第03讲 一元一次不等式组（4知识点+11考点+过关检测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材沪教版五四制

第03讲 一元一次不等式组 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：一元一次不等式组的定义 ★一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的一组不等式，叫作一元一次不等式组. 【注意】 一个一元一次不等式组包含三个条件： （1）不等式组中所有的不等式都是一元一次不等式； （2）不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数； （3）不等式组中的一元一次不等式的个数至少是两个. 下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元一次不等式组的定义即用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式组解答即可． 【详解】解：A、分母中含有未知数，不符合题意； B、含有两个未知数，不符合题意； C、第一个不等式中没有未知数，不符合题意； D、符合一元一次不等式组的定义，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题比较简单，考查的是一元一次不等式组的定义，只要熟练掌握一元一次不等式组的定义即可轻松解答． 知识点2：一元一次不等式组的解集 ★1、一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集，解不等式组就是 求不等式组的解集 . ★2、确定几个不等式解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们的公共的部分. ★3、不等式组解集的四种基本类型：（已知：a＞b ） 不等式 组 数轴 表示 解集 解集 x＞a x＜a b＜x＜a 无 解 归纳 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 直接写出下列不等式组的解： （1）的解集为　 　； （2）的解集为　 ； （3）的解集为　 　； （4）的解集为　 　． 【分析】根据大大取大，小小取小，小大大小中间找，大大小小解不了的原则直接写出解集即可． 【详解】解：（1）x＞5； （2）x＜2； （3）2＜x＜5； （4）无解． 故答案为：x＞5；x＜2；2＜x＜5；无解． 【点睛】本题考查了不等式的解集，求不等式组的解集，要遵循以下原则：大大取大，小小取小，小大大小中间找，大大小小解不了． 知识点3：一元一次不等式组的解法 ★1、求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. ★2、求一元一次不等式组解集的方法： ①分别求出各个不等式的解集； ②在数轴上寻找各不等式解集公共部分； ③写出不等式组的解集. ★3、一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 求不等式组的解集并写出最小整数解． 【答案】，最小整数解为 【分析】本题考查了求不等式组的整数解问题，分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后得出不等式组的解集，即可找出不等式组的最小整数解． 【详解】解：由解得： 由 解得：． 所以原不等式组的解集为： 所以原不等式组的最小整数解为： 知识点4：一元一次不等式组的实际应用 ◆1、列一元一次不等式组解应用题，主要是从题意中寻求不等关系，列出不等式组，并且解不等式组，最后从解集中找出符合实际条件的答案． ◆2、列一元一次不等式组解应用题的一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为（　　） A．24人 B．23人 C．22人 D．不能确定 【分析】根据若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，可以列出相应的不等式组，然后求解即可，注意x为整数． 【详解】解：设每组预定的学生为x人， 由题意可得，， 解得21x＜22， ∵x为正整数， ∴x＝22， 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组． 【题型1 一元一次不等式组的识别】 【典例1】（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·全国·周测）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组，解题的关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 利用一元一次不等式组定义逐个判断解答即可． 【详解】A．，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故不符合题意； B．，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，故不符合题意； C．，是一元一次不等式组，故符合题意； D．，含有分式不等式，不是一元一次不等式组，故不符合题意； 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 【详解】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意； 故选：D． 【题型2 确定简单不等式组的解集】 【典例1】（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，数轴上公共部分表示的是某个关于的一元一次不等式组的解集，那么这个不等式组可以是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集，根据数轴表示的不等式解集求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由数轴知，这个不等式组可以为， 故选：． 【变式1】（2025·上海崇明·二模）不等式组的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握该知识点是解题关键． 根据解一元一次不等式组的步骤求解即可． 【详解】解：不等式组， 解不等式①得． 解不等式②得． 所以原不等式组的解为． 故选：A． 【变式2】直接写出不等式组的解集： （1）　 　；（2）　 　；（3）　 　． 【答案】：3＜x＜8，x＝﹣6，无解． 【分析】（1）根据口诀“大小小大中间找”即可确定答案； （2）找到这两个x的取值范围的公共部分即可； （3）根据“同大取大”及“大大小小无解了”即可得出答案． 【详解】解：（1）的解集为3＜x＜8； （2）的解集为x＝﹣6； （3）无解； 故答案为：3＜x＜8，x＝﹣6，无解． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【题型3 解一元一次不等式组】 【典例1】（24-25七年级下·上海·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： ， 故选：C． 【变式1】 （24-25九年级下·上海长宁·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 【变式2】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，解集表示见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，进而在数轴上表示即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 该解集在数轴上表示为： 【变式3】（24-25七年级下·上海·期中）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】题目主要考查求不等式组的解集及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解不等式组的方法是解题关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共部分即为不等式的解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 故此不等式组的解集为：． 在数轴上表示如图： 【题型4 求不等式组的特殊解】 【典例1】（24-25七年级下·上海·月考）解不等式组，将它的解集表示在数轴上，并求出其自然数解． 【答案】不等式组的解集为，数轴表示见解析，自然数解为，，，，， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的自然数解，先求出每个不等式的解集，取解集的公共部分可得不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来，最后根据数轴求出自然数解即可，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 由数轴可知，不等式组的自然数解为，，，，，． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）解不等式组，并写出它的非负整数解． 【答案】，不等式组的非负整数解为，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的非负整数解，分别求出每一个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，继而可得其非负整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的非负整数解为，． 【变式2】（24-25九年级下·上海浦东新·月考）解不等式组：，将解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 【答案】，数轴见详解，整数解为： 【分析】本题考查解不等式组的解集及整数解，在数轴上表示解集，解题的关键是熟练掌握解不等式组的步骤，数形结合的数学思想． 先分别求出各不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，再根据数轴上表示解集的方法表示出该不等式组的解集，最后写出整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得， ； 解不等式②得，； ∴该不等式组的解集为， 在同一数轴上表示出不等式①②的解集如下： 这个不等式组的整数解为：． 【题型5 由一元一次不等式组的解集求参数】 【典例1】不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤． 先求解不等式，结合原不等式组的解集是，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：解不等式， 可得：， ∵原不等式组的解集是， ∴， 解得：， 故答案为：C． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组的解集是，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和二元一次方程组的解法，先分别解不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”求出不等式组的解集，因为题目告知不等式组解集，即可求出答案． 【详解】解：， 由①得： 由②得：， ， ∴此不等式组的解集为：， 由题可知：此不等式组的解集为：， ∴， 解得：， ∴． 故选：A 【变式3】如果不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出第一个不等式的解集，然后根据题意以及求不等式组解集的方法判断参数的范围即可． 【详解】解：由不等式解得， 即原不等式组的解集为， 由题意，原不等式组的解集为， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查含参数的不等式组求解问题，掌握不等式组解集的定义以及求解方法是解题关键． 【题型6 由一元一次不等式组的解集的情况求参数】 【典例1】若关于的不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式组含参数问题．首先分别解两个不等式，然后根据不等式组无解得到，进而求解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式组无解， ， 解得， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·浙江·期中）若关于的不等式组有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式组的解集，掌握不等式的性质，取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质，及取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”的方法即可求解． 【详解】解：关于的不等式组有解， ∴， 故选：D ． 【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·月考）已知关于的不等式组只有一个解，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解，正确得出不等式组的解集是解题关键． 求出不等式组中两不等式的解集，根据不等式取解集的方法：同大取大；同小取小；大大小小无解；大小小大取中间的法则表示出不等式组的解集，由不等式组只有一个解，即可得出a的值． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ， 不等式组只有一个解， ， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·上海·月考）解不等式组：． (1)当时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； (2)要使此不等式组无解，则的取值范围是_____． 【答案】(1)，见解析； (2)． 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，不等式组无解问题； （1）当时，可得，再解不等式组即可； （2）由得：，由得：，结合不等式组无解可得，进一步可得答案. 【详解】（1）解：当时， ， 解得：， 在数轴上表示两个不等式的解集如下： ∴不等式组的解集； （2）解得：， 解得：， 要使此不等式组无解， ∴， ∴； ∴的取值范围是. 【变式4】（24-25七年级下·上海·月考）已知关于x的不等式组无解，且关于y的一元一次方程有非负整数解，求m的值． 【答案】或 【分析】本题考查根据不等式组的解集与一元一次方程的解求参数，熟练掌握不等式组的解集与一元一次方程的解是解题的关键． 根据不等式组无解得到，根据一元一次方程有非负整数解得到，且，，，，，…，综合即可解答． 【详解】解：不等式组可化为， ∵该不等式组无解， ∴， ∴． 由得， ∵该一元一次方程有非负整数解， ∴，且，，，，，…（即的倍数） ∴，且，，，，，… 综上，或． 【题型7 利用整数解求字母的取值范围】 【典例1】关于的不等式组恰好有个整数解，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，由一元一次不等式组的解集求参数等知识点，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 首先求不等式组的解集，得到，由该不等式组恰好有个整数解可知其整数解是和，于是可得，解之，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 对于，解得：， 对于，解得：， 不等式组的解集为， 该不等式组恰好有个整数解， 其整数解是和， ， 对于，解得：， 对于，解得：， ， 故选：． 【变式1】若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组的整数解有4个，确定m的取值范围即可． 【详解】解：解不等式组，得：， ∵关于x的不等式组的整数解共有4个， 即：， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查根据不等式组的解集，求参数的取值范围．解题的关键是正确的求出不等式组的解集． 【变式2】（24-25七年级下·上海宝山·月考）若关于x的不等式组有三个整数解，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后根据有三个整数解列不等式组求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 不等式组的解集为， 又不等式组有三个整数解， ∴不等式组的整数解为， ， 解得：． 实数a的取值范围为． 【题型8 方程（组）与不等式组的综合应用】 【典例1】（24-25七年级上·上海·假期作业）已知关于的方程组的解满足，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程和不等式的综合问题，用含a的代数式表示出x、y，然后根据得出a的范围，再根据a的范围化简计算． 【详解】解： ， 得， 解得：， 代入①得， 解得：， ∴， 因为， 所以， 解得：， 所以． 故选：B． 【变式1】（24-25六年级下·上海·期末）已知关于、的方程组的解是一对异号的数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，掌握相关解法是解题关键．先利用加减消元法求出方程组的解，再根据解是一对异号的数得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 由得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 方程组的解为， 关于、的方程组的解是一对异号的数， 或， 解得：， 的取值范围是， 故答案为： 【变式2】（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知关于的方程组（为常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和方程组，弄清题意，找到解决问题的方法，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）两式相加，得，于是有，进而求解即可； （2）两式相减，得，另根据，即可求得求的取值范围． 【详解】（1）解： ，得：，故， 又由，则，得． （2）解： ，得：， 又由，得， 解得． 【题型9 不等式组与新定义问题】 【典例1】（24-25七年级下·上海·期中）定义新运算“※”如下：当时，；当时，．例如：，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式，新定义运算，解题的关键是根据题意列出不等式，注意进行分类讨论．先根据题意分两种情况：当时，当时，列出不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】解：当时，， 解不等式得：， 解不等式得： ∴； 当时，， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴此时无解； 综上分析可知：x的取值范围是． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·月考）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“有缘方程”，如：方程就是不等式组的“有缘方程”．若关于方程（为整数）是不等式组的一个有缘方程，则整数的值为 ． 【答案】2或3 【分析】本题考查解一元一次方程，求不等式组的解集，掌握“有缘方程”的定义，是解题的关键． 先求出方程的解和不等式组的解集，利用有缘方程的定义，得到关于k的不等式组，求出整数解即可． 【详解】解：解方程，得：， 解不等式组，得：， 关于方程（为整数）是不等式组的一个有缘方程， ， 解得， k是整数， 的值为2或3． 故答案为：2或3． 【变式2】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，那么我们把这个一元一次方程叫作为这个不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是 ．（只需填序号） (2)如果不等式组的某个关联方程的根是整数，那么这个关联方程可以是 ．（写出一个即可） (3)如果方程是关于的不等式组的关联方程，请求出的取值范围． 【答案】(1)③ (2)（答案不唯一） (3)m的取值范围为 【分析】本题考查了解一元一次方程与一元一次不等式组，理解关联方程的意义并正确求解是解题的关键． （1）分别求出3个方程的解，求出一元一次不等式组的解集，根据关联方程的概念即可判断； （2）求出不等式组的解集，根据关联方程的概念写出一个方程即可； （3）求出不等式组中每个不等式的解集，则方程的解满足每个解集，从而求得m的范围． 【详解】（1）解：解得；解得；解得， 解不等式组得； 则，不是不等式组的解，是不等式组的解， ∴是不等式组的关联方程； 故答案为：③； （2）解：由于不等式组的解集为，此范围的整数有1，2，3； 而方程的解为，则方程是不等式组的关联方程； 故答案为：（答案不唯一）； （3）解：解关于的不等式组，得； 解得； 由题意得：，解得：； 故m的取值范围为． 【题型10 由实际问题列一元一次不等式组】 【典例1】若干名学生乘船．若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据船的数量表示出学生人数，再结合“每船坐人时，空一条船且有船不空也不满”这一条件列不等式组．本题主要考查一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列不等式组是解题的关键． 【详解】解：设有条船，由题意可得， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 设有间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为人，当每间住6人时，前间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到． 【详解】解：设有x间宿舍，则总人数为人， 当每间住6人时，有一间不空也不满， ∴， 即不等式组为． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组．先求得调整后咖啡浓度为，再根据“调整后的咖啡浓度既不低于又不超过”列出不等式组即可． 【详解】解：由题意倒掉了x毫升咖啡液，此时剩余的咖啡质量为克， 调整后咖啡浓度为， 根据题意得， 故答案为：． 【题型11列一元一次不等式组解决实际问题】 【典例1】（24-25七年级下·上海·月考）某山区学校为部分离家远的学生安排住宿．如果每间宿舍住5人，那么有12人安排不下；如果每间宿舍住8人，那么最后一间宿舍不空也不满，问共有宿舍 间． 【答案】5或6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组并正确求出整数解是解题关键． 设共有宿舍x间，根据如果每间宿舍住5人，那么有12人安排不下；如果每间宿舍住8人，最后一间宿舍不空也不满，列出一元一次不等式组，求出解集，再由x为整数，即可解答． 【详解】解：设共有宿舍x间，依题意，得 解①得 ， 解②得 ， ∴原不等式的解集为， ∵x为整数， ∴x可以为5或6． 故答案为：5或6． 【变式1】（24-25七年级下·上海青浦·期末）一件商品的成本是50元． (1)如果售价是58元，那么盈利率是多少？ (2)如果按原价的八五折销售，至少可获得10%的利润；如果按原价的九折销售，能获得不足20%的利润，那么商品的原价（正整数）是多少元？ 【答案】(1) (2)或元 【分析】本题主要考查了有理数的运算以及一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组解题的关键． （1）根据盈利率等于售价减去成本再比上成本，即可求解； （2）设商品的原价（正整数）是元，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 答：如果售价是58元，那么盈利率是． （2）解：设商品的原价（正整数）是元，根据题意得， ， 解得：， ∵是正整数，则或， 答：商品的原价（正整数）是或元． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元 (2)该公司可以采购A种机器人数量的范围 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据“用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人”列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个， 根据题意得， 解得， ∴该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【变式3】（2025·上海闵行·模拟预测）某商店用10000元人民币购进某款服装进行销售，过了一段时间，由于热销，又用24000元人民币购进同款服装，所购服装的数量是第一次购进数量的2倍，但每件的价格比第一次购进的货贵了20元． (1)求该商店第一次购进该款服装的数量； (2)假设该商店两次购进的服装按相同的标价销售，最后剩下的20件按标价的五折优惠销售，如果两次购进的服装全部售完，利润不低于9500元，求每件服装的标价至少是多少元． 【答案】(1)该商店第一次购进100件该款服装 (2)每件服装的标价至少是150元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店第一次购进x件该款服装，则第二次购进件该款服装，根据第二批购进每件的价格比第一次购进的价格贵了20元，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设每件服装的标价是y元，利用总利润销售单价销售数量进货总价，结合总利润不低于9500元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该商店第一次购进x件该款服装，则第二次购进件该款服装， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该商店第一次购进100件该款服装； （2）解：设每件服装的标价是y元， 根据题意得：， 解得：， ∴y的最小值为150. 答：每件服装的标价至少是150元． 1、 选择题 1．（2025·上海·模拟预测）已知，那么下列不等式组中，无解的不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解不等式组，关键是正确理解解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解了．利用求不等式解集的方法判定即可． 【详解】解：A．根据“同小取小”的原则，原不等式组的解集为，故有解，不符合题意； B．根据“大大小小无解了”的原则，原不等式组无解，符合题意； C．根据“大小小大中间找”的原则，原不等式的解集为，故有解，不符合题意； D．根据“同大取大”的原则，原不等式组的解集为．故有解，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·期末）已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组．解题关键在于掌握其方法步骤． 解不等式组，根据其解集得出关于a、b的方程，解之求得a、b的值，再还原方程，解方程即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得． ∵不等式组的解集是， ∴． ∴，． ∴． ∴方程为． 解得． 故选：D． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上，即可． 【详解】解：解不等式组得，再分别表示在数轴上为： 故选：C． 【点睛】此题主要考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是熟练掌握不等式组的解集在数轴上表示的方法． 4．（23-24六年级下·上海·期中）如果关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先算出每个不等式，则，，再结合关于x的不等式组的解集是，即可列式，进行作答． 【详解】解：∵ ∴由，则，解得， ∵解集是，， ∴， 解得， 故选：A． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．解方程组可得，再结合列出不等式组，求出不等式组的解集即可得出结论． 【详解】解：关于x，y的方程组为， 解得：， 因为， 所以， 解得：． 故选：C． 6．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意，总棵数在两种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不等式组即可． 【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为：． 故选：B． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数值的和为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解、一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 根据关于的方程的解为非负整数，且关于的不等式组有解，可以求得的取值范围，从而可以求得符合条件的整数的值的和，本题得以解决． 【详解】解：由方程，得， ∵关于的方程的解为非负整数， ∴，得， ， 由①，得， 由②，得， ∵关于的不等式组有解， ∴，得， 由上可得，， ∴符合条件的整数的值为：，0，1，2，3， ∴符合条件的整数的值的和为：． 故选：C． 2、 填空题 8．（2025·上海·模拟预测）如果不等式组的解集为，那么的取值范围是为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的解集情况，熟练掌握不等式组的解集取值方法是解题的关键． 根据不等式组解集情况分析求解即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴； 故答案为：． 9．（24-25七年级下·上海闵行·月考）已知关于的不等式组，任意一个的值都不在的范围内，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 先求出不等式组的解集，再根据已知得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可得出答案． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 解集中任意一个的值都不在的范围内， 或， 或， 故答案为：或． 10．（23-24七年级下·全国·课后作业）不等式组的所有整数解的和为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组，求不等式组的整数解，是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，得到不等式组的解集和整数解，即得． 【详解】， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 不等式组的解集为：， 整数解为：3、4， 其和为：7， 故答案为：7． 11．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组求参数问题，解题的关键是掌握解不等式组的方法． 先解出不等式组，根据它有个整数解求出的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， 该不等式组有个整数解， 整数解为，，， ； 故答案为： 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果关于x的不等式组有解，且关于x的方程有正整数解，那么符合条件k的所有整数和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的解，已知一元一次方程解的情况求参数，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键． 先解方程，再根据不等式组有解求出的取值范围，然后根据方程有正整数解得出，将的取值代入，找出符合条件的值，并相加即可得出答案． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． 该不等式组有解， ， 解得． 整理方程，得． 方程有正整数解， ，解得， ． 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得，不符合题意，舍去； 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·上海·期中）若整数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的整数有 （写出所有符合条件的a）． 【答案】，，， 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，根据分式方程的解为非负数结合不等式组的解集为，找出的取值范围是解题的关键．先求解分式方程，得到解用 表示，根据解为非负数且分母不为零，得到 且 ；再解不等式组，第一个不等式解为 ，第二个不等式解为 ，根据解集为 ，得到 ；综合可得整数 为，，，． 【详解】解：分式方程 可化为 ，即 ， 两边乘 （），得 ， 解得 ， 又解为非负数，故 ，即 ， 且 ，故 ，即 ． 在不等式组中， 第一个不等式去分母得，，化简得 ； 第二个不等式解得 ，， 解集为 ， ． 综上，整数 满足 且 ，即 ． 故答案为：，，，． 14．（24-25七年级上·上海·假期作业）学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是 人． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，解决本题的关键是读懂题意，并根据题意列出不等式组．设有间宿舍，利用“若每间住人，则余人无住处”得出总人数为，利用“若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）”列式求出范围，再结合为正整数，依次对的值进行判断该班男生是否不足人，即可求解． 【详解】解：设有间宿舍． 根据题意，得：， 解得：， 因为为正整数， 当时，人数为； 当时，人数为； 当时，人数为； 因为该班男生不足人， 所以该班的男生人数是人， 故答案为：． 3、 解答题 15．（24-25九年级下·上海·月考）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：； 由②得：； ∴不等式组的解集为：． 16．（24-25七年级下·上海·月考）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解法是关键． 先求出两个不等式的解集，再求出公共解，然后在数轴表示即可． 【详解】解：， 由①解得， 由②解得， 故原不等式组的解集为：． 在数轴表示如下： 17．（24-25七年级下·上海松江·月考）解不等式组．在数轴上表示它的解集并求出它的所有非负整数解． 【答案】，数轴见解析，所有非负整数解有0，1，2． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，然后在数轴上表示解集，最后求出所有非负整数解即可． 【详解】解∶， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式的解集为， 在数轴上表示为： ∴所有非负整数解有0，1，2． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若方程组的解是正数，求m的取值范围； (2)若方程组的解满足不小于0，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解题的关键在于熟知解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法． （1）先把m看做常数利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解是正数得到关于m的不等式组，解不等式求出m的取值范围即可； （2）根据（1）所求结合不小于0建立不等式求解即可． 【详解】（1）解方程组， 得， ∵方程组的解是正数， ， 解得． （2）∵方程组的解满足不小于0， ， 解得． 19．（24-25七年级下·上海·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式组、解一元一次方程等知识，读懂题意，理解“关联方程”是解决问题的关键． （1）先解一元一次不等式组，再解一元一次方程，最后由“关联方程”的定义求解即可得到答案； （2）先解一元一次不等式组，再解一元一次方程，最后由“关联方程”的定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为； 解方程得， ， 方程①是不等式组的“关联方程”； 解方程得， ， 方程②是不等式组的“关联方程”； 解方程得， 方程③不是不等式组的“关联方程”； 故答案为：①②； （2）解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为； 解方程得， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ， 解得． 20．（24-25七年级下·上海·月考）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？ 【答案】(1)A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元 (2)该企业购买方案有2种：①购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台；②购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用． （1）设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，根据信息一的数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台，根据要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元； （2）解：设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台， 由题意得：， 解得：， ∵a为正整数， ∴，6， ∴该企业购买方案有2种： ①购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台； ②购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台． 21．（24-25七年级下·上海·期中）学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球拍数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？并写出方案． 【答案】(1)乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元 (2)有三种购买方案：学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副；学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副；学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组解应用题，读懂题意，准确列出方程组、不等式组求解是解决问题的关键． （1）设乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元，由等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设学校准备购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副，由题意列出一元一次不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元，则 ， 解得， 答：乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元； （2）解：设学校准备购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副，则 ， 解得， 为正整数， 可取， 即有三种购买方案： 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副； 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副； 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副． 22．（24-25七年级下·上海闵行·期中）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【答案】(1)购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元 (2)该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，求解并根据m的取值分别讨论计算即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元， 根据题意可知： 解得：， 则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． （2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意可得出： 解得： ∵m为正整数， ∴或11或12， 当时，购进B型汽车为5辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为4辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为3辆， 此时利润为：（万元） 综上：该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 一元一次不等式组 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：一元一次不等式组的定义 ★一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的一组不等式，叫作一元一次不等式组. 【注意】 一个一元一次不等式组包含三个条件： （1）不等式组中所有的不等式都是一元一次不等式； （2）不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数； （3）不等式组中的一元一次不等式的个数至少是两个. 下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 知识点2：一元一次不等式组的解集 ★1、一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集，解不等式组就是 求不等式组的解集 . ★2、确定几个不等式解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们的公共的部分. ★3、不等式组解集的四种基本类型：（已知：a＞b ） 不等式 组 数轴 表示 解集 解集 x＞a x＜a b＜x＜a 无 解 归纳 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 直接写出下列不等式组的解： （1）的解集为　 　； （2）的解集为　 ； （3）的解集为　 　； （4）的解集为　 　． 知识点3：一元一次不等式组的解法 ★1、求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. ★2、求一元一次不等式组解集的方法： ①分别求出各个不等式的解集； ②在数轴上寻找各不等式解集公共部分； ③写出不等式组的解集. ★3、一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 求不等式组的解集并写出最小整数解． 知识点4：一元一次不等式组的实际应用 ◆1、列一元一次不等式组解应用题，主要是从题意中寻求不等关系，列出不等式组，并且解不等式组，最后从解集中找出符合实际条件的答案． ◆2、列一元一次不等式组解应用题的一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为（　　） A．24人 B．23人 C．22人 D．不能确定 【题型1 一元一次不等式组的识别】 【典例1】（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·周测）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 确定简单不等式组的解集】 【典例1】（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，数轴上公共部分表示的是某个关于的一元一次不等式组的解集，那么这个不等式组可以是（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（2025·上海崇明·二模）不等式组的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式2】直接写出不等式组的解集： （1）　 　；（2）　 　；（3）　 　． 【题型3 解一元一次不等式组】 【典例1】（24-25七年级下·上海·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】 （24-25九年级下·上海长宁·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【变式2】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期中）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来． 【题型4 求不等式组的特殊解】 【典例1】（24-25七年级下·上海·月考）解不等式组，将它的解集表示在数轴上，并求出其自然数解． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）解不等式组，并写出它的非负整数解． 【变式2】（24-25九年级下·上海浦东新·月考）解不等式组：，将解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 【题型5 由一元一次不等式组的解集求参数】 【典例1】不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组的解集是，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【变式3】如果不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型6 由一元一次不等式组的解集的情况求参数】 【典例1】若关于的不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·浙江·期中）若关于的不等式组有解，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·月考）已知关于的不等式组只有一个解，的值为 ． 【变式3】（24-25七年级下·上海·月考）解不等式组：． (1)当时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； (2)要使此不等式组无解，则的取值范围是_____． 【变式4】（24-25七年级下·上海·月考）已知关于x的不等式组无解，且关于y的一元一次方程有非负整数解，求m的值． 【题型7 利用整数解求字母的取值范围】 【典例1】关于的不等式组恰好有个整数解，则满足（   ） A． B． C． D． 【变式1】若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海宝山·月考）若关于x的不等式组有三个整数解，求实数a的取值范围． 【题型8 方程（组）与不等式组的综合应用】 【典例1】（24-25七年级上·上海·假期作业）已知关于的方程组的解满足，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25六年级下·上海·期末）已知关于、的方程组的解是一对异号的数，则的取值范围是 ． 【变式2】（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知关于的方程组（为常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【题型9 不等式组与新定义问题】 【典例1】（24-25七年级下·上海·期中）定义新运算“※”如下：当时，；当时，．例如：，，若，则的取值范围是 ． 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·月考）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“有缘方程”，如：方程就是不等式组的“有缘方程”．若关于方程（为整数）是不等式组的一个有缘方程，则整数的值为 ． 【变式2】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，那么我们把这个一元一次方程叫作为这个不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是 ．（只需填序号） (2)如果不等式组的某个关联方程的根是整数，那么这个关联方程可以是 ．（写出一个即可） (3)如果方程是关于的不等式组的关联方程，请求出的取值范围． 【题型10 由实际问题列一元一次不等式组】 【典例1】若干名学生乘船．若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组 ． 【题型11列一元一次不等式组解决实际问题】 【典例1】（24-25七年级下·上海·月考）某山区学校为部分离家远的学生安排住宿．如果每间宿舍住5人，那么有12人安排不下；如果每间宿舍住8人，那么最后一间宿舍不空也不满，问共有宿舍 间． 【变式1】（24-25七年级下·上海青浦·期末）一件商品的成本是50元． (1)如果售价是58元，那么盈利率是多少？ (2)如果按原价的八五折销售，至少可获得10%的利润；如果按原价的九折销售，能获得不足20%的利润，那么商品的原价（正整数）是多少元？ 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【变式3】（2025·上海闵行·模拟预测）某商店用10000元人民币购进某款服装进行销售，过了一段时间，由于热销，又用24000元人民币购进同款服装，所购服装的数量是第一次购进数量的2倍，但每件的价格比第一次购进的货贵了20元． (1)求该商店第一次购进该款服装的数量； (2)假设该商店两次购进的服装按相同的标价销售，最后剩下的20件按标价的五折优惠销售，如果两次购进的服装全部售完，利润不低于9500元，求每件服装的标价至少是多少元． 1、 选择题 1．（2025·上海·模拟预测）已知，那么下列不等式组中，无解的不等式组为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·期末）已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24六年级下·上海·期中）如果关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数值的和为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 2、 填空题 8．（2025·上海·模拟预测）如果不等式组的解集为，那么的取值范围是为 ． 9．（24-25七年级下·上海闵行·月考）已知关于的不等式组，任意一个的值都不在的范围内，则的取值范围是 ． 10．（23-24七年级下·全国·课后作业）不等式组的所有整数解的和为 ． 11．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果关于x的不等式组有解，且关于x的方程有正整数解，那么符合条件k的所有整数和为 ． 13．（25-26八年级上·上海·期中）若整数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的整数有 （写出所有符合条件的a）． 14．（24-25七年级上·上海·假期作业）学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是 人． 3、 解答题 15．（24-25九年级下·上海·月考）解不等式组：． 16．（24-25七年级下·上海·月考）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 17．（24-25七年级下·上海松江·月考）解不等式组．在数轴上表示它的解集并求出它的所有非负整数解． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若方程组的解是正数，求m的取值范围； (2)若方程组的解满足不小于0，求m的取值范围． 19．（24-25七年级下·上海·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 20．（24-25七年级下·上海·月考）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？ 21．（24-25七年级下·上海·期中）学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球拍数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？并写出方案． 22．（24-25七年级下·上海闵行·期中）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $