专题05 线段的垂直平分线与角平分线（5大题型）（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题05 线段的垂直平分线与角平分线 目录 A题型建模・专项突破 题型一、线段垂直平分线的性质求解 1 题型二、线段垂直平分线的判定定理 4 题型三、角平分线性质定理 8 题型四、角平分线的判定定理 11 题型五、线段的垂直平分线与角平分线的综合问题 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、线段垂直平分线的性质求解 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，作的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键．连接，由线段垂直平分线的性质可知，，结合已知的，根据等边对等角可得，可证，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半进行计算即可求解． 【详解】解：连接， ，， ， ， 垂直平分， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于，两点，连接，，若的周长为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，由线段的垂直平分线的性质可得，，进而得到的周长，即可求解，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵分别是 的垂直平分线， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，，边的垂直平分线交于D，交于E，若平分，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．由线段垂直平分线和角平分线的定义可得，在中由三角形内角和定理可求得． 【详解】解：在线段的垂直平分线上，， ， ， 平分， ， 又， ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于点，已知，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线定义，线段垂直平分线性质，熟练应用相关性质定理是解题的关键．根据线段垂直平分线得出，推出，根据角平分线得出，根据三角形外角性质得到，结合，即可得到． 【详解】解：的垂直平分线交的延长线于点， ， ， 平分， ， ，， ． 故答案为：． 题型二、线段垂直平分线的判定定理 9．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，中，，D是上一点，，过点D作的垂线交于点E，连接交于，求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定定理，等腰三角形“三线合一”． 先用证明，再用全等三角形的性质以及等腰三角形“三线合一”的性质即可证明． 【详解】证明：， ． 在和中， ， ， ． 又， ，， 垂直平分． 10．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图1，，与相交于点，． (1)如图1，求证：垂直平分； (2)如图2，在图1的基础上，过点作交的延长线于点，如果，求证：是等边三角形； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定、三角形外角的性质、直角三角形的性质以及等边三角形的判定． （1）根据等角对等边可求，，再运用垂直平分线的判定定理和两点确定一条直线即可证明垂直平分． （2）根据等腰三角形性质和三角形外角性质可知，再通过平行线性质和直角三角形性质可求，利用三角形内角和求，最后通过等边三角形的判定定理即可求证． 【详解】（1）证明：，， ，， 在的垂直平分线上，， 在的垂直平分线上， 垂直平分． （2）证明：设， ， ， 是的外角， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， 即解得， ， 又， 是等边三角形． 11．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，相交于点，连接，． (1)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由 (2)若，求的度数． 【答案】(1)点在的垂直平分线上，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，然后利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答； （2）因为，根据“等边对等角”得，， 则可得，由三角形内角和可得的度数． 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上，理由如下： 连接，如图． ，分别是，的垂直平分线， 根据线段垂直平分线的性质可得，，， ， 点在的垂直平分线上； （2）解：， ，， ， ， ， ， ， ， 即， ， 即． 12．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图1和图2，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点D． (1)求证：点A在线段的垂直平分线上； (2)P是线段上的动点（点P不与点C，D重合），线段的垂直平分线分别与，交于点E，M，线段的垂直平分线分别与，交于点F，N． ①若，，求四边形的周长； ②已知，判断当点P在线段上运动时，的度数是否会发生变化．若变化，请说明理由；若不变，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①15；②不变，100度 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟记相关性质定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，结合已知条件证明点A在线段的垂直平分线上； （2）①根据线段垂直平分线的性质得到，，进而求出四边形的周长； ②通过三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，求出的度数，判断其是否随点P的运动而变化． 【详解】（1）证明：∵以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点D， ∴． ∴点A在线段的垂直平分线上； （2）解：①∵线段的垂直平分线分别与，交于点E，M， ∴． ∵线段的垂直平分线分别与，交于点F，N， ∴． ∴四边形的周长为． ∵，， ∴四边形的周长为； ②的度数不变．理由如下： 在中，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴的度数不变，为． 题型三、角平分线性质定理 5．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，平分，交于点E，于点D，如果，，那么的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查角平分线的性质．先根据线段的和差求出，再由角平分线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴． 故答案为：2． 6．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，中，平分线和边的垂直平分线交于点，已知点到边距离为，那么点E和点A之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理，过点作，根据题意得到，由角平分线的性质可得，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：过点作， 由题意得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴点E和点A之间的距离为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·北京·期末）如图，是的角平分线，是边上的中线，若的面积是18．，则的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质，中线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点D作于F，过D作于G，利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式可得， 从而可得，求得，最后利用三角形的中线性质可得，进行计算即可解答． 【详解】解：如图所示，过点D作于F，过D作于G， 是的角平分线， ， ， ， 的面积是18， ， ∵是边上的中线， ， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，中，平分，且平分，于E，于F．如果，则的长是 ． 【答案】2 【分析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想求解． 连接，由平分，于E，于F，根据角平分线的性质，即可得，又由且平分，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可证得，则可得，再证，即可得，然后设，由，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：连接， ∵平分，， ∴， ∵且平分， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 题型四、角平分线的判定定理 13．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，，，分别交，于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理； （1）证明即可得到； （2）过点分别作于点，于点，根据得到，，利用三角形的面积公式得到，再利用角平分线的判定定理即可证明平分． 【详解】（1）证明：， ， 即， ， ， ． （2）证明：过点分别作于点，于点， 由（1）得，， ，， ， ， 又，， 平分． 14．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中，和的平分线、交于点，连接． (1)求证：平分； (2)？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识； （1）过作于点，于点，于点，由角平分线的性质得，，则，再由角平分线的判定即可得出结论； （2）过作于点，于点，于点，由角平分线的性质得，再证明，然后证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图1，过作于点，于点，于点， 平分， ， 平分， ， ， 平分； （2）成立，证明如下： 设， 如图，过作于点，于点，于点， 则点在线段上，点在线段上， 和的平分线、交于点， ， ，， ， 、分别平分、， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 15．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点为的中点，平分． (1)若． ①求证：平分． ②猜想线段，，之间的数量关系，并证明． (2)若，请你思考应该满足什么条件，能使得（1）中结论依然成立，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理及判定定理等；添加恰当的辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）①过点作交于，由角平分线的性质得，再由角平分线的判定定理即可得证； ②由可判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）在上截取，连接，过点作交于，作交于，由判定，结合全等三角形的性质，再由判定、，由全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）①证明：过点作交于， 平分，， ， 点为的中点， ， ， ，， 平分； ②， 证明：，， （）， ， 同理可证， ； （2）解：， 理由如下：在上截取，连接，过点作交于，作交于， ， 平分， ， ， （）， ，， ， ， ， 点为的中点， ， ， （）， ， 平分， ， ， （）， ， ． 故时，能使得（1）中结论依然成立． 16．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）补全图形见解析，或 【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． （1）先证明，得，再证，得，然后证，得，即可得出结论； （2）先证明，可得，由（1）可得平分； （3）过点分别作于，于，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：（1），，， ，， ， ，， ， ， ，，， ， ， 即， 射线平分； （2）， ， ， ， ， 由（1）同理可得平分； （3）补全图形如下，过点分别作于，于， 是的平分线， ，， 当时， 在和中， ， ， ； 当时， 同理得， ； ， ， 综上所述，与的数量关系为或． 题型五、线段的垂直平分线与角平分线的综合问题 17．（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． （1）证明，可得，，从而得到点A和点D在的垂直平分线上，即可． （2）首先求出，再证明，，然后根据面积法进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． （2）解：∵的周长为18，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，E是的平分线上的一点，，，垂足分别为C，D，连接，交于点F． (1)求证：． (2)求证：． (3)求证：是线段的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，垂直平分线的判定． （1）根据角平分线的性质得到，由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，由“”可证，则可得出结论； （3）由全等三角形的性质可得，，可证是线段的垂直平分线． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴，，， 又∵， ∴（）， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴（）， ∴； （3）证明：∵， ∴，， ∴是线段的垂直平分线． 19．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在中,，点D在的右侧且满足，连接，其中． (1)求证：； (2)如备用图，延长至点M，使得． 求证：①平分； ②点M在线段的延长线上． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定及三点共线的证明，解题的关键是利用等腰三角形的角关系推导角度，结合全等三角形的判定得到线段相等，再通过角的数量关系证明共线． （1）利用等腰的内角和求出，结合已知，证得； （2）①作角两边的垂线，证得到距离相等，判定平分； ②证，结合角的和为，证明点M在的延长线上． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①如图1，过点A作，垂足分别为H，K， ∴， 在中，， 在中，， ∵ ∴， ∴， ∴； 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴平分； ②如图2，连接，设与交于点G， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， 由（1）知，且平分， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴A，M，B三点共线． ∴点M在线段的延长线上． 20．（25-26八年级上·广东珠海·期中）在中，，．点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点． ①求的大小； ②若，，直接写出的长度______． (3)如图3，过点的直线．若，，点到三边所在直线的距离相等，则这样的点有______个，点到直线的距离是______． 【答案】(1)见解析 (2)①；②2 (3)4；3或6或9或18． 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，得出，借助，得到，即可证明点在的垂直平分线上； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于，证明，得到，再由，即可求解； （3）分4种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图1， 点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上； （2）解：①平分，平分，， ∴，， ，即， ， ，即， ； 故答案为：； ②延长交于，如图2， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，，，， ， ， ， ，，， ， ， ； （3）解：∵点到三边所在直线的距离相等， ∴点是内角的平分线交点或内角平分线与外角平分线的交点； 当点在内部时，记点到各边所在的直线距离为，如图3： ， ， ， 点到直线的距离是； 当点在的下方时，如图4： 设点到三边的距离为， 则由得， ∴， 同理， ， ， 点到直线的距离是； 当点D在的右边时，如图： 设点D到三边的距离为y， 同理可得：，则， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的上方时，如图： 设点D到三边的距离为z， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，这样的点有4个，点D到直线l的距离是3或6或9或18． 故答案为：4；3或6或9或18． 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东韶关·期中）如图，在中，平分，，D到的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，能够正确理解距离的概念是解题的关键． 作于，根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：作于，如图， 由图可得，且平分， ， ∴D到的距离是3， 故选：B． 2．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质和等边对等角，由作图方法可知垂直平分，再由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角可得答案． 【详解】解：由作图方法可知垂直平分， ∴， ∴， 根据现有条件无法得到，，， 故选：D． 3．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：由线段垂直平分线的性质可得，进而得到的周长，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分交于点， ∴， ∴的周长， 即． 故选：D． 4．（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，在中，,,，直线垂直平分线段，若点为边BC的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（） A．9 B．13 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质等知识，掌握将军饮马模型是解题关键． 连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， ∵直线垂直平分线段． ， ∵点为边的中点，， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ∵,， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：C． 5．（25-26八年级上·浙江·期末）如图，三角形中，的平分线交于点D，过点D作，垂足分别为E，F，下面四个结论：①；②垂直平分；③；④一定平行．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．先根据角平分线的性质得，证明，可得，继而证得①；又由线段垂直平分线的判定，可得②垂直平分；然后利用三角形的面积公式求解即可得③． 【详解】解：①∵三角形中，的平分线交于点D，过点D作， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵，， ∴点D在的垂直平分线上，点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， 故②正确； ③∵，，， ∴； 故③正确； ④∵不一定等于， ∴不一定平行． 故④错误． 综上所述，正确的有①②③． 故选：A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·全国·期末）如图，，以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两条弧交于点，作射线交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题主要考查了基本作图以及平行线的性质，由作图步骤得到平分，是解题关键． 直接利用平行线的性质结合角平分线的作法得出，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：平分， ∵， ， ， ， 平分， ． ∵， ∴． 故答案为： 7．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E．若，则的度数是 度． 【答案】30 【分析】本题考查中垂线的性质，根据作图得到垂直平分，根据等边对等角，求出的度数，中垂线的性质，得到，进而得到，再根据角的和差关系，进行求解即可。 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：30 8．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直，垂足为A，交于点D若，则点P到的距离是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了角平分线的性质，利用角平分线的性质，得到点P到、、的距离相等，再结合的长度求出点P到的距离． 【详解】解：如图，过点P作于点E， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴， 故答案为：8． 9．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图是一风筝的骨架图，是的垂直平分线，为垂足．若，四边形的周长为，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等； 由线段垂直平分线的性质推出，，由四边形的周长，即可求出的长． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 四边形的周长， ． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 【答案】4 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，根据角平分线性质定理得，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，再通过证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ，，分别为的角平分线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积， ， ， 为的角平分线，，， ， ， 的面积， 故答案为：4． 三、解答题 11．（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，在中，是的垂直平分线，于点，且为的中点． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换即可证明； （2）将的周长转化为，等量代换即可求解． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ． ，为的中点， 是的垂直平分线． ． ． （2）解：为的中点， ． 由（1）得，，， ． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，在中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，连接AD，AE． (1)若，求的度数． (2)设直线DM，EN交于点O，试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点O在BC的垂直平分线上，理由见解析． 【分析】（1）利用垂直平分线的性质得到线段相等，进而得到对应角相等，结合已知角的和，通过三角形内角和定理计算出的度数． （2）利用垂直平分线的性质得到线段相等，推导出，再结合垂直条件证明线段平分，从而说明点O在BC的垂直平分线上． 【详解】（1）解：∵DM，EN分别是边AB，AC的垂直平分线， ∴，，，， ∴，． （2）解：点O在BC的垂直平分线上． 理由：如图，延长MD，NE交于点O，连接AO，BO，CO，过点O作于点F． ∵DM，EN分别是边AB，AC的垂直平分线， ∴，，． ∵， ∴F为BC的中点， 即， ∴OF垂直平分BC， ∴点O在BC的垂直平分线上． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与三角形内角和定理，掌握垂直平分线的性质及三角形内角和为是解题的关键． 13．（25-26八年级上·四川广元·期中）（1）【问题情境】如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，求证：； （2）【问题探究】如图2，中，，，平分，，垂足在的延长线上，求证：； 【答案】（1）见详解，（2）见详解， 【分析】（1）利用已知条件，证明，即可得出结论； （2）延长交延长线于F，求出，证明，推出，再证明，进而可得结论； 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图：延长交延长线于F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉全等三角形的判定． 14．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分∠ADC； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)18 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积． （1）先根据三角形外角性质计算出，然后计算即可； （2）过E点作于M点，于N点，如图，先计算出得到平分，根据角平分线的性质得到，，所以，根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论； （3）根据三角形面积公式得到，则可计算出，所以，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过E点作于M点，于N点，如图， ∵，， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， 即平分； （3）解：∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积． 15．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，在中，,是的角平分线，于E，点F在边上，且． (1)求证∶； (2)若，，且． ________； ②求出的周长． 【答案】(1)见详解 (2)①② 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质定理，勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再利用即可证明； （2）①且，可求长，因为，则由勾股定理可求，则可求； ②将三角形三边相加即可． 【详解】（1）证明：是的角平分线，，， ， 在和中， ， ∴； （2）解：①∵，且， ∴, , ∵， ∴， ∵ ∴, 故答案为：； ②的周长为. 16．（2025八年级上·吉林长春·专题练习）已知：如图1，是的平分线，点是上的任意一点，，，垂足分别为和． 求证：． 请写出完整的证明过程：… (1)请结合图，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程； (2)如图，在中，，平分，于点，点在上，，若，，则的长为________； (3)如图，在中，平分交于点，于点，若，，，，则的面积为________． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题意，得到、，再由两个三角形全等的判定定理得到，根据全等性质即可得证； （2）先由（1）中的方法得到，，再由得到，从而由，，得到，代入线段长度计算即可得到答案； （3）过点作，交于点，如图所示，由角平分线性质得到，再由三角形内角和定理证得是等腰三角形，从而得到，根据，代入线段长度计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：是的平分线， ， ，， ， 又， ， ； （2）解：， ， 平分，， 同（1）法可得， ，， ， ， 又，， ， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：； （3）解：过点作，交于点，如图所示： 平分交于点，，， ， 在中，，，则由三角形内角和定理可得， ，平分， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05线段的垂直平分线与角平分线 目录 A题型建模·专项突破 题型一、线段垂直平分线的性质求解… 题型二、线段垂直平分线的判定定理… .4 题型三、角平分线性质定理… .8 题型四、角平分线的判定定理… 11 题型五、线段的垂直平分线与角平分线的综合问题 17 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、线段垂直平分线的性质求解 1.(25-26八年级上江苏无锡期末)如图，在△ABC中，AB=AC,，∠C=30°，作AB的垂直平分线交AB 于点D,交BC于点E,若DE=2,则BC的长度是一 D 2.(25-26八年级上甘肃天水期末)如图，在ABC中，DE,FG分别是边AB,AC的垂直平分线，分 别交BC于E,G两点，连接AE,AG,若△AEG的周长为8，则BC=一· D G 3.(25-26八年级上·江苏无锡·月考)如图，在ABC中，∠B=40°，BC边的垂直平分线交BC于D,交 AB于E,若CE平分∠ACB,则∠A=°. D 4.(25-26八年级上全国·期末)如图，在ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延 长线于点F,已知LB=50°，则LCAF的度数为一 1/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 题型二、线段垂直平分线的判定定理 9.(25-26八年级上陕西西安月考)如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC上一点，BC=DC,过点 D作AC的垂线交AB于点E,连接CE交BD于F,求证：CE垂直平分BD, D 10.(25-26八年级上·河南信阳月考)如图1，∠ABC=LADC=90°，AC与BD相交于点E, ∠ABD=∠ADB, B B 图1 图2 (I)如图1，求证：AC垂直平分BD; (②)如图2，在图1的基础上，过点B作BF∥CD交CA的延长线于点F,如果AB=AF,求证：△BCD是 等边三角形； 11.(25-26八年级上·安徽安庆月考)如图，在ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB,BC于点M, D,边AC的垂直平分线分别交AC,BC于点N,E,MD,NE相交于点O,连接BO,CO. (I)试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由； (2)若∠BAC=105°，求∠B0C的度数 12.(25-26八年级上河北廊坊期中)如图1和图2，在ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧， 交BC于点D. 2/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D- 图1 图2 (I)求证：点A在线段CD的垂直平分线上： (2)P是线段CD上的动点（点P不与点C,D重合），线段BP的垂直平分线分别与AB,BC交于点E,M, 线段CP的垂直平分线马分别与AC，BC交于点F,N. ①若AB=10,AC=5,求四边形AEPF的周长； ②已知∠BAC=100°，判断当点P在线段CD上运动时，∠EPF的度数是否会发生变化.若变化，请说明理由； 若不变，求∠EPF的度数. 题型三、角平分线性质定理 5.(25-26八年级上·吉林长春·期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC,交AC于点E, DE⊥AB于点D,如果AE=3,AC=5,那么DE的长是 B 6.(25-26八年级上·上海静安·期末)如图，ABC中，∠B平分线BH和边AB的垂直平分线DE交于点E ,已知点E到BC边距离为2，AB=8,那么点E和点A之间的距离为」 B D 7.(25-26八年级上·北京期末)如图，AD是ABC的角平分线，BE是△ABD边AD上的中线，若ABC 的面积是18.AB=6,AC=3,则△ABE的面积是一 A D 8.(25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中)如图，ABC中，AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC, DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.如果AB=12,AC=8,则BE的长是 3/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型四、角平分线的判定定理 13.(25-26八年级上江苏南京·期末)如图，在ABC和ADE中，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE ,DE分别交BC,AC于点F,G,连接AF. E G B D (I)求证：LC=LE; (2)求证：AF平分∠BFE. 14.(25-26八年级上·上海期中)如图，在ABC中，∠CAB和∠ABC的平分线AD、BE交于点P,连接 CP. B (I)求证：CP平分∠ACB: (②)LACB=60°，EP=DP?若成立，请证明：若不成立，请说明理由. 15.(25-26八年级上全国期末)如图，点M为BC的中点，DM平分∠ADC. 的 (1)若∠B=∠C=90°. ①求证：AM平分∠BAD. ②猜想线段CD,AB,AD之间的数量关系，并证明 (2)若∠B=75°，请你思考∠C应该满足什么条件，能使得(1)②中结论依然成立，并说明理由. 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 16.(25-26八年级上辽宁沈阳·期末)综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在0A、 OB上分别取点C、E、D、F,使得OC=OD,OE=OF,连接CF、DE,交点为P,则射线OP为 ∠AOB的角平分线. B B B P E A 图1 图2 图3 【验证】(1)试说明OP平分∠AOB,且PE=PF; 【应用】(2)如题图2，若C、E、D、F分别为OA、OB上的点，且OC=OD,CF⊥OA,DE⊥0B, 试用(1)中的原理说明OP平分∠AOB; 【猜想】(3)如题图3，P是∠AOB角平分线上一点，C、D分别为OA、OB上的点，且PC=PD,请补 全图形，并直接写出∠PC0与∠PD0的数量关系， 题型五、线段的垂直平分线与角平分线的综合问题 17.(25-26八年级上福建三明·期末)如图，在ABC中，D是BC上的一点，连接AD,作DE⊥AB交 AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,且AD平分∠BAC,连接EF. E B D (I)证明：AD垂直平分EF. (2)若ABC的周长为18，面积为24，BC=6,求DE的长 18.(25-26八年级上全国课后作业)已知：如图，E是∠A0B的平分线上的一点，EC⊥OA,ED⊥OB, 垂足分别为C,D,连接CD,交OE于点F. B (1)求证：0C=0D. (2)求证：∠ECD=∠EDC. 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)求证：OE是线段CD的垂直平分线 19.(25-26八年级上·福建厦门期中)如图，在ABC中，AB=AC,LBAC=a,点D在AC的右侧且满足 BC=BD,∠DBC=B,连接AD,CD,其中2a+B=180°. M B 备用图 (I)求证：LBAC=LBDC; (2)如备用图，延长CD至点M,使得CM=BC. 求证：①AD平分∠BDM: ②点M在线段BA的延长线上. 20.(25-26八年级上·广东珠海期中)在ABC中，AB=15,AC=9.点D在∠BAC的平分线所在的直线 上 E B 图1 图2 图3 (I)如图1，当点D在ABC的外部时，过点D作DE⊥AB于E,作DF⊥AC交AC的延长线于F,且 BE=CF.求证：点D在BC的垂直平分线上； (②)如图2，当点D在线段BC上时，若∠C=90°，BE平分∠ABC,交AC于点E,交AD于点F,过点F作 FG⊥BE,交BC于点G. ①求∠DFG的大小； ②若BC=12,EC=4,直接写出GC的长度 (3)如图3，过点A的直线1∥BC.若LC=90°，BC=12,点D到ABC三边所在直线的距离相等，则这 样的点D有个，点D到直线I的距离是 B 综合攻坚·能力跃升 6/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一、单选题 1.(25-26八年级上广东韶关期中)如图，在ABC中，BD平分∠ABC,CD=3,D到AB的距离是() B A A.2 B.3 C.4 D.6 2.(25-26八年级上·内蒙古通辽·期末)如图，在Rt△ABC中，4B=90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结 论正确的是(). A.DB=DE B.AB=AE C.∠ECD=∠BAD D.ZDAC=ZC 3.(25-26八年级上辽宁葫芦岛期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB交BC于点 D,若△ACD的周长为80cm,则AC+BC=() D A.40cm B.60cm C.75cm D.80cm 4.(25-26八年级上广东珠海期末)如图，在ABC中，AB=AC,BC=6,Sa4Bc=27，直线EF垂直平分 线段AB,若点D为边BC的中点，点G为直线EF上一动点，则△BDG周长的最小值为() A.9 B.13 C.12 D.14 5.(25-26八年级上浙江·期末)如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D,过点D作 7/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DF⊥AC,DE⊥AB,垂足分别为E,F,下面四个结论：①∠AFE=∠AEF;②AD垂直平分EF;③ S△BFD=B SACED C;④EF一定平行BC.其中正确的是() B D A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 二、填空题 6.(25-26八年级上·全国期末)如图，AB∥CD,以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB, AC于E,F两点，再分别以E,F为圆心，大于EF长为半径画弧，两条弧交于点P,作射线AP交CD 于点M,若∠ACD=114°，则∠AMC的度数为 C MD B 7.(24-25八年级上湖南邵阳·期中)如图，在ABC中，AC=BC,分别以点A和点C为圆心，大于 1 1C长为半径画弧，两弧相交于点M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D,E.若∠B=70°，则∠BAD 的度数是 度 M B D 8.(25-26八年级上·上海静安·期末)如图，AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P, 且与AB垂直，垂足为A,交CD于点D若AD=I6,则点P到BC的距离是一· D 9.(25-26七年级上山东烟台期中)如图是一风筝的骨架图，AC是BD的垂直平分线，E为垂足.若 AB=2,四边形ABCD的周长为16，则CD的长度为」 8/11 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 10.(25-26八年级上·全国·期末)如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，BE,CD分别为ABC的角 平分线.BE,CD相交于点F,FG平分∠BFC,已知BD=3,CE=2,△BFC的面积=2.5，求△BCD的 面积 E 三、解答题 11.(25-26八年级上广西南宁.月考)如图，在ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC于点D,且 D为CE的中点. B ED C (1)求证：BE=AC; (2)若BD=8cm,求△AEC的周长. 12.(24-25七年级下·全国·课后作业)如下图，在ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB,BC于点M, D,边AC的垂直平分线分别交AC,BC于点N,E,连接AD,AE. M B (1)若∠DAB+∠EAC=60°，求∠BAC的度数 (②)设直线DM,EW交于点O,试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由. 13.(25-26八年级上四川广元期中)(1)【问题情境】如图1，OP平分∠M0N.点A为0M上一点，过 点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,求证：AC=BC; 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)【问题探究】如图2，ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD 的延长线上，求证：CD=2BE; B 图1 图2 14.(25-26八年级上安微六安期末)如图，在ABC中，点D在BC边上，∠BAD=110°，∠ABC的平分 线BE交AC于点E,过点E作BF⊥BA,交BA的延长线于点F,已知LAEF=55°，连接DE. D (I)求LCAD的度数： (2)求证：DE平分∠ADC; (3)若AB=12,AD=6,CD=14,且S△4CD=30,求△ABE的面积. 15.(25-26八年级上河南信阳·月考)如图，在ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于 E,点F在边AC上，且DF=DB. (I)求证：aCFD≌△EBD; (2)若DE=4,BC=9,且S。ADB=30 ①S.ACD:S.ADB= ②求出ABC的周长。 16.(2025八年级上·吉林长春.专题练习)已知：如图1,0C是∠A0B的平分线，点P是0C上的任意一点， PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D和E. 10/11