8.3 简单几何体的表面积与体积-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习册（人教A版）

又S原图=2√2S△ABC直戏图=2√2XW2=4,.△ACD在原 1 三角形的对应三角形的面积=2S图=2.] D的中点位置不攻变 2.6√2.[如图，过C'作C'D'∥y轴，则∠C'D'B=45°.：B C'与x轴垂直，且B'C=3,∴.C'D'=3√2.根据斜二测画 法可知，△ABC的边AB上的高为2C'D'=6√2.] C X45 D'O A B 8.3简单几何体的表面积与体积 变式训练 [变式1]B[号×3×(92+7+9×7)=193(cm).] [变式2]B[设球、正四面体和正方体的体积都为V.若球的 半径为R,则V-音R,可得其表面积S,=R2- 36v,若正四面体的棱长为m,则V=?·4m2.6 3 -侣m,可得m-62V,所以其表面积S=4X9m √3m2=W216√3V2.若正方体的棱长为a,可得V=a3,所以 正方体的表面积S3=6a2=6V?,可得S1<S3<S2,即 S球<S正方体<S正四面体，] 基础过关练 1.A[设底面半径为，母线长为1，则有2r=L,r=2S侧 =.S=+22=+x·0-(1+安动)，所以S Sm=(1+家)2：2=(2x+1D:2元] 2A[因为底面边长为a,所以斜高为号，放5a=3×2a× 号寻。前$9，放S3] 3A[因为半径为6m的球的体积为V=兰x×6,所以小石 子的活动范围的体积V= 4 =4×3rX63=72x(cm), 故A正确.] 小石于的活动范围是一个四分之一球 4号，1.[设圆能的底面半径为r,球的半径为R,因为圆锥 的轴截面为正三角形，所以圆锥的高h=√3r,母线l=2r. 由题意可知A-2R,所以R-受。所以圆维的体积为Y 合×X户)X5,-,球的体积为-号成 ,所以的=导风催的表面积S=十=8m, =1.] 球的表面积S2=4R2=3m2,所以S, 5.2.[令S球1=4元R2,S球2=4πr2, 由题可知4元R2一4πr2=48π， ① 又2元R+2r=12π， ② ①÷②，得R-r=2.] 综合提能练 1.B[△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，EF∥ AB,∴.侧面ABFE,CDEF是等腰梯形，且两个等腰梯形 全等，易得等腰梯形的高为√3， S元=Sag=分×2+0X5=35. 又：SAc=Sue-X2=月，Sem=4X2=8, .几何体的表面积S=3√5×2+√3×2+8=8+8√3.] 2.C[设球O的半径为R,此时V三棱锥oAc=V三棱维cAOB= ×宁×R×R=R=36,部得R=6放球0的表面积 S=4元R2=144π.] 当OC为三棱锥O-ABC的高时，三棱 锥O-ABC的体积最大 3.BCD [选项正误 原因 A 截角四面体由4个边长为1的正三角形、4个边 长为1的正六边形构成，故该截角四面体一共有 B 8个面，18条棱 边长为1的正三角形的面积S=号×1X1×号 √3 1 ,边长为1的正六边形的面积S=6×2× C 1×13-33故该截角四面体的表面积为S =4x5+4×3y5=7w5 4 2 设棱长为1的正四面体的高为h,则h √P-(号×）-利用等体积法可得该 0 裁角四面体的体积为V-专×号×3×3× 1 1 3 23=12 4.BCD[对于A,依题意，得棱切球的半径为√2，则球O的体 积为膏xX)-8匠，A错误对于B,记球0的内接圆 4 27 柱的底面半径为r,则内接圆柱的高为√(2√2)2一(2)2= √8-4r2,则内接圆柱的侧面积S=2πr·√8-4r2= r2+2-x2 4π√r2·(2-r2)≤4π· 2 =4π，故球O的内接圆 当)=1时等号成立 柱的侧面积的最大值为4π，B正确.对于C,球O在正方体 外部的体积小于球O的体积与正方体内切球的体积之差， 即8V-经×1=专(2E-1Dm,C正确对于D,球0在 3 正方体外部的面积等于正方体外6个球冠的表面积，每一个 球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积，则内接圆 锥的底面半径为1，高为√2一1，则内接圆锥的母线长为 √12+（√2-1）2=√4一2√2，则内接圆锥的侧面积为π× 1×W√4-2√2=√4-2√2π，所以6个球冠的表面积大于 6√4-2√2π，D正确.] 5.AD[设圆锥的底面半径为r.如图，扇形A'SC为圆锥SO 的侧面展开图，且A'S=6m,SC=2m,A'C=2/13m,所 以ms∠A3C-头2-子所以∠A'SC-,所以 2×6X2 2-,所以r=2m,所以圆锥的侧面积为号×6×2红× 6 2=12π（m),故A正确.在△ASB中，cos∠ASB= SA2+SB2-AB2 7 2SA·SB -子血∠A5BV19-4智，所以 过点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为S△sB= 合4·SB·m∠A5B=号×6X6×4-8V(m),故 9 B错误.设圆锥SO的外接球的半径为R,则R2=(SO一R)2+ r2.又S0=√SA2-r=√36-4=4V2(m),所以R2= 4E-R2十4，所以R=9平m,则外接球的表面积为 4hR2=4标×8器×2-82(m),放C错误设圆锥S0的内 则2，弓，所以1=巨m在棱长为 切球的半径为t,则，。 √3m的正四面体中，设其外接球半径为r1,又此正四面体 的底面外接圆的半径为号×5×号=1(m),高为 √(W3)2-1=√2(m),所以r=1+(W2-r1)2,所以r1= 3√2 4 m,因为r1<t,所以棱长为√3m的正四面体在圆锥 SO内可以任意转动，故D正确.故选AD.] 28 B 0 M 第5题图 第6题图 要[曲题意得需-司设F=2,期AB=红，欧-6x 如图，过点E,F在等腰梯形ABFE内分别作EM⊥AB, FN⊥AB,垂足分别为点M,N.在等腰梯形ABFE中，因为 EF∥AB,EM⊥AB,FN⊥AB,则四边形MNFE为矩形，所 以MN=EF,EM=FN,则MN=2x.因为AE=BF,EM= FN,∠AME=∠BNF=90°，所以Rt△AME≌Rt△BNF, 所以AM=BN=AB,EF=,在R△BNF中，由勾股定 2 理得FN=√BF2一BN=√5x,所以等腰梯形ABFE的面 积为s-2红吉.5z-35-125,所以-1，所以 2 EF=2x=2,AB=4x=4,方亭的高h=√/(W5)2-12=2,故 方字的体积为时×hX(S+S,+VS1·ST)=号×2X 4+16+6)-9] 7.(84√2+64V5)元.[如图，过点F在平面ABEF内作FG⊥ AB,垂足为点G,过点C在平面ABCD内作CH⊥AB,垂 足为点H 0 D9光 由题意可得O1F=4,OA=10,O2C=6,由圆台的几何性质 可知OO1⊥AB,在平面ABEF中，O1F∥OA,FG⊥AB,则 四边形OO1FG为矩形，则OG=O1F=4,所以AG=OA OG=10-4=6,同理可得BH=OB-OH=10-6=4.由题 意可知FG:CH=3:4且FG+CH=14,则FG=6,CH= 8,从而AF=√AG+FG=√62+6=6√2，BC= √BH+C平=√42+82=45，故该汝窑双耳罐的侧面 积为π·AF·(O1F+OA)十π·BC·(O2C+OA)=πX 6/2×(4+10)+π×45×(6+10)=(84W2+645)π平 方厘米.] 8.(1)(当所放的球与四棱锥各面都相切时，球的半径最大，即球心到 各面的距需物相等) 设球的半径为R,球心为S,如图，连接SA,SB,SC,SD,SP. A B 因为最大球与四棱锥各面都相切，所以三棱锥S-PAB, S-PBC,S-PCD,S-PAD与四棱锥S-ABCD的高都为R, 且它们恰好组成四棱锥P-ABCD】 因为PD为四棱锥P-ABCD的高，PD=AD=BC=a,四边 形ABCD为正方形，且PA=PC=√2a,PB=√3a, 所以PB2=PA2+AB2=PC2+BC2, 所以△PAB,△PCB为直角三角形且全等 所以5ag=Sam=7aX反a-号e, 1 SAPDA=S△Pc=2Q2,SE方形ABD=Q2, 所以Vrm=言d·a=号4以， V测=V=言×号XR-geR 。1 VsA-3a.R-3a'R. 因为VP-ABCD=VS-PAB十VSPC+VS-PAD+Vs-PI+VS-ABCD, 所以写a-号eR+日cR+写cR,即U反+2R-a, 所以R=(1-号）a,即球的最大半径为1-号）a, (2)(四赖锥外接球的球心到P,A,B,C,D五点的距离均为球的半 径，因此只要找出球心的位置即可) 由(1)知△PAB,△PCB为直角三角形，若M为斜边PB的 中点，则MA=MB=MP=MC. 连接BD,因为PD=a,PB=3a,BD=√2a, 所以PB=PD+BD,即△PDB为直角三角形，且PB为 斜边， 所以MD=MB=MP, 所以M为四棱锥P-ABCD外接球的球心， 所以外接球的半径R-PB-。 培优突破练 S.=2x· 1是.[：两圆柱侧面积相等，2x√ S 唇尝后金1 2.如图所示，设线段DE的中点为F,连接AF,所以AF⊥ DE. 设DE=(>0),则有AF= 2t, 所以S等题梯形DBCB √3(1-t2) 4 则有VaAm<行AP·Snm t(1-t2)_√2[2t2(1-t)(1-t)刀 8 16 √2(+1+1y 3 3”此处用到了三元基本不 16 36’ 等式a+6+c≥a 3 当且仅当t= 3 时等号成立，所以四棱锥A-DECB的体积 的脆大值为票 8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 变式训练 [变式1门(1)如图，连接DN并延长交D1C1的延长线于点E, 连接ME交B,C1于点T,延长EM交D1A,的延长线于 点Q,连接DQ交AA1于点R,连接RM,TN, 则五边形DRMTN即为过点D,M,N的截面. 如图，平面DRMTN与平面BB,CC的交线为TN,平面 DRMTN与平面AA1B1B的交线为RM. D B T(P) (2)由(1)可知，点T即点P,由N为CC1的中点，易得 △DCN≌△EC1N,所以DC=EC1=4. 易知AMB,P∽△EC,P,所以Mg_B,P=2=⊥ EC1CP=4=2, 所以CP号B,C=号4=BP=×4= 所以N=VE+(-吕M√E+(T-2 3 298.3 简单儿何体 A基础过关练 。测试时间：20分钟 1.[题型1](2025·陕西西安铁一中月考)若一个 圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的 表面积与侧面积之比为(). A.（1+2π)：2π B.（1+4π)：4π C.(1+2π)：π D.(1+4π)：2π 2.[题型1](2025·天津南开中学月考)侧面都是 直角三角形的正三棱锥，底面边长为a,则该三 棱锥的表面积是( A中。 c8+o n。 3.[知识点3]明明用长为6cm的细绳一端绑一颗 小石子，另一端绑在一个封闭的正方体空盒子底 面一条边的中点处（忽略捆绑长度与小石子的体 积)，若盒子的棱长大于12cm,明明晃动盒子 时，这颗小石子的活动范围的体积为(). A.72x cm3 B.144πcm C.288πcm3 D.576πcm3 4.[题型5]已知轴截面为正三角形的圆锥MM的 高与球O的直径相等，则圆锥MM的体积与球 O的体积的比值是 ,圆锥MM'的表面 积与球O的表面积的比值是 5.[题型3](2025·北京四中月考)两个球的表面 积之差为48π，它们的最大圆周长之和为12π，则 这两个球的半径之差为 B综合提能练 。测试时间：30分钟 1.[题型1门(2025·浙江杭州二中单元检测)《九章 算术》是我国古代的数学名著，书中提到了一种 名为“刍甍”的五面体（如图）：底面ABCD为矩 形，棱EF∥AB.若此几何体中，AB=4,EF=2, △ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形， 则此几何体的表面积为(). 第八章立体几何初步 的表面积与体积 E /D A.8+6√2 B.8+85 C.6√2+25 D.8+6√2+25 2.[题型3、4](2025·淅江春晖中学单元检测)已 知A,B是球O球面上的两点，∠AOB=90°，C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最 大值为36，则球O的表面积为( ) A.36π B.64π C.144元 D.256π 3.[题型1、2](2024·浙江温州中学单元检测)（多 选)截角四面体亦称“阿基米德多面体”，是一种 半正八面体，它是由四面体经过适当的截角，即 截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图， 将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行 于底面的截面，得到所有棱长均为1的截角四面 体，则() A.该截角四面体共有12条棱 B.该截角四面体共有8个面 C.该截角四面体的表面积为7√3 D该税角四面体的体积为2码 4.[题型3、4]（多选）已知棱长为2的正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱切球（与正方体的各条 棱都相切)为球O,则下列说法正确的是(). A,球0的体积为 B.球O内接圆柱的侧面积的最大值为4π C.球0在正方体外部的体积小于4(2B-1)不 3 25 铺重难点手册高中数学必修第二册RJA D.球O在正方体外部的面积大于6W√4-22π 5.[题型1、2、5]（多选）如图，在意大利有一座满是 “斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋 顶的奇特小屋名叫Trullo,于1996年被收入世 界文化遗产名录.现测量一个Tulo的屋顶，得 到圆锥SO(其中S为顶点，O为底面圆心)，母 线SA长为6m,C是母线SA的靠近点S的三 等分点，从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光 带，若灯光带的最小长度为2√13m,则( ) A.圆锥S0的侧面积为12πm2 B.过点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大 值为18m2 C.圆锥SO的外接球的表面积为72xm D.棱长为√3m的正四面体在圆锥SO内可以 任意转动 6.[题型2]《九章算术》中将正四棱台体（棱台的 上、下底面均为正方形)称为方亭.如图，现有一 方亭ABCD-EFHG,其中上底面与下底面的面 积之比为1：4，BF=EP,方亭的四个侧面均 为全等的等腰梯形.已知方亭四个侧面的面积之 和为12√5，则方亭的体积为 G 7.[题型1们(2025·浙江杭州外国语学校期中)宋 代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑： 汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑.其中汝窑被认为是 五大名窑之首.图1是汝窑双耳罐，该汝窑双耳 罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如 图2所示.已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是 12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的 26 直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的 高之比是3：4，则该汝窑双耳罐的侧面积是 平方厘米。 图1 图2 8.[题型4幻(2025·湖北黄冈中学月考)已知在四 棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，边长 为a,PB=3a,PD=a,PA=PC=√2a,且 PD是四棱锥的高. (1)在四棱锥内放入一个球，求该球的最大半径； (2)求四棱锥外接球的半径. C培优突破练 。测试时间：10分钟 1.(经典·上海交通大学强基计划)两个 圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别 为水，面积相等是-则 2.(经典·中国科技大学强基计划)有边长为1的 正三角形ABC,点D在边AB上，点E在边AC 上，DE∥BC,沿DE折起三角形ADE,求所成 四棱锥A-DECB体积的最大值.