精品解析：安徽省安庆市桐城市部分校联考2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

桐城市部分学校联考2025-2026学年上学期九年级1月月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，判断各选项是否为二次函数，需满足形如且为整式函数的条件． 【详解】解：选项A：此为一次函数（最高次数为1），不符合二次函数定义，排除； 选项B：二次函数需满足，但题目未限定的取值（如时为一次函数），因此不一定是二次函数，排除； 选项C：，展开得：， 符合，且为整式函数，因此一定是二次函数； 选项D：，含分式项（即），非整式函数，不符合二次函数定义，排除． 故选：C． 2. 已知二次函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得顶点坐标，得出最小值，然后求出x=-3、x=0时y的值，就可顶点y的取值范围． 【详解】=， ∵1>0， ∴图象开口向上，当x=-1时，y有最小值-5， 当x=-3时，y=-1；当x=0时，y=-4， ∴当时，的取值范围是， 故选：C． 【点睛】此题考查二次函数的最值，二次函数的性质，已知自变量求函数值，解题中注意函数图象的对称轴在取值范围中，即函数存在最值，不要忽略． 3. 如图，已知抛物线与x轴的一个交点坐标为，它的对称轴为直线，则一元二次方程的解为（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，抛物线对称性，理解抛物线是轴对称图形是解题的关键．根据抛物线是轴对称图形，利用抛物线上对称的点到对称轴的距离相等得出方程的解． 【详解】解：与x轴的一个交点坐标为，它的对称轴为直线， 个到对称轴的距离是2， 抛物线与x轴另一交点到对称轴的距离也是2，所以交点坐标是 一元二次方程的解为， 故选：． 4. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据降价x元，则售价为元，销售量为件，由题意可得等量关系：总销售额为销量售价，根据等量关系列出函数解析式即可． 【详解】解：降价x元，则售价为元，销售量为件， 根据题意得，， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出函数表达式，是解题的关键． 5. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B、C，若，则k的值为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，可以得出矩形的面积，矩形的面积等于点A的横纵坐标的积的绝对值，即可得出答案. 本题考查的是反比例函数系数的几何意义，在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 【详解】解：由，可得矩形的面积， ∴， 即， 又∵函数图象在第二象限， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图，，补充下列条件之一，不一定能判定和相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，，∴，故不符合题意； B、∵，∴，即，结合可推出，故不符合题意； C、∵，，∴，故不符合题意； D、，不能推出，故符合题意； 故选：D． 7. 如图，已知与位似，位似中心为点，且与的周长之比是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查位似及相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵与位似，且与的周长之比是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 8. 如图，直线，直线与分别交于点和点．若，，则的长是（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 9. 数学活动课上，同学们要测量学校门口安装的太阳能电灯杆的高度，如图所示，在地面上一点E处竖直放一根标杆，，，测得太阳能电灯杆底部点B至E的距离为，灯杆的顶端为点A，，在的延长线上找一点C，使C，D，A三点在同一直线上，测得，则该灯杆的高度为（ ） A. 6.5 B. 6.6 C. 6.7 D. 6.8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，先证明，得到，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：B． 10. 如图，的斜边在轴上，，含角的顶点与原点重合，直角顶点在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，再利用旋转的性质得到，然后利用第四象限点的坐标特征写出点的坐标． 【详解】如图， 在中，， ， 绕原点顺时针旋转后得到， ， 点的坐标为． 故选A． 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 对于任意函数，定义当时，若函数值，称为此函数的不动点．例如函数，当时，则点为此函数的不动点．则二次函数的不动点为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与方程的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念． 根据题意得出，代入函数求解即可． 【详解】解：根据题意得：当时，若函数值，称为此函数的不动点， 即， ∴ ，整理得：， 解得：或， ∴二次函数的不动点为或， 故答案为：或． 12. 已知线段，点C为线段的黄金分割点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，据此可得答案． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，，，，连结．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形．过作于，过作于，由等腰三角形的性质推出是的中点，是的中点，得到，判定，推出，，求出，令，，求出，，由勾股定理求出，得到，于是． 【详解】解：过作于，过作于， ，， 是的中点，是的中点， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 令，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，利用顶点式求出二次函数的解析式，即可得到a和c的值，然后代入计算解题． 【详解】解：设抛物线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 已知二次函数，函数值和自变量的部分对应取值如表： 请观察表格，解决下列问题． （1）填空：_______，_______ （2）已知，，若线段与抛物线有交点，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）当或时，线段与抛物线有交点 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）分别把和代入二次函数进行求解即可； （2）令时，则有，则有抛物线与直线的交点坐标为和，然后可得或，进而求解即可． 【小问1详解】 解：当时，则有； 当时，则有； 故答案为，； 【小问2详解】 解：令时，则有， 解得：， ∴抛物线与直线的交点坐标为和， ∵线段与抛物线有交点， ∴点或需在线段上， ∵点，， ∴或， 解得：或； ∴当或时，线段与抛物线有交点． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，特殊的三角函数值，零次幂及负指数幂计算，正确掌握各计算法则是解题的关键． 【详解】解：原式． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴正半轴交于点，且连接，若为上方抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后可得直线的表达式为，过点作交轴于点，连接，进而可得，最后问题可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵抛物线与轴交于点和点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：点，点， ， ． ， ， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的表达式为， 如图，过点作交轴于点，连接， ， ， ， ∴， 同理可得的表达式为， 联立得：， 解得，， 或． 18. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 【答案】（1） （2）2或6m 【解析】 【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解； （2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， 【小问2详解】 由，令， 得， 解得， 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m， 当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键． 19. 如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=﹣x2+6x+3交y轴于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于点B，连结OB．点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q． （1）求AB的长； （2）当∠APQ=∠B时，求点P的坐标； （3）当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点P的坐标． 【答案】（1）AB=6；（2）P（4，11）；（3）P（4，11）或P（3，12）． 【解析】 【分析】（1）先求得点A（0，3），令，解得x=0或6，故点B（6，3），即可求解； （2）证明△ABO～△HPA，则，即可求解； （3）当△APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍时，则2（AO+HQ）=PH，即可求解． 【详解】解：（1）对于，令x=0，则y=3，故点A（0，3）， 令，解得x=0或6，故点B（6，3）， 故AB=6； （2）设P（，）， ∵∠APQ=∠B，∠AHP=∠OAB=90°， ∴△ABO～△HPA，故， ∴， 解得m=4． ∴P（4，11）； （3）当△APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍时， 则2（AO+HQ）=PH， ∵HQ∥OA， ∴，即， ∴HQ=， ∴， 解得：m1=4，m2=3， ∴P（4，11）或P（3，12）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，图形的面积计算等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 20. 大约在两千四五百年前，如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：cm）的反比例函数，当时，． （1）求关于的函数表达式，并在平面直角坐标系中描点画出这个反比例函数的图象； （2）若火焰的像高不得超过5cm，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 【答案】（1）， 如图所示： （2）小孔到蜡烛的距离至少是厘米 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握待定系数法是解本题的关键． （1）由题意设设关于的函数表达式为，再利用待定系数法求解函数解析式，然后画出函数图象即可； （2）把当代入，然后结合图象即可解答． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， 把代入上式得：，解得， ∴关于的函数表达式为：， 【小问2详解】 解：当时，，解得：， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，． 答：小孔到蜡烛的距离至少是厘米． 21. 如图，在四边形中，，点在上，，垂足为． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求和的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴AD∥CE， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）， 【解析】 【分析】（1）由题意易得AD∥CE，然后问题可求证； （2）由（1）及题意易得EF=CE=AD，然后由可进行求解问题． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得四边形是平行四边形， ∴， ∵，平分，， ∴， ∴EF=CE=AD， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）点P为y轴负半轴上一点，连接．若的面积为6，求点P的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为：；反比例函数解析式为：； （2）点P的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点坐标，利用三角形面积公式，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数图象上， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为：； ∵点在一次函数图象上， ∴， 解得， ∴点， ∵点在反比例函数图象上， ∴ ∴反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， ∴， 由题意得， 解得， ∵点P为y轴负半轴上一点， ∴， ∴点P的坐标为． 23. 中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） （1）求的长； （2）该充电站有20个停车位，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用： （1）先由矩形的性质得到，再解得到，接着解直角三角形得到，进而求出，据此可得答案； （2）解得到，解得到，再根据有20个停车位计算出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：在中，， 在中，， ∵该充电站有20个停车位， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桐城市部分学校联考2025-2026学年上学期九年级1月月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知抛物线与x轴的一个交点坐标为，它的对称轴为直线，则一元二次方程的解为（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B、C，若，则k的值为（ ） A. B. C. 6 D. 6. 如图，，补充下列条件之一，不一定能判定和相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知与位似，位似中心为点，且与的周长之比是，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线，直线与分别交于点和点．若，，则的长是（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 12 9. 数学活动课上，同学们要测量学校门口安装的太阳能电灯杆的高度，如图所示，在地面上一点E处竖直放一根标杆，，，测得太阳能电灯杆底部点B至E的距离为，灯杆的顶端为点A，，在的延长线上找一点C，使C，D，A三点在同一直线上，测得，则该灯杆的高度为（ ） A. 6.5 B. 6.6 C. 6.7 D. 6.8 10. 如图，的斜边在轴上，，含角的顶点与原点重合，直角顶点在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 对于任意函数，定义当时，若函数值，称为此函数的不动点．例如函数，当时，则点为此函数的不动点．则二次函数的不动点为_____． 12. 已知线段，点C为线段的黄金分割点，且，则______． 13. 如图，在四边形中，，，，连结．若，则的值为______． 14. 已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则_______． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 已知二次函数，函数值和自变量的部分对应取值如表： 请观察表格，解决下列问题． （1）填空：_______，_______ （2）已知，，若线段与抛物线有交点，求的取值范围． 16. 计算：． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴正半轴交于点，且连接，若为上方抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，，若，求点的坐标． 18. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 19. 如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=﹣x2+6x+3交y轴于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于点B，连结OB．点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q． （1）求AB的长； （2）当∠APQ=∠B时，求点P的坐标； （3）当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点P的坐标． 20. 大约在两千四五百年前，如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：cm）的反比例函数，当时，． （1）求关于的函数表达式，并在平面直角坐标系中描点画出这个反比例函数的图象； （2）若火焰的像高不得超过5cm，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 21. 如图，在四边形中，，点在上，，垂足为． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求和的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）点P为y轴负半轴上一点，连接．若的面积为6，求点P的坐标． 23. 中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） （1）求的长； （2）该充电站有20个停车位，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $