1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动-【重难点手册】2025-2026学年高中物理选择性必修第二册（人教版）浙江专用

第一章 安培力与洛伦兹力么出 第3节带电粒子在匀强磁场中的运动 重点和难点 课标要求 1,通过实验知道带电粒子沿着与磁场垂直的方向射入匀强磁场会做 重点：带电粒子在匀强磁场中运动的 圆周运动，圆周运动的半径与磁感应强度的大小和入射速度的大小有关 半径与周期 2.通过理论分析知道带电粒子沿着与磁场垂直的方向射入匀强磁 难点：带电粒子在匀强磁场中运动， 场会在磁场中做匀速圆周运动，并能用学过的知识推导出匀速圆周运动 的半径公式和周期公式 门01一必备知识梳理。 基础梳理 知识点1带电粒子在匀强磁场中的运动 1.演示装置 刀刘重点7 如图是洛伦兹力演示仪的结构图.励磁线圈能在两个线圈之 忽略重力的带电粒子在 间产生匀强磁场，磁场方向垂直于纸面.由电子枪发射的电子束 匀强磁场中只受到洛伦兹力 可以使玻璃泡内的稀薄气体发出辉光，从而显示出电子的径迹 的作用.洛伦兹力只改变粒子 励磁线圈 速度的方向，不改变粒子速度 (前后各一个) 的大小，所以粒子在匀强磁场 玻璃泡 中所受洛伦兹力的大小也不 电子枪 改变，加之洛伦兹力总与速度 方向垂直，正好起到了向心力 的作用.所以，沿着与磁场垂 2.演示结果 直的方向射入磁场的带电粒 (1)不加磁场时，电子束的径迹为直线。 子在匀强磁场中做匀速圆周 (2)加上匀强磁场时，令电子束沿着与磁场垂直的方向射入 运动，如图所示」 磁场，其径迹为圆。 ×u (3)保持出射电子的速度不变，磁感应强度越大，圆形径迹的 半径越小 F=quB ×0 ⊙+ (4)保持磁感应强度不变，出射电子的速度越大，圆形径迹的 半径越大 3.实验结论 (1)洛伦兹力总与带电粒子的速度方向垂直，不改变带电粒 子速度的大小，即洛伦兹力对带电粒子不做功. (2)沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子在匀强磁场 中做匀速圆周运动. 17 重难点手册高中物理选择性必修第二册)（浙江专用） 例①如图所示为电视显像管的俯视图，偏转线圈中没有通 入电流时，电子束打在荧光屏正中间的O点，通过改变线圈中的 [P拓视野 电流，可使得电子打到荧光屏上各点，则( 带电粒子的速度方向与 A.电子在偏转线圈中被加速 磁场有一夹角(0°<0<90) B.电子的偏转是因为电场力的电子枪 带电粒子以某一角度日 电子束 作用 射入匀强磁场中，粒子的速度 偏转线圈 荧光屏1 可分解为垂直于磁场方向的 C.若电子束打到A点，线圈区 /B 速度⑦1和平行于磁场方向的 域中有平行于纸面向下的磁场 速度v2,两个分运动分别是在 D.若电子束打到A点，线圈区域中有垂直于纸面向外的磁场 垂直于磁场方向以速度1做 解析偏转线圈通入电流时产生磁场，洛伦兹力不做功，电子 匀速圆周运动，在平行于磁场 在偏转线圈中不能被加速，A错误；电子的偏转是因为磁场力的 方向以速度v2做匀速直线运 作用，B错误；由左手定则，若电子束打到A点，线圈区域中有垂 动，粒子的运动轨迹为螺旋 线，如图所示 直于纸面向外的磁场，C错误，D正确. [答案D 知识点2带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 设质量为m、所带电荷量为q的带电粒子在匀强磁场中运 动，其速度方向与磁感线垂直，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆 卫划重点7 周运动，洛伦兹力起向心力作用. 1.轨道半径 1由公式一阳知，在白 根据牛顿第二定律并结合向心力公式qB=m”,得运动轨 强磁场中，做匀速圆周运动的 带电粒子，其轨道半径跟运动 道半径公式r=m兴 速率V成正比，与带电粒子的 gB 比荷旦成反比。 2.运动周期 m B代人可得 由周期与轨道半径之间的关系T=2”,将，= 2.由公式T=2知，在 gB 匀强磁场中，做匀速圆周运动 运动周期T=2 gB 的带电粒子，周期跟轨道半径 和运动速率均无关，而与比荷 例2(2025·浙江金华一中月考)如图 甲所示，一电荷量为q的带电粒子以速度 成反比 m 垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的有界 3.由公式w= 60 r 匀强磁场中，射出磁场时的速度方向与原来 下可 粒子的人射方向的夹角0=60°.求： 得角速度u=95 ,即角速度与 d m (1)带电粒子在磁场中运动的轨道半径r; 甲 比荷成正比. (2)带电粒子的电性和质量m; m 18 第一章 安培力与洛伦兹力么超 (3)带电粒子穿过磁场的时间t. 解析(1)粒子垂直射入匀强磁场中，只 受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，画出轨迹， 如图乙所示，由几何知识得轨迹的半径r= 60 ●● d 23 sin 603 d. d (2)由左手定则可知，带电粒子带正电 乙 由牛频第二定律得9B=m,解得m23B 3v (3)由几何知识得轨迹的周心角a一子故字过磁场的时间 23πd t= 9v 重难拓展 重难点1分析带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的相关 冒敲黑板 情况 1.只有当带电粒子以垂直 研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的相关情况，主 于磁场的方向射入匀强磁场 中时，带电粒子才能做匀速圆 要是研究“找圆心、定半径、算时间”等问题的解题方法和规律， 周运动，两个条件缺一不可. 1.圆心的确定 2.注意带电粒子的正、 带电粒子进人一个有界磁场后的轨迹是一段圆弧，如何确定 负，不要把带电粒子的绕行方 圆心是解题的关键.首先，有一个最基本的思维方法：圆心一定在 向弄错了. 与速度方向垂直的直线上. 在实际问题中，圆心位置的确定通常有以下两种基本方法： (1)已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作 垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨 道的圆心（如图甲所示，P为入射点，M为出射点） 卫记方法7 1.半径公式、周期公式： M 应用公式r-侣T-阳 gB 时，可根据q、B、m、v计算粒 分 子的轨迹半径、周期，也可根 (2)已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射 据粒子的轨迹半径或周期计 方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交 算磁感应强度、粒子的带电荷 点就是圆弧轨道的圆心（如图乙所示，P为人射点，M为出射点） 量、质量 19 重难点手册高中物理选择性必修第二册)（浙江专用） 2.半径的确定和计算 2.运动时间计算式1=2： 要确定运动半径大小，一般先作入射点、出射点对应的半径， 计算粒子的运动时间或已知 并作出相应的辅助三角形，然后利用三角函数求解半径大小.涉 粒子的运动时间计算轨迹所 及角度问题时，注意以下两个角度关系： 对圆心角或周期时，常用到 (1)如图所示，粒子速度的偏向角P等于 vP(偏向角) 回旋角α（圆心角），并等于弦AB与切线的夹 9r或t= A 角（弦切角0）的2倍，即p=a=20. (2)相对的弦切角0相等，与相邻的弦切角 0'互补，即0+0'=180°. 3.粒子在磁场中运动时间的确定 利用回旋角α（圆心角）与弦切角的关系，或者利用四边形的 内角和等于360计算圆心角的大小若。用角度表示，则1一360T: 若。用弧度表示，则1一T,可求出粒子在磁场中的运动时间1. 当一定时，弧长越长，圆心角越大，在磁场中运动的时间 越长 卫记方法7 当的大小变化时，圆心角大的运动时间长.并非弧长越长， 带电粒子在磁场中做圆周运动的 运动时间就越长 时间和转过圆心角的求解方法 4.几种典型的带电粒子在不同边界磁场中的运动情境 时间的利用周期 t= - (1)直线边界 ω2 两种 从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与 求法 利用半径 Or t= 边界的夹角相等，如图所示」 直接确定 转过 圆心角0 圆心角 利用弦 0=2a(或0 0的确 切角a 2x-2a） 定方法 利用偏 0=9 (2)平行边界 向角p 带电粒子在平行边界的匀强磁场中运动，轨迹如图甲所示 这种情况经常出现带电粒子恰好从磁场飞出（或恰好不飞出）的 临界问题.要寻找相关物理量的临界条件，总是先从轨迹入手，临 界轨迹有两种情况：一种是与磁场边界端点相交，如图乙所示；另 一种是与磁场边界相切，如图丙所示. 丙 20 第一章 安培力与洛伦花力么出 (3)圆形边界 在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子必沿半径方向射 出，如图所示. 例3如图甲所示，在坐标系Oxy平面 卫对点练 第一象限内有垂直于纸面向外的匀强磁场， B 两个带等量异种电荷的 一比荷为103C/kg的带电粒子从y轴上的 粒子分别以速度va和vb射 P点以速度v=4×104m/s沿着与y轴正方 甲 入匀强磁场，两粒子的入射方 向成45°角的方向射入匀强磁场，并恰好垂直 向与磁场边界的夹角分别为 于x轴射出磁场，已知OP=√2m.求： 60°和30°，磁场宽度为d,两 (1)匀强磁场的磁感应强度； 粒子同时由A点出发，同时 (2)粒子射出磁场位置的坐标； 到达B点，A、B连线垂直于 (3)粒子在磁场中运动的时间. 磁场边界，如图所示.则 (). 解析(1)粒子垂直于x轴射出，则粒子做圆周运动的圆心在 x轴上，轨迹图如图乙所示，设OP为a,由几何关系得cos45°=g R 60a )b× 309 A.a粒子带正电，b粒子 带负电 B.两粒子的轨道半径之 乙 比R。:Rb=3:1 粒子做圆周运动的半径为R=2,粒子在匀强磁场中运动， C.两粒子的质量之比 根据洛伦兹力提供向心力有qB=mR,解得磁感应强度B= ma:m6=2:1 D.两粒子的速率之比 2×10-4T. va:v6=1:4 (2)由几何关系得x=R十atan45°，代入数据得x=(2十√2)m [答案：C] =3.41m,粒子射出磁场位置的坐标为(3.41m,0). 3)粒子做圆周运动的周期T一水=8，粒子在磁场中 影过的圆心角9，粒子在磁场中运动的时间1T,代入 数据得t三X104S 21 重难点手册高中物理选择性必修第二册)（浙江专用） ]-02关键能力提升。一 题型1带电粒子在匀强磁场中的运动 做功，故C错误；电子甲经过x轴时与x轴垂 例①如图1所示，平面中有垂直于纸面 直，电子乙经过x轴时与x轴的夹角0=60°， 向里的匀强磁场，甲、乙两电子以不同的初速 不与x轴垂直，故D错误 度从a点沿x轴正方向进入匀强磁场，甲的初 答案B 速度为vo,乙的初速度为2vo,运动中甲电子经 题型2带电粒子在直线边界磁场中的运动 过b点，Oa=Ob,不计粒子重力.下列说法正 例②(2025·山东潍坊实 确的是( . 验中学高二月考)如图1所示， y A、C两点分别位于x轴和y轴 上，∠OCA=30°，OA的长度为 L.在△OCA区域内有垂直于可 A 图1 Oxy平面向里的匀强磁场.质 图1 量为m、电荷量为g的带正电粒子，从OA边 A.设乙电子经过x正半轴上一点c,则 的某点垂直于OA边入射时，恰好垂直于OC边 Oc=206 射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为to,不计 B.两电子的运动周期相同 粒子的重力. C.洛伦兹力对两电子做正功 (1)求磁场的磁感应强度大小； D.两电子经过x轴时，速度方向都与x轴 (2)若已知磁感应强度大小为B,改变粒 垂直 子从OA边垂直入射的位置，要使粒子经过磁 解机电子在磁场中做 场后仍从OA边射出，则粒子的最大入射速度 匀速圆周运动，洛伦兹力提 为多大？ 供向心力，由牛顿第二定律 解析(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动， 得Bu=m,解得r= 在时间t。内其速度方向改变了90°，故其周期 0 T=4to,设磁感应强度大小为B,粒子速度为 B配，由题意可知，乙的速度 m 图2 ,圆周运动的半径为r,由洛伦兹力公式和牛 领第二定律得mB=m,又口-2”，联立解 2 是甲的2倍，则r乙=2r甲，电子运动轨迹如图2 所示，由几何关系可知r元cos0十r甲=r乙，解 得B-梁 得cos0=2,0=60,0c=r元sin0=3rp< (2)如图2，由题给条件可 2Ob,故A错误；电子在磁场中做圆周运动的 知，该粒子在磁场区域中的轨 迹与AC和OC边相切时，粒子 周期T一8，与电子的速度无关，所以两电 的轨迹半径最大，此时粒子的 子的运动周期相同，故B正确；洛伦兹力方向 入射速度最大.设O'为圆孤的OO'Ax 图2 始终与电子速度方向垂直，洛伦兹力对电子不 圆心，圆孤的半径为r0,圆孤与 22 第一章安培力与洛伦兹力么型 AC相切于N点，由几何关系可知∠NO'A 子做圆周运动的半径R'= tan 30 =3r,又 ro 30,r十c08∠八N0A=L,设粒子最大入射速 gB,所以B'= R= B,粒子在磁场中运动 度大小为vm,由圆周运动规律有qumB ，联立解得u。 (2√3-3)gBL 所用时间t= 7-x2R3 m 6 ro 题型4带电粒子在交变磁场中的运动 题型3带电粒子在圆形边界磁场中的运动 例④如图甲所示，M、N为竖直放置彼此 例3在以坐标原点 平行的两块平板，板间距离为d,两板中央各有 O为圆心、半径为r的圆 一个小孔O、O正对，在两板间有垂直于纸面 形区域内，存在磁感应强 方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙 B Ox×Ax 度大小为B、方向垂直于 所示.有一群正离子在t=0时垂直于M板从 纸面向里的匀强磁场，如 小孔O射入磁场.已知正离子质量为、带电 图甲所示.一个不计重力 甲 荷量为q,正离子在磁场中做匀速圆周运动的 的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以 周期与磁感应强度变化的周期都为T。,不考虑 速度)沿x轴负方向射入磁场，它恰好从磁场 由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子 边界与y轴的交点C处沿y轴正方向飞出. 所受重力.求： (1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其 (1)磁感应强度B。的大小： 比荷是 (2)要使正离子从O'垂直于N板射出磁 场，正离子射入磁场时的速度。的可能值！ (2)若磁场的方向和所在空间范围不变， M N B 而磁感应强度的大小变为B',该粒子仍从A B 处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速 T。2T。 度方向相对于入射方向改变了60°角，则磁感 甲 应强度B'多大？此次粒子在磁场中运动所用 解析设垂直于纸面向里的磁场方向为正 时间t是多少？ 方向 解析(1)作出粒子 O (1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力 的运动轨迹（如图乙），利 30 R 有Boqvo= mvo 用左手定则可知，该粒子 R ,做匀速圆周运动的周期T。= 带负电荷.粒子由A点 2元R 由以上两式得磁感应强度B。-2π” 射入，由C点飞出，其速 9T。 (2)要使正离子从O'孔垂直于N板射出 度方向改变了90°，则粒 磁场，0的方向应如图丙所示 子轨迹半径R=r,又 M N gB=mR,则粒子的比荷g= m Br' (2)设粒子从D,点飞出磁场，因速度方向 改变了60°角，故孤AD所对圆心角为60°，粒 丙 23 重难点手册高中物理选择性必修第二册)（浙江专用） 两板之间正离子只运动一个周期即T。 sin a= 所以a=所以第一次穿过1 4=1 6 时，有R=;当两板之间正离子运动m个调期 磁场所用时间为t1= 2xm 即nT。时，有R=d（n=1,2,3,…).联立解 T=12XB19 1 tm 2π 6B19 An M N M P ×I×××u, 得正离子的速度的可能值为0= BogR O πd 2mT。(n=1,2,3,…). ××k 题型5带电粒子在磁场中运动的临界问题 例5如图甲所示，M、N、N M P 丙 P为很长的平行边界面，M、N (3)设粒子速度为⑦时，粒子在磁场Ⅱ中 与M、P间距分别为l1、l2,其 的轨迹恰好与P边界相切，轨迹如图丙所示. 间分别有磁感应强度为B1和 XXX B2的匀强磁场区，磁场I和Ⅱ ××× 由咖=m发可得R一R:-8由 ×××× 方向垂直于纸面向里，B1≠ ←→←- L1_9B1l1 图得sin0=R1 粒子在磁场Ⅱ中运动 B2,有一带正电粒子的电荷量 甲 qBl1+qB2l2 为q,质量为m,以某一初速度垂直于边界N 有R2-R2sin0=l2,解得o= m 及磁场方向射入M、N间的磁场区域.不计粒 题型6带电粒子在磁场中运动的多解问题 子的重力 例6(2025·湖南衡 M (1)要使粒子能穿过磁场I进入磁场Ⅱ， 阳八中高二期末)如图甲所 粒子的初速度。至少应为多少？ 示，在x轴上方有一匀强磁 (2)若粒子进入磁场I的初速度v1= 场，磁感应强度为B；x轴 2gB山，则粒子第一次穿过磁场I所用时间4 下方有一匀强电场，电场强 m 度为E.屏MN与y轴平行 甲 是多少？ 且相距L.一质量为m、电荷量为e的电子，在y (3)粒子初速度v为多少时，才可恰好穿 轴上某点A由静止释放，如果要使电子垂直打在 过两个磁场区域？ 屏MN上，那么： 解析(1)设粒子的初速度为V0时恰好能 (1)电子释放位置与原点O的距离、需满 进入磁场Ⅱ，则进入磁场Ⅱ时速度恰好沿M 足什么条件？ 边界，所以丰径为r=1,由B0,=加，解 (2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多 长时间？ 得u, B19L1 y 解析(1)如图乙所示， m 在电场中，电子从A到O,动 (2)粒子在磁场I中运动，则有B1q01 ,解得1=2弘.设粒子在磁场I中做句速 能增加eEs= 2mu6.在磁场A m 圆周运动（轨迹如图乙）对应的圆心角为α，则有 中，电子偏转半径为r=”0 当n=2时 eB 24 第-章安培力与洛伦兹力么出型 据题意，有(2十1)r=L,所以s= eL2B2 2Em(2n+1)2 的运动时间，t=(2n十1) 图++n,共中 N a (n=0,1,2,3,…). q- E ,T m 2,整理后得 e (2)在电场中匀变速直线运动的时间与在 BL 磁场中做部分圆周运动的时间之和为电子总 t= E +(2n+1D20gm=0,1,23,…)】 口03-核心泰养聚焦。 考向1带电粒子在电、磁组合场中的运动 D.粒子在区域Ⅱ内做圆周运动的圆心坐 例1(2025·山东卷)（多选）如图甲所示 标为0 的Oxy平面内，y轴右侧被直线x=3L分为 两个相邻的区域I、Ⅱ.区域I内充满匀强电 解析根据图甲粒子在区域Ⅰ的轨迹可 场，区域Ⅱ内充满垂直于Oxy平面的匀强磁 知，粒子在区域I内做类平抛运动，且加速度 场，电场和磁场的大小、方向均未知.t=0时 方向沿y轴正方向，由平抛运动规律可知y轴 刻，质量为m、电荷量为+g的粒子从O点沿x 方向有21.-)a6,由牛领第二定律有g吧 轴正方向出发，在Oxy平面内运动，在区域I 中的运动轨迹是以y轴为对称轴的抛物线的 ma,联立解得电场强度大小E=4ml】 ,方向沿 一部分.t。时刻粒子第一次到达两区域分界 y轴正方向，A正确；结合图乙和对称性可知， 面，在区域Ⅱ中运动的y-t图像为正弦曲线的 一部分，如图乙所示.不计粒子重力.下列说法 粒子在区域Ⅱ内做圆周运动的半径R= 3L,B 正确的是( 错误；由平抛运动规律可得粒子的初速度0= y y 10L 区域！ 区域Π L,对粒子在区战I中的运动过程，由动能定 to 21 2L 理有E·2L=2mo2-2mi,皓合A项分析 10 联立解得粒子在区域Ⅱ中的运动速度)=5L 甲 , A.区域I内电场强度大小E=4 ,方向 t8 由洛伦兹力提供向心力有qB=mR,结合B 沿y轴正方向 项分析联立解得区域Ⅱ内磁感应强度大小 B.粒子在区域Ⅱ内做圆周运动的半径 B=,3m,由图乙可知，粒子进入区城Ⅱ后向下 2qto R=20L 3 偏转，由左手定则可知，磁场的方向垂直于 Oxy平面向外，C错误；结合C项分析和图乙 C.区域Ⅱ内磁感应强度大小B= 3m 可知，粒子在区域Ⅱ内做圆周运动的圆心在 向垂直于Oxy平面向外 x轴上，设其坐标为(x0,0),由几何关系有(xo 25 重难点手册高中物理选择性必修第二册)（浙江专用） 3L)2+(2L)2=R2,解得xo= ，即圆心坐 17L 则粒子在PQ右侧区域的运动半径为 mvo 标为D正确 2gB 由于粒子能回到O点，则粒子的轨迹关于 答案AD MN的中垂线对称，设粒子在MN左侧区域运 命题意图 考查带电粒子在电、磁组合场中的运动 动轨迹的圆心为O1,在PQ右侧区域运动轨迹 核心素养 科学思维 素养水平水平4 的圆心为O2,作出粒子的运动轨迹如图乙所示 考向2带电粒子在直线边界磁场中的运动 M 例2(2025·湖北卷)如图甲所示，两平 行虚线MN、PQ间无磁场.MN左侧区域和 PQ右侧区域内均有垂直于纸面向外的匀强磁 场，磁感应强度大小分别为B和2B.一质量为 Uo N 乙 m、电荷量为q的带正电粒子从MN左侧O点 以大小为v。的初速度射出，方向平行于MN 3mvo 有上.已知O点到MN的距离为汤器敬子能 由几何关系可知s∠M0,0,=2B了 回到O点，并在纸面内做周期性运动.不计重 =2,则∠M010g=60 力，求： 对粒子在PQ右侧区域的运动，由几何关 M P 系可知，粒子第一次和第二次经过PQ时位置 的间距为s=2r3sin60°-Vy3m 2gB B NQ‘2B 为 ③)结合gwB=m?、T=r可知粒子在 0 (1)粒子在MN左侧区域中运动轨迹的半径. MN左侧区域、PQ右侧区域做匀速圆周运动 (2)粒子在第一次和第二次经过PQ时位 的周期分别为T1= 置的间距 器 πm (3)粒子的运动周期. 由(1)问可知粒子在MN左侧区域、PQ 右侧区域运动轨迹所对的圆心角分别为01= 解析(1)粒子在MN左侧区域中运动 360°-2×60°=240°，02=2×60°=120°， 时，由洛伦兹力提供向心力有g0B=m厂， 则一个周期内粒子在磁场区域运动的时 解得粒子在MN左侧区域中运动的半径 间为1-品r,十品T:- muo r1= 9B· 由三角形相似可知粒子一次在MN、PQ (2)粒子在PQ右侧区域运动时，由洛伦 间运动的距离为x=71tan60°_V3mug 2 兹力提供向心力有90·2B=mr, 2gB’ 则一个周期内粒子在MN、PQ间运动的 26