2+22)=1,解 解、逻辑思维等关键能力 真题探源：取材于教材第32页例5，考查 命题规律 得a1=7,所以a6十a,十as=a1(g+g十q) 了等比数列的一个性质—如果数列 {an}是各项均为正且公比为q的等比数 7×(2+2+2)=号×2×(1+2+2)=32. 列，那么数列{logia}是以log6q为公差的 等差数列 答案D 常考题型解答题难度系数0.55高考热度★★ 命题意图：考查等比数列的定义、通项公 核心素养 数学运算、逻辑推理 素养水平水平二 式、性质以及运算求解这一关键能力 真题探源：取材于教材第29页例1、第31页 考向2等比数列的判定及应用 命题规律[练习]第3题，都是给出具体的项或某些 例18（经典·全国Ⅱ卷）已知数列{an} 项之间的关系，利用等比数列的性质构建 相应的方程（组），通过解方程（组）得到相 和{bn}满足a1=1,b1=0,4am+1=3am一bn十4， 关的值（项） 4bn+1=3bn-am-4. 常考题型选填题难度系数0.55高考热度★★★ (1)证明：数列{an十bn}是等比数列，数列 核心素养 数学运算 素养水平水平二 {an一bn}是等差数列； 例17（经典·全国Ⅲ卷）设等比数列 (2)求数列{an}和{bn}的通项公式. {an}满足a1十a2=4,a-a1=8. 解析(1)由题意得4(an+1+b,n+1)=2(a十 (1)求数列{an}的通项公式； 6),即a1+b+1=号a,+6). (2)记S,为数列{log3an}的前n项和，若 因为a1十b1=1,所以数列{an十bn}是首项 Sm十Sm+1=Sm+3,求m. 解析（1)设数列{an}的公比为q,则am= 为1，公比为2的等比数列。 a1q-1. 由题意得4(an+1一bn+1)=4(an-bn)十8， 由已知得 a1十a19=4, 解得01， 即an+1-bn+1=an-bn十2. a1-a1=8,q=3. 又a1一b1=1,所以数列{am一bn}是首项为 所以数列{am}的通项公式为an=3"-1 1,公差为2的等差数列. 47