第02讲 一元一次的不等式（4知识点+12考点+过关检测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材沪教版五四制

第02讲 一元一次不等式 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：不等式的解（解集）与解不等式 ★1、不等式的解：在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. ★2、不等式的解集：一个不等式的解的全体叫做不等式的解集． ★3、解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式． ★4、不等式的解和解集的区别和联系:不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． ★5、在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法: 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 在﹣2，6，0，8，，5中，是不等式x+3≤8的解的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 知识点2：一元一次不等式的定义 ★一元一次不等式的定义：只有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【概念解析】 （1）一元一次不等式必须具备的4个条件：①不等式左右两边都是整式；②只含一个未知数；③未知数的次数都是1；④未知数的系数不为0. （2）它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． （3）它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 下列不等式中，属于一元一次不等式的是（　　） A．x+y＞0 B．3＞1 C．7x﹣16＜4 D．3x﹣1＜2x2 知识点3：一元一次不等式的解法 ★1、一个较复杂的一元一次不等式，利用不等式的性质逐步转化为x＞a或x＜a的形式的过程叫做解一元一次不等式． ★2、根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 【注意】 （1）在以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到不等式的性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． （2）符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 知识点4：一元一次不等式的实际应用 ★1、列不等式解决实际问题是一元一次不等式的重要应用，应根据实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． ★2、列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． ★3、列一元一次不等式解实际问题的步骤： （1）审题：弄清题意及题目中的 不等关系. （2）设未知数：可直接设，也可间接设. （3）列出不等式. （4）解不等式，并检验解（集）的 合理性 . （5）写出答案. 某校组织六年级和七年级共100名学生参加垃圾分类志愿者助力活动．六年级学生每人要完成2次助力分类，七年级学生每人要完成5次助力分类．为了保证垃圾分类助力总次数不少于360次，最少需要多少名七年级学生参加活动？ 【题型1 不等式的解与不等式的解集】 【典例1】（24-25七年级下·上海松江·月考）某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期中）下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【变式3】在“，，，，”这五个数中，是不等式的解的数共有 个． 【题型2 在数轴上表示不等式的解集】 【典例1】不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·上海·月考）关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）如图，该数轴表示的不等式的解集是 ． 【变式3】如图，是一个不等式的解集在数轴上的表示，则这个不等式可能是（　　） A． B． C． D． 【题型3 一元一次不等式的识别】 【典例1】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）下列不等式中属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【题型4 由一元一次不等式的定义求参数】 【典例1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）若是关于的一元一次不等式，则的值为（　　） A． B． C．0 D．1 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【题型5 解一元一次不等式】 【典例1】（24-25七年级下·上海闵行·月考）解不等式，小聪的解题过程如下： ①；②；③；④． 这个结果是错的，其中造成解答错误的一步是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）解不等式：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【题型6 列一元一次不等式解决代数问题】 【典例1】（24-25七年级下·上海黄浦·期中）当满足什么条件时，的值不大于的值？ 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）x取什么值时，代数式的值不小于的值？ 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）当x取何值时，代数式的值分别满足下列条件？ (1)大于8； (2)小于的值． 【题型7 求一元一次不等式的特殊解】 【典例1】（24-25八年级下·上海·期末）不等式的正整数解是 ． 【变式1】（24-25七年级下·上海·月考）解不等式，并写出它的所有负整数解． 【变式2】解下列不等式： ，并求出满足不等式的非负整数解． 【变式3】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）解关于x的不等式：，并求出最小整数解． 【题8 求含字母常数的一元一次不等式的解集】 【典例1】若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 【变式3】（2023六年级下·上海·专题练习）已知不等式的解集是，求关于x的不等式的解集． 【题型9 不等式与绝对值的综合应用】 【典例1】已知3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1），化简：|3x+1|﹣|1﹣3x|． 【变式1】已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x，试化简|1﹣a|﹣|a﹣2|，正确的结果是（　　） A．﹣2a﹣1 B．﹣1 C．﹣2a+3 D．1 【变式6-2】已知5（x+1）﹣3x＞2（2x+3）+4，化简|2x﹣1|﹣|1+2x| 【题型10 一元一次不等式与方程（组）的综合应用】 【典例1】（24-25七年级下·上海·月考）关于的方程的解是，求关于的不等式的解集，并求出满足条件的最小整数解． 【变式1】若关于、的方程组的解满足，求的取值范围． 【变式2】已知关于的方程． (1)若该方程的解满足，求的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的负整数解，求的值． 【变式3】若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y，求出满足条件的m的所有正整数值． 【题型11根据实际问题列一元一次不等式】 【典例1】（24-25七年级下·安徽淮北·月考）篮球比赛得分种类如下：三分线外进球得3分（称为三分球），三分线内进球得2分（称为两分球），不进球得0分，若在某次投篮比赛中，小明共投篮25次，有2次没进球，但得分超过了56分，设小明进了x个三分球，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·上海·月考）一件商品的成本价是30元，如果按原价的八五折销售，至少可获得的利润，如果设该商品原价为y元，那么可列式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·期中）一部电梯的额定载重量为，某人用这部电梯把一批相同质量的货物从底层搬到顶层．该人体重为，每箱货物的质量为．那么每次最多能搬运多少箱货物？设每次搬运箱货物，依题意可列不等式 ． 【变式3】（24-25七年级下·上海静安·期末）一件商品的成本是30元，如果按原价的八八折销售，至少可获得的利润．设这件商品的原价为x元，那么可以列出不等式 ． 【题型12 列一元一次不等式解决实际问题】 【典例1】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在一次练习中，小华的语文和英语分别考了70分和82分，如果想使自己三门功课的平均分不低于80分，那么小华的数学应该至少考 分． 【变式1】（24-25七年级下·上海长宁·期末）某次知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不得分，在这次竞赛中，小明有3道题没有作答，如果希望取得不低于70分的成绩，求小明至少要答对几道题． 【变式2】（25-26六年级上·上海·期中）为积极倡导“阳光体育”运动，某班派6名同学参加“一分钟跳绳”比赛，负责记录成绩的小李以175次为标准，超出的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中5名同学的成绩记录（单位：次）为：． (1)求这5名同学的最好成绩与最差成绩相差多少次？ (2)若这6名同学的平均成绩超过了175次，求剩下的那名同学的成绩最少为多少． 【变式3】（24-25七年级下·上海·月考）为了丰富学生的阅读资源，上外松外图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元． (1)求每本文学名著和人物传记各多少元？ (2)图书馆存书不足，学校要求再次购进两种图书，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 1、 选择题 1．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）下列不等式中属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是不等式的解，的值可以是（   ） A． B．4 C．0 D． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（　　） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解 4．（2024七年级下·全国·专题练习）不等式的解集在数轴上表示正确的是（  ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（   ） A．0是这个不等式的解 B．不是这个不等式的解 C．小于的数都是这个不等式的解 D．小于的数都是这个不等式的解 6．（24-25七年级下·上海·期末）3月12日是我国的植树节，某校学生会组织七年级和八年级共65名同学参加植树活动，七年级学生平均每人植2棵树，八年级学生平均每人植4棵树，为了保证植树总数不少于220棵，则八年级学生参加活动的人数至少需（ ） A．50名 B．45名 C．40名 D．35名 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）关于的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 8．（24-25七年级下·上海松江·期中）已知关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值是 ． 9．（2025·上海·二模）不等式的最大整数解是 ． 10．（24-25七年级下·上海金山·期中）不等式的非负整数解为 ． 11．（24-25七年级下·上海·月考）在一次考试中，小明的语文和英语分别考了70分和83分，如果想使自己三门功课的平均分不低于80分，则小明的数学应该至少考 分． 12．（24-25六年级下·上海·期末）关于的不等式的解集中恰有四个非负整数，则的范围为 ． 3、 解答题 13．（24-25七年级下·上海闵行·期中）解不等式： 14．（24-25七年级下·上海·期末）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 15．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）当满足什么条件时，关于的方程的解是正数？ 16．（24-25七年级下·上海闵行·月考）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 ．第五步 任务一：填空 ①以上解题过程中，第一步是依据________________________进行变形的； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________． 任务二：请写出正确的解题过程． 17．（23-24七年级下·全国·单元测试）当x取何值时，代数式与的差不大于2？ 18．（24-25七年级下·上海·月考）阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值篮围 解决此问题的过程如下： 解：∵，，∴．∴ 又 ∴． 同理得：② 由①②得． ∴． 请按照上述方法，解答下列问题： (1)若，且，，求的取值范围；（写出求解过程） (2)若，且，，请直接写出的取值范围及其最大值． 19．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，这是某电影院的价目表．某社团16人去此电影院看电影，打算以比赛奖金1600元购买电影票、爆米花与饮料．如果要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，那么最多可买多少盒爆米花？ 20．（2025七年级下·上海·专题练习）2025年3月8日国际妇女节开始，晴好天气吸引了大批游客来辰山植物园赏樱，周六、周日两天入园游客数达6万余人次，迎来2025年春季赏花季的第一个高峰．某中学组织七年级师生前往辰山植物园春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租一辆，且余30个空座位． (1)求该校七年级参加春游的人数； (2)已知45座客车的租金是每辆250元，60座客车的租金是每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所用的租金比单独租用一种客车要节省，按这种方案需要租金多少元？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 一元一次不等式 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：不等式的解（解集）与解不等式 ★1、不等式的解：在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. ★2、不等式的解集：一个不等式的解的全体叫做不等式的解集． ★3、解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式． ★4、不等式的解和解集的区别和联系:不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． ★5、在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法: 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 在﹣2，6，0，8，，5中，是不等式x+3≤8的解的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据一元一次不等式解法计算即可． 【详解】解：解不等式x+3≤8， 可得：x≤5， 所以，在﹣2，6，0，8，，5中，是不等式x+3≤8的解的有﹣2，0，，5共4个， 故选：B． 【点睛】此题考查一元一次不等式解法，关键是根据一元一次不等式解法：移项、合并同类项和系数化为1计算即可． 知识点2：一元一次不等式的定义 ★一元一次不等式的定义：只有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【概念解析】 （1）一元一次不等式必须具备的4个条件：①不等式左右两边都是整式；②只含一个未知数；③未知数的次数都是1；④未知数的系数不为0. （2）它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． （3）它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 下列不等式中，属于一元一次不等式的是（　　） A．x+y＞0 B．3＞1 C．7x﹣16＜4 D．3x﹣1＜2x2 【分析】根据一元一次不等式的定义求解即可．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：A、x+y＞0含有2个未知数，不属于一元一次不等式，故本选项符合题意； B、3＞1中没有未知数，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意； C、7x﹣16＜4含有一个未知数x，次数为1，不等式两边是整式，属于一元一次不等式，故本选项符合题意； D、3x﹣1＜2x2中含有一个未知数x，但未知数x的最高次数是5，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，理解一元一次不等式的定义是解题的关键． 知识点3：一元一次不等式的解法 ★1、一个较复杂的一元一次不等式，利用不等式的性质逐步转化为x＞a或x＜a的形式的过程叫做解一元一次不等式． ★2、根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 【注意】 （1）在以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到不等式的性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． （2）符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： 知识点4：一元一次不等式的实际应用 ★1、列不等式解决实际问题是一元一次不等式的重要应用，应根据实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． ★2、列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． ★3、列一元一次不等式解实际问题的步骤： （1）审题：弄清题意及题目中的 不等关系. （2）设未知数：可直接设，也可间接设. （3）列出不等式. （4）解不等式，并检验解（集）的 合理性 . （5）写出答案. 某校组织六年级和七年级共100名学生参加垃圾分类志愿者助力活动．六年级学生每人要完成2次助力分类，七年级学生每人要完成5次助力分类．为了保证垃圾分类助力总次数不少于360次，最少需要多少名七年级学生参加活动？ 【答案】最少需要54名七年级学生参加活动 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设需要x名七年级学生参加活动，则需要名六年级学生参加活动，根据要保证垃圾分类助力总次数不少于360次，可列出关于x的一元一次不等式，解得x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】解：设需要x名七年级学生参加活动，则需要名六年级学生参加活动， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最小值为54． 答：最少需要54名七年级学生参加活动． 【题型1 不等式的解与不等式的解集】 【典例1】（24-25七年级下·上海松江·月考）某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解的定义，不等式的解集是满足不等式的所有解的集合，使原不等式成立的数就是不等式的一个解，据此逐项分析求解即可． 【详解】解：A、∵某不等式的解集是， ∴0是这个不等式的解，故A不符合题意； B、∵某不等式的解集是， ∴不是这个不等式的解，故B不符合题意； C、∵某不等式的解集是， ∴大于的数都是这个不等式的解，大于且小于等于的数不是这个不等式的解，故C符合题意； D、∵某不等式的解集是， ∴小于的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意． 故选：C 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期中）下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解，把代入不等式，逐项判断即可求解，理解不等式解的定义是解题的关键． 【详解】解：、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项符合题意； 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．根据不等式的解及解集的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵当时，，∴不是不等式的解，故不正确； B．∵当时，，∴是不等式的解而不是解集，故不正确； C．∵，∴，∴不等式的解集是，故不正确； D．∵当时，，∴是不等式的一个解，故正确； 故选D． 【变式3】在“，，，，”这五个数中，是不等式的解的数共有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式以及一元一次不等式解的定义，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．先求出不等式的解集，然后在，，，，这五个数中找出符合条件的解，即可得解． 【详解】解：∵， 解得， 在，，，，这五个数中， 是不等式解的有，，，共个． 故答案为：． 【题型2 在数轴上表示不等式的解集】 【典例1】不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，数轴上的点把数在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示，“”，“”要用空心圆点表示，向右画；向左画，据此可得答案． 【详解】解：不等式的解集在数轴上的表示如下所示： ， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·上海·月考）关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式，能从读取图像的信息，会解含有参数的不等式，用参数表示不等式的解，由图像可以知道，，只需要根据写出的解集，即可求出的值． 【详解】解：∵， ， 由图像可知， ， 解得：， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）如图，该数轴表示的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握“实心点对应不等号含等号、向左表示小于或小于等于”是解题的关键．根据数轴上点的虚实和方向，确定不等式的解集即可． 【详解】解：数轴上表示的点是1（实心点），方向向左， 故解集为：， 故答案为： 【变式3】如图，是一个不等式的解集在数轴上的表示，则这个不等式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式，用数轴表示不等式的解集． 由数轴可得不等式的解集为，分别求出各个不等式的解集，逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可得解集为， A、解不等式得，与数轴表示的解集不一致，不合题意； B、解不等式得，与数轴表示的解集不一致，不合题意； C、解不等式得，与数轴表示的解集不一致，不合题意； D、解不等式得，与数轴表示的解集一致，符合题意． 故选：D 【题型3 一元一次不等式的识别】 【典例1】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握定义，是解题的关键．根据一元一次不等式的定义，需满足：①含有一个未知数；②未知数的次数为1；③左右两边均为整式；④含有不等号． 【详解】解：A．是代数式，不含不等号，不符合定义，故A不符合题意； B．是等式，不是不等式，排除，故B不符合题意； C．含有一个未知数x，次数为1，且两边为整式，符合一元一次不等式定义，故C符合题意； D．中不是整式，不符合条件，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式”． 【详解】解：A、有两个未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意； B、未知数最高次数为2，不是一元一次不等式，故不符合题意； C、是一元一次不等式，故符合题意； D、没有未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）下列不等式中属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是的不等式是一元一次不等式，对各选项逐一分析即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解： 不等式含有两个未知数，且次数为，不一元一次不等式，该选项不合题意；   不等式是一元一次不等式，该选项符合题意；   不等式含有两个未知数，不一元一次不等式，该选项不合题意；    不等式含有一个未知数，但次数为，不一元一次不等式，该选项不合题意； 故选：． 【题型4 由一元一次不等式的定义求参数】 【典例1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）若是关于的一元一次不等式，则的值为（　　） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义和解法，关键是根据一元一次不等式的定义求出的值． 根据一元一次不等式的定义得出，求出的值即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得，且，由此即可得解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，且， ∴． 故答案为：4． 【变式2】（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型5 解一元一次不等式】 【典例1】（24-25七年级下·上海闵行·月考）解不等式，小聪的解题过程如下： ①；②；③；④． 这个结果是错的，其中造成解答错误的一步是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 根据解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得 移项，得 合并同类项，得 将系数化为1，得 故选A． 【变式1】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】；见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤．按照解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化成1，进行计算，求出不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集表示在数轴上如下： 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则和解一元一次不等式的步骤． 先利用整式的混合运算法则化简，再根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解：， ， 解得：， 所以原不等式的解集为． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解，再将解集表示在数轴上即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 解集在数轴上表示如答图①． （2）解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如答图②． 【题型6 列一元一次不等式解决代数问题】 【典例1】（24-25七年级下·上海黄浦·期中）当满足什么条件时，的值不大于的值？ 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，由题意得出不等式是解题的关键． 先由题意得到，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴当时，的值不大于的值． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）x取什么值时，代数式的值不小于的值？ 【答案】 【分析】本题考查列不等式，求不等式的解集，根据题意，列出不等式，根据根据解不等式的步骤进行求解即可． 【详解】解：由题意：， ， ， ， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）当x取何值时，代数式的值分别满足下列条件？ (1)大于8； (2)小于的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列不等式，以及解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由题意列出，再解出x的取值范围，即可作答． （2）先由题意列出，再解出x的取值范围，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， ∴， ∴； （2）解：依题意，， ∴， ∴， ∴． 【题型7 求一元一次不等式的特殊解】 【典例1】（24-25八年级下·上海·期末）不等式的正整数解是 ． 【答案】1和2/2和1 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 先根据去分母、移项、合并同类项的步骤求出不等式的解集，进而确定正整数解即可． 【详解】解： ， 所以该不等式的正整数解为：1和2． 故答案为：1和2． 【变式1】（24-25七年级下·上海·月考）解不等式，并写出它的所有负整数解． 【答案】，负整数解为：，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，关键是掌握不等式的解法． 根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． ∴原不等式负整数解为：，． 【变式2】解下列不等式： ，并求出满足不等式的非负整数解． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的方法求解即可，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【详解】解： ， ∴不等式的非负整数解为． 【变式3】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）解关于x的不等式：，并求出最小整数解． 【答案】，最小整数解为． 【分析】本题考查了解不等式，注意：不等号两边同时除以负数，不等号方向要改变．先计算多项式乘以多项式，然后再移项、合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴最小整数解为． 【题8 求含字母常数的一元一次不等式的解集】 【典例1】若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，能求出m，n的值是解此题的关键．先根据第一个不等式的解集求出，，，再代入第二个不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解： ， ， 关于x的不等式的解集是， ，， ，， ，， 关于x的不等式的解集为． 故选：C． 【变式1】若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及的结论，设，代入即可得解． 【详解】解：由得：， ∵不等式的解集是， 且 设 则 ∴的解集是， 即， 故选：A． 【变式2】已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集及解一元一次不等式；根据题意求得，且，把代入不等式中，即可求解． 【详解】解：由，得， ∵关于x的不等式的解集为， ∴，且， ∴， 整理得：， ∵， ∴， 把代入中，整理得：， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2023六年级下·上海·专题练习）已知不等式的解集是，求关于x的不等式的解集． 【答案】 【分析】根据已知条件，判断出，，再求得不等式的解集． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， ∴，解得； 把代入得，， ∵，， ∴，， ∴． 【点睛】此题考查了不等式，解题的关键是一定要注意不等式两边同乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 【题型9 不等式与绝对值的综合应用】 【典例1】已知3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1），化简：|3x+1|﹣|1﹣3x|． 【分析】先去括号、移项得15x﹣4x+6x＜﹣6﹣6﹣5，合并得17x＜﹣17，则x＜﹣1，然后根据x＜﹣1去绝对值得到|3x+1|﹣|1﹣3x|＝﹣（3x+1）﹣（1﹣3x），再去括号合并即可． 【详解】解：去括号得15x+6+5＜4x﹣6x﹣6， 移项得15x﹣4x+6x＜﹣6﹣6﹣5， 合并得17x＜﹣17， 系数化为1得x＜﹣1， |3x+1|﹣|1﹣3x|＝﹣（3x+1）﹣（1﹣3x） ＝﹣3x﹣1﹣1+3x ＝﹣2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质，先去分母、移项、合并同类项，再把未知数的系数化为1可得到不等式的解集．也考查了绝对值． 【变式1】已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x，试化简|1﹣a|﹣|a﹣2|，正确的结果是（　　） A．﹣2a﹣1 B．﹣1 C．﹣2a+3 D．1 【答案】B． 【分析】由不等式的基本性质3可得a﹣1＜0，即a＜1，再利用绝对值的性质化简可得． 【详解】解：∵（a﹣1）x＞1可化为x， ∴a﹣1＜0， 解得a＜1， 则原式＝1﹣a﹣（2﹣a） ＝1﹣a﹣2+a ＝﹣1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【变式6-2】已知5（x+1）﹣3x＞2（2x+3）+4，化简|2x﹣1|﹣|1+2x| 【分析】根据不等式的基本性质求出不等式的解集，再根据x的取值范围去掉绝对值符号把代数式化简即可． 【详解】解：解不等式5（x+1）﹣3x＞2（2x+3）+4， 去括号得，5x+5﹣3x＞4x+6+4， 移项得，5x﹣3x﹣4x＞6+4﹣5， 合并同类项得，﹣2x＞5， 系数化为1得，x． 故|2x﹣1|﹣|1+2x|＝1﹣2x+1+2x＝2． 【点睛】此题比较简单，解答此题的关键是求出x的取值范围，再根据取绝对值符号的法则去掉绝对值符号． 【题型10 一元一次不等式与方程（组）的综合应用】 【典例1】（24-25七年级下·上海·月考）关于的方程的解是，求关于的不等式的解集，并求出满足条件的最小整数解． 【答案】，满足条件的最小整数解为1 【分析】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程、解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．先将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程可得，再代入不等式可得一个关于的一元一次不等式，解不等式，由此即可得． 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴， 解得， ∴关于的不等式为， 不等式的两边同乘以12，得， 解得， 所以满足条件的最小整数解为1． 【变式1】若关于、的方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，不等式，解题的关键是用表示出、的值，再根据题意列出不等式．先把当作已知表示出、的值，再根据列出不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：解方程组得：， ， ， 解得：． 【变式2】已知关于的方程． (1)若该方程的解满足，求的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的负整数解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． （1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解； （2）求出不等式的解集，根据不等式的负整数解为，代入方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 该方程的解满足， ， 解得：． （2）解：， ， ， ， ， ， ∴该不等式的负整数解为， 由题意，得， 解得． 【变式3】若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y，求出满足条件的m的所有正整数值． 【分析】两方程相加整理得x+y＝2﹣m，结合方程组的解满足x+y，据此知2﹣m，解之即可得出答案． 【详解】解：两方程相加可得3x+3y＝6﹣3m， x+y＝2﹣m， ∵解满足x+y， ∴2﹣m， 解得m， 则满足条件的m的所有正整数值为1、2、3． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式、二元一次方程组的解，掌握解一元一次不等式的基本步骤是解答本题的关键． 【题型11根据实际问题列一元一次不等式】 【典例1】（24-25七年级下·安徽淮北·月考）篮球比赛得分种类如下：三分线外进球得3分（称为三分球），三分线内进球得2分（称为两分球），不进球得0分，若在某次投篮比赛中，小明共投篮25次，有2次没进球，但得分超过了56分，设小明进了x个三分球，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的应用．设小明进了x个三分球，则进了个两分球，根据“分超过了56分”列出不等式即可． 【详解】解：设小明进了x个三分球，则进了个两分球， 由题意得， 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·上海·月考）一件商品的成本价是30元，如果按原价的八五折销售，至少可获得的利润，如果设该商品原价为y元，那么可列式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，利用利润与进件以及打折与原价的关系得出不等关系即可． 【详解】解：设该商品原价为y元，那么可列式为： ，即． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·期中）一部电梯的额定载重量为，某人用这部电梯把一批相同质量的货物从底层搬到顶层．该人体重为，每箱货物的质量为．那么每次最多能搬运多少箱货物？设每次搬运箱货物，依题意可列不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，设每次搬运箱货物，根据题意列出不等式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设每次搬运箱货物， 由题意得，， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·上海静安·期末）一件商品的成本是30元，如果按原价的八八折销售，至少可获得的利润．设这件商品的原价为x元，那么可以列出不等式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，根据利润等于原价乘以折扣再进去进价列出不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【题型12 列一元一次不等式解决实际问题】 【典例1】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在一次练习中，小华的语文和英语分别考了70分和82分，如果想使自己三门功课的平均分不低于80分，那么小华的数学应该至少考 分． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，小华的数学应该至少考分，根据三门功课的平均分不低于80分，列出不等式求解即可． 【详解】解：小华的数学应该考分， 根据题意：， 解得：， 则小华的数学应该至少考分， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·上海长宁·期末）某次知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不得分，在这次竞赛中，小明有3道题没有作答，如果希望取得不低于70分的成绩，求小明至少要答对几道题． 【答案】小明至少要答对15道题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设小明答对道题，则小明答错题，根据总得分不低于70分建立不等式求解即可． 【详解】解：设小明答对道题， 由题意得，， 解得：， ∵是整数， ∴x的最小值为15， 答：小明至少要答对15道题． 【变式2】（25-26六年级上·上海·期中）为积极倡导“阳光体育”运动，某班派6名同学参加“一分钟跳绳”比赛，负责记录成绩的小李以175次为标准，超出的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中5名同学的成绩记录（单位：次）为：． (1)求这5名同学的最好成绩与最差成绩相差多少次？ (2)若这6名同学的平均成绩超过了175次，求剩下的那名同学的成绩最少为多少． 【答案】(1)这5名同学的最好成绩与最差成绩相差21次 (2)剩下的那名同学的成绩最少为次 【分析】本题考查有理数加减运算、用不等式解决实际应用题，读懂题意，准确列出式子求解是解决问题的关键． （1）找出这5名同学的最好成绩与最差成绩，然后作差即可； （2）剩下的那名同学的成绩可记为次，根据题意列出关于的不等式，进而得出答案． 【详解】（1）解：次， 答：这5名同学的最好成绩与最差成绩相差21次； （2）解：设剩下的那名同学的成绩可记为a次， 由题意得：， 解得：， ∴剩下的那名同学的成绩最少为次． 【变式3】（24-25七年级下·上海·月考）为了丰富学生的阅读资源，上外松外图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元． (1)求每本文学名著和人物传记各多少元？ (2)图书馆存书不足，学校要求再次购进两种图书，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 【答案】(1)每本文学名著和人物传记各25，20元 (2)33本 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设每本文学名著和人物传记各x元、y元，根据30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元，列出二元一次方程组，求解即可； （2）设人物传记买m本，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设每本文学名著和人物传记各x元、y元，依题意，得 ， 解得：， 答：每本文学名著和人物传记各25，20元． （2）设人物传记买m本，依题意，得 ， 解得：， ∴m取最大整数为33． 答：人物传记至多买33本． 1、 选择题 1．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）下列不等式中属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键，根据一元一次不等式的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、为一元一次不等式，符合题意； B、不是一元一次不等式，不符合题意； C、为角度，不符合题意； D、不是一元一次不等式，不符合题意， 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是不等式的解，的值可以是（   ） A． B．4 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，解不等式，熟练掌握不等式的解是解题的关键．先把代入不等式，得出关于的不等式，解之得到的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：是不等式的解， ， ． 故选：A． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（　　） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．是不等式的唯一解 D．不是不等式的解 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式得解和解集，熟练掌握定义是解题的关键； 根据解集和解得定义去判定即可． 【详解】 ， ， A、符合条件，是不等式的一个解，故选项符合题意； B、解集是一个范围，而是一个固定值，故选项不符合题意； C、解集是一个范围，所以不是不等式的唯一解，故选项不符合题意； D、符合条件，是不等式的一个解，故选项不符合题意； 故选：A． 4．（2024七年级下·全国·专题练习）不等式的解集在数轴上表示正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查不等式的解集在数轴上的表示，注意数轴上空心和实心表示． 求出不等式的解集进行表示即可． 【详解】解：不等式的解集为． 解集在数轴上表示为不包括端点的射线， 故选：A． 5．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（   ） A．0是这个不等式的解 B．不是这个不等式的解 C．小于的数都是这个不等式的解 D．小于的数都是这个不等式的解 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式．根据不等式解集，然后逐项分析求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴0不是这个不等式的解，故选项A不符合题意； 是这个不等式的解，故选项B不符合题意； 小于的数都是这个不等式的解，故选项C符合题意； 小于的数都是这个不等式的解，故选项D不符合题意； 故选：C． 6．（24-25七年级下·上海·期末）3月12日是我国的植树节，某校学生会组织七年级和八年级共65名同学参加植树活动，七年级学生平均每人植2棵树，八年级学生平均每人植4棵树，为了保证植树总数不少于220棵，则八年级学生参加活动的人数至少需（ ） A．50名 B．45名 C．40名 D．35名 【答案】B 【分析】本题考查用一元一次不等式解决实际问题，解题关键是根据题意列出不等式．设需要x名八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为名，由“保证植树总数不少于220棵”列出不等式求解即可． 【详解】解：设需要x名八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为名， 由题意得， ， 解得，， ∴八年级学生参加活动的人数至少需45名． 故选：B． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）关于的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解方程组，再转化不等式解答即可． 本题考查了方程组的解法，解不等式，熟练掌握解方程组，解不等式是解题的关键． 【详解】解：解方程组 得， ． 故选：B． 2、 填空题 8．（24-25七年级下·上海松江·期中）已知关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式、由数轴得出不等式的解集，解题的关键是得出不等式的解集后和数轴上的解结合得出关于m的方程． 由不等式和数轴可以得出该不等式的解集，由此可知此时得到的两个式子是一样的，进而可以得到关于m的方程，解此方程即可得出结论． 【详解】解：由数轴可得不等式的解集为， ∴解不等式得， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．（2025·上海·二模）不等式的最大整数解是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 求不等式的最大整数解，按照移项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最大整数解即可． 【详解】解： ， ∴不等式的最大整数解是， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·上海金山·期中）不等式的非负整数解为 ． 【答案】0或1或2或3 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解．移项合并，最后系数化为1，可求不等式的解集，进而可得非负整数解的个数． 【详解】解：， ， 解得，， ∴非负整数解为0或1或2或3， 故答案为：0或1或2或3． 11．（24-25七年级下·上海·月考）在一次考试中，小明的语文和英语分别考了70分和83分，如果想使自己三门功课的平均分不低于80分，则小明的数学应该至少考 分． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，小明的数学应该至少考分，根据三门功课的平均分不低于80分，列出不等式求解即可． 【详解】解：小明的数学应该考分， 根据题意：， 解得：， 则小明的数学应该至少考分， 故答案为：． 12．（24-25六年级下·上海·期末）关于的不等式的解集中恰有四个非负整数，则的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，将k看做已知数求出不等式的解集，根据不等式的解集中恰有四个非负整数，确定出k的范围即可． 【详解】解∶解不等式，得， ∵不等式的解集中恰有四个非负整数， ∴四个非负整数为0，1，2，3， ∴， ∴， 故答案为：． 3、 解答题 13．（24-25七年级下·上海闵行·期中）解不等式： 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解∶去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 14．（24-25七年级下·上海·期末）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得：， 即不等式的解集为． 将不等式的解集在数轴上表示为： 15．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）当满足什么条件时，关于的方程的解是正数？ 【答案】当时，关于的方程的解是正数 【分析】本题考查了解一元一次方程、解一元一次不等式，先解一元一次方程得出，结合题意可得，再解一元一次不等式即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ∵关于的方程的解是正数， ∴， 解得， ∴当时，关于的方程的解是正数． 16．（24-25七年级下·上海闵行·月考）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 ．第五步 任务一：填空 ①以上解题过程中，第一步是依据________________________进行变形的； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________． 任务二：请写出正确的解题过程． 【答案】任务一：①不等式的性质2：不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；②三，移项没有改变符号；任务二：见解析 【分析】任务一：①根据不等式的性质2可得答案；②由移项没有改变符号可得第三步开始出现错误； 任务二：先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； 【详解】解：任务一：①以上解题过程中，第一步是依据不等式的性质2：不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变进行变形的； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项没有改变符号； 任务二： ． 解：， ， ， ， ． 17．（23-24七年级下·全国·单元测试）当x取何值时，代数式与的差不大于2？ 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式．解题的关键是正确的列出不等式．根据题意，列出不等式，进行求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 则当，代数式与的差不大于2． 18．（24-25七年级下·上海·月考）阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值篮围 解决此问题的过程如下： 解：∵，，∴．∴ 又 ∴． 同理得：② 由①②得． ∴． 请按照上述方法，解答下列问题： (1)若，且，，求的取值范围；（写出求解过程） (2)若，且，，请直接写出的取值范围及其最大值． 【答案】(1) (2)，的最大值为25 【分析】本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键． （1）先根据，可得①，同理可得②，将①与②相加即可得； （2）先根据，可得③，同理可得④，将③与④相加即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得：②， 由①②得：， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴③， 同理可得：④， 由③④得：， ∴， ∴的最大值为25． 19．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，这是某电影院的价目表．某社团16人去此电影院看电影，打算以比赛奖金1600元购买电影票、爆米花与饮料．如果要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，那么最多可买多少盒爆米花？ 【答案】最多可买４盒爆米花 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，设可以买x盒爆米花，利用总价=单价数量，结合总价不超过1600元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】解：设可以买x盒爆米花，根据题意得： ， 解得，， 所以，最多可买４盒爆米花． 20．（2025七年级下·上海·专题练习）2025年3月8日国际妇女节开始，晴好天气吸引了大批游客来辰山植物园赏樱，周六、周日两天入园游客数达6万余人次，迎来2025年春季赏花季的第一个高峰．某中学组织七年级师生前往辰山植物园春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租一辆，且余30个空座位． (1)求该校七年级参加春游的人数； (2)已知45座客车的租金是每辆250元，60座客车的租金是每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所用的租金比单独租用一种客车要节省，按这种方案需要租金多少元？ 【答案】(1)270人 (2)1400元 【分析】（1）通过设未知数，依据两种租车方式（45座客车刚好坐满、60座客车少租一辆且余30空座 ）的数量关系列方程求解春游人数． （2）先算出单独租两种客车的租金，再设45座客车数量，根据“合租租金比单独租节省”列不等式，结合人数限制确定车辆数，进而算合租租金． 本题主要考查一元一次方程与一元一次不等式的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列方程和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设该校参加春游的有x人， 根据题意，得 解得 答：该校七年级参加春游的有270人； （2）解：独租用45座客车所用的租金为（元） 单独租用60座客车所用的租金为（元） 设租用45座客车y辆，租用60座客车辆，则 解得， 因为y取正整数，所以y可取1或2， 当时，，不合题意，舍去； 当时，， 这种方案的租金为（元）． 答：这种方案需要租金1400元． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $