专题04 直角三角形的性质与判定（8大题型）（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04直角三角形的性质与判定 目录 A题型建模·专项突破 题型一、直角三角形的两个锐角互余… 题型二、锐角互余的三角形是直角三角形 3 题型三、判断三边能否构成直角三角形 题型四、在网格中判断直角三角形 5 .7 题型五、利用勾股定理的逆定理求解… 题型六、勾股定理逆定理的实际应用 19 题型七、利用HL判定直角三角形全等… .22 题型八、直角三角形全等的性质和HL综合.25 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、直角三角形的两个锐角互余 1.(25-26八年级上，广西钦州期中)在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为」 2.(25-26八年级上广东广州期中)如图，在ABC中，∠C=90°，∠A=35°，D,E分别在AB,AC上， 连接DE,若1=55°，则∠2=一°. 3.(25-26八年级上重庆合川期中)如图，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=11,BC=5,D是边 AC上一点，且LBDC=∠BCD,过点D作DE⊥BD,交边AB于点E,则BDE的周长是」 B E 4.(25-26八年级上湖北武汉·期中)如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD,垂足为D, ∠DAC=20°，∠C=38°，则∠ABC的大小是 1/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型二、锐角互余的三角形是直角三角形 5.(2025八年级上·全国.专题练习)在ABC中，∠A=70°，若要使ABC是直角三角形，则∠B可以是_ 。(写出一个即可). 6.(2025八年级上全国.专题练习)若ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:5,则最大角∠C= ABC是 三角形， 7.(2025八年级上全国专题练习)一个三角形中，有两个角的度数分别为25°和65°，则这个三角形是一 三角形。 8.(25-26八年级上福建福州期中)如图，在ABC中，∠C=90°，D、E分别在AB、AC上，连接DE, 若∠1=∠2，则ADE是 三角形， 2 B 题型三、判断三边能否构成直角三角形 9.(25-26八年级上·吉林长春期末)若ABC的三边分别是Q,b,C,则下列条件不能判断ABC是直角 三角形的是() A.∠A=∠B+∠C B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 C.a=5,b=12,c=13 D.a=1,b=√2，c=V3 10.(25-26八年级上甘肃天水·期末)下列条件中，不能判断ABC是直角三角形的是() A.∠A:∠B:∠C=1:2:3 B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 C.∠A+∠B=∠C D.a:b:c=1:V3:2 11.(25-26八年级上·甘肃张掖期末)下列条件不能判定ABC为直角三角形的是() A.∠A+LB=∠C B.∠A:∠B:∠C=1:2:3 C.a2-b2=c2 D.a:b:c=3:4:6 12.(25-26八年级上·广东揭阳·期末)由线段a,b,c组成的三角形不是直角三角形的是() 5 3 A.a2-b2=c1 B.a=,b=1,c= 4 4 C.a=2,b=V5,c=V7 D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 题型四、在网格中判断直角三角形 13.(25-26八年级上全国·随堂练习)如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C 都在格点上，则下列结论错误的是() 2/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.BC=5 B.∠BAC=90° C.ABC的面积为10 D.点A到直线BC的距离是2 14.(24-25八年级下·广东东莞期中)如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C都在 格点上，则下列结论错误的是() NB A.AB=25 B.∠BAC=90° C.ABC的面积为10 D.点A到直线BC的距离是2 15.(25-26八年级上·全国期末)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C均 在网格线的交点上. (I)直接写出ABC三边的长度， (②)判断ABC的形状，并说明理由. 16.(24-25八年级上贵州贵阳月考)如图所示，图中每个小正方形的边长都为1，点A,B,C,D在格 点上. D A (I)四边形ABCD的周长为_-，面积为_· 3/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)直接写出△ABD的BD边上的高的长度为_， (3)若△CBE是以BC为斜边的直角三角形，且构成△CBE的三边都为无理数，则在图中满足条件的格点E共 有_个，请在图中画出满足条件的一个△CBE. 题型五、利用勾股定理的逆定理求解 17.(23-24八年级上广东揭阳期末)如图，一张三角形纸片ABC,已知，AB=10,AC=8,BC=6, 将该纸片折叠，若折叠后点A与点B重合，折痕DE与边AC交于点D,与边AB交于点E, C B (I)求aABC的面积. (2)求折痕DE的长. 18.(25-26八年级上辽宁沈阳·期末)如图，在ABC中，点E为边AB上的一点，连接CE,过点A作 AF⊥AB,交CE延长线于点F,过点A作AD⊥CE,垂足为D.已知AD=7,CD=24,AB=20, BC=15. B E A (I)求线段AC的长； (2)求证：∠BCE=∠DFA. 19.(25-26八年级上江苏苏州月考)如图，已知在ABC中，AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,动点 P从点C出发，沿着ABC的三条边逆时针走一圈回到C点，速度为2cm/s,设运动时间为t秒. C-P Cp 备用图 备用图 (I)求AB边上的高： (②)t为何值时，△ACP为等腰三角形？ (3)另有一点Q,从点C开始，按顺时针走一圈回到C点，且速度为每秒1cm,若P、Q两点同时出发，当 4/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当t为何值时，直线PQ把ABC的周长分成相等的两部分？ 20.(25-26八年级上广东深圳期中)如图，已知ABC中，AB=AC=4,BC=4V2. 图， 图2 备用图 (1)ABC (填“是”或“不是”)直角三角形，如图1，过点A作AH⊥BC于点H,则线段AH的长度为 (②)如图2，以A为直角顶点，作等腰直角ADE,AD=AE=2,点B,D,E在同一条直线上，连接EC, 请求出EC线段长，并说明BE与CE的位置关系； (3)在同一平面内有一点P,满足PC=1,且BP⊥CP,设点A到直线PC的距离为h,请直接写出h的值. 题型六、勾股定理逆定理的实际应用 21.(25-26九年级上·陕西咸阳·月考)如图，某农场设置了两个灌溉喷头A,B,且A,B之间的距离为 250m,为保障灌溉用水供应，在农田边缘的灌溉渠AC上安装了一个供水阀M，供水阀M到AB的距离 MN(MN⊥AB于点N)的长为120m,M到喷头B的管道BM的长为l50m. M 41 (1)求供水阀M到喷头A的距离； (②)试判断灌溉渠AC与管道BM的位置关系，并说明理由. 22.(25-26八年级上浙江宁波·期中)如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路 AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，己知点C与公路上的停靠站A的距离为I5km,与公路上另一 停靠站B的距离为20km,停靠站A、B之间的距离为25km,且CD⊥AB. 5/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A D (I)判断ABC的形状，并说明理由. (2)若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 23.(25-26八年级上·江苏泰州月考)在泰州溱潼古镇附近的湿地公园中，规划修建一条观鸟栈道.该栈道 计划沿三角形区域ABC的岸边布置.由于BC段穿越一处重点保护的古建筑，无法直接测量.勘测人员在 BC上取一点D,测得AD=120米，BD=50米，AB=130米，AC=150米. D盆 (1)求证：∠ADB=90°： (2)求BC的长. 24.(25-26八年级上·湖南衡阳·月考)如图1是某超市的购物车，如图2为其侧面简化示意图，测得支架 AC=80cm,AB=60cm,两轮中心的距离BC=100cm,滚轮半径r=10cm. 图1 图2 (I)判断支架AB与AC的位置关系，并说明理由 (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD=1.3m,AE=0.5m,且AE⊥DE,AE和BC都与地面平 行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离， 题型七、利用L判定直角三角形全等 25.(25-26八年级上·全国假期作业)如图，在ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B',AD与 A'D'分别为BC,B'C'边上的中线，且CD=CD',求证：△ABC≌△A'B'C', 6/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B C B D 26.(23-24八年级下·湖南益阳·月考)如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE,AB⊥BE, DE⊥BE,垂足分别为B、E且AC=DF,连接AC、DF·求证：△ACB≌△DFE. G B C E 27.(25-26八年级上·江苏南通月考)如图，在ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足 分别是E、F,且BE=CF. B D 求证：△DBE≌△DCF. 28.(25-26八年级上·全国期中)如图，点C,F在线段BE上，∠ABC=∠DEF=90°，BC=EF,请只添加一 个合适的条件，使△ABC≌△DEF. B (1)根据“SAS”,需添加的条件是_；根据“HL”,需添加的条件是_· (2)请从(1)中选择一种加以证明. 题型八、直角三角形全等的性质和L综合 29.(2025八年级上河北沧州专题练习)如图，CD平分∠BCA,DC平分∠BDA,∠A=90°，点F在线段CB 的延长线上，点E在线段CA上，且DF=DE. 7/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E A (I)求证：DB=DA; (2)试判断AE与BF的数量关系，并说明理由. 30.(25-26八年级上重庆合川期中)如图，点F为线段AC上一点，AB=BC,BF⊥AC, ∠DBE=∠GBE,BG=BD,EG平分∠AED. B D (I)证明：△ABF≌△CBF, (2)若∠ABC=60°，求∠G的度数. 31.(25-26八年级上湖北十堰期中)如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD是ABC的 角平分线. D 光EB D 图1 图2 (1)求∠ADC; (2)求证：AC+CD=AB: (3)如图2，E在BC上，过点E作AD垂线，垂足为点G,延长EG交AC的延长线于点F.若E是BD的中 点，求证：BD=2CF; 32.(25-26八年级上湖北荆州期中)【问题初探】(1)如图1，OF是∠A0B的平分线，点D为OA上一点 且CD=CE,求证：∠0DC+∠OEC=180°. 8/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 图1 图2 小明的想法是：过点C,分别作OA和OB的垂线，通过构造全等三角形解决问题， 小强的想法是：在OB上截取OG=OD,然后利用全等三角形和等腰三角形的性质解决问题. 请你选择一种方法完成证明，其它方法也可以： 【类比分析】(2)如图2，ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长 线上一点，N是CA延长线上一点，∠MDN=60°.探究BM、MN、 CN之间的数量关系，并证明. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26八年级上·江西宜春·期中)在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是() A.35° B.45° C.55 D.65 2.(2025八年级上·全国.专题练习)一个三角形的两个角分别为α和B,若a+B=90°，则这个三角形是() 三角形 A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不能确定 3.(25-26八年级上山东青岛期中)如果用a、b、c表示ABC的三边，那么分别满足①b2=c2-a2;② ∠C=∠A-∠B;③a:b:c=3:4:5;④∠A:∠B:∠C=12:13:15,下列条件的三角形中，直角三角形有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.（20-21八年级上·广东深圳期末)在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形 格点上，则下列结论错误的是() B A A.点A到直线BC的距离是2 B.∠BAC=90° 9/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.AB=25 D.S△ABc=10 5.(25-26八年级上·重庆期中)如图，在△ACB中，∠ACB=90°，ABC的角平分线AD、BE相交于点P ,过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H,现有下列结论：①LAPB=135°；② △ABP≌△FBP;③LAHP=∠ABC;④AH+BD=AB.其中所有正确结论的序号为() A E B A.①② B.①②④ C.②③④ D.①②③ 二、填空题 6.(25-26八年级上·浙江温州·期中)如图，AB⊥BC,AD⊥DC,要根据“HL”判定△ABC≌△ADC,还需 添加的一个条件是_ 7.(25-26八年级上贵州黔南·期中)如图，在△ACD和△BDC中，∠A=∠B=90°，AD=BC, ∠ACD=35°，则∠ADB的度数为一 8.(25-26八年级上·福建漳州期中)如图，在ABC中，AB=15,AC=12,BC=9,若CD⊥AB于D, 则CD的长 9.(25-26八年级上·吉林松原·期中)如图，EC⊥BD,垂足为C,A是EC上的一点，AC=CD,连接AB 、ED,且AB=DE.若AC=35,BD=9,则CE的长为 10/13 专题04 直角三角形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直角三角形的两个锐角互余 1 题型二、锐角互余的三角形是直角三角形 3 题型三、判断三边能否构成直角三角形 5 题型四、在网格中判断直角三角形 7 题型五、利用勾股定理的逆定理求解 11 题型六、勾股定理逆定理的实际应用 19 题型七、利用HL判定直角三角形全等 22 题型八、直角三角形全等的性质和HL综合 25 B综合攻坚・能力跃升 题型一、直角三角形的两个锐角互余 1．（25-26八年级上·广西钦州·期中）在中，若一个锐角等于，则另一个锐角的度数为 【答案】50度/ 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解决此题的关键，根据直角三角形的性质，两个锐角互余求解即可． 【详解】解：∵在中，两个锐角的和为，一个锐角为， ∴另一个锐角为， 故答案为： 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，分别在上，连接，若，则 【答案】 【分析】本题考查余角，根据直角三角形两锐角互余即可解． 【详解】解：在中，， 是直角三角形， ， ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，直角三角形中，，，，是边上一点，且，过点作，交边于点，则的周长是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，将的周长转化为的和是解题的关键．由直角三角形的性质可得， 由垂直的定义及平角的定义可得， 再结合等腰三角形的性质可得，，即可证明， 再利用三角形的周长公式可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的周长为：． 故答案为：16． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，，则的大小是 ． 【答案】/64度 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的内角和问题、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据三角形内角和定理可得，再由直角三角形的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 故答案为： 题型二、锐角互余的三角形是直角三角形 5．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，若要使是直角三角形，则可以是 （写出一个即可）． 【答案】 （或） 【分析】本题考查直角三角形的性质． 由已知可得为直角或为直角，即可得的度数． 【详解】解：在中，，要使是直角三角形，则为直角或为直角， 若为直角，则， 若为直角，即，则， ∴可以是或． 故答案为：（或）． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）若中，，则最大角 ，是 三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：，直角． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）一个三角形中，有两个角的度数分别为和，则这个三角形是 三角形。 【答案】直角 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得第三个角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵一个三角形中，有两个角的度数分别为和， ∴第三个角的度数为， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 8．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 题型三、判断三边能否构成直角三角形 9．（25-26八年级上·吉林长春·期末）若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的知识，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理．据相关知识逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，且， ，则，故能判断是直角三角形； B、设，，，则， 解得， ，，，无角，故不能判断是直角三角形； C、，， ，故能判断是直角三角形； D、，， ，故能判断是直角三角形； 故选：B． 10．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理逆定理．根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理，判断各选项是否能推出直角三角形． 【详解】解：∵对于A：设，，，则，，，能判断是直角三角形． 对于B：设，，，则，，，不是直角，不能判断是直角三角形． 对于C：，且，，，能判断是直角三角形． 对于D：设，，，则，，，能判断是直角三角形． 故选：B． 11．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理分别判断各选项是否能判定直角三角形. 本题考查三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握这些定理是解题的关键. 【详解】解： 对于A: ∵, ， ∴ ∴ ， ∴是直角三角形. 对于B: ∵, 设, 则 ∴ k = 30° ∴ ∴是直角三角形. 对于C: ∵ ∴ ， ∴是直角三角形（勾股定理逆定理）. 对于D: ∵, 设 则 ∵ ∴不是直角三角形. 故选：D. 12．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．通过验证各选项是否满足勾股定理或角度是否为90度来判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，∴以a为斜边的三角形是直角三角形； B、∵，∴三角形是直角三角形； C、∵，∴以c为斜边的三角形是直角三角形． D、设，则，∴，∴，∴三角形不是直角三角形． 故选：D． 题型四、在网格中判断直角三角形 13．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、利用网格求三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式计算，判断即可． 【详解】解：A、由勾股定理得：，A选项正确，不符合题意； B、， ， ，B选项正确，不符合题意； C、，C选项错误，符合题意； D、设点A到直线的距离为h， 则，即， ，D选项正确，不符合题意， 故选：C． 14．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，化简二次根式，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理二次根式的化简及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可． 【详解】解：A、，本选项结论正确，不符合题意； B、，，， ， ， 本选项结论正确，不符合题意； C、，本选项结论错误，符合题意； D、设点到直线的距离为h ∴， ∴ ∴ ∴点A到的距离为2，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 15．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点均在网格线的交点上． (1)直接写出三边的长度． (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键． （1）根据网格特点，利用勾股定理求解即可得； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可得． 【详解】（1）解：由网格可知，， ， ． （2）解：由（1）已得：，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 16．（24-25八年级上·贵州贵阳·月考）如图所示，图中每个小正方形的边长都为1，点，，，在格点上． (1)四边形的周长为 ，面积为 ． (2)直接写出的边上的高的长度为 ． (3)若是以为斜边的直角三角形，且构成的三边都为无理数，则在图中满足条件的格点共有 个，请在图中画出满足条件的一个． 【答案】(1)；18 (2) (3)4，图见解析 【分析】此题考查了无理数的概念、勾股定理以及逆定理的运用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的运用方法． （1）先分别求出、、、的长，即可求出四边形的周长，用面积分割法即可求出四边形的面积； （2）设边上的高为h，先用等面积法表示出的面积，再由勾股定理求出，即可求解； （3）根据勾股定理找到满足条件的格点E即可，并判断各边是无理数． 【详解】（1）解：由图可得：，，，， ∴ 四边形的周长； ∴ 四边形的面积； 故答案为：；18； （2）解：设边上的高为， ∴的面积， ∴， ∴的面积， 解得， ∴的边上的高为， 故答案为：； （3）解：如图所示， 由（1）得： ， ∴，， ∴， ∴为三边都为无理数的直角三角形，同理可证：、、为直角三角形； ∴ 满足条件的格点有4个，如图即为所求． 故答案为：4，如图即为所求． 题型五、利用勾股定理的逆定理求解 17．（23-24八年级上·广东揭阳·期末）如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)求的面积． (2)求折痕的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理逆定理，勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质是解答此题的关键． （）先根据勾股定理逆定理，判断为直角三角形，然后根据三角形的面积公式解答即可； （）连接，根据折叠的性质可知，，，设，则，在中利用勾股定理即可求出的长，同理，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设， ∵折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得，， ∴， ∵， ∴． 18．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，点E为边上的一点，连接，过点A作，交延长线于点F，过点A作，垂足为D．已知，，，． (1)求线段的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，平行线的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）由（1）知，利用勾股定理逆定理易证是直角三角形，则，进而推出，利用平行线的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ∵，， ； （2）证明：由（1）知， ∵，， ∴，即， ∴是直角三角形，且， ∵，即， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，已知在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到点，速度为，设运动时间为秒． (1)求边上的高； (2)为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点开始，按顺时针走一圈回到点，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1) (2)当秒或6秒或秒或秒时，为等腰三角形 (3)t的值为4秒或12秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，根据三角形的面积公式计算的长； （2）分情况讨论：①动点在边上时，有一种情况；②动点在边上时，有三种情况；③动点在边上时，不能构成三角形； （3）分情况讨论：根据点P在边上讨论，根据周长平分进行列方程可得结论． 【详解】（1）解：∵已知在中，，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 如图1， 过C作于D， ∴ ∴ ∴ 则边上的高是； （2）解：①当点P在上，如图2， 当时， ∵ ∴， ∵动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到点，速度为，设运动时间为秒． 则， ②当点P在上，如图3，时，过C作于D， 在中， ∵，为边上的高， ∴， 则， 解得， 当时，， 解得， 当时， 如图4，作于H， 则，， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 解得， 故当秒或6秒或6.5秒或5.4秒时，为等腰三角形； （3）解：如图5，当时，P在上，Q在上， 由题意得：， 则， 解得； 如图6，当时，P在上，Q在上， 由题意得：，， 则， 解得，不符合题意； 当时，P、Q在上， 直线与重合，直线不可能把的周长分成相等的两部分； 如图7，当时，P在上，Q在上， 由题意得：， 则， ， 解得， 综上，t的值为4秒或12秒． 20．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，已知中，， (1)______填“是”或“不是”直角三角形，如图1，过点A作于点H，则线段的长度为______； (2)如图2，以A为直角顶点，作等腰直角，，点B，D，E在同一条直线上，连接，请求出线段长，并说明与的位置关系； (3)在同一平面内有一点P，满足，且，设点A到直线的距离为h，请直接写出h的值． 【答案】(1)是 (2)， (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据勾股逆定理即可判断出是等腰直角三角形，进而由三线合一可知，再根据是等腰直角三角形，即可得解； （2）由（1）思路过A作于点L，易得，再证，即可得，，据此求解； （3）由（2）思路可构造手拉手全等，并利用等腰直角三角形斜边的高等于斜边的一半得解． 【详解】（1）解：， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，是等腰直角三角形， ； 故答案为：是，； （2）， ， 过A作于点L， 则， 在中，， ， 由题可知， ， 在和中， ， ∴， ，， 记交点为O， 则， ， ； （3）在中，， 当点P在下方时，如图， 连接，将逆时针旋转得到线段，连接， 则， ， 在和中， ， ， ，， 在四边形中，， ， ， 、C、G三点共线， 为等腰直角三角形， 过A作于点H，则， 即h的值为； 当点P在上方时，如图， 同理可得， ， ； 综上，h的值为 题型六、勾股定理逆定理的实际应用 21．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，某农场设置了两个灌溉喷头A，B，且，B之间的距离为，为保障灌溉用水供应，在农田边缘的灌溉渠上安装了一个供水阀，供水阀到的距离（于点）的长为，到喷头的管道的长为． (1)求供水阀M到喷头A的距离； (2)试判断灌溉渠与管道的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)供水阀到灌溉喷头的距离为 (2)灌溉渠与管道互相垂直，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再在中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据（1）所求可证明，则，即． 【详解】（1）解：由题意得， 在中，因为，， 所以， 所以， 在中，， 所以供水阀到灌溉喷头的距离为； （2）解：灌溉渠与管道互相垂直，理由如下： 因为，， 所以， 所以， 所以． 22．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）可证明，则由勾股定理的逆定理可得结论； （2）利用等面积法可求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 答：一辆货车从C处经过D点到B处的路程是． 23．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）在泰州溱潼古镇附近的湿地公园中，规划修建一条观鸟栈道．该栈道计划沿三角形区域的岸边布置．由于段穿越一处重点保护的古建筑，无法直接测量．勘测人员在上取一点，测得米，米，米，米． (1)求证：： (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的应用，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可推出； （2）根据勾股定理求出的长，据此即可求解． 【详解】（1）证明：米，米，米， 则 ， ； （2）解：由（1）得， ， （米）， （米）． 24．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）如图1是某超市的购物车，如图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断支架与的位置关系，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据勾股定理逆定理计算即可得解； （2）运用勾股定理可得，过点作于点，运用等面积法求得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下 ，， ∵， ∴ ∴是直角三角形； 即； （2）解：， ∴， 如图所示，过点作于点， 由（1）得，是直角三角形， ∴， ∴， ∴购物车上篮子的左边缘到地面的距离为． 题型七、利用HL判定直角三角形全等 25．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在和中，，与分别为边上的中线，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可求证，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵与分别为边上的中线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴ 26．（23-24八年级下·湖南益阳·月考）如图，点B、F、C、E在同一直线上，，，，垂足分别为B、E且，连接、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，常用的判定方法有，，，等，解题的关键是准确寻找全等三角形的条件． 首先由得到，然后证明． 【详解】证明：， ，即． ，， ． 在与中， ． 27．（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、，且. 求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，中点定义，垂线定义，由垂直定义可得，又是的中点，所以，然后通过“”证明全等即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 28．（25-26八年级上·全国·期中）如图，点C，F在线段BE上， 请只添加一个合适的条件，使 (1)根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ． (2)请从（1）中选择一种加以证明． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据“”和“”证明三角形全等所需要的条件解答即可； （2）根据“”和“”证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：根据“”，题中已给出一组角一组边，还缺以此组角为夹角的另一组边，即．根据“”，题中已给出直角和一组直角边，还缺一组斜边，即． 故答案为：，． （2）解：添加“”得证明过程如下： 在和中， ， ∴， 选择“”的证明过程如下； ∵， ∴都是直角三角形， 在和中， ， ∴． 题型八、直角三角形全等的性质和HL综合 29．（2025八年级上·河北沧州·专题练习）如图，平分平分，点F在线段的延长线上，点E在线段上，且． (1)求证：； (2)试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用角平分线性质构造全等三角形． （1）由角平分线得角相等，结合公共边证三角形全等，得； （2）证，得 【详解】（1）证明：∵ 平分，平分， ∴ ，， 又∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：． 理由： ∵ ， ∴ ，即， 在和中，， ∴ ， ∴ ． 30．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，点为线段上一点，，，，，平分． (1)证明：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再由证明； （2）先证明是等边三角形，得，再证明，得，设，则，再求出，进而由角平分线的定义得，然后由直角三角形的性质得，进而列出方程，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 答：的度数为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的定义、直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 31．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图1，在等腰中，，，是的角平分线． (1)求； (2)求证：； (3)如图2，E在上，过点E作垂线，垂足为点G，延长交的延长线于点F．若E是的中点，求证：； 【答案】(1)67.5° (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了等角对等边、角平分线的性质定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键。 （1）根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质求解即可； （2）如图：过点D作，垂足为点M，由角平分线的性质可得，易证可得，再证明可得，即；再根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）如图：过点D作，垂足为点M，连接，延长交于点N，易证，从而证明，再证明，然后运用等量代换即可证明结论。 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴。 （2）证明：如图：过点D作，垂足为点M， ∴， ∵平分，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）证明：如图：过点D作，垂足为点M，连接，延长交于点N， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴． 由（2）得，， ∴，即， ∵点E为中点，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 32．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）【问题初探】（1）如图1是的平分线，点D为上一点且，求证：． 小明的想法是：过点C，分别作和的垂线，通过构造全等三角形解决问题． 小强的想法是：在上截取，然后利用全等三角形和等腰三角形的性质解决问题． 请你选择一种方法完成证明，其它方法也可以； 【类比分析】（2）如图2，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，M是延长线上一点，N是延长线上一点，．探究、、 之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质（、）、等边三角形的性质、等腰三角形的性质，以及截长补短法的几何辅助线应用．解题的关键是：借助角平分线的性质构造全等三角形，利用全等的对应角关系推导角度和的结论；通过截长补短法构造全等三角形，结合等边、等腰三角形的边角特征，推导线段之间的数量关系． （1）选择小明的方法，过点作于点，于点，证，得，再由，即可得出结论； 选择小强的方法，在上截取，连接，证，得，，再证，得，然后由，即可得出结论； （2）采用“截长补短法”，在上截取点，使，连接，结合等边及等腰三角形的性质证明，继而可证，由全等的性质可得结论． 【详解】（1）证明：选择小明的方法，如图，过点作于点，于点， 则， 是的平分线， ，在和中， ， ， ， ， ， 即； 选择小强的方法，如图，在上截取，连接， 是的平分线， ，在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． （2）解：． 证明：如图，在上截取点，使，连接， 为等边三角形， ． 又为等腰三角形，且， ，． ． ． 在和中， ， ． ，． 又，， ． ． 在与中， ， ． ． ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·江西宜春·期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质， 根据直角三角形两锐角互余的性质求解． 【详解】解：∵直角三角形两锐角互余， ∴另一个锐角． 故选：C． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）一个三角形的两个角分别为和，若，则这个三角形是（   ）三角形 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角度关系判断三角形的类型． 【详解】∵三角形内角和为180°，且， ∴第三个角为：， ∴三角形有一个直角，故为直角三角形； 故选：B． 3．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如果用a、b、c表示的三边，那么分别满足①；②；③；④，下列条件的三角形中，直角三角形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理逆定理（若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形）与三角形内角和为是解题的关键． 利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理，逐一判断每个条件是否符合直角三角形的定义． 【详解】解：①，整理得， ∴①能判定直角三角形， ②，， ∴，化简得， 即， ∴②能判定直角三角形， ③∵， 设、、， 则， ∴③能判定直角三角形， ④∵， 设、、， 则， 解得， ∴，，，三个内角均不为， ∴④不能判定直角三角形， ∴能判定直角三角形有3个， 故选：C． 4．（20-21八年级上·广东深圳·期末）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A．点A到直线的距离是2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，二次根式的运算，利用勾股定理求出的长，勾股定理逆定理，得到是直角三角形，面积公式求出的面积，过点作，等积法求出的长，进行判断即可． 【详解】解：由勾股定理，得：，，，故选项C正确； ∴， ∴为直角三角形，，故选项B正确； ∴，故选项D错误； 过点A作于点D， 则， ∴， 即点A到直线的距离是2，故选项A正确； 故选：D． 5．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．现有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④． 【详解】解：在中，， ， ∵、分别平分， ， ， ，所以结论①正确，符合题意； ， 又， ， ， ∵， ，所以结论②正确，符合题意； （全等三角形对应角相等），（全等三角形对应边相等）， （等量代换）， ， ，， 是的外角， ， ，所以结论③错误，不符合题意； 又， ， 即，所以结论④正确，符合题意， 综上所述，所有正确结论的序号为①②④． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题 6．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，，，要根据“”判定，还需添加的一个条件是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“”），熟练掌握“斜边直角边”的判定方法是解题的关键． 本题利用“”再寻找直角边相等即可判断直角三角形全等，然后即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ①， 在和中， ， ∴， ②， 在和中， ， ∴， 综上所述：还需添加的一个条件是或， 故答案为：或． 7．（25-26八年级上·贵州黔南·期中）如图，在和中，，，，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了直角三角形的判定及性质，直角三角形的特征，由可判定，由全等三角形的性质得，由即可求解． 【详解】解：， ， （）， ， ， ， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，，，若于D，则CD的长 ． 【答案】/7.2 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形面积公式求解，通过计算三边的平方关系判断三角形是否为直角三角形，再利用三角形面积的两种不同表示方法建立等式求解的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，，垂足为，是上的一点，，连接、，且．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由已知得，再证明即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，于点M，于点N．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，于点A，于点D，与相交于点O，，． (1)求证：≌． (2)判断是等腰三角形吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形，见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，关键是根据全等三角形的判定与性质得出解答． 根据等式的性质得出，进而利用HL证明与全等； 根据全等三角形的性质得出，进而解答即可． 【详解】（1）证明：， ， 即， 于点A，于点D， 在与中， ， ； （2）解：， ， ， 即是等腰三角形． 12．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯水平方向的跨度为3米，且左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等． (1)这两个滑梯的倾斜角与的大小关系如何？请说明理由． (2)求右边滑梯的高度． 【答案】(1)与互余，理由见解析 (2)3米 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）已知和中，，，利用可判断两三角形全等，则，又可知，则可知与的大小关系 （2）由全等三角形对应边相等可知，则题目可求． 【详解】（1）解：与互余； 理由：在和中， ， ∴， ， 又， ， 即两滑梯的倾斜角与互余； （2）解：∵， ∴米， 答：右边滑梯的高度为3米． 13．（25-26七年级上·山东威海·期中）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米，千米． (1)求小溪流的长． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)千米 (2)平方千米 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，割补法求解图形面积，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）将四边形分成两个三角形，求证为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，千米，千米， ∴（千米）； （2）解：∵千米，千米，千米． ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，则， ∴（平方千米）． 14．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图， 在中，是高， 点 E 在上，． (1)若， 求的长； (2)求证：． 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质， 对于（1），根据“斜边直角边”证明，可得，再根据得出答案； 对于（2），延长交于点F，根据直角三角形的性质得，再根据全等三角形的性质得，然后根据三角形外角的性质得出答案． 【详解】（1）解：∵是的高， ∴．     在和中 ∴．     ∴．     ∴； （2）证明：延长交于点F．     ∵， ∴．     ∵， ∴．     ∴． ∴． 15．（25-26八年级上·全国·期中）小明跑步的路线如图，从A点到 D 点有两条路线，分别是 和．已知米，米，点C 在点 B 的正东方向120米处，点D 在点 C的正北方向 60米处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)通过计算比较两条路线哪条更短．(参考数据： 【答案】(1)，理由见解析 (2)路线更短 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理，实数大小比较解答即可． 【详解】（1）解：， 理由如下：在中，米，米，米， ，， ， ， ； （2）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， （米），（米）， ， 路线更短． 16．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)点的坐标是，求证：是直角三角形． (3)在直线是否存在点，使得是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出的面积，如果不存在，请说明理由． (4)点是直线上的点，若面积是10，请你求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)存在，的面积为或 (4)点E的坐标为或 【分析】本题考查求一次函数图象与坐标轴的交点坐标，两点间距离公式，勾股定理的逆定理，三角形的面积． （1）分别令，，即可求出函数图形与坐标轴交点的坐标； （2）根据两点间距离公式求出，，的长，再根据勾股定理的逆定理判断即可； （3）当时，是等腰直角三角形．分点D在线段上和当点D在线段的延长线上两种情况求解即可； （4）根据，得到点E在的延长线上，或在的延长线上，分两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，则，解得， ∴， 令，则， ∴． （2）证明：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形． （3）解：由（2）可知是直角三角形，， ∴当时，是等腰直角三角形． 如图，当点D在线段上时， ∵， ， ∴． 如图，当点D在线段的延长线上时， ． 综上所述，直线存在点，使得是等腰直角三角形，的面积为或． （4）解：∵，， ∴点E在的延长线上，或在的延长线上， ①如图，当点E在的延长线上，过点E作轴于点G， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴点E的纵坐标为6， 把代入一次函数，得， 解得， ∴点E的坐标为． ②如图，当点E在的延长线上，过点E作轴于点H， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴点E的纵坐标为， 把代入一次函数，得， 解得， ∴点E的坐标为． 综上所述，点E的坐标为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $