下面我来讲解2026年北京市中考数学第27题几何综合。我们先来看题27题。在三角形ABC中，AB等于AC顶角BAC它小于60度，大于零度，D是ac的中点和D点，作AC的垂直线交AB于点E点M是DED是第一延长线上的一点，角ABM等于30度。第一问如图，甲已知角BAC等于30度，BAC就是这个等腰三角形的顶点，顶角等腰三角度，求证AC等于二倍的DM。我们先来看已知条件。条件一，AB等于AC在图上标出来。条件2，D是AC的中点，就是AD等于DC等于2分之1倍的AC也等于2分之1倍的AB条件3。DM垂直ACDM垂直AC垂直符号条件是角ABM等于30度，标出来A条件5，顶角BAC等于30度。就是我们根据这个条件标的，AB等于AC终点D是终点，AD等于DC垂直MD垂直AC然后2个30度的角这五个条件，那么根据这个30度这么一个特殊角，就是角ABM等于角BAC等于30度，它是特殊角，我们可以构造的含有特殊角的直角三角形，我们看看怎么来构造。我们通过过B点做ac的垂线，那么这个三角形AB这个FABF它就是一个含30度角的特殊三角形。那么这个四边形MBFD很容易证明它是一个矩形。我们看看证明的过程，做过B点做BF垂直AC交于F点，因为内错角角ABM等于角BAC就是另一个角等于30度，所以咱们可以证明AC平行BM又因为这个MD垂直AC垂直AC所以这个BM它也垂直BM垂直这个MD我们这有一个直角，两个直角，这三个直角，那就可以证明四边形BFDM是矩形。那既然它是矩形，所以对边就相等。MD就等于。MD就等于BF然后我们的这个特殊在这个特殊的直角三角形中的角BAC等于30度，它的直角边等于斜边的一半，就是二倍的BF等于AB又因为AB等于AC所以我们就可以证明了大V的DM2倍的DM等于二倍的DF等于AB也等于AC。我们也可以以这个30度角做特殊三角形。我们来看看延长BM然后。过。A点做它的垂线，垂足是F这样我们构造了这样的一个特殊三角形。同样的内错角可以证明DF平行AC，然后这个MD垂直AC所以这个MMD也垂直BF同样的我们有三个直角，这样就有三个直角。你也可以证明这个东西，这个四边形ADMF它是一个矩形。然后AF等于MD在这个。特殊三角形中。同样的直角边等于斜边的一半。我们也可以证明第一问第二问他说在三角形ABC中，AB等于AC还是这个顶角，这个已知条件你就快点，D是AC的终点，还是做这一个垂线，做这一个垂线，然后这前面我就不看了。第二问，如图乙M是ED延长线上的一点角ABNN角ABN等于30度，又多又有一个三十度的角，那我们猜测MAN它是多少度，并且证明这个猜测。同样的我们还是先找已知条件，前面四个已知条件是一致一样的。第五个已知条件就是把这一个BAC这个30度换成了ABN等于sine十度。我们可以看到这五个已知条件，等腰AB等于ACD是终点，垂直MN垂直AC然后两个特殊角ABM和ABN都等于30度。同样的我们还是做。做垂线构造的含有特殊角的三角形，我们可以延长BN过A点做它的垂线垂足为F然后我们延长BM过A点也做它的垂线垂足为H那么这里就有两个特殊三角形，ABFABH这样我们就可以找到两个特殊角，就是2个60度的特殊角B角BAF和角BAH。这。2个60度. 的角与我们的要证的也要求的那个角角MAN它有交叉，我们来观察一下，我们来观察一下。这两个特殊角跟我们要证那个角有交叉。我们来观察一下我们要证的这个角NAM角MNAN它跟我们这个特殊角BAF，BAF它少了一个角，NAF, 少了一个角NAF对，少了这个角，多出来这个角是吧？那咱们只要证明这两个角相等的话，那我们就可以证明了，就可以这个证明就完成了。然后我们这个60度的特殊角就是角BAH。它跟我们这个要证的角NAM角MAN，它有重叠的这一部分，这个叫。现在我们主要是要证明这个角这个角与这个角。是相等的。现在我们要证明这两个角是相等的。特殊角BAF等于60度。要证明角MAN等于60度，我们只需要证明角MAB等于角NAF我这里标出来的。我们可以这样考虑，我们看这个交叉的部分，这些2个60度和我们要的那个角交叉的部分，这里面。有没有。等角可以借助过度证明一下。我们要证明这两个角相等，我们可以我们可以过渡一下，证明这个角跟这个角是相等的。因为这个BAF它包括了这两个角，它包含了这两个角，我们可以证明很容易证明这两个角是相等的这两个三角形是全等的对三角形ADN，三角形ADN全等于三角形AFN。这个根据直角边斜边我们就很容易证明，证明我们就可以得到这两个角角DAN就等于角FAN，因为这两个角包含在我们这个特殊角BAF这个60度里面，现在我们正面这两个角相等。但是我们还是没有，不能够证明这个角MAB等于角NAF。我们还要借助这个等角，还要接着等角。同样的我们看这两个这一组三角形，它也是很容易证明他们是全等的三角形AHM。AHM它很容易就可以证明它全等于三角形ADM。也根据直角边斜边，这样我们就可以得到又一组等角，就角HAM与角MAD。我们村借助这些这这两组等角，这两组等角根据他们这些交叉重叠的这么一个图形的特征，看能不能够的证明，能不能够证明角。就是这个。角MAB等于角NAF。好，下面是证明过程。延长BN做AF垂直BN的延垂直BN的延长线交于F错，AH垂直于BM它的延长线交于H构造两个特殊的三角形。在这个直角三角形ABF和ABH中，角ABF和ABH都等于30度，我们根据30度角的特征就可以得到二倍的AH等于二倍的AF等于AB等于AC等于二倍的AD，等于二倍的AD因为这个是终点，并且AB等于AC又因为。在这两个。直角三角形ANF的ANF，ANF这个三角形和3角形AND这个三角形，两个最窄的直角三角形，我们有AF的AF等于AD，AF等于AD这前面证明了，然后AN是公共边。那么根据直角边斜边就可以证明这两个直角三角形它是全等的直角三角形ANF全等于直角三角形AND，这样我们就得到角NAD等于角NAF。然后在直角三角形AHM这个AHM和直角三角形ADM这两个直角三角形中，我们有直角边AH等于AD这里证明了然后AM是公共边，就可以得到直角三角形AHM全等于三角形ADM。这样我们就可以得到这个角，HAHAM就这个角这个角等于这个角。这两个。角是相等的，角HAM等于角DAM，然后角HA. M. 这个角它等于60度，也就是角HAB。HAB这个60度的角减去角MAE减去角，那就BAM就是减去这个角PAM。然后角DAM它等于它等于这个60度的角，就是BAF这个60度角。BAF这个60度的角减去这个角这个大的角，这个大的角我们刚才已经证明了它跟它是相等的这两个角是相等的，也就是减去二倍的FAN减去二倍的FAN再加上把这个角给它补上，加上角BBAM，角BAM，然后这两边是相等的这是60度。这个是60度，我们就可以得到一个等式，它等于它，然后这个是这个60度，这个是60度。我们就可以把它整理一下，得的角H。并且因为我们前面已经证明了角HAB，角HAB等于角BAF等于60度，所以我们就得到角BAM，BAM等于角FAN。我们要证的那个角NAM，NAM它等于角BAF这个60度的角，这个60度的角减去它减去它加上它减去了FAN加上DAM，而这两个角我们已经证明它是相等的这两个角是相等的，所以这里就抵消为零，这样我们就证明了角NAM等于角BAF等于60度。