6.2 平面向量的运算-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习册（人教A版）

6.2平面 A基础过关练 测试时间：20分钟 1.[题型3]给出下列不等式或等式： lal-bl<la+bl<lal+bl; ②l|a|-|bll=la+b=la|+|b|； 3al-bl1=la+bl<lal+bl; lal-bl<la+bl=lal+bl. 其中一定不成立的个数是(). A.0 B.1 C.2 D.3 2.[题型6](2025·华中师大一附中周练)已知a, b,c均为单位向量，且2a=3b十4c,则a与b的 夹角的余弦值为(). A号 R-3 c D-i 3.[题型7](2025·福建福州一中月考)已知AB· BC+AB°=0，则△ABC为( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形 4.[题型2](2025·四川成都树德中学月考)如图，向 量AB=a,AC=b,CD=c,则向量BD可以表示 为(). A.a+b-c B.a-b+c C.b-a+c D.b-a-c 5.[题型6](2025·湖南岳阳一中月考)若向量a与 b的夹角为60°，b|=4,且(a+2b)·(a-3b)= 一72，则a的模为 B综合提能练 。测试时间：30分钟 1.[题型5、8](2025·浙江嘉兴一中单元检测)若 △ABC是边长为1的等边三角形，G是边BC的 中点，M为线段AG上任意一点，则BM·MG的 取值范围是( 。V3 A0,2 Bb, 第六章平面向量及其应用 向量的运算 cfig D [33 2’2 2.[题型4](2025·浙江萧山中学单元检测)（多选） 在△ABC中，C市-号Ci,P为线段BD上一点， 且有AP=λAB十AC,λ，∈(0，十∞)，则下列结 论正确的是( A.λ十μ=1 B.λ十3μ=1 C.如的最大值为2 D+的最小值为4+25 3.[题型3、4]（多选）设点D是△ABC所在平面内 一点，则下列说法正确的是( A若d-号(A店+AC),则点D是边BC的 中点 B若AD=}(A店+AC),则点D是△ABC的 重心 C,若AD=2AB-AC,则点D在边BC的延长 线上 D若Ai=zA店+Ad,且x+y=号，则△BCD 的面积是△ABC面积的一半 4.[题型5]（多选）八卦是中国古代的基本哲学概念， 图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正 八边形ABCDEFGH,其中OA=-1.则下列结论 正确的有( 图1 图2 A.OA.OD=_2 2 B.OB+OH=-√2OE 3 铺重难点手册高中数学必修第二册RJA C.AH.HO=BC.BO nA厅在店上的投影向量的模为号 5.[突破点1](2025·河南开封期末)在△ABC 中，BD=2DC,A正=EB,F为△ADC内（包 括边界)任意一点.若EF=λEB十uED,则入 2μ的取值范围为 6.[题型5、6](2025·浙江义乌中学单元检测)在 长方形ABCD中，A店1=1，B庞-}BC,且 AB·AE=AD·AE,则|AD= AE·AC= 7.[题型3、4]在等边三角形ABC中，D为边BC 上一点且满足CD=2DB,DE⊥AB且交AB于 点E,DF∥AB且交AC于点F.若AD=λDE十 DF,则入十4的值是 8.[题型3](2025·湖北省武昌实验中学单元检 测)已知OA|=a,OB|=b(a>b),AB的取 值范围是[5,15]，则a的值为 ,b的值 为 9.[题型6、8](2025·湖北八校联考)如图，在四边 形ABCD中，∠B=120°，AB=2,AD=3,且 BC=kAD,AB·BC=1.若P,Q为线段AD上 的两个动点，且|PQ|=1. (1)当P为AD的中点时，求CP的长度； (2)求CP·CQ的最小值. Q 4 10.[题型8](2024·山东省实验中学单元检测)如 图，在边长为1的菱形ABCD中，∠A=60°，E 是线段CD上一点且CE=2DE.设AB=a, AD=b. (1)用a,b表示BE. (2)在线段BC上是否存在一点F,满足AF⊥ BE?若存在，求出点F的位置，并求AF; 若不存在，请说明理由. C培优突破练 ●测试时间：10分钟 1.(经典·清华大学强基计划)已知△ABC的三边 长分别是2,3,4，其外心为O,那么OA·AB+ OB BC+OC.CA=() A.0 B.-15 c母 D碧 2.(2022·上海交通大学强基计划)已知|b|=a =c=1,a·b=2,则(a+b)(26-c)的最小 值为(). A.3+√3 B.3-√3 C.2+√2 D.2-√2(2)当α=120时，如图2，赛车行进路线构成一个正三角形，赛 车所行路程为3m,操作3次可使赛车回到出发点；当a=90° 时，如图3，赛车行进路线构成一个正方形，赛车所行路程为 4m,操作4次可使赛车回到出发点；当a=60°时，如图4，赛 车行进路线构成一个正六边形，赛车所行路程为6m,操作 6次可使赛车回到出发点 图1 图2 图3 图4 6.2平面向量的运算 变武孤练 [变式1门A[若向量a与b同向共线，由a=3,b=4,可得 |a十b=7;若向量a与b反向共线，由a=3,1b|=4,可 得引a十b|=1.所以由“向量a与b共线”不能推出“|a十b1 =7”.若a十b=7,|a=3,|b=4,则向量a与b共线，所 以由“|a十b|=7”能推出“向量a与b共线”.因此，“|a十b =7”是“向量a与b共线”的充分不必要条件.故A正确.] [变式2]B[由OP=OA+(AB+AC),A∈[0，十∞)，得A2 =λ(AB+AC),则AP与△ABC的边BC上的中线对应向 量共线，又由入∈[0，十∞)可知点P的轨迹通过△ABC的 重心.] [变式3]-149 [过点O作AB的垂线，垂足为D,可知D 为AB的中点，则O在A店上的投影向量为2BA,所以 OA·A店=2BA.AB=-?·A.同理，O成.BC -21BC,0d.CA=-子1CA,所以oA.A店+o店. 成+o,i-合×6+r+8)=-19] 基础过关练 1.A[①当a与b不共线时成立；②当a=b=0或b=0,a≠0 或a=0,b≠0时成立；③当两个非零向量a与b共线，方向 相反时成立；④当两个非零向量a与b共线，且方向相同时 成立.] 归纳总结 向量和与差的三角不等式： 1Ia-b|l≤|a±b≤|a|+|bl. 如图，可以借助三角形两边之差的绝对值小于第三边， 两边之和大于第三边来记忆，取等号是共线的特殊情况 D C a+b 2 2.D[因为a,b,c均为单位向量，且2a=3b+4c,所以2a一 3b=4c,则(2a-3b)2=(4c)2,即4a2-12a·b+9b2=16c2, 之所以要移项，是因为平方之后可以出现口与b的缴量积 的形式 即4-12as(a,b)十9=16，解得c0sa,b)=-子，即a与 b的夹角的余弦值为-子】 3.D[因为AB·BC+AB=0,所以AB.(BC+AB)=0, 即AB·AC=0,所以AB⊥AC,即AB⊥AC.所以△ABC 为直角三角形.] 4.C[依题意得，BD=AD-AB=AC+CD-AB,即BD= b-a+c.] 5.6.[:(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=|a|2- |allb|cos60°-6lb12=a|2-2la|-96=-72,∴.la|2 2a-24=0,解得|a=6或al=-4(舍去).] 综合提能练 1.C[方法一因为△ABC为等边三角形，G是边BC的中 点，故AGLBC,AG=}A+AC.又M是线段AG上任 意-一点，故设MG=XAG(0≤≤1)，因为BG=BM+MG, 所以BM=BG-MG,故BM.MG=(BG-MG)·MG= 吉成.流-店-店，又AG-<1,放 AAGE[-30 方法二如图，因为△ABC为等边三角形，G是边BC的中 点，所以G-停 G 因为M为线段AG上任意一点，则|MG|的取值范围是 [0写]，由向量的几何意义知成店=，所以 矿，G的取值范围是o,名]，由图可知，向量威与NG 的火角为纯角，所以·花的取值范国为[-子，0]，门 2BCD[如图，因为CD=号CA,P为线段BD上一点，所以 3 产号>0，款两向香同向，且CD=号CA, 2 AP=XA店+AC=λA访+3AD.由此可得点D的位置 B D A 而点P在线段BD上，所以A+3μ=1，λ∈(0,1)，3μ∈(0,1)， A错误，B正确.由基本不等式可得λ十3μ=1≥2√34，解 得<品当且仅当A-方以=言时等号成立，C正确 也可根据=以(1一-3)结合二次函数的性质来判断 +-（侵+日）a+)=4+要+4+2，当且 仅当a3。A5。时等号成立，D正流] 6 归纳总结 已知A,B,C三点共线，O是平面内不在A,B,C所在 直线上的任意一点，则有OC=λOA十4OB,其中入十u=1. 两者为充要条件，在求参数时若已知三点共线可直接用 3.ABD 选项正误 原因 因为A访=号+A心，即号-号忘 y }AC-号aAD,即或-Dd,即D是边BC的 中点 设BC的中点为M,则AD=子(A店+AC) B ×2A成=子A立，即D是△ABC的重心 1 + 因为AD=2AB-AC,所以AD-AB=AB 0 AC,即BD=CB,即点D在边CB的延长线上 设A正=2AD,则AE=2xAB+2AC,且2x D 2y=1,所以B,E,C三点共线，所以S△D 1 4.AB[在正八边形ABCDEFGH中，每条边所对的中心角皆 为买，其中0A=1. 选项正误 原因 A 4 2 B ∠B0H=,0i+oi=EOi=-E0成 因为1Ai1=|BC1,|Hò1=BO,Ai,Hò的 C 夹角为π-∠AHO,BC,BO的夹角为∠OBC ∠AH0,故A立i.HO=-Bd.BO 续表 选项正误 原因 A在应上的投影狗量的模为As引 D 停号 5.[-8,-1].[如图所示，延长DE至点G,使DE=2EG,连 接BG,则ED=-2EG,从而EF=λEB+uED=λEB- 2uEG. λ-24=-1 λ-2=1 A λ-2u=-8 G'。 D λ-2u=0 当点F位于直线BG上时，A一2坐三1；当点F与点A重合 等和线定理 时，λ一24取得最大值-1，此时EA=-EB十0·ED,A=-1, μ=0；当点F与点C重合时，A一2取得最小值一8，此时 EC=ED+DC-ED+2BD-ED+2(-EB+ED)=-2EB+ 3ED,λ=-2,4=3.综上可得，入一2μ的取值范围为[一8， -1].] 6.√3；2.[如图，由题意可知AB⊥AD,AB1=1,AD=BC, A花=A店+B配-A+BC-A店+A,AC-A店+AD. D 因为A店.A正=A茹·忘，所以A店·(+})=· (A店+A可)，可得A店-子AD,所以AD1-3,所以 A范.AC-(A店+子AD)·A店+Ad)=A+号A市- 1+号×3=2.] 7-.[因为△ABC是等边三角形，所以B=子，AB=AC -BC,因为DE1AB,所以ca专器-BE-号所 3BC 以BE=名BC=名BA,则D成-D成+B成=-}成+ 君A.因为DFAB,所以D=号威，A亦=C-i, 3 代入AD=XD成+D,可得gBC-BA=λ(-号BC+ 日函）)+号A,所以（号+3）成-(G+号+)A。 =-1, 所以 所以入 (61+ 1 3u+1=0, =-, 所以X+=1一=] 4 8.105.[:a-b=|IOA1-|1o211≤1OA-O1=AB1≤ IOAI+IOBI=a+6, a+b=15,. a=10, 解得 a-b=5, b=5. 9.(1)由BC=kAD,得BC∥AD, 因为A店.BC-1,∠B=120,AB=2,所以BC=1. xCP-CB+BA+AP-CB+BA+2AD-BA+2BC, 所以1-√(@i+号C) √+成·BC+忘 -V√4++2x1Xs120= 2 (2)不妨令点Q在点P的左侧，设AQ=mBC,0≤m≤2， 则C应=CB+BA+AQ=BA+(m-1)BC, CP=CB+BA+AP=BA+mBC, 把CQ,C币都用BA和BC表示，为数量积的计算提供方便 所以CQ·CP=[BA+(m-1)BC]·[BA+mBC]=BA2+ 2m-lai.成+m2-m成=m-3m+5=(n-)月 +兴， 当m=时，成.C户取得最小值，最小值为只 10(1由题意得心-A方-6，定=号=号=号店 =-号a,所以成-B成+花-b-号a. (2)假设在线段BC上存在一点F满足AF⊥BE,设BF tBC=tb(0≤t≤1)， 则AF=AB+BF=a十tb. 因为在边长为1的菱形ABCD中，∠A=60°， 所以a=b1=1a·b=a1b1cos60=2 因为AF⊥BE, 4 所以A正，B成=a+b)·(b-号a) =(1-号)ab-号a+b =1-)×号-号+： =0, 解得=子 所以点F为线段BC的靠近点B的四等分点， 所以1A=a+b =√a2+2ab+i6b 1×1+1-2I =√1+2X2+i6=4 综上，当点F为线段BC的靠近点B的四等分点时，AF⊥ B成，且A= 4· 培优突破练 1.D[取AB的中点D,则OA.A店=|OA·A1·cos(x ∠0AB)=-A1(1Oi1·os∠0AB)=-合1A, 同理可得O.BC=2BC,0心.ci=21c, 放原式=名+BC+试)=一空] 2B[如图，设圆0的半径为？，∠A0C=60,2c是以0为 起点，圆周上的点为终点的向量，则b一之c是以圆周上一 点为起点、点A为终点的向量 此时最小 60 当b-c为向量BA时，b-弓c在a十b上的投影向量的 模最小，(a十b)·(2b一c)取最小值，此时原式=2(a十b)· 。）=2x5×慢号）=85.1 6.3平面向量基本定理及坐标表示 变式孙练 [变式1(，-）.[设0为坐标原点，：AC-2BC, 0c-oi=是(0d-0i),.0心=20i-0i-