7.2 万有引力定律-【重难点手册】2025-2026学年高中物理必修第二册（人教版）

重难点手册高中物理必修第二册R， 第2节 万有引力定律 重点和难点 课标要求 1.知道万有引力存在于任意两个物体之间，知道其表达式和 适用范围」 重点：利用开普勒第三定律和向心力公 2.理解万有引力定律的推导过程，认识在科学规律发现 式推导太阳对行星的引力，理解 过程中大胆猜想与严格求证的重要性。 万有引力定律. 3.知道万有引力定律的发现使地球上的重物下落与天体 难点：天体运动的分析与计算，重力加 运动完成了人类认识上的统一. 速度的基本计算方法。 4.会用万有引力定律解决简单的引力计算问题.知道万 有引力定律公式中r的物理意义，了解引力常量G的测定在 科学史上的重大意义 必备知识梳理 1001111101001101010101011011111011010101100111111111101001100011 基础梳理 知识点（①行星与太阳间的引力 1.两个理想化模型 (1)将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动： (2)将天体看成质点，且质量集中在球心上。 建立理想化模型 2.太阳对行星的引力 设行星质量为，速度为v,行星到太阳的距离为r,则行星绕 敲黑板⊙ 太阳做匀速圆周运动的向心力F=m0! ① 在研究太阳对行星的引力 时，k是一个与太阳质量有关的 天文观测难以直接得到行星的速度，但可以得到行星的公 常量，对于不同的行星，行星质 2πr 量虽不同，但4π2k是定值. 转周期T,它们之间的关系是o= T· ② 由①②式得F=4πmr T2. ③ 由开普勒第三定律得T”= ④ 由③④式得r=4x,→ 结论：太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星 和太阳间的距离的二次方成反比，即下o?. 80 第七章万有引力与宇宙航行通 3.行星对太阳的引力 根据力的相互性，行星对太阳也应该有吸引力的作用.从这个 角度来说，太阳与行星的地位相同，行星对太阳的引力大小也应与 太阳的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即F' ,2(M为太阳的质量). 4.由牛顿第三定律知，太阳对行星的引力F与行星对太阳的 引力F'大小相等.即P心c,写成等式就是F-G武中G 的大小与太阳、行星都没有关系.太阳与行星间引力的方向沿着二 者中心的连线，指向施力物体。 知识点2月一地检验 1.牛顿的思考 (1)地球绕太阳运动，月球绕地球运动，它们之间的作用力是 同一种性质的力吗？这种力与地球对树上苹果的吸引力也是同一 种性质的力吗？ (2)日、地间引力与月、地间引力以及物体与地球间的引力是 拓视野⊙ 同一种力，其大小都可由公式FG计算 月一地检验的意义 月一地检验的成功不仅证 2.月一地检验◆拓视野 明了牛顿万有引力定律的正确 (1)理论分析 性，而且推动了科学思想的进一 步解放，使得科学家们能够更加 设地球半径为R,地球与月球间距离为x, 自信地将这一规律应用于更广 对月一地系统有 泛的自然现象研究之中，此外 Gm地m月 2 mR月 这一检验还表明，自然界中的基 R 已知r=60R a月 g=9.8m/s2 本力（如引力和电磁力）可能是 对物一地系统有 2.7×10-3m/s2 Gm地m物=mg 统一的，这为后来的物理学研 理论数据 R 究，尤其是爱因斯坦的广义相对 (2)实际观测 论的提出和发展奠定了基础.因 并且月球绕地球的运动视为匀速圆周运动 此，月一地检验不仅是物理学历 月球绕地球运动的 月球运动的向心加速 史上的一个重要里程碑，也是人 周期T=27.3天 与理论分析 类对自然界基本规律理解的 地球与月球间距离 度1紫27X 结果一致 103m/s2 大进步 r=3.8×108m 根据观测数据所得结果 3.检验的结果 地面物体所受地球的引力，月球所受地球的引力，与太阳、行 星间的引力，是同一种性质的力，都遵循相同的规律， 81 重难点手册高中物理必修第二册R 知识点(3万有引力定律 1.内容 拓视野⊙ 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连 万有引力公式应用的拓展 线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们 当物体不能被看成质点时， 利用微元的思想可以把物体假 之间距离x的二次方成反比， 想分割成无数个质点，求出某一 2.公式 +比例系数，叫作引力常量 个物体上每一个质点与另一个 mim2 F=G 物体上所有质点间的万有引力， r21 然后求合力（高中很少涉及）. 3.万有引力定律的适用条件 (1)严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用， (2)两个质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用该定律来 防易错河 计算，其中r是两个球体球心间的距离， 根据数学知识，公式F (3)一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力，该定律也适 Gmm2中，趋近于0时，引力 2 用，其中x为球心到质点间的距离. F趋于无穷大，这个结论正确 (4)当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可看 吗？ 成质点，直接使用公式计算.◆拓视野 这个结论是错误的，因为当 4.对万有引力定律的理解~防易错 物体间的距离r趋近于0时，物 体不可以被看成质点，不能直接 “四性” 内容 用公式F=Gm1m2计算物体间 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两 r2 普遍性 个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力 的引力，注意不能直接运用公式 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总 进行纯数学计算而违背物理事实 相互性 是大小相等、方向相反、作用在两个物体上 在地面上的一般物体之间，由于质量比较小，物体间的万有引力比 宏观性较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天 划重点 体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用 卡文迪什扭秤原理 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距离 如图所示，卡文迪什扭秤是 特殊性 有关，而与所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关 利用大球和小球间的引力产生 力矩，使T形架转动，T形架转 知识点(4引力常量 动带动平面镜转动，使在平面镜 1.卡文迪什测定了G值 上反射的光线发生偏转.扭秤微 牛顿提出万有引力定律一百多年之后的1798年，英国物理学 小偏转，反射光点却移动了较大 家卡文迪什在实验室里通过扭秤装置（见右栏），比较精确地测出 的距离，从刻度尺上读出光点偏 移的距离进而计算偏转角度，从 了G值，通常取G=6.67×10-11N·m2/kg2.划重点 而求出大球和小球间的万有引 2.引力常量测定的意义 (1)卡文迪什实验对引力常量测定，证实了万有引力的存在及 力，利用P=6计年出公 万有引力定律的正确性. 式中的常量G 82 第七章万有引力与宇宙航行通 (2)引力常量的测定使万有引力定律能进行定量计算，显示出 0光源 真正的实用价值， 刻度尺 (3)扭秤实验巧妙地利用“光杠杆”使微小量放大，开创了测量 弱力的新时代 (4)引力常量G的测定表明，物理规律的发现需要理论上的 推理和实验的反复验证才能完成. 重难拓展 重难点(1 万有引力的计算 1,在应用F=G进行计算时，需要注意： (1)两物体可视为质点，或者两物体是匀质球（可视为在球心 划重点倒 处的质点) 证明推论二，利用割补法的 (2)r是指两质点之间的距离. 思想，把匀质球体看成一个半径 2.当物体间的作用力不符合万有引力的适用条件时，可采用 为r的球和厚度为R一r的球 壳两个部分」 以下方法： 证明如图所示，设匀质球 (1)如果能填补符合万有引力使用条件的情况，可以采用填补 体的质量为M,半径为R;其内 法进行等效计算。 部半径为的匀质球体的质量 (2)若不能填补，则可以使用微元法一把物体分成若干部 为M',与球心相距r处的质，点 m受到的万有引力可以视为厚 分，求出每部分之间的万有引力，然后求它们的合力.这种方法是 度为R一r的匀质球层和半径 “分割求和”的思想方法，但此处的“和”是矢量和. 为r的匀质球体的引力的合力. 3.万有引力定律的两个重要推论 由于匀质球层对质点的引力为 推论一：在匀质球层的空腔内的任意位置处，质点受到球壳万 0,所以质点受到的万有引力就 等于半径为r的匀质球体的引 有引力的合力为0，即∑F=0. 力，则 推论二：在匀质球体内部距离球心？处，质点受到的万有引力 F=GM'm 等于半径为r的球体对质点的引力，即F'=GMm.+重 r2 证明推论一，可采用微元法思想，把球壳分成若干部分，求出 每部分对质点的引力，然后再求F合，证明F合=0. 证明如图所示，一个匀质球层可以等效为由许多厚度可以 不计的匀质球壳组成.任取一个球壳，设球壳内有一质量为m的 质点，某时刻该质点在P(任意位置)处，以质点(m)所在位置P 为顶点，作两个底面积足够小的对顶圆锥.这时，两圆锥底面不仅 可以视为平面，还可以视为质点。 83 重难点手册高中物理必修第二册R小 △m,=πRp △Fr △F2×r2 △m2=πR0 设空腔内质点到两圆锥底面中心的距离分别为r1、r2,两 圆锥底面的半径分别为R1、R2,底面密度均为ρ.根据万有引力定 律，两圆锥底面对质点的引力可以表示为 △F1=G4m 元Ripm G r r △F2=G4m2m GR0m r号 r 根据相似三角形对应边成比例，有 1_R2 记方法回 r1 r2 割补法的基本思路 则两个万有引力之比为 1二1. 1.找到原来物体所受的万 F2 有引力、割去部分所受的万有引 因为两引力方向相反，所以引力的合力△F1十△F2=0.依此 力、剩余部分所受的万有引力之 类推，球壳上其他任意两对应部分对质点的合引力为0，整个球壳 间的关系 对质点的合引力为0，故由球壳组成的球层对质点的合引力也为 2.若割去的部分为规则球 体，剩余部分不再为球体时适合 0,即∑F=0.◆记方法。 应用割补法；若所割去部分不是 例①(2025·山东日照一中阶段练习)如图所示，有一质量为 规则球体，则不适合应用割补法、 M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一 质量为m的质点.现从M中挖去半径为)R的球体，则剩余部分 对m的万有引力为( M R A. GMm B.14GMm C.GMm D.7GMm 4R2 63R2 18R2 36R2 解析根据题意，由万有引力公式F=GM可得，未挖去之前，球体和 质点间的引力为F=一三，挖去部分球体和质点间的引力为 (2R)2 GM'm F2=- g”,由公式M=pV及V4 (2R+R) 1 3R3可得M=1 M, 8 则有E,R余部分对m的万有引力为F=E一F,7GM血 36R2 答案D 84 第七章万有引力与宇宙航行通 重难点(2重力与万有引力的区别和联系 1.万有引力与重力 划重点 由于地球在不停地自转，地球上的由图可知，重力不一定指向地心 1.由mg=GM, R2,化简得 物体随地球一起绕地轴做匀速圆周运 gR2=GM.gR2=GM通常叫作 动.地球表面上的物体所受的万有引力 黄金代换式，适用于任何天体， F引可以分解成物体随地球自转做匀速 主要用于某星体的质量M未知 圆周运动的向心力F向（方向指向地轴的 的情况下，用该星体的半径R和 某一点)和所受的重力mg,其中，F引三 表面的“重力加速度g”代换M. 2.重力是万有引力的一个 G冷？，F向=rw2,重力只是万有引力 分力，故受力分析时不能重复分 F钩<mg 析，即分析万有引力时就不必再 的一个分力.万有引力F引、重力mg和物体由于自转所需要的向 分析重力， 心力F向，三个力的关系如图所示.◆划重点 3.对相对于地面的运动，通 (1)物体在一般位置（不在赤道和两极）时，F向=mrw2,F向、 常只分析重力；对随地球的自转 F引、mg不在一条直线上. 运动或卫星问题只分析万有 (2)当物体在赤道上时，F向达到最大值F向mx,且F向max= 引力. mRw,此时重力有最小值，为F引一F白=G -mRo. (3)当物体在两极时，F向=0，mg=F,重力达到最大值，最 拓视野⊙ 赤道和两极上的物体受到 大值为G 尺，可见只有在两极时，重力等于万有引力，在其他位 的万有引力与重力分别有什么 关系？ 置时重力均小于万有引力.◆拓视野为 分析：在赤道上的物体受到 2.忽略地球自转影响，地球表面的重力等于万有引力 地球的万有引力一方面提供物 物体随地球转动时，所需向心力F'=w2r很小，在一般计算 体的重力，另一方面提供物体随 GM ,可认为万有引力等于重力，即GR”=mg,gR2,因此g 着地球自转的向心力，即GMm r2 是由星球质量和物体所处位置决定的，与物体质量无关 mg+m 4π2 .在两极上的物 例②已知地球的质量约为M=6.0×104kg,地球半径为 体不随地球自转，故万有引力提 R=6370km,地球表面的重力加速度g=9.8m/s2,引力常量 供重力，即Gm r2 mg G=6.67×10-11N·m2/kg2. (1)地球表面一质量为m=10kg的物体受到的重力G1是多少？ (2)地球表面一质量为m=10kg的物体受到的万有引力是 多少（保留一位小数）？ (3)比较同一个物体在地球表面所受的重力和万有引力，能得 出什么结论？ 解析(1)地球表面一质量为m=10kg的物体受到的重力为G1=mg =98N. 85 重难点手册高中物理必修第二册R， (2)地球表面一质量为m=10kg的物体受到的万有引力为F=G R2 =98.6N. (3)比较同一个物体在地球表面所受的重力和万有引力，得出万有引力 比重力略大一些，万有引力的一个分力提供了物体随地球做圆周运动所需的 向心力，另一个分力才是物体所受的重力. 培优突破 突破点①地球重力加速度g的计算 假设地球是质量分布均匀的球体，密度为ρ，质量为M,半径 拓视野⊙ 为R.◆扬视野为 假设地球是一个半径为R、 物体在地球表面 卫星距地面一定 质量分布均匀的实心球体，球心 物体距离地面深度h2 (近地卫星) 高度h1 为O,距球心O为r处的重力加 速度g随r变化的曲线如图 R R R 所示 h Oh, GM'm GMm mg2= → (R-h2)2,M=p· (R+h1)2 R Mm GM GM 3R,M'=p·3π(R mg=G R2 →g= R2 81= (R+h1)2, 其表达式为： GM 则， R2 h:),解得g:=R(R &-G r(0≤r<R), (R+h1)2 h,),则=R-b2 R 8-GM (r≥R). 例1(2025·安徽芜湖一中期中)如 地球表面处的重力加速度 图甲所示，质量分布均匀的球壳，对其内 最大，天值为81 部任意一点的万有引力为0.如图乙所示， 将地球视为质量分布均匀的球体，从地表 往地心挖一条很窄的矿井，从井口静止释放一物块.忽略一切摩擦 和地球的自转，从地表到地心，物块的速度一时间图像或加速度一 时间图像大致正确的是( 86 第七章万有引力与宇宙航行通 解析设地球的密度为ρ，当物块到地心的距离为x时，受到的万有引 、力为F=GMr,其中M三P·3πx°，解得F=2相， 4 ,根据牛顿第二定 3 律，可得加速度为a= F40G m 3 二x,因x越来越小，所以加速度a越来越小； Q1图像针率之-4rC.g-4C,因物块向地心下落，速率越来越大， △t 3 故a-t图像斜率增大，故A错误，B正确；速度一时间图像的斜率是加速度， 由以上分析可知，加速度越来越小，故C、D错误 答案B MIMTI 关键能力提升 III 题型（①对万有引力定律的理解与计算 ( 例1甲、乙两个质 量均为M的球分别位 于半圆环和三圆环的圆 甲 心，半圆环和圆环分别是由相同的圆环截去 2 A. B.√3F C F 和时所得，环的粗细忽略不计者图甲中环对 题型（②天体重力加速度的计算 球的万有引力为F,则图乙中环对球的万有引 例2“天问一号”是中国首个火星探测 力大小为( 器，其名称来源于我国著名爱国主义诗人屈原 的长诗《天问》.在“天问一号”环绕火星做匀速 B② 圆周运动时，周期为T,轨道半径为r,已知火 解析图甲中半圆环对球的万有引力为F,可知 星的半径为R,引力常量为G,不考虑火星的 园环对球的引力大小为号F,特因乙中的国环分 自转，求： (1)火星的质量M. 成三个}国环，关于圆心对称的两个}圆环对球的万 (2)火星表面的重力加速度g的大小 解析(1)设“天问一号”的质量为m,引力提供向 有引力的合力为0，故图乙中圆环对球的万有引力大 小等于 F,故B正确 心力有G-m停}得M= GT2· (2)忽略火星自转，火星表面质量为m'的物体， 答案B 变式①如图甲所示，一个可视为质点的 美所定引力学于力，有。-得一统 小球放在半圆环的圆心，此时圆环与小球间的 变式②我国发射的“天问一号”火星探测 器已成功成为我国第一颗人造火星卫星，将对 万有引力大小为F;若将半圆环截去了，如图 火星的地貌和环境进行探测.设想某一天一位 乙，则小球与剩下圆环间的万有引力大小为质量m=60kg的宇航员到达一颗行星上探 87 重难点手册高中物理必修第二册RJ。 测，经过前期研究，已测得该行星质量为M一 设该星球自转的角速度增加到wz,“赤道”上的物 8×1023kg,半径R=4000km,引力常量G= 体自动飘起来，是指地面与物体间没有相互作用力， 6.67×10-1N·m2/kg2,求： 物体受到星球的万有引力全部用来提供其随星球自 转的向心力， (1)该宇航员在行星上受到的万有引力 大小 则Ghm R2 =moR, ④ (2)该行星表面的重力加速度大小（忽略 2π .2π 又w,-无w=子 ⑤ 行星的自转，计算结果保留一位有效数字). 联立方程①②③④⑤， 题型(3万有引力与重力的关系 解得T=6h≈1,9h 例③某星球“一天”的时间是T=6h,用 √10 弹簧测力计在星球的“赤道”上比在“两极”处 即“赤道”上的物体自动飘起来时，星球的“一天” 测同一物体的重力时读数小10%.设想该星球 是1.9h 自转的角速度加快，“赤道”上的物体会自动飘 ®3火星的质量约为地球质量的司， 起来，这时星球的“一天”是多少小时？ 解析该物体在星球的“赤道”上的重力为G1,在 半径约为地球半径的？，公转轨道半径约为地 “两极”处的重力为G2: 在“赤道”处.G-G,=maR, 球公转轨道半径的2求： R2 ① (1)同一物体在火星表面与在地球表面受 在“两极”处： GMm R2 =G2 ② 到的引力大小的比值. 依题表得1-合号×10%=10%， (2)火星的公转周期（计算结果可用根号 ③ 表示). 核心素养聚焦 考向(1 对万有引力定律和开普勒第三 解析由题意可知该小行星轨道的半长轴为地球 定律的综合考查 到太阳距离的6倍，由开普勒第三定律可知小行里 例①(2025·广东卷)一颗绕太阳运行的 T品行星 小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离 T ,其中a小行星为小行星轨道的半长轴，可得T小行星 分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍.关于 该小行星，下列说法正确的是( @里T≈14.7年，A错误；从远日点到近日点， A.公转周期约为6年 该小行星到太阳的距离逐渐减小，由万有引力定律 B.从远日点到近日点所受太阳引力大小 逐渐减小 GMm可知从远日点到近日点，该小行星所受太 F引= r C.从远日点到近日点线速度大小逐渐减小 阳引力大小逐渐增大，B错误；从远日，点到近日点，该 D.在近日点加速度大小约为地球公转加 小行星到太阳的距离逐渐减小，由开普勒第二定律可 知当小行星离太阳较近的时候，运行的速度较大，而 速度的务 离太阳较远的时候速度较小，因此从远日点到近日 88 第七章万有引力与宇宙航行 点，该小行星的线速度大小逐渐增大，C错误；由万有 答案C 引力定律F,-G和牛频第二定律F1=ma可得 考查内容 核心素养 试题难度 月一地检验 科学思维 ★★☆☆☆ GM a ,产，由于该小行星的轨道近日点到太阳的距离约 考向3万有引力定律的应用 为地球到太阳距离的5倍，则该小行星在近日点的加 例3(2024·全国甲卷)2024年5月，嫦 速度大小约为地球公转加速度的5D正确 娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月 答案D 球背面采样返回之旅.将采得的样品带回地 考查内容 核心素养 试题难度 球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转 开普勒定律、万有引力定律 科学思维 ★★☆☆☆ 移等过程.月球表面自由落体加速度约为地球 考向②月一地检验 表面自由落体加速度的合下列说法正确的是 例2(2023·山东卷)牛顿认为物体落地 ( ). 是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与 A.在环月飞行时，样品所受合力为0 天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性 B.若将样品放置在月球正面，它对月球表 质，且都满足Fc加，卫知地月之间的距离， 面压力等于0 C.样品在不同过程中受到的引力不同，所 大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加 以质量也不同 速度为g,根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的 D.样品放置在月球背面时对月球的压力， 周期为( 比放置在地球表面时对地球的压力小 A.30x 解析在环月飞行时，样品所受合力为万有引力， g B.30π7 不为0，A错误；若将样品放置在月球正面，由牛顿第 C.120g 三定律可知，它对月球表面的压力等于其所受重力， D.120π B错误；由万有引力定律知，样品在不同过程中到月心 解析地球与月球的引力性质和地球表面的物体 的距离不同，故受到的万有引力不同，但是质量不变， 因引力而产生的重力性质相同，且满足F0,很定 C错误；样品放置在天体表面时对天体的压力等于其 所受重力，由题意知，月球表面自由落体加速度小于 系数为>0)，则F=对地球表西附近的物 地球表面自由落体加速度，则由牛顿第三定律可知， 样品放置在月球背面时对月球的压力比放置在地球 体，有 Mmo R2 =mog(R是地球半径)；对月球绕地球 表面时对地球的压力小，D正确. 的运动，有k-m 答案D r,又r=60R,联立解得月 T 考查内容 核心素养 试题难度 球绕地球公转的周期T=120π√ 工，C正确 万有引力定律 科学思维 ★★★☆☆ 89