6.2平面向量的运算练习题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2平面向量的运算练习题 一、单选题 1．如图，在中，点满足，为的中点，则（   ）      A． B． C． D． 2．向量满足，向量与的夹角为，则（    ） A．0 B．8 C． D． 3．如图，在平行四边形中，连结，下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D．或 5．（    ） A． B． C． D． 6．下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 7．已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）下列结论恒为零向量的是（    ） A． B． C． D． 10．若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 11．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．D． 三、填空题 12．如图，在正六边形中，是其中心．则： ① ； ② ； ③ ． 13．如图，在中，，E是CD的中点.设，.则 . 14．如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是 . 四、解答题 15．化简： (1) (2) 16．如图所示，的三边长均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： (1)找出与相等的向量； (2)分别找出与，，相反的向量． 17．化简：（1）； （2）. 18．如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，． (1)试用，表示向量，． (2)试用，表示向量． 19．已知平面向量，满足，，． (1)求向量，夹角的大小； (2)求的值； (3)求向量与夹角的余弦值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】. 故选：. 2．A 【分析】应用平面向量的数量积定义及运算律计算求解. 【详解】因为，向量与的夹角为， 则. 故选：A. 3．B 【分析】利用向量加法和减法法则即可. 【详解】由向量加法的三角形法则得，，故A错误； 由向量加法的平行四边形法则得，，故B正确； 由向量的减法法则得，，，故CD错误. 故选：B 4．D 【分析】根据题意，，进而得到，再求夹角即可． 【详解】在上的投影向量的模等于， 又，所以， 因为， 所以或． 故选：D． 5．C 【分析】由向量的线性运算求解即可. 【详解】 ． 故选：C． 6．B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A不符合题意； 对于B中，由，所以B符合题意； 对于C中，由，所以C不符合题意； 对于D中，由，所以D不符合题意. 故选：B. 7．B 【分析】根据条件并结合模长求出，最后代入投影向量公式求解. 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 8．A 【分析】连接、、交于点，分析可知，再利用平面向量加法的三角形法则可得答案. 【详解】连接、、交于点，如下图所示： 由正六边形的几何性质可知、、、、、均为等边三角形， 因为，故四边形为菱形， 同理可知，四边形也为菱形，所以，故， 故， 故选：A. 9．BD 【分析】根据向量加法和减法计算公式，即可判断. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 10．ACD 【分析】通过向量模的平方与点积的关系求出，再依次验证向量夹角、向量垂直关系、向量差的模，确定正确选项. 【详解】对于A，由，代入，， ，，解得，故A正确. 对于B，设与的夹角为，由，得：， ，则，故B错误. 对于C，，故，故C正确. 对于D，由，得，故D正确. 故选：ACD 11．ABD 【分析】根据向量的线性关系及加减法计算求解判断各个选项即可. 【详解】对于A，由题意知，E，F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确； 对于，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于，，所以，故D正确． 故选:ABD． 12． 【分析】根据几何图形的加法及运算律化简求值即可. 【详解】①． ②． ③． 故答案为：；；. 13． 【分析】根据题意结合向量的线性运算求解即可，注意比例关系. 【详解】因为，且E是CD的中点， 则， 且，，所以. 故答案为：. 14． 【分析】用表示出，然后根据向量数量积的运算性质求解可得. 【详解】因为为上靠近于C的三等分点，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】根据向量的运算律计算求解即可. 【详解】（1）根据向量加法运算律得； （2）根据向量加法运算律得； 16．(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由是的中位线，且D为的中点，结合向量相等的概念得到与向量相等的向量； （2）由分别是的中位线，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点，结合相反向量概念可得与向量相反的向量. 【详解】（1）因为E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点, 所以,, 与，方向相同且长度相等，故与相等的向量有，． （2）因为E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点, 所以,,,, 则与相反的向量有，，； 与相反的向量有，，； 与相反的向量有，，． 17．（1）；（2） 【分析】（1）（2）根据平面向量的线性运算化简整理即可求出结果. 【详解】（1）； （2）. 18．(1)， (2) 【分析】根据向量的加法与减法计算即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， ． （2） 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由夹角公式计算可得结果； （2）利用数量积的运算律先求，即可得到的值； （3）由向平面向量的夹角公式即可求出. 【详解】（1）平面向量，满足，，． 所以， 解得，又， 可得向量，夹角的大小为． （2）， 所以． （3）， 因为，由（2）可得， 设向量与的夹角为，所以． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $