2026年初中数学与高中数学重点知识衔接断层问题梳理汇总及典型例题

初、高中数学重点知识衔接断层问题梳理及习题 （一）乘法公式 1.初中学过的乘法公式： （1）平方差公式 ； （2）完全平方公式 ． 2.初中未学过的乘法公式： （1）立方和公式 ； （2）立方差公式 ； （3）三数和的平方公式 ； （4）两数和都立方公式 ； （5）两数差对立方公式 ． 【例 1】化简: . 【解】 . 由完全立方公式可得 ,即 由此可得立方和公式 将立方和公式中的 全部改为 ,得到立方差公式 【例2】对任意实数 ,试比较 与 1 的大小. 【分析】观察 的结构特点,可运用立方和 (差) 公式将其化简. 【解】 因为 ,对任意实数 ,所以 通过将完全平方公式 中的指数 2 推广到 3,我们得到了课堂笔记 完全立方公式. 有兴趣的同学可以将指数推广到 . 另外,我们也可以从项数的角度推广 灵活应用等式 ,可以为代数式运算带来方便. 【例3】已知 ,求下列各式的值: (1) (2) 【分析】将 (1) 与已知联系,联想已知中的等式,发现可将 用 和 表示. 由于 ,由 (1) 得到启发,如果知道 的值,就能得解. 【解】(1) . 由上式和已知得 ,即 . (2) 由 ,得 . 因为 ,所以 . 再由 (1) 的结论,得 . 因此 . 【例4】已知 ,求证: . 【证法 1】 由已知得 ,故 . 因此, 【证法 2】 . 配套练习： 1. 若 ,则 ( ) A. 128 B. 464 C. 496 D. 512 2. 若 ,则 ( ) A. 0 B. C. D. 3. 设 ,对于任意 ,则 大小关系为 ( ) A. B. C. D. 不一定 4. _____. 5. 观察下列各式的规律: 可得到 _____. (其中 为正整数). 6. 求函数 的最大值. 7. 当 时,求代数式 的值. （二）绝对值与二次根式： (1)绝对值的代数意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 正数的绝对值是它的本身，负数 绝对值是它的相反数.零的绝对值仍是零．即 (2)两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上数和数之间的距离． （3）两个绝对值不等式： （4）二次根式的意义： 【例1】化简: . 【分析】分母有理化通常是把分子和分母都乘以同一个不等于零的适当代数式 (有理化因式), 使分母不含根号. 其中第 (2) 题还可以将分子用平方差公式分解因式后进行约分, 同样第 (3) 题也可以将分子用立方和 (差) 公式分解因式后进行约分. 【解】(1)【解】 . (2)【解法 1】 . 【解法 2】 . (3)【解】 【例2】计算: . 【分析】观察分式的分子和分母,发现 , . 因此可先将他们拆成两项之和,然后分别进行分母有理化. 【解】原式 【例3】计算: . 【分析】二次根式的混合运算, 要根据算式的形式特征安排计算程序, 使计算简便. 【解】原式 【例4】已知 ,求 的值. 【分析】先化简再求值,同时注意 . 【解】因为 ,所以 原式 . 【例5】已知 ,且 ,其中 ,求证: . 【分析】当已知等式中含有二次根式时, 可以考虑把等式两边平方. 【解】【证明】因为 ,所以 两边平方,整理得 . 两边再平方,整理得 . 把 代入得 ,两边同除以 ,得 . 【例6】已知 都是非负数,并且 ,求证: . 【分析】当已知式或求证式中含有二次根式时, 可以考虑把两边平方化为整式再证明. 但 ,未必有 ,因此在证明过程中必须确定 是否同号. 【解】【证明】将 两边平方,得 ,即 1 得 . . 因为 都是非负数,所以 .因此 . 【例 8】(1) 当 时,求 的值. ( 2 )若 为自然数, 的取值范围是什么？ 【分析】根据 次根式的性质,可以对含字母的根式进行化简与讨论. 【解】( 1 )当 时, . (2) 因为 为自然数,所以 为偶数,于是 . 又因为 ,所以 . 类似于二次根式的性质,我们也可以得到 次根式的性质: (1) . ( 2 )当 为奇数时, ；当 为偶数时, . , 从指数式的角度看, ,所以 . 配套练习： 1. 下列说法正确的是 ( ) A. 正数有一个偶次方根 B. 负数没有偶次方根 C. 负数有两个奇次方根 D. 正数有两个奇次方根 2. 当 时, ( ) A. B. C. D. 3. 把 分母有理化的结果是 ( ) A. -1 B. C. D. 4. 的 7 次方根是_____,0 的 8 次方根是_____, 的 4 次方根是_____, 的 4 次方根是_____, 5. 计算: _____, _____, _____, _____. 6. 已知 ,求 的值. 7. 化简: . 8. 化简: ; (2) . （三）分式 1.分式的意义、基本性质： 形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：； ． 2.零指数 ， 3.负整数指数 ， 4.分式的运算; 注意：正整数指数幂的运算性质可以推广到实数指数幂. 【例1】计算: . 【分析】分式乘除运算与约分相关, 应考虑先将各分式的分子分母分解因式. 【解】原式 【例2】先化简,再求值: ,其中 . 【分析】分式混合运算时需合理安排运算顺序, 小心完成每一步. 本题代数式最后乘上的分式其分子是完全立方,分母可以进行分组分解. 【解】原式 当 时,原式 . 【例3】已知 ,求 的值. 【分析】观察题目特点,对条件与结论采用取倒数处理,建立条件与结论间的联系, 从而达到解题的目的. 【解】因为 ,所以 ,得 . 于是 . 因此 . 【注】本题解答中灵活应用了 . 【例4】已知 ,求证: , 第 8 页 【分析】由已知两式消去 ,即可得到含 的关系式. 【解】由 ,得 ; 由 ,得 . 所以 ,得 ,即 . 两边都乘以 ,得 ,两边再都除以 ,得 ,移项得 【例5】已知 ,求证: . 【分析】此题直接通分太繁,不可取. 观察求证式子的左边,发现作轮换 ,可将其中一项变为另两项,结合已知条件,可以有以下两种策略. 【解】【解法 1】因为 ,所以 均不为零. 原式 . 【解法 2】因为 ,所以 均不为零. 原式 . 【例6】化简: . 【分析】对于繁分式化简,可以利用分式基本性质,在分式的分子、分母上都乘以它们各分母的最简公分母, 从而达到使分子、分母转化为整式的目的; 也可以利用分式的概念, 将繁分式转化为分式的除法. 【解】【解法 1】原式 . 【解法 2】原式 . 【例7】化简: . 【分析】观察发现,上式中出现最多的是 ,而 ,因此设 ,原式的形就变简单了,从而有利于化简. 换元法在繁分式化简中是一种常用的方法. 【解】设 ,则 . 原式 . 第 10 页 配套练习： 1. 下列运算中, 错误的是 ( ) 课堂笔记 A. B. C. D. 2. 若 ,则 ( ) A. 10 B. 15 C. D. 3. 若 ,则 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 化简: . 5. 化简: . 6. 计算: . 7. 已知 ,求证: . 8. 已知 ,求 的值. （四）分解因式： 十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法. 分解技巧：添项、拆项法 例1、将下列各式分解因式: (1) ; (2) 【分析】(1) 因为 ,且一次项系数是 1, 所以可用十字相乘法分解因式. (2)当二次项系数为负时,二次项系数分解成的两个因数异号, 则十字辅助图的各种可能性就会更多. 因此先把负号提到括号外面,即 ,然后再把 按图 1.2-7 用十字相乘法分解因式. 【解】( 1 )因为 ,恰好等于一次项系数 1, 所以 ( 2 )因为 ,而根据十字相乘法, ,所以 【例2】分解因式: . 【分析】先将 视为一个整体,通过两次十字相乘法得到解决. 【解】 . 【例3】将下列各式分解因式: (1) ； (2) . 【解】 (1)【解法 1】 . 【解法 2】 (x - 1). (2) . 【注】本题第 (2) 小题的解法是先将多项式分组, 再用公式法分解因式. 先将多项式分组后分解因式的方法称为分组分解法. 用这种方法分解因式, 分组时应预见到下一步分解的可能性. 【例4】分解因式: . 【分析】本题用前面学过的方法似乎均不奏效,若将其中一项拆成两项,就可考虑分组分解. 【解】 . 【例5】已知 ,化简: . 第 5 页 【解】因为 , 所以 . 又因为 ,所以 ,即只有 . 从而 配套练习： 1. 对多项式 用分组分解法分解因式,下面分组正确的是 ( ) A. B. C. D. 2. 要使二次三项式 在整数范围内可分解, 为正整数,那么 的取值可以有 ( ) A. 2 个 B. 3 个 C. 5 个 D. 6 个 3. 把多项式 分解因式,结果是 ( ) A. B. C. D. 4. _____ . 5. 将下列各式分解因式: (1) ； (2) . 6. 将下列各式分解因式: (1) ; (2) . 7. 已知 ,试用 表示 . 8. 当 时, . 请根据这一事实,将 分解因式 （五）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法将其变形为 ． ① （1） 当b2－4ac＞0时，方程①的右端是正数， 因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2＝； （2） 当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零， 因此，原方程有两个等的实数根x1＝x2＝－； （3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数.因此，原方程没有实数根． 综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝； （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． （六） 根与系数的关系（韦达定理） 1.探究根与系数关系 一元二次方程若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根 ，， 则有； ． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系（也称韦达定理）： 如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知： x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2， 所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程 x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有 以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0． =0 2.一元二次方程的两根之差的绝对值 设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）， 则，， ∴| x1－x2|＝． 若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则| x1－x2|＝（Δ＝b2－4ac）． （七）二次函数 1. 画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法： y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－， y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质： ①当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为， 对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小； 当x＞时，y随着x的增大而增大；当x＝时，函数取最小值y＝． ②当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下； 顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x＝时，函数取最大值. 对称轴 顶点 最值 当 时, 取最小值 当 时, 取最大值 当 随着 的增大 而减小 当 随着 的增大 而增大 当 随着 的增大 而增大 当 随着 的增大 而减小 2. 二次函数的三种表示方式 （1）一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； （2）顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)． （3）交点式或两根式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．x y O x＝－1 A(1,－1) A1(－3,－1) 3.二次函数的简单应用 （1）平移变换 在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状.因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可． (2)对称变换 （八）方程与不等式 1.二元二次方程组解法 含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中,,叫做这个方程的二次项,,叫做一次项,6叫做常数项． 2. 一元二次不等式解法 借助二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． 为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解． 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况.相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图①②③所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．x y O x1 x2 x y O x1= x2 y x O ② ③ ① x O －2 3 y＝x2－x－6 y y＞0 y＞0 y＜0 （1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图①可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x＜x1，或x＞x2； 不等式ax2＋bx＋c＜0的解为x1＜x＜x2．（1） （2）当Δ＝0时，y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－，不等式ax2＋bx＋c＞0的解为 x≠－；不等式ax2＋bx＋c＜0无解． （3）如果△＜0，不等式ax2＋bx＋c＜0无解． 在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式. （九）三角形的“四心” 1. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心. 三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. 三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1. 2. 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等. 3. 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心. 锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外部. 4. 过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心. 三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点. 【例 1】已知二次函数 ,当 时的函数值与当 时的函数值相等,求当 时的函数值. 【分析】如图 4.1-1,如果 是二次函数 的图象上纵坐标相同的两个点,则 由 (1) 得 . 因为 ,所以有 . 对照二次函数 的图象的对称轴为 ,有 为二次函数图象的对称轴.反之,如果 为二次函数的图象的对称轴,那么自变量取 时的函数值相等. (请同学们自己证明.) 用上述知识可解本题. 【解】因为当 时的函数值与当 时的函数值相等,所以二次函数 的图象的对称轴为 . 因为对称轴为 ,所以当 时的函数值与当 时的函数值相等. 又因为当 时, ,所以当 时, . 【例 2】已知二次函数 ,当 时, 随着 的增大而增大,求 的取值范围. 【解答】利用二次函数 图像的对称轴与增减性,只要对称轴在 的左边即可 【解】因为二次函数 的抛物线开口向上,所以只要对称轴在 的左边,即 ,就有 随着 的增大而增大,得 。因此, 的取值范围为 . 2. 求二次函数的解析式 我们知道,二次函数的解析式有两种形式: (1)一般式: ； (2) 顶点式: ,其中顶点坐标是(h, k). 求二次函数的解析式,就是求 或 的值. 通常需要通过分析二次函数的图象和性质,并运用待定系数法等才能解得. 【例3】已知二次函数的图象过点 ,求此二次函数的解析式. 【分析】【分析】利用二次函数的一般式, 运用待定系数法来确定二次函数的解析式. 【解】设二次函数的解析式为 , 则 解得 因此,二次函数的解析式为 . 【例4】已知二次函数的图象过点 ,且顶点到 轴的距离等于 2,求此二次函数的解析式. 【分析】【分析】利用二次函数的图象的性质得到其顶点,再用二次函数的顶点式或一般式解决. 【解】【解】因为二次函数的图象过点 ,且顶点到 轴的距离为 2,所以其对称轴为 ,顶点的坐标为(-1,2)或(-1, - 2). 当顶点的坐标为(-1,2)时,设二次函数为 . 因为函数图象过点 (-2,1),所以 ,即 . 可得二次函数的解析式为 . 同理,当顶点的坐标为(-1, - 2)时,可得二次函数的解析式为 . 因此,二次函数的解析式为 或 . 配套练习： 1.函数 的图象与 轴的公共点个数是 ( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 2.如图,已知二次函数 的图象的顶点 的横坐标为 4,图象交 轴第 36 页于点 和点 ,且 ,那么 的长为( ) A. B. C. D. 3.已知抛物线 与 轴交点为(6,0) 和(1,0),则 _____, _____. 4.二次函数 的图象与 轴交于 两点,则 之间的距离为_____。 5.求 的取值范围,使得二次函数 的图象与 轴分别有 (1)两个交点；(2) 一个公共点. 6.已知某二次函数的图象与 轴交于 , ,且过点 ,求此二次函数的解析式. (十) 比和比例的性质 4 个非零数 成比例,即 ,也可以写成 ,其中 叫做比例外项, 叫做比例内项, 叫做 的第四比例项. 如果比例中两个比例内项相等,即 (或写成 ) 时,我们把 叫做 和 的比例中项.在 的两边同乘以 ,得到 . 这个推理步骤就是: 因为 ,所以 . 为了简明,可以把这个推理步骤写成:. ① 符号“ ””读作“推出”. 反过来,在等式 的两边同除以 ,又得到 ,即② ①②式合起来表明, 与 可以互相推出,它是比例的基本性质. 比例的基本性质 ,即比例的两个外项的乘积等于两个内项的乘积. 符号“ ”读作“等价于”,表示从左端可以推出右端,并且从右端可以推出左端. 推论 . 根据比例的性质定理,一个比例可以得出多种不同的比例变形.例如, 由于 可以写成 等多种形式,所以由 又可以得出 等多种不同的形式. 也就是说,比例的两个内项可以交换位置, 两个外项也可以交换位置, 比例的这个性质叫做更比定理. 下面,我们再学习比例的两个重要性质:合比定理 . 【证明】 . 等比定理 . 【证明】设 ,那么 . 【注】像这样设 的方法是解决比例问题的一种常用方法. 【例 1】(1) 已知 ,求证: . ( 2 )已知 ,求证: . 【证明】(1) 因为 ,则 ,所以 . (2) 因为 ,则 ,所以 ,即 【例 2】已知 ,求 的值. 【解】因为 ,则 ,所以 配套练习： 1.已知 ,则 A. 1 B. 2 C. D. 2.已知 ,则 A. 1 B. 8 C. -1 D. -1 或 8 3.已知 ,且 ,则 . 4.已知 ,则 . 5.已知 ,求 的值. 6.根据下列各式,求 的值: (1) ; (2) . 7.已知 ,求证: . 8.已知线段 ,求证: 线段 是 和 的比例中项. 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $