第6章 平面向量及其应用 单元学能测评-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习册（人教A版）

221 亨-是+2即-c+将，得4C-3wvg, 3 3 ∴.CD=√AC2+AD2=√I8+9=3W3.] 10.(1)由btan A=(2c-b)tanB得 bsin Acos B=(2c-b)sin Bcos A, 由正弦定理得sin Bsin Acos B=(2sinC-sinB)sin Bcos A. 严在△ABC中，BE(0,π) ,'sinB≠0，'.sin Acos B=(2sinC-sinB)cosA, .'sin (A+B)=2sin Ccos A=sin C. 1sin C=sin [x-(A+B)]= 又：sinC≠0，cosA=2:sn(A+B) :A∈(0，)，A=3 π (2)①（本问是对中线定理的证明） ,D是BC的中点， 在△ADC中，6=AD2+-2AD·号ms∠ADC, 在△ABD中，C2=AD+号-2AD·号0∠ADB, 'cos∠ADB+cos∠ADC=0, b2+c2=2AD2+g, Y∠ADB+LADC=R 即a2=2(b2+c2-2AD2). ②当a=AD=2时， 在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2 b3, .b2+c2-bc=4. 由0知6+-号+2AD=10,得c=6, .(b+c)2=b2+c2+2bc=10+2X6=22, ∴.b十c=22 △ABC的周长为2+√22 第六章单元学能测评 1.C[利用平行四边形法则作出向量OP十OQ,通过平移即 可发现OP+OQ=F0.] 2.D[因为a|=|b|=1,lc|=√2，a+b+c=0,所以a+b= -c,所以(a+b)2=(-c)2,即a2+b2+2a·b=c2,即1+1+ 2a·b=2,所以a·b=0.同理，a·c=-1,b·c=-1,所以 (a-c)·(b-c)=a·b-a·c-b·c+c2=4,|a-cl2= a2-2a·c+c2=1+2+2=5,即|a-cl=√5,1b-cl2= b2-2b·c+c2=1+2+2=5,即|b-c|=√5，所以 ma6b-e-8:0日5文5专制 3.B[因为a=2e1+te2,b=(t+3)e1+2e2,且ab,所以2e1+ te2=[(t+3)e1+2e2]=λ(t+3)·e1+2λe2(a∈R),即 [2-λ(t+3)]e1=(2x-t)e2.又向量e1,e2不共线，可得 2=入(t十3)，两不共线向量相等，可得到两向量前的系数为0 消去λ得到t2+3t-4=0,解得t=1或t=一4.] t=2λ， 4.D[由题意可得a>b>c,且a,b,c为连续的正整数，不妨 设c=n,b=n十1，a=n十2(n>1,且n∈N"),则由余弦定 理及3b=20 acos A可得3(n+1)=20(n+2)· 元2+(n+1)2-n+2),化简得7m2-13m一60=0，n∈N”, 2n(n+1) 解得n=4.由正弦定理可得sinA:sinB:sinC=a:b:c =6：5：4.] 5.B[因为sinB+cosB=2,所以w2sin(B+于）=2，所 以sin(B+T)-1.因为B∈(0，x),所以B+年∈ (年，），所以B十平=，所以B=不由正弦定理得 如A-gB_和子-号因有<6所AB所 b 2 以A=吞] 6.C[由正弦定理得acos B十bcosA -如A时BA-十-， sin C 即有260sC=1,osC-2,因为0°<C<180,所以C=60 因为Se=23,所以26sC=25,得b=8,又a+ b=6;c2=a2+62-2abcos C=(a+b)2-2ab-ab= (a十b)2-3ab=62-3X8=12,解得c=23.] 7.D[由平行四边形法则得PA+PB=2Pò，故(PA+PB)· PC=2PO.PC,又1PC=2-|PO1,且PO与PC反向，设 PO1=t(0≤t≤2)，则(PA+PB)·PC=2PO.PC= -2t(2-t)=2(t2-2t)=2[(t-1)2-1].因为0≤t≤2，所以， 当t=1时，(PA+PB)·P心取得最小值，最小值为-2.] 8.A[如图，在△OPA中，OA⊥PA,PO=√2，OA=1,则PA =1,∠OPA=F.在△OPD中，OD⊥PD,OP=2,设 ∠0PD=aa∈[-，]，则PD=cos,所以PA, PD=|pA1IPD1cos∠APD=1×2(a+T)- mm。81+ga号m2a=+号(2a+ 2 因为a∈[至]，所以2a+平∈[-牙，]，当 15 2a+年=0，即a=-8时，PA·P方有最大值，最大值为 1+E.] 221 a C 9.ACD[以BC的中点为原点，OC所在直线为x轴建立如图 所示的平面直角坐标系，则A(0,4),B(-3,0),C(3,0). 对于A,若P为△ABC的重心，则P(,号)，所以A立- △ABC的重心金标为（巴十千C,y4十a十g 3 3 (0,-）)A店=(-3，-0.AC-8,-40,又a=正+ -3x十3y=0, AC,则 -红一=-8，解得x=y=号所以2x+y=, 3 A正确. B O C 对于B,若P为△ABC的外心，则其必在直线AO上，所以 PB.BC=(Pd+OB).B元=Pò.BC+OB.BC=3× 6×(-1)=-18,B错误， 对于C,若P为△ABC的垂心，则其必在AO上，设P(0,m), 则CP.AB=(-3,m)·(-3,-4)=9-4m=0,解得m= 号，此时A护=0，-)，A店=(-3，-4，AC=(3,-40, -3x+3y=0, 由A=AB+yAC,得 7解得x=y= -4x-4y= 4 32,所以x+y一16C正确， 对于D,若P为△ABC的内心，设内切圆的半径为r,则2× 6×4= 合×rX5+5+6,得r=子，则P(,),此时 利用内切国半径与三边长及面积之间的关系求解 AP=(0,-）,A店=(-3，-4)，AC=(3,-40,由A2 -3x+3y=0, xAB+yAC,得 5 4x4y=一。，解得工—y6,所以 16 x+y=- D正确.] 5 归纳总结 三角形的“四心” ①重心：三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，重 心到顶，点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1. ②垂心：三角形三条高线的交，点叫作三角形的垂心，垂 心和顶，点的连线与对边垂直. ③内心：三角形三条角平分线的交点叫作三角形的内 心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相 等，都等于内切圆半径. ④外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫作三角 形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶 点的距离相等。 10.AB 选项正误 原因 由题意可得∠ADB十∠ADC=π，所以 cos∠ADB+cos∠ADC=0,设△ABC中，内 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,根据余弦 A √ 定理知AD+BDC+AD十CD2-62 2AD·BD 2AD·CD 0,即4+1-c2+4+1-62 4 4 =0,整理得b2十c =10,即AC2+AB2=10 方法一由余弦定理可得cos∠BAC 次4-是所以应.花 2bc B Ai·ACos∠BAC=b·C-3(定值) 3 方法二=A弦.A花=(A茹+D).(AD+ DC)=(AD+DB).(AD-DB)=AD- DB=3(定值) 因为b2+c2≥2bc,即2bc≤10，所以bc≤5，所 0 + 以s∠BAC-是>号 (AB+AC)2=AB2+2AB.AC+AC2=10+ 2AB·AC.因为AB·AC≤5，所以(AB+ D AC)2≤20，即AB十AC≤2W5.又因为AB十 AC>2,所以2<AB+AC≤2W5 11.BCD[如图，以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为 x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(3,0),C(3,2), D(0,2),由DE=DC可得E(3,2). 4 B 当入=3时，E(1,2),则AE=(1,2),BE=(-2,2),设AD =mAE+nBE,因为AD=(0,2),所以 10=m-2n, 解得 2=2m+2n, 2 m= 3 1 故A-=号A+B成，故A错误；当X=号时， n= 3 E(2,2),则AE=(2,2),BE=(-1,2),故cos〈AE,BE) AE.BE =,D5=0,故B正确：A正=(3以，2y AEIBE BE=(3A-3,2),若AE⊥BE,则AE.BE=3(3-3)+ 2X2=9x2-9入十4=0，对于方程9x2-9λ十4=0，△<0，故 不存在入∈(0,1)，使得AE⊥BE,故C正确；AE+BE= (6-3,4,所以AE+BE1=√(6-3)2+4≥4，当且仅 当入=2时等号成立，故D正确.故选BCD.] 12.20km.[在△ABC中，由A=12°，B=18°，得C=150°. BC AC 由正弦定理得sin150。sin12°5in18,即-5C 500 10.21 2 AC,所以AC=310,BC=210,所以AC+BC-AB 20km.] 13.0;2十√2.[依题意知，M是斜边BC的中点，又ME= 2M+M应)，故E是AB的中点，于是ME是△ABC的 中位线，所以ME∥AC.又AC⊥AB,故ME⊥AB,于是 M正·AB=0.如图，以圆心M为坐标原点，建立平面直角 坐标系，设MP与x轴正半轴的夹角为0(0∈[0,2π])，则 P(W2cos0√2sin8),所以PM-(-√2cos0,-2sin0), PE=(-√2cos0,-1-√2sin0),所以PM·PE=2cos20+ V2sin9(1+2sin0)=2+2sin0,所以2-√2≤PM.pE≤ 2+V2,当0=时，PM.PE取得最大值2+2.] 14怎设△AC的三个内角AB,C的对边分别为ab连 接A'C,BC(图略)，则由题意可得∠A'CB=90°.依题意得 A'C-x2_3 号a×号-号，BC-6所以AB-9后 在△ABC中，由余弦定理可得a2十b2-2 abcos30°=c2,即a2+ 65=428.又h生"所以+w42》≤ √3 2,化简得a2+b≤4（当且仅当a=b=2时等号成 a2+b2 立).由拿破仑定理知△A'B'C'为等边三角形，所以S△MgC 气AB”-得（a+6<号即△AgC面积的最大值 为 15.(1)若选①：2a一b=2 ccos B. 在△ABC中，由2a一b=2 ccos B及正弦定理得2sinA一 sin B=2sin Ccos B, 因为sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 所以2 sin Bcos C=sinB. 又sinB>0,所以2cosC=1,即cosC-2 又0<C<,所以C=子 若选@：esin B=bcos(C-F）, 在△ABC中，由esin B-=bcos(C-否)及正弦定理得 sin Csin B-sin Bcos (C), 因为血B>0,所以s血C=m(C-君）-号sC+ 名血C即吃血C-停asC,所以mC一. 又0<C<,所以C=子 若选@台品治+1 在△ABC中，由名-S十1及正弦定理得2会 2a tan C sin B 6+1, 2sin Asin Ceos B-cos Csin B sin (B+C) sin B cos Csin B cos Csin B sin A cos Csin B 因为sinA>0,sinB>0,所以cosC=2 1 17 又0<C<,所以C=哥 若选④：b+bcos C=√5 csin E. 在△ABC中，由b十bcos C=√3 csin B及正弦定理得sinB+ sin Bcos C=3sin Csin B, 因为sinB>0,所以1=3sinC-cosC=2sin(c-否)， 所以sm(c-晋）=2 又0C<所以-吾<C吾<餐， 所以C若=否，即C=于 (2)由(1)知C=牙，又c=2,在△ABC中，由余弦定理得， cosC=02+b2-c2_a2+62-4_1 2ab 2ab , 化简整理得(a+b)2-4=3ab≤3×a+b 4 ,当且仅当a=b 时等号成立， 解不等式得-4≤a+b≤4， 由三角形的性质知，a>0,b>0,且a十b>c=2, 所以2<a+b≤4，即4<a十b+c≤6，当且仅当a=b=2 时等号成立， 所以△ABC周长的取值范围为(4,6]. ⑧由a潮c=音5x-gdmc=得ah-停得 1 ab=2. 在△ABC中，c=√3，由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcos C= 1 a2+b2-2ab×2=3, 解得a2+62=5, a2+b2=5, a=2,a=1, 联立 解得 或 。无法确定a,b的 ab=2, b=1（b=2, 大小关系，新以 解有两种情况 则b2+c2=a2或a2+c2=b2, 所以△ACD或△BCD是直角三角形， 在R△ACD中，AC=1,AD=合AB=,则CD vac+aP+②-号 在R△BCD中，BC=1,BD=7AB=5. ,则CD= C+D=√1+('- 综上所述，CD=7 2 18 16.(1):E是BC边的中点，F是边CD上靠近点C的三等 分点， :成-成+=号心+cò， 在矩形ABCD中，BC=AD,CD=-AB, 成-+访即入=日-日 (2)以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴、y轴 建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0,0),E(W3,1). 设F(x,2),0≤x≤3，AF=(x,2),EF=(x-5,1), A.床=-x+2=(-)+号，0x<5, 正，萨的取值范糊为[号，2小 D O(A) x2+y2=20, 17.(1)设c=(x,y),由题意可知 2x-y=0, x=2,|x=-2, 解得 或{ y=4y=-4. 所以c的坐标为(2,4)或（一2，-4）. (2)由题意可知a+2b=(3,2+2m), a-2b=(-1,2-2m). 因为a+2b与a一2b垂直，所以(a十2b)·(a一2b)=0, 所以-3+(2+2m)(2-2m)=0, 解得m=-或m=(舍去)，故6=(1，-）： 所以a·b=0,所以a与b垂直，0=受 18.(1)在△ACD中，∠ACD=45°，∠ADC=60°， 则∠DAC=75°，∠ADB=120°， DC AD 由正弦定理得sin /DACsin/ACD,即DC=地5 sin45° 又m5=如衡+45=专×9+9×9-56。 4 2X2+6 4 则DC= ② 一=1+3， 2 则BD=合DC=21+B, 故△ABC的面积为S AABC=SAADC十S△ADB =2AD·DC·sn∠ADC+2AD·DB·sn∠ADB -日×2x1+)x9+号×2x×号 _9+33 4 (2)设BD=m(m>0),则CD=2m, 在△ABD中，由余弦定理得 AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2, 在△ACD中，由余弦定理得 AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m, 则AC=4m2+4-4m_4(n2+4+2m)-121+m） AB2-m2+4+2m m2+4+2m =4 12(1+m) 4 12(1+m) m2+4+2m (m+1)2+3 12 =4 (m+1)+ 3· m+1 3 因为(m十1) m+7≥2√m+)·m7=2v5,当且 3 上基本不等式 当m+1= 一m十，即m-3-1时取等号， 故4 12 3—≥4—2—4—2/3， (m+1)+ 2W3 m十1 Aca AC AB取最小值时，C取最小值，此时m=3-1, 即BD=√3-1. 思维过程 (1)已知△ADC中的∠ADC,∠ACD及AD的长度， 可先求出∠DAC=75°，再利用正弦定理得DC的长度，然 后根据，点D是BC上的三等分点及三角形的面积公式求出 △ADC和△ADB的面积和，即△ABC的面积. (2)设BD=m,则CD=2m,分别在△ABD和△ACD 中利用余弦定理求出AB2,AC2关于m的表达式，从而整 理出4c? AB24、 12 m+Dt三，利用基本不等式即可求出 的最小金，格后得到品的最小值，同时可得取最小值 AC 时BD的长度， 19.(1)由题意知BE=BQ=√12+2=√5， AE 则cos∠ABQ=cos(90°+∠ABE)=-sin∠ABE=一BE 1 5 在△ABQ中，AQ2=AB2+BQ2-2AB·BQcos∠ABQ= 4+5+4=13,所以AQ=13. (2)在△ABE中，BE2=AB2+AE2-2AB·AEcos0= 5-4cos0,所以BE=BQ=√/5-4cos0. AE BE 在△ABE中，sin∠ABE sin 0' 所以sin∠ABE= sin √5-4cos01 在△ABQ中，AQ2=AB2+BQ2-2AB·BQcos(90°+ ∠ABE)=4+5-4cos0+4V5-4o0·754o80 sin 0 4√2sin(0-45)+9, 所以，当0=135时，AQ取得最大值，为√/4W2+9=1+2√2. 第七章复数 7.1复数的概念 变式孤练 [变式1门由复数的几何意义知|x|=1表示复数之对应的点Z 的轨迹是以(0,0)为圆心，1为半径的圆（如图）. 因而引之一(3十4i)|的几何意义是求此圆上的点到点C(3,4) 的距离的最大值与最小值.由图易知， |z-(3+4i)|mx=|AC1=1OC1+1=√32+4+1=6， |之-(3+4i)|mm=|BC1=|OC1-1=√32+4-1=4. /C(3,4) 基础过关练 1.C[因为之=-2十i,所以之的虚部为1.] 2.B[纯虚数是复数，不是实数，不能比较大小，故①错误；两 复数相等时，实部一定相等，但实部相等时，复数不一定相 等，故②正确；若x,y∈R,且x2十y2=0,则x=y=0,故 ③错误.故B正确.] 3.C[设x=a十bi,a,b∈N,2≤|x≤3，即4≤a2+b2≤9.当 a=0时，b=2或b=3;当a=1时，b=2;当a=2时，b=0, b=1或b=2;当a=3时，b=0.综上所述，共有7个点满足 条件.故C正确.] 19第六章单 考试时长：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.(2025·江西余江一中单元检测)如图所示的方 格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则OP十 0Q=(). H A.OH B.OG C.FO D.EO 2.(2023·全国甲卷)向量a|=|b=1,1c|= √2，且a+b十c=0,则cos(a-c,b-c）= () A-月B- c号 D. 3.(2025·湖北黄冈中学月考)已知向量e1,e2不 共线，a=2e1+te2,b=(t+3)e1+2e2,且a/h, 则实数t=(). A.1或4 B.1或-4 c或1 D-或1 4.(2025·淅江富阳中学单元检测)设△ABC的 内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若三边的 长为三个连续正整数，且A>B>C,3b= 20 cos A,则sinA:sinB:sinC为(). A.4:3:2 B.5:6:7 C.5:4:3 D.6:5:4 5.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b, c.若a=√2，b=2,sinB十cosB=√2，则角A 的大小为( π D.6 第六章平面向量及其应用 元学能测评 试卷满分：150分 6.(2025·安徽六安一中期末)在△ABC中，内角 A,B,C所对的边分别为a,b,c.若SAAc= 2V3,a十6=6，acos B+bcos A=2cosC,则 c=(). A.2√7B.4 C.2√3 D.3√5 7.如图所示，半圆的直径AB =4,O为圆心，C是半圆上 不同于A,B的任意一点.若A P为半径OC上的动点，则(PA+PB)·PC的 最小值是(). A.2 B.0 C.-1D.-2 8.(2023·全国乙卷)已知⊙0的半径为1，直线 PA与⊙O相切于点A,直线PB与⊙O交于 B,C两点，D为BC的中点.若|PO|=√2，则 PA·PD的最大值为(). AI B1+22 2 C.1+√2 D.2+√2 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选 对的得部分分，有选错的得0分) 9.(2025·安徽芜湖一中月考)在△ABC中，AB =AC=5,BC=6,P为△ABC内一点，设AP =xAB十yAC,则下列说法正确的是(). A.若P为△ABC的重心，则2x+y=1 B.若P为△ABC的外心，则PB·BC=18 C,若P为△ABC的垂心，则x十y=16 7 D.若P为△ABC的内心，则x+y=8 5 10.(2024·浙江杭州十一中单元检测)在△ABC 中，BC=2,BC边上的中线AD=2,则下列说 法正确的是(). A.AC2+AB2=10B.AB·AC为定值 C.<cos /BAC<1 D.2<AB+AC<4 11 翻重难点手册高中数学必修第二册RJA, 11.(2025·湖南湘东四校期末联考)如图，已知长 方形ABCD中，AB=3,AD=2,DE=ADC (0<入<1)，则(). A当x=时，AD=号正+号证 R当A=号时，os正，B应)- 10 C.对任意入∈(0,1)，AE⊥BE不成立 D.|AE+BE|的最小值为4 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分 将答案填在题中的横线上)》 12.如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距 500km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云 层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向 AB成12°角的方向飞行，飞行到中途C点，再 沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续 飞行到终点B.这样飞机的飞行路程比原来的 路程500km大约多了 (参考数据： sin12°≈0.21，sin18°≈0.31). C A--1--12° 182-B 13.(2025·浙江舟山中学单元检测)已知△ABC 为等腰直角三角形，AB=AC=2,圆M为 △ABC的外接圆，M症-？(+M店)，则 M正.AB= ;若P为圆M上的动 点，则PM·PE的最大值为 (本题第一空2分，第二空3分) 14.拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑·波 拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角 形的三条边为边，向外构造三个等边三角形， 则这三个等边三角形的外接圆的圆心恰为另 一个等边三角形（该等边三角形称为拿破仑三 角形)的顶点.”如图，在△ABC中，∠ACB= 12 30°，且AB=√3-1，现以BC,AC,AB为边向 外作三个等边三角形，其外接圆的圆心依次记 为A',B',C,则△AB'C面积的最大值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)(2025·浙江杭州外国语学校单元检 测)在以下四个条件中任选一个补充到下面 的横线上，并给出解答：①2a一b=2 ccos B; 2cn8=amsc-》®后-品+1： ④b+bcos C=√3 csin B. 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a, b,c,且 (1)求C; (2)若c=2,求△ABC周长的取值范围； (3)若c-3,△ABC的面积为，D为AB 的中点，求CD的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解 答计分. 16.(15分)(2025·湖南衡阳期中)如图，在矩形 ABCD中，E是BC边的中点，点F在边CD上 (1)若F是边CD上靠近点C的三等分点，设 EF=λAB十AD,求λ十的值； (2)若AB=√3，BC=2,求AF·EF的取值 范围. 17.(15分)(2024·浙江瑞安中学单元检测)已知 a,b,c是同一平面内的三个向量，其中 a=(1,2) (1)若|c|=2√5，且c∥a,求c的坐标； (2)若b=(1,m)(m<0),且a+2b与a-2b 垂直，求a与b的夹角0. 第六章平面向量及其应用静 18.(17分)(2025·湖北武汉外国语学校月考)如 图，在△ABC中，点D为边BC上靠近点B的 三等分点，∠ADC=60°，AD=2. (1)若∠ACD=45°，求△ABC的面积； (②)当会S最小时，求BD的长. 19.(17分)(2024·浙江萧山中学单元检测)如 图1所示的毕达哥拉斯树可由图2利用几何 画板画出来，其中四边形ABCD,AEFG, PQBE都是正方形，∠EAB=90°，AB=2,AE 1. 图1 图2 (1)求AQ; (2)在图2中，若∠EAB=0(0°<0<180)，其 他条件均不变，求AQ的最大值 13