第01讲 不等式及其性质（2知识点+8考点+过关检测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材沪教版五四制

第01讲 不等式及其性质 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：不等式的定义 ★1.不等式的定义：用“＜”、“＞”、“≤”、“≥”连接的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 【注意】1、凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2、 不等式表示式子之间的不等关系，与方程表示的相等关系相对应. ★2.基本的表达形式： （1）常见的不等号 符号 名称 实际意义 ＞ 大于号 大于、高出 ＜ 小于号 小于、不足 ≠ 不等于号 不相等 ≥ 大于或等于号 至少，不低于，不小于，不少于 ≤ 小于或等于号 至多，不高于，不大于，不超过 (2)常见的不等式基本语言与符号表示： a 是正数表示为a>0，a 是负数表示为a < 0; a，b同号表示为ab >0，a，b异号表示为ab <0. 下列选项是不等式的是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的概念，理解不等式的概念是关键． 用不等号连接而成的式子叫不等式，根据不等式的定义即可完成． 【详解】解：根据不等式的概念得，用不等号连接而成的式子叫不等式， 是不等式， 故选：B． 知识点2：不等式的性质 ★1、不等式性质1： 对于任意给定的两个数a、b，在a>b、a<b、a=b种情形中，有且只有一种情形成立. ★2、不等式性质2：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，则a＜c． 如同相等关系具有传递性，不等式性质2表明大于关系也具有传递性.同样地，“≥’与“<”也具有传递性. ★3、不等式的性质3：不等式的两边同加（或减去）一个数，不等号的方向不变， 即： 若a＞b，那么a＋m＞b＋m, a－m＞b－m. ★4、不等式的性质4：不等式的两边同乘（或除以）一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞b m或； ★5、不等式的性质5：不等式的两边同乘（或除以）一个负数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜b m或； ★6、不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 1．若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的基本性质；根据不等式的基本性质，逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵， 选项A： 两边同时加2，不等号方向不变，应为，故A错误． 选项B： 左边减5，右边减3，应为，故B错误． 选项C： 两边同时除以正数3，不等号方向不变，应为，故C错误． 选项D： 两边同时乘以负数，不等号方向改变，由可得，故D正确． 故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质：不等式两边加或减同一个数，不等号方向不变；乘或除同一个正数，不等号方向不变；乘或除同一个负数，不等号方向改变，进行分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴与的大小关系不确定，故该选项不符合题意； B、∵，∴，∴，故该选项符合题意； C、∵，∴，故该选项不符合题意； D、∵，∴，∴，故该选项不符合题意； 故选：B 【题型1 不等式的识别】 【典例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列式子中，属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．用不等号 “”“”“”“”“” 连接的式子叫做不等式． 根据不等式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是等式，故本选项不符合题意； B、是代数式，故本选项不符合题意； C、是不等式，故本选项符合题意； D、是代数式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列表达式中是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：、、、、． 【详解】解：选项A，根据不等式的定义，是不等式，故该选项正确，符合题意； 选项B，只是一个整式，不是不等式，故该选项不正确，不符合题意； 选项C，是一个等式，不是不等式，故该选项不正确，不符合题意； 选项D，只是一个有理数，不是不等式，故该选项不正确，不符合题意． 故选：A． 【变式2】老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查不等式，解题的关键是掌握不等式的定义：用符号“”、“”、“”、“”或“”连接的式子，叫做不等式． 【详解】解：个式子中，其中式子，，是不等式，有个． 故选：C． 【变式3】下列是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的定义，熟知不等式的定义是解题的关键： 根据不等式定义：一般地，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式，常见的不等号有“”“”“”“”或“”连接，进行判断即可． 【详解】解：A、是代数式，不是不等式，不符合题意； B、是不等式，符合题意； C、是等式，不符合题意； 【题型2 用不等式表示不等关系】 【典例1】（24-25七年级下·上海·期中）不超过的最大整数是5，试用不等式表示应满足的条件： ． 【答案】/ 【分析】本题考查不等式的定义，熟练根据题意转换为的范围是解题的关键．利用不超过的最大整数是，分别探索上限和下限即可得出结果． 【详解】解：由不超过的最大整数是， 当时，不超过的最大整数小于； 当时，不超过的最大整数大于等于； 当时，不超过的最大整数是， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）的2倍与的和小于5.用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意列出不等式是关键； 【详解】解：不等式表示为： 故答案为：. 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期末）用适当的不等式表示“大于”为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，解题关键是掌握不等式的定义．根据题意用“”，列出不等式即可． 【详解】解：不等式表示“大于”为： 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)x的4倍与3的差是正数：________________． (2)a与b的积小于7：________________． (3)a，b两数的平方和大于10：_____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查列不等式，关键是根据题意正确找出不等关系． （1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得； （2）根据积的定义列出不等式即可得； （3）根据平方和的定义列出不等式即可得． 【详解】（1）解：的4倍与3的差是正数，即差大于0，因此不等式为． 故答案为：． （2）解：与的积小于7，即乘积小于7，因此不等式为． 故答案为：． （3）解：与的平方和大于10，即平方和大于10，因此不等式为． 故答案为：． 【题型3 不等式在生活实际中的应用】 【典例1】如图，天平右盘中每个砝码的重量都是，如图中显示出某药品A重量的范围是（    ） A．大于 B．小于 C．大于且小于 D．大于或小于 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式的应用，解决问题的关键是读懂图意． 根据图形就可以得到药品A的质量的范围． 【详解】解： 由第一个图可知药品A质量大于2克，由第二个图可知药品A质量小于3克，故药品A质量范围是大于2克且小于3克． 故选：C． 【变式1】如下是南昌市2024年某一天的天气情况，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（    ） 日期：2024年6月1日  星期六 天气：雨~多云 最高气温： 最低气温： 风向：北风3级 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义，解题的关键是抓住关键词，正确理解最高和最低的含义．最高气温是，即气温小于或等于，最低气温是，即气温大于或等于，据此写出即可． 【详解】解：最高气温是，即气温小于或等于，最低气温是，即气温大于或等于，当天某一时刻的气温为，则的变化范围是 故选：D． 【变式2】如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，若用表示汽车的速度，则与应满足的关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的概念，用不等号将两个整式连接起来所成的式子，叫做不等式．根据题意可知汽车的速度不超过，即汽车的速度小于等于，然后用符号表示即可． 【详解】解：根据题意知速度不超过，即小于等于， 故用不等式表示为， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签．设一次服用药品的剂量为，请用不等式表示x的取值范围． 用法用量：口服，每次，一日次 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ 【答案】 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． 每次用量为，意味着服用药品的剂量大于或等于且小于或等于，即可列出不等式． 【详解】解：∵每次， ∴一次服用药品的剂量应满足． 【题型4 判断不等式的变形是否正确】 【典例1】（25-26七年级上·上海·月考）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，需逐项判断其正确性．选项A、B和D符合不等式性质，正确；选项C存在反例，不正确，从而可得答案． 【详解】解：A、两边同时加上2得，，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意； B、两边同时乘以得，，不等号的方向改变，说法正确，故选项不符合题意； C、若，当时，，原说法不正确，假命题，故选项符合题意； D、，两边同时除以2，则，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】（2025·上海·模拟预测）若实数、满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：A、由无法确定是否成立，不符合题意； B、由无法确定是否成立，不符合题意； C、由两边同时乘以3，不等式不变号得到，符合题意； D、由无法确定是否成立，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·上海宝山·期末）如果，那么下列不等式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：如果， 两边同时减去，得，则A符合题意， 两边同时加上，得，则B不符合题意， 两边同时乘以再同时减去，得，则C不符合题意， 两边同时乘以，得，则D不符合题意， 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·上海金山·期末）下列有关不等式的解法中，错误的是（   ） A．，两边同加2，得 B．，两边同减6，得 C．，两边同乘，得 D．，两边同除以，得 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质． 根据不等式的基本性质逐一判断即可. 【详解】解：选项A：解不等式，两边同加2，得．此操作符合不等式性质（加减同一数不改变不等号方向），正确，不符合题意． 选项B：解不等式，两边同减6，得．此操作符合不等式性质（加减同一数不改变不等号方向），正确，不符合题意． 选项C：解不等式，两边同乘时，未改变不等号方向，错误．正确解法应为，符合题意． 选项D：解不等式，两边同除以时改变不等号方向，得，正确，不符合题意． 综上，错误的解法是C． 故选：C. 【题型5 利用不等式的性质比较大小】 【典例1】（24-25七年级下·上海松江·月考）如果，那么 （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据“不等式两边同乘以一个负数，改变不等号的方向”即得答案． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【变式1】若 则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式比较大小，解题的关键在于代数式比较大小的掌握． 通过作差法来比较与的大小，即计算，然后判断其结果的正负性． 【详解】解：已知，， 将其代入可得：， 因为． 所以，也就是． 因为，移项可得． 故选：A． 【变式2】已知，若，则M与N的大小关系是M N． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的大小比较，通过作差法及因式分解，结合已知条件分析即可. 【详解】解：由    ∵ ∴，即 ∴ 故答案为：. 【变式3】解决下面问题： (1)已知，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） 解：，且（已知） _______（不等式的基本性质2） _______（不等式的基本性质1） (2)若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)＜，＜； (2)见解析． 【分析】本题考查了不等式的性质：①不等式的传递性：若，，则，②把不等式的两边都加(或减去)同一个数，不等号仍然成立；③不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号仍然成立；不等式两边都乘(或除以)同一个负数，必须改变不等号方向，所得不等式成立． （1）根据不等式的性质解答即可； （2）根据不等式的性质解答即可． 【详解】（1）解：，且（已知） （不等式的基本性质2） （不等式的基本性质1） 故答案为：＜，＜； （2）解：，且（已知） （不等式的基本性质3） （不等式的基本性质1）． 【题型6 利用不等式的性质确定字母的取值范围】 【典例1】如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查不等式的基本性质，注意系数正负对不等号方向的影响．根据不等式解集的形式，可知除系数时不等号方向不变，因此系数必须为正数，即可求解． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴除以后不等号方向不变， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】如果不等式的解集为，则必须满足的条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，发现不等号改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，求出a的范围． 【详解】解：不等式的解集是，符号改变了，所以，即． 故选：B． 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质． 【变式2】若，且，求实数a的取值范围． 【答案】实数a的取值范围为 【分析】本题考查不等式的基本性质，由，且，结合不等式的基本性质可知，即可求解．理解并掌握不等式的基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得． 答：实数a的取值范围为． 【变式3】（25-26七年级上·上海·月考）当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． (1)∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． (2)若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 【答案】(1)，不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变；，不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变 (2) 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的性质是解答的关键． （1）根据不等式的性质求解即可． （2）由得到，可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变） ∴ （不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变）． （2）解：∵且， ∴， 解得：． 【题型7 利用不等式的性质解简单的不等式】 【典例1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质两边都减去即可求解； （2）根据不等式的性质两边都除以即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）∵， 【变式1】根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不等式的性质，熟记相关结论即可求解． （1）在不等式两边同时减去即可； （2）在不等式两边同时除以即可； 【详解】（1）解：在不等式两边同时减去，不等号方向不变， 得： （2）解：在不等式两边同时除以，不等号方向改变， 得： 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）运用不等式的性质1进行作答即可； （2）运用不等式的性质1进行作答即可； （3）运用不等式的性质2进行作答即可； （4）运用不等式的性质3进行作答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴由不等式的性质1得： ∴； （2）解：∵， ∴由不等式的性质1得： ∴； （3）解：∵， ∴由不等式的性质2得： ∴； （4）解：∵， ∴由不等式的性质3得： ∴． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知，试比较：与的大小． 解：，， 根据不等式的基本性质3，得 ，    第一步 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得．    第二步 (1)上述解题过程中，从第_____步开始出现错误，错误的原因是_______________； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变 (2)见解析 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质即可得到答案； （2）根据不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：一  ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； 故答案为：一  ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （2）解：，， 根据不等式的基本性质3，得， 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得． 【题型8 利用不等式的性质证明不等式】 【典例1】已知x＞0，试说明． 【分析】利用作差法，结合完全平方公式可得x﹣4﹣（）＝x﹣4，再根据偶次方的非负数性质可得答案． 【详解】解：x﹣4﹣（）＝x﹣4， 又∵（x﹣2）2≥0，x＞0， ∴0， ∴x﹣4﹣（）≥0， ∴x﹣4． 【点睛】本题考查了不等式的性质以及非负数的性质，掌握完全平方公式是解答本题的关键． 【变式1】与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请完成下题中依据的填写． 已知有理数x，y满足x＞y＞0，求证：x2＞y2． 证明：∵x＞y＞0， ∴x+y＞0（有理数的加法法则）， x﹣y＞0（不等式的基本性质1）， ∴（x+y）（x﹣y）＞0（ 　 　）． ∵（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2（ 　 　）， ∴x2﹣y2＞0（等量代换）． ∴x2＞y2（ 　 　）． 【分析】先利用有理数的加法法则，不等式的基本性质可得x+y＞0，x﹣y＞0，然后利用有理数的乘法法则可得（x+y）（x﹣y）＞0，再利用平方差公式可得x2﹣y2＞0，从而利用不等式的基本性质1，即可解答． 【详解】解：：∵x＞y＞0， ∴x+y＞0（有理数的加法法则）， x﹣y＞0（不等式的基本性质1）， ∴（x+y）（x﹣y）＞0（有理数的乘法法则）． ∵（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2（平方差公式）， ∴x2﹣y2＞0（等量代换）． ∴x2＞y2（不等式的基本性质1）， 故答案为：有理数的乘法法则；平方差公式；不等式的基本性质1． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【变式2】阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数x、y满足x＞y＞0，证明：x2＞y2． 证明：因为x＞y且x，y均为正， 所以x2＞　 　，x y＞　 　.（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以x2＞y2（不等式的传递性） 解决问题： （1）请将上面的证明过程填写完整． （2）尝试证明：若a＜b，则． 【分析】（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题． 【详解】证明：（1）因为x＞y且x，y均为正， 所以x2＞xy，xy＞y2．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 所以x2＞y2（不等式的传递性）， 故答案为：xy，y2； （2）∵a＜b， ∴a+b＜b+b， ∴． 【点睛】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． 1、 选择题 1．（24-25八年级下·贵州毕节·月考）给出下面式子：①；②；③；④．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】依据不等式的定义（用不等号表示不相等关系的式子），对每个式子逐一判断是否为不等式．本题主要考查不等式的定义，明确不等式是用不等号（、、、、 等）表示不等关系的式子，熟练掌握该定义是判断式子是否为不等式的关键． 【详解】解：判断①：，用“”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式． 判断②：，用“”表示相等关系，是等式，不是不等式． 判断③：，用“”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式． 判断④：，用“”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式． 综上，①③④是不等式，共个， 故选 C ． 2．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）年6月5日是我国二十四节气中的芒种，某地当天最高气温是，最低气温是，则该地这天气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意找出不等关系是解答本题的关键．根据题意可知，当天的气温应该大于或等于最低气温，且小于或等于最高气温，根据上述分析，即可列出不等式，得到答案． 【详解】解：当天最高气温是，最低气温是， 因此气温的变化范围应满足最低气温最高气温， 即， 故选：B． 3．（2024春•铁西区期中）“x的与x的差不大于6”可以表示为（　　） A．x﹣x＜6 B．x﹣x＞6 C．x﹣x≤6 D．x﹣x≥6 【答案】C． 【分析】根据题意，可以用含x的不等式表示出“x的与x的差不大于6”，本题得以解决． 【详解】解：“x的与x的差不大于6”可以表示为x﹣x≤6， 故选：C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式． 4．（25-26六年级上·上海·月考）如果，且，那么（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质和分数比较大小，通过对等式进行变形，求出与的关系，再比较和的大小． 【详解】解：， 即， 等式两边同时除以得，， ∵，且， ∴， 即． 故选：B． 5．（24-25七年级下·上海·月考）若，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质逐项进行判断即可 【详解】解：A、∵， ∴，故该选项不符合题意； B、∵， ∴，故该选项符合题意； C、∵， ∴，故该选项不符合题意； D、∵， ∴只有当时，，故该选项不符合题意； 故选：B． 6．（24-25七年级下·上海·期中）下列不等式变形正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．应用不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．若，则，原变形正确， B．若且，则，原变形错误， C．若且，则，原变形错误， D．若，则，原变形错误， 故选：A． 7．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知，那么下列式子中不一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的基本性质；根据不等式的基本性质，结合题目条件分析各选项是否一定成立即可． 【详解】解：已知，，根据传递性可得，故选项A一定成立． 对于选项B，不等式，由两边同加得到，根据不等式加法性质，方向不变，故B一定成立． 选项C中，不等式，由两边同减得到，根据不等式减法性质，方向不变，故C一定成立． 选项D中，的成立需考虑的符号．若，则两边同乘后方向不变；若，则方向改变，此时；若，则．由于题目未限定的符号，故不一定成立． 综上，不一定成立的选项为D． 故选：D． 8．关于的不等式的解集是，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质求解即可． 【详解】∵关于的不等式的解集是， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的基本性质． 2、 填空题 9．（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的运算法则运算求解即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果，那么 ．（填“”或“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·上海·期中）比较大小：如果那么 b．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变.根据不等式的性质解答即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：. 11．（22-23六年级下·上海浦东新·期中）如果，那么 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质即可作出判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟悉不等式的三个性质是解题的关键，特别运用性质3时，不等号的方向要改变． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）若不等式的解集是，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据题意可得不等式的两边同时除以k后，不等号方向发生了改变，而不等式两边同时除以一个小于0的数，不等号方向发生改变，据此可得答案． 【详解】解：因为不等式的解集是， 所以不等式的两边同时除以k后，不等号方向发生了改变， 所以， 故答案为：． 13．已知a，b为有理数，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④，，则；⑤若，则．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了有理数的性质、平方运算、倒数关系、绝对值比较及不等式性质的综合应用，解题的关键是通过举反例或逻辑推导验证每个结论的正确性，尤其要注意符号对运算结果的影响． 通过对每个结论逐一分析：①利用平方相等的两数关系判断；②由分式等式推导出两数关系验证；③通过举正负不同的有理数反例判断；④结合两数大小和和的符号分析绝对值关系；⑤根据给定的、范围，利用不等式性质比较各代数式大小． 【详解】解：①由，根据平方性质，互为相反数的两数平方相等，故，①正确； ②由得（），故，②正确； ③若，，满足，但，故③错误； ④因且，若，则，矛盾，故，④正确； ⑤由，得，；，即；，即；， 故，⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 3、 解答题 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）长方形的面积为，正方形的面积为，根据“长方形的面积小于正方形的面积”即可列出不等式； （2）客车到站乘客上下车后，车上有乘客人，“车内仍有空余座位”意味着车上乘客数少于40人，即可列出不等式． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． 15．已知，请比较下列各式的大小，并说明理由． (1)与； (2)与． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，熟知①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质解答即可． （2）根据不等式的基本性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，第一步 ∴，第二步 故．第三步 (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第二步开始出现错误，错误地运用了不等式的基本性质，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：二． （2）解：正确的解题过程如下： ∵， ∴， ∴． 17．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据不等式的性质1解答即可； （2）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质2解答； （3）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质3解答； （4）根据不等式的性质3解答即可； 【详解】（1）解：， 两边加上得：， 解得：； （2）解：， 两边加上得：，即， 两边除以得：； （3）解：， 两边减去得：，即， 两边除以得：； （4）解：， 两边除以得：． 【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 18．（24-25七年级上·上海·期中）已知． (1)化简； (2)比较和的大小 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减计算，完全平方公式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）将利用完全平方公式变形为，再根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵， 而， ∴， ∴， 即． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 不等式及其性质 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：不等式的定义 ★1.不等式的定义：用“＜”、“＞”、“≤”、“≥”连接的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 【注意】1、凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2、 不等式表示式子之间的不等关系，与方程表示的相等关系相对应. ★2.基本的表达形式： （1）常见的不等号 符号 名称 实际意义 ＞ 大于号 大于、高出 ＜ 小于号 小于、不足 ≠ 不等于号 不相等 ≥ 大于或等于号 至少，不低于，不小于，不少于 ≤ 小于或等于号 至多，不高于，不大于，不超过 (2)常见的不等式基本语言与符号表示： a 是正数表示为a>0，a 是负数表示为a < 0; a，b同号表示为ab >0，a，b异号表示为ab <0. 下列选项是不等式的是（    ） A． B． C． D．1 知识点2：不等式的性质 ★1、不等式性质1： 对于任意给定的两个数a、b，在a>b、a<b、a=b种情形中，有且只有一种情形成立. ★2、不等式性质2：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，则a＜c． 如同相等关系具有传递性，不等式性质2表明大于关系也具有传递性.同样地，“≥’与“<”也具有传递性. ★3、不等式的性质3：不等式的两边同加（或减去）一个数，不等号的方向不变， 即： 若a＞b，那么a＋m＞b＋m, a－m＞b－m. ★4、不等式的性质4：不等式的两边同乘（或除以）一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞b m或； ★5、不等式的性质5：不等式的两边同乘（或除以）一个负数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜b m或； ★6、不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 1．若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型1 不等式的识别】 【典例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列式子中，属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列表达式中是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型2 用不等式表示不等关系】 【典例1】（24-25七年级下·上海·期中）不超过的最大整数是5，试用不等式表示应满足的条件： ． 【变式1】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）的2倍与的和小于5.用不等式表示为 ． 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期末）用适当的不等式表示“大于”为 ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)x的4倍与3的差是正数：________________． (2)a与b的积小于7：________________． (3)a，b两数的平方和大于10：_____________________． 【题型3 不等式在生活实际中的应用】 【典例1】如图，天平右盘中每个砝码的重量都是，如图中显示出某药品A重量的范围是（    ） A．大于 B．小于 C．大于且小于 D．大于或小于 【变式1】如下是南昌市2024年某一天的天气情况，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（    ） 日期：2024年6月1日  星期六 天气：雨~多云 最高气温： 最低气温： 风向：北风3级 A． B． C． D． 【变式2】如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，若用表示汽车的速度，则与应满足的关系为 ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签．设一次服用药品的剂量为，请用不等式表示x的取值范围． 用法用量：口服，每次，一日次 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ 【题型4 判断不等式的变形是否正确】 【典例1】（25-26七年级上·上海·月考）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（2025·上海·模拟预测）若实数、满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海宝山·期末）如果，那么下列不等式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·上海金山·期末）下列有关不等式的解法中，错误的是（   ） A．，两边同加2，得 B．，两边同减6，得 C．，两边同乘，得 D．，两边同除以，得 【题型5 利用不等式的性质比较大小】 【典例1】（24-25七年级下·上海松江·月考）如果，那么 （填“”或“”）． 【变式1】若 则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，若，则M与N的大小关系是M N． 【变式3】解决下面问题： (1)已知，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） 解：，且（已知） _______（不等式的基本性质2） _______（不等式的基本性质1） (2)若，比较与的大小，并说明理由． 【题型6 利用不等式的性质确定字母的取值范围】 【典例1】如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如果不等式的解集为，则必须满足的条件是（  ） A． B． C． D． 【变式2】若，且，求实数a的取值范围． 【变式3】（25-26七年级上·上海·月考）当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． (1)∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． (2)若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 【题型7 利用不等式的性质解简单的不等式】 【典例1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2)． 【变式1】根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1) (2) 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知，试比较：与的大小． 解：，， 根据不等式的基本性质3，得 ，    第一步 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得．    第二步 (1)上述解题过程中，从第_____步开始出现错误，错误的原因是_______________； (2)请写出正确的解题过程． 【题型8 利用不等式的性质证明不等式】 【典例1】已知x＞0，试说明． 【变式1】与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请完成下题中依据的填写． 已知有理数x，y满足x＞y＞0，求证：x2＞y2． 证明：∵x＞y＞0， ∴x+y＞0（有理数的加法法则）， x﹣y＞0（不等式的基本性质1）， ∴（x+y）（x﹣y）＞0（ 　 　）． ∵（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2（ 　 　）， ∴x2﹣y2＞0（等量代换）． ∴x2＞y2（ 　 　）． 【变式2】阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数x、y满足x＞y＞0，证明：x2＞y2． 证明：因为x＞y且x，y均为正， 所以x2＞　 　，x y＞　 　.（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以x2＞y2（不等式的传递性） 解决问题： （1）请将上面的证明过程填写完整． （2）尝试证明：若a＜b，则． 1、 选择题 1．（24-25八年级下·贵州毕节·月考）给出下面式子：①；②；③；④．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）年6月5日是我国二十四节气中的芒种，某地当天最高气温是，最低气温是，则该地这天气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•铁西区期中）“x的与x的差不大于6”可以表示为（　　） A．x﹣x＜6 B．x﹣x＞6 C．x﹣x≤6 D．x﹣x≥6 4．（25-26六年级上·上海·月考）如果，且，那么（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定 5．（24-25七年级下·上海·月考）若，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·上海·期中）下列不等式变形正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知，那么下列式子中不一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 8．关于的不等式的解集是，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2、 填空题 9．（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是 ． 10．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果，那么 ．（填“”或“”或“”或“”） 11．（24-25七年级下·上海·期中）比较大小：如果那么 b．（填“”或“”） 11．（22-23六年级下·上海浦东新·期中）如果，那么 ． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）若不等式的解集是，则k的取值范围是 ． 13．已知a，b为有理数，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④，，则；⑤若，则．其中正确的是 ．（填序号） 3、 解答题 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 15．已知，请比较下列各式的大小，并说明理由． (1)与； (2)与． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，第一步 ∴，第二步 故．第三步 (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解题过程． 17．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（24-25七年级上·上海·期中）已知． (1)化简； (2)比较和的大小 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $