第13讲 二元一次方程组的概念（4知识点+9大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材人教版

第13讲 二元一次方程组的概念 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：二元一次方程的概念 二元一次方程：含有两个未知数，且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程. 知识点2：二元一次方程组的概念 1.将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组. 注：①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量；②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个. 2.判断二元一次方程组的方法：①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含有多个方程组成. 知识点3：二元一次方程的解 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对） 知识点4：二元一次方程组的解 1.二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解. 2.检验二元一次方程组解的方法：将有序数对代入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解. 注：方程组中只要有一个方程代入后不成立，则不是方程的解. 【题型1 判断是否是二元一次方程】 例1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查二元一次方程的概念，正确记忆二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整式方程是解题关键．根据二元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】A、：含两个未知数，但乘积项次数为2，不符合二元一次方程的定义； B、：的次数为2，不符合二元一次方程的定义； C、：含两个未知数，次数均为1，且为整式方程，符合二元一次方程的定义； D、：含分式，不是整式方程，不符合二元一次方程的定义． 故选：C． 例2．（24-25八年级上·江西抚州·期末）下列各方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 根据含有两个未知数且未知数的次数都是1的整式方程是二元一次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．该方程的次数是2，故此选项不符合题意； B．该方程是二元一次方程，故此选项符合题意； C．该方程是分式方程，故此选项不符合题意； D．该方程的次数是2，故此选项不符合题意． 故选：B． 变式1．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）下列等式中是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的概念，根据含有两个未知数（“二元”），并且含有未知数的项的最高次数都是 1（“一次”）的整式方程，叫做二元一次方程，逐项判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，符合题意； B、，只有一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； C、，是分式，不是二元一次方程，不符合题意； D、是一元一次方程，不符合题意； 故选：A． 变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，二元一次方程的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查方程的分类．根据二元一次方程的概念逐个判断即可得到答案． 【详解】解：①为二元一次方程； ②为二元二次方程； ③为二元二次方程； ④为分式方程； ⑤为三元一次方程； ⑥为代数式，不是方程； 故为二元一次方程的有①，有1个， 故选：A． 【题型2 根据二元一次方程的定义求字母的值】 例3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若关于的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据二元一次方程的定义求参数的值，根据二元一次方程的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 例4．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键；由题意易得，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故答案为3． 变式1．若方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义和求代数式的值，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫二元一次方程． 根据二元一次方程的定义和已知条件得出，求出m、n的值即可． 【详解】解：因为方程是关于是关于x，y的二元一次方程， 所以， 解得． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程是二元一次方程，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴， 解得， ∴， 故答案为：2． 【题型3 判断是否是二元一次方程组】 例5．下列方程组，其中是二元一次方程组的有 （填序号） ①②  ③   ④． 【答案】①③/③① 【分析】根据二元一次方程组的定义，即可求解． 【详解】解：二元一次方程组有①③． 故答案为：①③ 例6．（2025八年级上·全国·专题练习）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，根据定义判断即可． 【详解】解：A、该方程组中的第一个方程含有分式，不符合题意； B、方程组中第一个方程中的是二次的，不符合题意； C、该方程组中有三个未知数，不符合题意； D、该方程组符合二元一次方程组的定义，故该选项正确． 故选：D． 变式1．（25-26八年级上·四川内江·开学考试）下列方程组为二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，两个一次方程，共含有2个未知数，组成的方程组叫做二元一次方程组，进行判断即可． 【详解】解：A、该方程组中的第二个方程是二元二次方程，不符合题意； B、该方程组中的第一个方程是分式方程，不符合题意； C、该方程组中含有3个未知数，不符合题意； D、该方程组符合二元一次方程组的定义，符合题意； 故选：D． 变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（    ） ① ；② ； ③ ；④ ； ⑤   ；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的识别，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的定义． 利用二元一次方程组的定义来进行判断，即“由两个二元一次方程组成的方程组”，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：①，是分式，该选项不是二元一次方程组，不符合题意； ②，次数为2，该选项不是二元一次方程组，不符合题意； ③，含有3个未知数，该选项不是二元一次方程组，不符合题意； ④，该选项是二元一次方程组，符合题意； ⑤，该选项是二元一次方程组，符合题意； ⑥，该选项是二元一次方程组，符合题意； 故选：C． 【题型4 判断是否是二元一次方程的解】 例7．下列各组x、y的值中不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元一次方程的解 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把各项中与的值代入方程检验即可． 【详解】解：A、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解； B、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解； C、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解； D、把代入方程得：左边，右边，左边右边，不是方程的解， 故选：D． 例8．下列各对数是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将各选项中的数值代入二元一次方程，能使等式成立的即为答案． 【详解】解：A．当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 是二元一次方程的解，选项A符合题意； B．当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项B不符合题意； C．当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项C不符合题意； D．当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项D不符合题意． 故选：A． 变式1．方程的解不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本考查二元一次方程的解（使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．）解题的关键是熟知二元一次方程解的定义． 根据二元一次方程的解逐项判断即可． 【详解】解：A、当，时，，所以不是方程的解； B、当，时，，所以是方程的解； C、当，时，，所以是方程的解； D、当，时，，所以是方程的解； 故选：A． 变式2．下列二元一次方程组的解是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程的解 【知识点】根据二元一次方程组的解的定义，将解逐一代入方程组，能够使两个方程都成立的，即为该方程组的解，即可求得． 根据二元一次方程组的解代入计算即可判断． 【详解】解：将 代入各项中的二元一次方程， A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故符合题意； D．，故不符合题意； 故选：C． 【题型5 二元一次方程的解代入求值】 例9．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若是关于的方程的一个解，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查二元一次方程的解，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 将代入，得到，即可解答． 【详解】解：将代入，得 ， 解得． 故答案为：1． 例10．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）已知是二元一次方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入计算即可． 【详解】∵是二元一次方程的一个解， ∴， 解得：， 故答案为：． 变式1．（2025八年级上·全国·专题练习）若是方程的一个解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解、代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．将代入方程得到，代入即可求解． 【详解】解：因为是方程的一个解， 所以， 所以． 【题型6 二元一次方程的整数解】 例11．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）写出二元一次方程的一个整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程整数解，解题关键是理解方程解的意义，选一整数代入求另一个未知数的整数值． 根据二元一次方程的整数解的定义写出即可． 【详解】解：当时，， 解得， ∴二元一次方程的一个整数解为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 例12．（24-25七年级下·四川宜宾·期中）二元一次方程的正整数解共有（    ）组． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解．由，可得出，结合，均为正整数，即可求出二元一次方程的正整数解． 【详解】解：， ． 又，均为正整数， 或， 二元一次方程的正整数解共有2组． 故选：C． 变式1．（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出的正整数解，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 正整数解为：，；，；，共3个， 故选：C． 变式2．（24-25七年级下·全国·阶段练习）已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 【答案】(1)所有的正整数解为或 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解； （1）将方程变形，写出满足方程的正整数解即可； （2）写出满足解的一个二元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴所有的正整数解为或； （2）解：∵， ∴， ∴方程组的解为． 【题型7 判断是否是二元一次方程组的解】 例13．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入每个方程组中的每一个方程，看看左右两边是否相等即可． 【详解】解：A.把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意； B. 把代入方程组中的方程，左边，右边，左右两边不相等，故本选项不符合题意； C. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意； D. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均相等，故本选项符合题意； 故选：D 例14．解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入各选项进行排除即可，正确理解二元一次方程组的解得定义是解题的关键． 【详解】解：、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 故选：． 变式1．下列各组数中，是二元一次方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组的解及其解法，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．解题的关键是熟练的掌握解二元一次方程组的方法． 方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， ①+②得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为， 故答案选B． 变式2．已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解、二元一次方程的解 【分析】本题考查了方程的解，理解方程的解的含义是解题的关键．由于的解需要同时满足方程和，因此从方程、的解中找到同时满足这两个方程的解即可． 【详解】解： ，，满足方程，，，满足方程，其中同时满足和， 二元一次方程组的解是． 故选：D． 【题型8 根据二元一次方程组的解求字母的值】 例15．（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）已知是关于的二元一次方程组的一组解，则的值为（ ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．将代入方程组求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程组的一组解， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 例16．已知与都是方程的解，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是把x和y的值代入方程，建立关于a和b的二元一次方程组， 先根据题意列出方程组，再求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：；． 变式1．（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，先联立方程组中的第一个方程与已知条件组成新的方程组，求出和的值，再将和的值代入第二个方程求出的值． 【详解】解：∵方程组的解满足③， ∴①和③组成新的方程组为，解得， 将代入②，得． 故答案为：4． 变式2．小亮求得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和■，则●是 ． 【答案】8 【分析】本题考查用代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入法是解题的关键．将代入方程组中第二个方程，解得，再将、代入方程组中第一个方程，即可求解●的值． 【详解】根据题意，将代入方程组中第二个方程， 得， 解得， 再将、代入方程组中第一个方程， 解得●， 故答案为8． 【题型9 根据实际问题列二元一次方程】 例17．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）“方程”二字最早见于我国（九章算术）这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，即可表示方程．按照上述规则，则表示的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据图意列二元一次方程，认真审题，读懂图中的意思，仿照图写出答案．解题的关键是读懂图的意思． 【详解】 解：由题意得，则表示的方程是， 故答案为：． 例18．某果园计划种植梨树和苹果树共1000株，实际上梨树种植量比计划增长10%，而苹果树种植量比计划减少5%．若设实际种植梨树x株，苹果树y株，列二元一次方程为 ． 【答案】 【分析】利用梨树种植量比计划增长10%，苹果树种植量比计划减少5%，分别表示出苹果与梨树的棵数进而得出等式求出即可． 【详解】解：设实际种植梨树x株，苹果树y株，由题意可得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，正确表示出实际植树的棵数是解题关键． 变式1．（2024·贵州黔南·一模）我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文为：今有人合伙买玉石，每人出钱，会多出4钱．设人数为人，玉石价格为钱，则可列关于，的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据总的钱数不变，即可得出关于，的二元一次方程，此题得解，找准等量关系解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 整理得：， 故选：B． 变式2．在“幻方拓晨课程”探索中，小明在如图方格中填入了一表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线的上的三个数之和都相等，用含x的代数式表示y为 ． 3 x y 4 【答案】y=2x-3 【分析】根据各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，填表，得到关于x和y的等式，化简可得结果． 【详解】解：由题意可得： 各行、各列及对角线的上的三个数之和为：x+y+3， 填表如下： y-1 y-x+4 3 x-y+4 x x+y-4 y x-1 4 ∴x-y+4+x+x+y-4=x+y+3， 化简得：y=2x-3， 故答案为：y=2x-3． 一、单选题 1．（25-26八年级上·江西九江·月考）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、方程中，含未知数的项的次数为2，不是二元一次方程，不符合题意； B、方程中，含未知数的项的次数不都是1，不是二元一次方程，不符合题意； C、方程中，含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； D、方程是二元一次方程，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）下列四组数值中，是二元一次方程解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将每个选项的x和y值代入方程，验证是否成立． 【详解】解：选项A：，不是二元一次方程的解； 选项B：，不是二元一次方程的解； 选项C：，不是二元一次方程的解； 选项D：，是二元一次方程的解． 故选：D． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，正确理解二元一次方程组的定义是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且两个方程都是整式方程组成的方程组，即可作答． 【详解】解：A、方程中，为二次项，不符合一次方程条件，不符合题意； B、方程中，为分式，不符合一次方程条件，不符合题意； C、方程组含三个未知数x、y、z，不符合两个未知数条件，不符合题意； D、方程组含两个未知数x和y，且方程和均为一次方程，符合题意． 故选D． 4．（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则的值（ ） A．7 B．5 C． D．7或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程要求未知数和的次数均为1，且系数不为零，根据指数和系数条件列出方程求解，并排除无效解． 【详解】解：∵方程是关于的二元一次方程， ∴的指数 ， ∴， 解得或， 又∵的指数， ∴， 解得：， 检查系数： 当时，，符合条件； 当时，，系数为零，不符合二元一次方程要求，故舍去， ∴， ∴． 故选：A． 5．（25-26八年级上·山西运城·月考）已知是的一组解，则的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解 将给定的解代入方程组，分别求出m和n的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵，是方程组的解， ∴代入得：， ∴． 代入得：， ∴． ∴． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·河南许昌·月考）把方程变形为用x表示y的形式： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．把当成常数，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 7．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知二元一次方程，请写出该方程的一个整数解： ．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程的整数解，求出时的值即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得， ∴二元一次方程的一个整数解为：； 故答案为：（答案不唯一） 8．（25-26八年级上·陕西西安·月考）若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是 ． 【答案】 -3 【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义，得且，解之即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴且， 由得或， 解得或， 又因为， 即， 所以， 故答案为：． 9．（2025八年级上·全国·专题练习）已知是二元一次方程的一组解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将解代入方程得到，然后整体代入所求表达式 【详解】解：将，代入方程， 得， 则 ． 故答案为∶ 10．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知方程组的解为，则的算术平方根是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了方程组的解，算术平方根，将解 代入方程组，先求得，再求得，最后计算的算术平方根即可． 【详解】解：将代入方程，得，即， 解得，， 故， 将，代入方程，得，即， 解得， 则， 16的算术平方根为 4， 即的算术平方根是4． 故答案为：4． 三、解答题 11．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）已知是关于，的二元一次方程的一个解，的算术平方根为，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解、算术平方根和平方根的概念，准确计算是解题的关键． 通过代入方程的解求，根据算术平方根定义求，再计算表达式求平方根． 【详解】是关于，的二元一次方程的一个解， ， ， 的算术平方根为， ， ， ， ， 的平方根为． 12．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）已知方程． (1)用关于a的代数式表示b； (2)求当，1时，对应的b值，并由此写出方程对应的两个解． 【答案】(1) (2)当时，；当时，，， 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程解的定义． （1）先把用含有a的式子表示出来，再把b的系数化成1即可； （2）分别把和代入（1）中所求等式，求出b，从而求出方程对应的两个解． 【详解】（1）解：（1）， ， ； （2）当时，； 当时，， ∴方程对应的两个解为，． 13．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若关于x，y的二元一次方程（k为常数）． (1)当，时，求k的值； (2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解不论取何值时，二元一次方程总有一个固定的解的意义是解题的关键． （1）把、的值代入即可求出的值； （2）先把方程整理为，再根据题意得出，即可求出的值，继而求出的值，从而得到方程的固定解． 【详解】（1）解：当，时，， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， 不论取何值时，二元一次方程总有一个固定的解， ， ， ， ， 二元一次方程的固定的解是． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）若是关于的二元一次方程，则（   ） A．        B． C．        D． 下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由． 解：因为2025是关于的二元一次方程， 所以． 解得．故选A． 【答案】马虎的解法不正确．正确选项为D，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键．方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程． 马虎的解法未考虑未知数的系数不能为0，故错误；根据二元一次方程的定义求解即可. 【详解】解：马虎的解法不正确．正确选项为D．理由如下： 因为是关于，的二元一次方程， 所以 解得 故选D． 15．（25-26八年级上·江西吉安·月考）【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 16．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）若关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则其中一对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为____________． (2)已知是关于、的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求出这个二元一次方程； (3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，新定义“相伴系数对”，理解题意是解题的关键． （1）先把二元一次方程变形为，根据“相伴系数对”的定义解答即可； （2）先根据“相伴系数对”的值写出方程，然后把的值代入即可求出k的值，从而写出方程； （3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于的方程，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为， 故答案为：； （2）解：∵方程的“相伴系数对”为， ∴该方程为， ∵是关于、的二元一次方程的一个解， ∴， 解得， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， 即， ∵关于、的二元一次方程的“相伴系数对”之和为2， ∴， 整理得， 即． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 二元一次方程组的概念 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：二元一次方程的概念 二元一次方程：含有两个未知数，且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程. 知识点2：二元一次方程组的概念 1.将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组. 注：①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量；②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个. 2.判断二元一次方程组的方法：①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含有多个方程组成. 知识点3：二元一次方程的解 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对） 知识点4：二元一次方程组的解 1.二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解. 2.检验二元一次方程组解的方法：将有序数对代入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解. 注：方程组中只要有一个方程代入后不成立，则不是方程的解. 【题型1 判断是否是二元一次方程】 例1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25八年级上·江西抚州·期末）下列各方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）下列等式中是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，二元一次方程的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2 根据二元一次方程的定义求字母的值】 例3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若关于的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 例4．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ． 变式1．若方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 变式2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程是二元一次方程，则 ． 【题型3 判断是否是二元一次方程组】 例5．下列方程组，其中是二元一次方程组的有 （填序号） ①②  ③   ④． 例6．（2025八年级上·全国·专题练习）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级上·四川内江·开学考试）下列方程组为二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（    ） ① ；② ； ③ ；④ ； ⑤   ；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型4 判断是否是二元一次方程的解】 例7．下列各组x、y的值中不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 例8．下列各对数是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 变式1．方程的解不可能是（    ） A． B． C． D． 变式2．下列二元一次方程组的解是的是（   ） A． B． C． D． 【题型5 二元一次方程的解代入求值】 例9．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若是关于的方程的一个解，则的值为 ． 例10．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）已知是二元一次方程的一个解，则 ． 变式1．（2025八年级上·全国·专题练习）若是方程的一个解，求的值． 【题型6 二元一次方程的整数解】 例11．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）写出二元一次方程的一个整数解 ． 例12．（24-25七年级下·四川宜宾·期中）二元一次方程的正整数解共有（    ）组． A．4 B．3 C．2 D．1 变式1．（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．（24-25七年级下·全国·阶段练习）已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 【题型7 判断是否是二元一次方程组的解】 例13．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 例14．解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 变式1．下列各组数中，是二元一次方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 变式2．已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【题型8 根据二元一次方程组的解求字母的值】 例15．（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）已知是关于的二元一次方程组的一组解，则的值为（ ） A．3 B． C．5 D． 例16．已知与都是方程的解，则 ， ． 变式1．（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 变式2．小亮求得方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和■，则●是 ． 【题型9 根据实际问题列二元一次方程】 例17．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）“方程”二字最早见于我国（九章算术）这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，即可表示方程．按照上述规则，则表示的方程是 ． 例18．某果园计划种植梨树和苹果树共1000株，实际上梨树种植量比计划增长10%，而苹果树种植量比计划减少5%．若设实际种植梨树x株，苹果树y株，列二元一次方程为 ． 变式1．（2024·贵州黔南·一模）我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文为：今有人合伙买玉石，每人出钱，会多出4钱．设人数为人，玉石价格为钱，则可列关于，的方程为（    ） A． B． C． D． 变式2．在“幻方拓晨课程”探索中，小明在如图方格中填入了一表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线的上的三个数之和都相等，用含x的代数式表示y为 ． 3 x y 4 y-1 y-x+4 3 x-y+4 x x+y-4 y x-1 4 一、单选题 1．（25-26八年级上·江西九江·月考）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）下列四组数值中，是二元一次方程解的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则的值（ ） A．7 B．5 C． D．7或 5．（25-26八年级上·山西运城·月考）已知是的一组解，则的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·河南许昌·月考）把方程变形为用x表示y的形式： ． 7．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知二元一次方程，请写出该方程的一个整数解： ．（只写一个） 8．（25-26八年级上·陕西西安·月考）若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是 ． 9．（2025八年级上·全国·专题练习）已知是二元一次方程的一组解，则 ． 10．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知方程组的解为，则的算术平方根是 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）已知是关于，的二元一次方程的一个解，的算术平方根为，求的平方根． 12．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）已知方程． (1)用关于a的代数式表示b； (2)求当，1时，对应的b值，并由此写出方程对应的两个解． 13．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若关于x，y的二元一次方程（k为常数）． (1)当，时，求k的值； (2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）若是关于的二元一次方程，则（   ） A．        B． C．        D． 下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由． 解：因为2025是关于的二元一次方程， 所以． 解得．故选A． 15．（25-26八年级上·江西吉安·月考）【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 16．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）若关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则其中一对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为____________． (2)已知是关于、的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求出这个二元一次方程； (3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $