第8章 立体几何初步单元复习归纳-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

第八章立体几何初步翻 单元复习归纳 AIBIIIANMAIIBABAMMIIMB0AM1I 知识体系构建 INIUMAMAIM101000110011 棱柱 多面体 棱锥 棱台 圆柱 基本立体图形 圆锥 旋转体 圆台 球 简单组合体 立体图形的直观图 斜二测画法 柱体 表面积公式 锥体 简单几何体的表面积与体积 体积公式 台体 球 平面 三个基本事实、 三个推论 平行 共面 空间中直线与直线的位置关系 相交 异面 空间点、 直线、平面 之间的位置关系 直线在平面内 空间中直线与平面的位置关系 直线与平面平行 立体几何初步 直线与平面相交 空间中平面与平面的位置关系 平行 相交 直线与直线平行。基本事实4及空间等角定理 直线与平面平行的判定定理 空间直线、平面的平行 直线与平面平行 直线与平面平行的性质定理 平面与平面平行的判定定理 平面与平面平行 平面与平面平行的性质定理 直线与直线垂直 异面直线所成的角特殊异面垂直 线面角 情形 直线与平面垂直 点到平面的距离 空间直线、平面的垂直 直线与平面垂直的判定定理 垂直 直线与平面垂直的性质定理 面角。二面角的平面角 平面与平面垂直 平面与平面垂直的判定定理 平面与平面垂直的性质定理 181 重难点手册高中数学必修第二册RJA】 111 高考创新题型 1111H11i11 例①[新定义]北京大兴国际机场的显著 例2[创新探究](2025·湖南雅礼中学 特点之一是各种弯曲空间的运用（如图1）.刻 联考)高斯博内公式是大范围微分几何学的一 画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲 个经典的公式，是关于曲面的图形（由曲率表 率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率 征)和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一项 等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多 重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质 面体的面的内角叫作多面体的面角，角度用弧 之间的联系.其特例是球面三角形总曲率x与 度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面 球面三角形内角和0满足：0=π十ax,其中a 体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和. 为常数.如图1，把球面上的三个点用三个大圆 例如：如图2所示，正四面体在每个顶点有3个 (以球心为半径的圆)的圆弧联结起来，所围成 面角，每个面角是于，所以正四面体在各顶点的 的图形叫作球面三角形，每个大圆弧叫作球面 三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的 曲率为2x一3×写=x,故其总曲率为4元 二面角叫作球面三角形的一个角.球面三角形 ■2■ 的总曲率等于2，S为球面三角形面积，R为 视频微课 球的半径 图1 视频微课 (1)求四棱锥的总曲率； (2)若多面体满足顶点数一棱数十面数= 2,求证：这类多面体的总曲率是常数。 图1 解析(1)（可以从整个多面体 的角度考虑，所有顶，点相关的面角就 (1)若单位球面有一个球面三角形，三条 是多面体的所有多边形表面的内角的 边长均为，求此球面三角形内角和； 拿合)由题可知四棱锥的总曲率 等于四棱锥各顶，点的曲率之和 (2)求a的值； 由图2可知，四棱锥共有5个顶 图2 (3)把多面体的任何一个面伸展成平面，如 点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形， 果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的 所以四棱锥的表面内角和由4个三角形的内角 多面体叫作凸多面体.设凸多面体Ω顶点数为 和与1个四边形的内角和组成， V,棱数为E,面数为F,试证明凸多面体欧拉示 则其总曲率为2π×5-(4π十2π)=4π. 性数X(2)=V一E+F为定值，并求出X(2). (2)设顶点数、棱数、面数分别为n,l,m,所以有 解析(1)如图2，设球心为O,球面三角形三个顶 n一l十m=2.设第i个面的棱数为x:,所以x1十 x2十…十xm=2l,所以总曲率为2πn一π[(x1一2)十 点分别为A,B,C,由球面三角形三边长均为受，由题 (x2-2)+…+(xm-2)]-2n-元(2l-2m)=2π(n l十m)=4π，所以这类多面体的总曲率是常数. 意知，即每个大圆孤长均为，又单位球面的球半径 182 第八章立体几何初步用 88888888 R=1,则球面三角形每条边所对圆心角为分，所以在 个球面三角形的球面飞边形的内角和.所以球面k边 形面积为9一(k一2)元. 三棱锥A-OBC中，OA,OB,OC两两垂直.由OA1 由已知凸多面体2顶，点数为V,棱数为E,面数 OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,且OBC平面OBC, 为F,则可记球面上多边形a,i=1,2,…,F,对每一 OC二平面OBC,则OA⊥平面OBC,OA二平面 个球面多边形α：，设其边数为L:,内角和为p:,面积为 OAB,故平面OAB⊥平面OBC.同理，平面OAB⊥平 面OCA,平面OCA⊥平面OBC,即球面三角形任意两 S,则25，-2p,-,-2》]-2m:-1x+ 条边所在的半平面构成的二面角均为受，故球面三角形 2π)，由球面三角形角的定义可知，每个顶点处所有球 面多边形的角之和为2π，顶点数为V,从而所有球面 的3个角均为 受从而光球面三角形内角和为受 多边形内角和为】 9，=2山，又球西多边形年条边 被重复计算2次，棱数为E,故，x=2E,则 (9,4r+2m)=2xV-2xE+2mF,又所有球 多边形面积之和∑S:=4xR2=4π， i=1 图2 故2πV-2mE+2πF=4π，故X(2)=V-E+F=2. (2)若将地球看作一个球体，在地球上零度经线 例3[新定义](2025·江西南昌二模)如 和90°经线所在大圆与赤道所在大圆将球面平均分成 图，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆 8个全等的球面三角形，由(1)可知，每个球面三角形！ 柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为 的3个角均为行，且球西三角形内角和0-经，从而每 “斜截圆柱”.图1与图2是完全相同的“斜截圆 柱”，AB是底面圆O的直径，AB=2BC=2,椭 个球面三角形的面积为S=4R一R2 8 2,则每个球面 圆所在平面垂直于平面ABCD,且与底面所成 Sπ 二面角为45°，图1中，点P是椭圆上的动点， 三角形的总曲率为x一=2，设0=f(x),由题意 点P在底面上的投影为点P1,图2中，椭圆上 f(x)=π十ax,且a为常数，则有f( 的点E:(i=1,2,3,…,n)在底面上的投影分别 要从而= 为F;,且F:均在直径AB的同一侧. D (3)将多面体的每个面视作可以自由伸缩的橡皮 E ▣ 膜，使其膨胀为一个半径为R的球，每个顶点均在球 E 视频微课 E 面上，每条边变为球面上的边，每个多边形变为球面 上的多边形，且膨胀前后X()=V一E十F不变.不 A-B A长-- --B F 妨记球面仍为单位球面，半径R=1,对于任意一个球 图1 图2 面k边形，可用球面上的边分割成(k一2)个球面三角 形，由(2)可知，a=1,则每个球面三角形的内角和0= (1)当∠AOP1= 时求PR的长度 π十x=r十R一π十S,即每个内角和为0的球面三角 (2)①当n=6时，在图2中，点F1,F2,…, F。将半圆均分成7等份，求(E1F1一2)· 形的面积为0一元，记p 0,称为分割成(k一2) (E2F2-2)·(E3F3-2); 183 重难点手册高中数学必修第二册RJA ②求证：AF1·E1F1十F1F2·E2F2十… sin 3π81 +Fm-1Fm·EnFm十FnB·BC<2元. 2sin 7 解析(1)如图3，取CD的中点M,过点M作与 y 该斜截圆柱的底面平行的平面，交DA于点G,交BC 延长线于点H,与PP1交于点I.因为MH=MG=1, ∠CMH=∠DMG=45°，所以DG=HC=1,AG=2. A B D A 图5 DE E M H E B P E小 。C 图3 图4 过点M作GH的垂线，交圆M于J,K两点.过点 A F F:F,F.E F,B I作IN⊥JK交JK于点N,因为PI⊥圆M,又JKC 图6 圆M,所以PI⊥JK.又因为PI∩IN=I,故JK⊥平 ②由(1)知PP1=2+c0s0,即PP1是关于0的函 面PIN.因为PNC平面PIN,故PN⊥JK,所以∠PNI 数，即将斜截圆柱的侧面沿着AD展开，其椭圆面的轮 为椭圆面与圆M所在平面的夹角，也即椭圆面与底 廓线即为函数y=2十cosx的图象（如图5）.如图6，将 面所成的角，所以∠PNI=45°，则△PNI为等腰直角 E1F1,E2F2,…,EnFn,BC绘制于函数y=2十cosx图 三角形，PI=IN.设∠AOP1=0,如图4，作圆M所 象上，并以E:F,F:-1F,(i=2,3,…,n)为边作矩形， 在平面的俯视图，则∠GMI=O.因为GH⊥JK,IN⊥ 则矩形的面积即为F:-1F:·E:F:,所以AF1·E1F1十 JK,所以GH∥IN,则有∠NIM=∠GMI=0,所以 FF2·E2F2+…十Fn-1Fm·EnFn十FnB·BC,即为 IN=MIcos0=cos0,所以PP1=IP1+PI=IP1+ 这些矩形的面积之和.而两个该斜截圆柱可拼成一个 N=2+cs当0-5时，PR,=2+cms经-8 底面半径为1，高为4的圆柱，因此该斜截圆柱的侧面 积为2X2πX4=4π，所以函数y=2十osx(0≤x≤ (2)①当n=6时，0=牙，所以E,F1=2十+cs牙， m)与坐标轴图成的面积为×4x=2又因为无论点 EF,=2+os牙，EF,=2+os牙…所以(E,R, F:(i=1,2,3,…,n一1)是否均匀分布在半圆孤AB 2)·(E2F2-2)·(E3F,-2)=cos牙co 2π 3 上，这些矩形的面积之和都小于函数y=2十c0sx (Ox≤π)与坐标轴围成的面积. 2π 4π 501 6π 2π 3π sin 7 sin sin 17 sin X 7 所以AF1·E1F1+F1F2·E2F2+…十 × -× 2sn号 2 2sin7 3元 2sin7 2sn号 n2π 2sin 7 Fm-1Fn·EmFm十FnB·BC<2π，得证. 184