第19讲 一元一次不等式组的解法及应用（4知识点+8大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材人教版

第19讲 一元一次不等式组的解法及应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 知识点2：解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 知识点3：一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点4：一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 【题型1 一元一次不等式组的定义】 例1．（24-25七年级下·全国·周测）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组，解题的关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 利用一元一次不等式组定义逐个判断解答即可． 【详解】A．，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故不符合题意； B．，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，故不符合题意； C．，是一元一次不等式组，故符合题意； D．，含有分式不等式，不是一元一次不等式组，故不符合题意； 故选：C． 例2．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列各式中是一元一次不等式组的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式组的定义进行判断． 【详解】解：A、第二个不等式不是整式不等式，故本选项不合题意； B、该不等式组中有2个未知数，故本选项不合题意； C、该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不合题意； D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键. 根据一元一次不等式组的定义逐项判断即可 【详解】解：A、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； B、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； C、 是一元一次不等式组，故该选项符合题意； D、 不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； 故选：C 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 【题型2 求一元一次不等式组的解集】 例3．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）解不等式组：，并将不等式组的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，作图见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及不等式解集在数轴上的表示，先分别解不等式组里的两个不等式，再取公共部分的解集，最后将所求解集表示在数轴上即可． 【详解】解：由不等式①，得， 由不等式②，得． ∴原不等式组的解集为：， 将不等式组的解集表示在数轴上如下， 例4．（25-26八年级上·浙江温州·月考）解不等式组并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查一元一次不等式组的求解：先分别解出两个一元一次不等式，再求出不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式： 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； 解不等式： 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，； ∴不等式组的解集为，在数轴上表示为： ． 变式1．（25-26九年级上·西藏日喀则·期中）解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握“一元一次不等式组的解法步骤”是解本题的关键． 分别解不等式组中的两个不等式，即可得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示即可． 【详解】解： 由①得：，， 解得； 由②得，，， 解得， 不等式组的解集为， 把解集表示在数轴上如图： 变式2．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）解不等式组，将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向在数轴上表示出解集即可． 【详解】解： 由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示解集为： 【题型3 求一元一次不等式组的整数解】 例5．（2025·甘肃武威·一模）不等式组的整数解 ． 【答案】0，1 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及整数解的确定，解题的关键是正确求解每个一元一次不等式的解集，再通过找两个解集的公共部分得到不等式组的解集，进而找出整数解． 先解第一个不等式，通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出其解集；再解第二个不等式，同样通过移项、合并同类项、系数化为1求出其解集；然后找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集；最后在该解集中筛选出所有整数，得到不等式组的整数解． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 解， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 则不等式组的解集为， 其中的整数为0、1． 故答案为：0，1． 例6．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）不等式组的最大整数解是 【答案】2 【分析】本题考查了求不等式组的整数解．先求出不等式组中每个不等式的解集，然后根据“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解”的原则求出其公共解集，最后求其最大整数解即可． 【详解】解：， 解得：， 解得：， 则不等式组的解集是：． 则最大整数解是2． 故答案为：2． 变式1．（24-25七年级下·河北保定·期末）求不等式组所有整数解的和 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查求不等式组的整数解，掌握解不等式组的方法是解题的关键．根据不等式的性质分别求出两个不等式的解集，再确定不等式组解集，结合解集取整数，再求和即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组解集是， ∴不等式组整数解是， ∴， 故答案为：6． 变式2．（25-26九年级上·重庆潼南·月考）解不等式组，并求出该不等式组的整数解． 【答案】，整数解为，，0，1，2 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及整数解的确定，确定不等式组的解集是解题关键． 分步骤求解每个不等式，再确定公共解集，最后找出整数解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴该不等式的整数解为，，0，1，2． 答：，整数解为，，0，1，2． 【题型4 解一元一次不等式组中错解复原问题】 例7．（24-25八年级下·河南郑州·期末）下面是某同学解不等式组的部分解答过程，请阅读并完成相应的任务． 解：…… 由不等式②得，．    第一步 移项，得．    第二步 合并同类项得，    第三步 所以：        第四步 (1)任务一：小明的解答过程中，第一步的依据是 ，第 步开始出现错误，错误的原因是 ． (2)任务二：请你求出这个不等式组正确的解集． 【答案】(1)不等式的基本性质2，四，化系数为1时没有变号 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤结合不等式的性质判断即可 （2）分别求每一个不等式的解集，再取解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：小明的解答过程中，第一步的依据是不等式的基本性质2，第四步开始出现错误，错误的原因是化系数为1时没有变号， 故答案为：不等式的基本性质2，四，化系数为1时没有变号； （2）解： 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：． 例8．（24-25八年级下·河南郑州·月考）下面是小明同学解不等式组 的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①，得．第一步 解得．第二步 由不等式②，得．第三步 移项，得．第四步 解得．第五步 所以，原不等式组的解集是．第六步 (1)小明的解答过程中，第 　　步开始出现错误，错误的具体原因是 　　，得到第三步的根据是 　　 (2)请写出解此不等式组的完整过程． 【答案】(1)五；不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变；不等式的性质2 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）由不等式的性质可知，第五步不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向没有发生改变，据此可得答案； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：小明的解答过程中，第五步开始出现了错误，产生错误的原因是不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变；得到第三步的根据是不等式的性质2 故答案为：五；不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变；不等式的性质2 （2）解：由不等式①，得． 解得． 由不等式②，得． 移项，得． 解得   所以，原不等式组的解集是． 变式1．（24-25七年级下·江西南昌·期末）下面是某同学解不等式组的部分解答过程． 解：解不等式①：移项，得第1步， 合并同类项，得第2步， 两边都除以，得第3步． (1)该同学的解答过程中第_____步出现了错误，错误的原因是_____； (2)求该不等式组的解集，并写出不等式组的非负整数解． 【答案】(1)3；不等式两边都除以负数，不等号的方向没有变号 (2)不等式组的非负整数解为0和1 【分析】本题考查解一元一次不等式组及其整数解，熟知不等式的性质并正确求解是解答的关键． （1）根据不等式的性质逐步检查即可； （2）先正确求得每个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后找出其中的非负整数即可． 【详解】（1）解：该同学的解答过程中第3步出现了错误， 错误的原因是不等式两边都除以负数，不等号的方向没有变号； 故答案为：3；不等式两边都除以负数，不等号的方向没有变号； （2）解：由①得 由②得 ∴不等式组的解集为， 故不等式组的非负整数解为0和1． 变式2．（24-25八年级下·河南郑州·期中）小颖在解不等式组时草稿纸上演算的过程： 解不等式②第一步， 第二步 第三步 第四步 (1)小颖发现不等式②解得不对，请指出是第____步开始出现错误，错误原因是____________． (2)请完成本题的解答： 解：解不等式①，得______________ 解不等式②，得______________． 在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示． 所以原不等式组的解集为____________． 满足该不等式组的所有非负整数解为_______________． 【答案】(1)一，去分母时出现漏乘； (2)见解析，，，，． 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法； （1）由去分母漏乘可得答案； （2）先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示其解集，确定解集的公共部分即可. 【详解】（1）解：小颖发现不等式②解得不对，第一步开始出现错误，错误原因是：去分母时出现漏乘； （2）解：解不等式①，得； 解不等式②，得． 在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示． 所以原不等式组的解集为． 满足该不等式组的所有非负整数解为，，． 【题型5 由一元一次不等式组的解集求参数】 例9．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法． 先分别解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组的解集确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故答案为：． 例10．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，先解不等式组，得到解集，再根据有个整数解的条件，确定参数的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为 不等式组有4个整数解，且 整数解为，，，， ， 解得， 故答案为：． 变式1．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，依据口诀“大大小小找不到”结合不等式组的解集可得的范围，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， ∵一元一次不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：． 变式2．（25-26八年级上·重庆南川·期中）若数使关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数的取值范围，先分别解不等式组中的两个不等式，再根据解集为确定的取值范围即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵数使关于的不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 【题型6 一元一次不等式组和方程组结合的问题】 例11．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式的解集问题． 求出，根据计算即可． 【详解】解： 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 例12．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·广西贵港·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解中x是非负数，y的值不大于，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组等知识点，掌握不等式组的解法成为解题的关键． 先解二元一次方程组得，然后根据x是非负数，y的值不大于列出关于a的不等式组求解即可． 【详解】解：解二元一次方程组得， ∵x是非负数，y的值不大于， ∴， 解得：． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·江西新余·期末）已知关于、的二元一次方程组的解满足，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的结合，通过将两个方程相加，可以得到的表达式．利用题目给出的条件，建立关于的不等式，进而求解的取值范围． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加： ， 将方程两边同时除以4： ， ， ． 故答案为：． 【题型7 列一元一次不等式组】 例13．（25-26八年级上·全国·课后作业）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 设有间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为人，当每间住6人时，前间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到． 【详解】解：设有x间宿舍，则总人数为人， 当每间住6人时，有一间不空也不满， ∴， 即不等式组为． 故选：A． 例14．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键． 设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有本书；由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可． 【详解】解：设九（1）班有学生x人，则共有本书， 若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本， 则． 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意，总棵数在两种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不等式组即可． 【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为：． 故选：B． 变式2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组，根据题意列出不等式组即可，读懂题意，找出不等关系，列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 即． 故答案为：． 【题型8 用一元一次不等式组解决实际问题】 例15．（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）某市园林局计划采购A，B两种树苗绿化城市，已知采购300棵A种树苗和200棵B种树苗需要39000元，一棵A种树苗比一棵B种树苗贵30元． (1)求每棵A种树苗、B种树苗各多少元． (2)若该园林局计划采购这两种树苗共3000棵，且A种树苗的数量不少于B种树苗数量的一半，采购总费用不超过228000元，则共有几种方案？ (3)在（2）的条件下，采用哪种方案可使总费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1)A种树苗每棵90元，B种树苗每棵60元 (2)共有601种方案 (3)采用A种树苗1000棵、B种树苗2000棵的方案可使总费用最低，最低费用是210000元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用一次函数的性质，解决最值问题． （1）设每棵A种树苗x元，每棵B种树苗y元，根据“采购300棵A种树苗和200棵B种树苗需要39000元，一棵A种树苗比一棵B种树苗贵30元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设采购A种树苗m棵，则采购B种树苗棵，根据“A种树苗的数量不少于B种树苗数量的一半，采购总费用不超过228000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出采购方案的个数； （3）设采购的总费用为w元，根据总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每棵A种树苗x元，每棵B种树苗y元， 依题意，得：， 解得：． 答：每棵A种树苗90元，每棵B种树苗60元． （2）解：设采购A种树苗m棵，则采购B种树苗棵， 依题意，得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴（种）． 答：共有601种采购方案． （3）解：设采购的总费用为w元， 依题意，得：． ∵， ∴w的值随m值的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，最小值为210000． 答：当采购A种树苗1000棵、B种树苗2000棵时，总费用最低，最低费用为210000元． 例16．（24-25七年级下·云南普洱·期末）近年来，机器人技术在各个领域的应用和影响日益显著，它们已经从科幻电影逐渐走入我们的日常生活．某公司计划采购A，B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比每个A种机器人贵5万元，采购5个A种机器人和6个B种机器人共用690万元． (1)采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过3100万元再次采购第二批A，B两种机器人共50个，且种机器人的数量不超过种机器人数量的3倍．该公司最多可以采购种机器人多少个？ 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，采购一个B种机器人需65万元 (2)最多可以采购B种机器人20个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据题意列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购B种机器人a个，则采购A种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，采购一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购B种机器人a个，则采购A种机器人个， 根据题意得， 解得， ∵为整数， ∴最大为20． 答：最多可以采购种机器人20个． 变式1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元 (2)共有3种建造方案，见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该小区新建个地上充电桩需要万元，个地下充电桩需要万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元， 根据题意得：， 解得：， 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩， 根据题意得：， 解得：， 又m为正整数， m可以为18，19，20， 共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩． 变式2．（25-26八年级上·广西南宁·月考）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元 (2)共有4种建造方案，方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩；方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； (3) 【分析】（1）设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要1万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据“该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各建造方案； （3）分别求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积，结合“在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择”，即可确定a的取值范围． 【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据题意得： ， 解得：； 答：该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意得： ， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为20，21，22，23， ∴共有4种建造方案， 方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； 方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩； 方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩； 方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； （3）解：选择方案1时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案2时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案3时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案4时新建充电桩的总占地面积为． ∵在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知点所在象限求参数，根据点P在第四象限，则其横坐标为正，纵坐标为负，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴横坐标，纵坐标, 解得：, 解得：，即, ∴a的取值范围是, 故选B． 2．（25-26九年级上·湖南岳阳·月考）解不等式组时，不等式①②的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：C． 3．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，准确的计算是解决本题的关键． 首先解每个不等式，得到不等式组的解集，然后根据整数解的个数确定m的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式得， 解得， 解不等式得， 解得， ∵整数解有且只有2个， ∴不等式组的解集为， ∵， ∴整数解为和0， ∴， ∴， ∴， 故m的取值范围是， 故选B． 4．（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【详解】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 5．（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）如图，是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值”到判断“结果是否”为一次运行过程，如果程序运行两次才停止，那么输入的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据程序运行两次就停止，即可得出关于的一元一次不等式组，然后求出的取值范围即可，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：依题意，得：， 解得：， 故选：． 6．（25-26八年级上·全国·期末）对于实数，定义一种运算“”：，则不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，将不等式组的解集表示在数轴上，先由新定义运算可得不等式组为，再分别求解，表示在数轴上即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵对于实数，定义一种运算“”：， ∴不等式组为， 解可得：， 解可得：， 将解集表示在数轴上如图所示： 故选：D． 二、填空题 7．（2026·浙江·模拟预测）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 故答案为：． 8．（2025·江苏泰州·三模）若点在第二象限，则整数m的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意建立关于m的不等式组，再结合m为整数即可解决问题． 本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组及点的坐标，能根据题意得出关于m的不等式组是解题的关键． 【详解】解：由题知， 因为点在第二象限， 所以， 解得 又因为m为整数， 所以整数m的值为 故答案为： 9．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭地·月考）关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组无解问题． 分别解不等式组中的两个不等式，得到和．不等式组无解的条件是两个不等式的解集没有公共部分，即，解此不等式即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 不等式组无解，则， 即， 所以． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）若关于的不等式组至少有2个整数解．则的最大整数值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查根据不等式组解集的情况求参数．先分别解两个不等式，得到不等式组的解集为．根据至少有2个整数解的条件，确定，进而求出，得到最大整数值． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． ∴不等式组的解集为． ∵不等式组至少有2个整数解， ∴，解得， ∴的最大整数值为8． 故答案为：8． 11．（25-26八年级上·重庆云阳·期中）若关于的一元次不等式组的解集为，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的积为 ； 【答案】 10 【分析】此题考查已知一元一次不等式组集的情况求参数，解一元一次方程，先解不等式组，根据解集确定m的取值范围，再解关于y的方程，根据解为非负整数确定符合条件的整数m，最后求积 【详解】解：解第二个不等式 ，得 ， 解第一个不等式   ，得 ， 由于不等式组的解集为 ，故 ，解得 ， 解方程 ，得， 由y为非负整数，得 且为整数， 故 且 是3的倍数， 即 且 是3的倍数， 结合 且m为整数，得 ， 设 （k为非负整数），则 ，即 ， 要求m为整数，故 为偶数，即k为奇数， 代入 ，得 ，即 ，解得 ， k为非负奇数，故或3， 当时，； 当时，， 验证y值：当时，；当时，，均为非负整数， 故符合条件的整数m为2和5，积为 ， 故答案为10 12．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程和一元一次不等式组的整数解，由方程组得，根据方程组有解，即，不等式组整理得，根据不等式组有且只有个整数解得出，从而确定的取值范围，继而得出答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， 即， ∵方程组有解， ∴，即， 不等式组，整理得， ∵不等式组有且只有个整数解， ∴， 解得， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）求不等式组的整数解． （2）求满足不等式组的最大整数和最小整数． 【答案】（1）；（2）最大整数为1，最小整数为 【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法步骤是解答的关键． （1）先解出不等式组的解集，再求出其整数解即可解答． （2）先解出不等式组的解集，再求出满足不等式组的最大整数和最小整数即可解答． 【详解】解：（1）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组解集是， ∴该不等式组的整数解是； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组解集是， ∴满足该不等式组的最大整数是1和最小整数是． 14．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）解不等式组：，并把解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】不等式组的解集为：，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先解不等式组，然后在数轴上把解集表示出来即可． 【详解】解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， ， ， 解得：， ∴不等式组的解集为：． 在数轴上表示出来为： 15．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查了求不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：． 解集在数轴上正确表示为： 16．（24-25八年级下·河北保定·期中）（1）解不等式组： （2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：，……第一步 .………………第二步 ，.…………………第三步 ..…………………第四步 .…………………第五步 任务一： ①以上解题过程中，第二步是依据______（运算律）进行变形的； ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：______． 【答案】（1）；（2）任务一：①乘法分配律；②三，移项没有变号；任务二： 【分析】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式和一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）先求出各不等式的解集，再求出公共部分的解集，即可得到不等式组的解集； （2）任务一：①根据乘法分配律即可解答；②根据小明同学的解题过程即可解答；任务二：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】解：（1）， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为． （2）解：任务一： ①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的． 故答案为：乘法分配律． ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项没有变号． 故答案为：三，移项没有变号． 任务二： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 该不等式的正确解集为． 故答案为：． 17．（24-25七年级下·全国·周测）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若以x，y为坐标的点在第一象限，求m的取值范围． (2)若该方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，不等式组，掌握平面内点的坐标的特征，各象限内点的坐标的符号特点是解题的关键． （1）求出关于，的二元一次方程组的解，再令，确定的取值范围即可； （2）将（1）中求出的方程组的解代入不等式，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：解方程组，得 ∵点在第一象限， ∴ 解得． （2）解：由（1）可知方程组的解为， 代入，得， 解得． 18．（24-25七年级下·全国·期末）为了更好治理涪江的水质，遂宁市污水处理公司计划购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 250 200 经调查，买一台A型比B型多3万元，买2台A型比3台B型少5万元； (1)求m，n的值； (2)经预算，购买设备资金不超过117万元，且每月要求处理污水不低于2050吨，你认为有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，为节约资金，请你为公司设计一种最省钱方案． 【答案】(1)， (2)有两种购买方案∶方案一，购买A型设备1台，B型设备9台；方案二，购买A型设备2台，B型设备8台 (3)最省钱的购买方案为购买A型设备1台，B型设备9台 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题意列出方程组求解； （2）根据题意列出不等式组求解，并求得正整数解； （3）通过计算、比较，再作出决策． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， 故，； （2）解：设购买A型x台，则B型台， 由题意得：， 解得：， 所以或， 所以有两种购买方案∶ 方案一，购买A型设备1台，B型设备9台； 方案二，购买A型设备2台，B型设备8台； （3）解：方案一需要资金：万元， 方案二需要资金：万元， 方案一更省钱， 即最省钱的购买方案为购买A型设备1台，B型设备9台． 19．（24-25七年级下·云南临沧·期末）若不等式（组）有（为自然数）个正整数解，则称这个不等式（组）为阶不等式（组）．例如：有2个正整数解，则称它为2阶不等式；有3个正整数解，则称它为3阶不等式组，特殊地，如，有0个正整数解，则称它为0阶不等式． (1)判断：是几阶不等式？是几阶不等式组？ (2)已知关于的不等式组是4阶不等式组，求的取值范围． 【答案】(1)4阶，2阶 (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，不等式的定义，理解新定义是解答关键. （1）根据题目中的新定义，求出正整数解，再进行求解； （2）先求出不等式的解集，再利用4阶不等式组的定义来求解. 【详解】（1）解：， 解得， 即不等式的正整数解为， 是4阶不等式； 解得， 它有正整数解为， 它是2阶不等式组； （2）解：解不等式组得. 不等式组是4阶不等式组， 有4个正整数解，为1，2，3，4， ， 解得. 20．（25-26八年级上·福建福州·开学考试）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”．例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于x，y方程组是不等式的“偏解方程组”，求a的取值范围； (3)已知关于x的不等式组恰有6个整数解，且关于x的方程是它的“偏解方程”，求b的取值范围． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】（1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可； （2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于a的一元一次不等式，再求解即可； （3）先解不等式组得，再由‘恰有6个整数解’的条件求得，由‘偏解方程’的定义得到，取两个范围的交集即可． 【详解】（1）解：，解得， ①成立，故符合题意； ②不成立，故不符合题意； ③成立，故符合题意， 方程是下列不等式（组）中①③的“偏解方程”， 故答案为：①③； （2） 解得， 方程组是不等式的“偏解方程组”， ， 解得； （3）， 解得， 关于x的方程是它的“偏解方程”， ， 解得， 不等式组恰有6个整数解， 设6个整数解为k，，，，，， 由题意得，， ， 解得， 有解， ， 解得， 的整数解为或， 当时，， ， 当时，， ， ， 又， ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 一元一次不等式组的解法及应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 知识点2：解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 知识点3：一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点4：一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 【题型1 一元一次不等式组的定义】 例1．（24-25七年级下·全国·周测）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列各式中是一元一次不等式组的是（ ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2 求一元一次不等式组的解集】 例3．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）解不等式组：，并将不等式组的解集表示在如图所示的数轴上． 例4．（25-26八年级上·浙江温州·月考）解不等式组并把它的解集表示在数轴上． 变式1．（25-26九年级上·西藏日喀则·期中）解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上． 变式2．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）解不等式组，将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 【题型3 求一元一次不等式组的整数解】 例5．（2025·甘肃武威·一模）不等式组的整数解 ． 例6．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）不等式组的最大整数解是 变式1．（24-25七年级下·河北保定·期末）求不等式组所有整数解的和 ． 变式2．（25-26九年级上·重庆潼南·月考）解不等式组，并求出该不等式组的整数解． 【题型4 解一元一次不等式组中错解复原问题】 例7．（24-25八年级下·河南郑州·期末）下面是某同学解不等式组的部分解答过程，请阅读并完成相应的任务． 解：…… 由不等式②得，．    第一步 移项，得．    第二步 合并同类项得，    第三步 所以：        第四步 (1)任务一：小明的解答过程中，第一步的依据是 ，第 步开始出现错误，错误的原因是 ． (2)任务二：请你求出这个不等式组正确的解集． 例8．（24-25八年级下·河南郑州·月考）下面是小明同学解不等式组 的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①，得．第一步 解得．第二步 由不等式②，得．第三步 移项，得．第四步 解得．第五步 所以，原不等式组的解集是．第六步 (1)小明的解答过程中，第 　　步开始出现错误，错误的具体原因是 　　，得到第三步的根据是 　　 (2)请写出解此不等式组的完整过程． 变式1．（24-25七年级下·江西南昌·期末）下面是某同学解不等式组的部分解答过程． 解：解不等式①：移项，得第1步， 合并同类项，得第2步， 两边都除以，得第3步． (1)该同学的解答过程中第_____步出现了错误，错误的原因是_____； (2)求该不等式组的解集，并写出不等式组的非负整数解． 变式2．（24-25八年级下·河南郑州·期中）小颖在解不等式组时草稿纸上演算的过程： 解不等式②第一步， 第二步 第三步 第四步 (1)小颖发现不等式②解得不对，请指出是第____步开始出现错误，错误原因是____________． (2)请完成本题的解答： 解：解不等式①，得______________ 解不等式②，得______________． 在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示． 所以原不等式组的解集为____________． 满足该不等式组的所有非负整数解为_______________． 【题型5 由一元一次不等式组的解集求参数】 例9．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为 ． 例10．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 变式1．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 变式2．（25-26八年级上·重庆南川·期中）若数使关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 【题型6 一元一次不等式组和方程组结合的问题】 例11．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是 ． 例12．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 变式1．（24-25七年级下·广西贵港·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解中x是非负数，y的值不大于，则a的取值范围为 ． 变式2．（24-25七年级下·江西新余·期末）已知关于、的二元一次方程组的解满足，求的取值范围 ． 【题型7 列一元一次不等式组】 例13．（25-26八年级上·全国·课后作业）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 例14．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为 ． 【题型8 用一元一次不等式组解决实际问题】 例15．（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）某市园林局计划采购A，B两种树苗绿化城市，已知采购300棵A种树苗和200棵B种树苗需要39000元，一棵A种树苗比一棵B种树苗贵30元． (1)求每棵A种树苗、B种树苗各多少元． (2)若该园林局计划采购这两种树苗共3000棵，且A种树苗的数量不少于B种树苗数量的一半，采购总费用不超过228000元，则共有几种方案？ (3)在（2）的条件下，采用哪种方案可使总费用最低？最低费用是多少？ 例16．（24-25七年级下·云南普洱·期末）近年来，机器人技术在各个领域的应用和影响日益显著，它们已经从科幻电影逐渐走入我们的日常生活．某公司计划采购A，B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比每个A种机器人贵5万元，采购5个A种机器人和6个B种机器人共用690万元． (1)采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过3100万元再次采购第二批A，B两种机器人共50个，且种机器人的数量不超过种机器人数量的3倍．该公司最多可以采购种机器人多少个？ 变式1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 变式2．（25-26八年级上·广西南宁·月考）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南岳阳·月考）解不等式组时，不等式①②的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 故选：C． 3．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）如图，是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值”到判断“结果是否”为一次运行过程，如果程序运行两次才停止，那么输入的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·全国·期末）对于实数，定义一种运算“”：，则不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2026·浙江·模拟预测）不等式组的解集是 ． 8．（2025·江苏泰州·三模）若点在第二象限，则整数m的值为 ． 9．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭地·月考）关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ． 10．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）若关于的不等式组至少有2个整数解．则的最大整数值为 ． 11．（25-26八年级上·重庆云阳·期中）若关于的一元次不等式组的解集为，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的积为 ； 12．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 三、解答题 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）求不等式组的整数解． （2）求满足不等式组的最大整数和最小整数． 14．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）解不等式组：，并把解集表示在如图所示的数轴上． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来． 16．（24-25八年级下·河北保定·期中）（1）解不等式组： （2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：，……第一步 .………………第二步 ，.…………………第三步 ..…………………第四步 .…………………第五步 任务一： ①以上解题过程中，第二步是依据______（运算律）进行变形的； ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：______． 17．（24-25七年级下·全国·周测）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若以x，y为坐标的点在第一象限，求m的取值范围． (2)若该方程组的解满足，求m的取值范围． 18．（24-25七年级下·全国·期末）为了更好治理涪江的水质，遂宁市污水处理公司计划购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 250 200 经调查，买一台A型比B型多3万元，买2台A型比3台B型少5万元； (1)求m，n的值； (2)经预算，购买设备资金不超过117万元，且每月要求处理污水不低于2050吨，你认为有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，为节约资金，请你为公司设计一种最省钱方案． 19．（24-25七年级下·云南临沧·期末）若不等式（组）有（为自然数）个正整数解，则称这个不等式（组）为阶不等式（组）．例如：有2个正整数解，则称它为2阶不等式；有3个正整数解，则称它为3阶不等式组，特殊地，如，有0个正整数解，则称它为0阶不等式． (1)判断：是几阶不等式？是几阶不等式组？ (2)已知关于的不等式组是4阶不等式组，求的取值范围． 20．（25-26八年级上·福建福州·开学考试）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”．例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于x，y方程组是不等式的“偏解方程组”，求a的取值范围； (3)已知关于x的不等式组恰有6个整数解，且关于x的方程是它的“偏解方程”，求b的取值范围． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $