专题03 等边三角形的性质与判定（5大题型）（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03等边三角形的性质与判定 目录， A题型建模·专项突破 题型一、利用等边三角形的性质求角… 题型二、利用等边三角形的性质求线段长… 4 题型三、等边三角形的性质与判定多结论问题 题型四、等边三角形的性质与判定综合问题 .8 … 14 题型五、等边三角形的性质与判定动点问题 .20 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、利用等边三角形的性质求角 1.(25-26八年级上吉林期末)如图，将等边三角形APQ的边PQ向两边延长，使PB=QC=PQ,则 ∠BAC的度数为 2.(25-26八年级上·安徽合肥·月考)如图，直线a∥b,等边ABC的顶点C在直线b上，∠1=50°，则 ∠2为」 度 b B 3.(25-26八年级上·甘肃武威期中)如图，己知ABC是等边三角形，点E为边AC上一点，点D,F为 BC延长线上的点，连接DE,且CD=CE,点C是线段DE上的点，连接GF,且DF=DG,则∠F的度 数为 4.(25-26八年级上浙江温州期中)如图，ABC是等边三角形，在△ACD中，AC=CD,LACD=90°， 连接BD交AC于点E,则∠BEC的度数为 1/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E 题型二、利用等边三角形的性质求线段长 5.(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，把等边三角形ABC沿DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点 P处，DP⊥BC于点P,若BP=4cm,则EC的长为 cm, B ■ P 6.(25-26八年级上湖北襄阳·期末)如图，已知ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至点E,使 CE=CD=I,连接DE,，则BE= 7.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末)如图，ABC为等边三角形，AE=CD,AD、BE相交于点P, BQ1AD于Q,PQ=3,PE=1.AD的长是 B D 8.(25-26八年级上浙江衢州期中)已知在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E在AB的延长线 上，且CD=BE,连接AD,DE.AB=I0时，P,Q分别为射线AB、射线CA上的动点，且∠PDQ=120.若 AQ=4,则∠ADE=，BP的长为一· 2/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型三、等边三角形的性质与判定多结论问题 9.(2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习)如图，ABC是等边三角形，D是BC上一点，E是AB上一 点，AE=BD,AD、CE相交于点F,过点B作BG∥CE交AD的延长线于点G,过点B作BH⊥AG于点 H,下列结论：①AD=CE;②∠CFD=60°；③EF=DH;④CE-2GH=DF.其中正确的结论是_ E D H G 10.(25-26八年级上·湖北武汉·月考)如图，ABC是等边三角形，D,E分别是CB的延长线和BA的延长 线上的点，AE=BD,延长DA交CE于点F,G是AD上一点，且CG=CA,CG交AB于点H.下列结论： ①∠DFC=60°；②LDCG=2LACE;③EH=CH;④H为AB中点；⑤CF-AF=GF.其中正确的是 (填序号). D 11.(22-23八年级下·河南郑州月考)如图，已知ABC和△DCE均是等边三角形，点B,C,E在同一条 直线上，AE与BD相交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD相交于点F,连接OC,FG,则下列结论： ①AE=BD;②∠DOE=60°；③AG=BF;④FG‖BE;其中正确的结论有一· 3/11 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B C 12.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨期中)如图，已知线段BD上一点C,分别以BC和CD为边作等边 ABC和等边△CDE,连接AD和BE,在AD和BE上截取AG=BF,连接CF、FG、CG,以下说法正确 的是 (填写正确语句序号) ①CE平分LACD;②AB∥CE;③CG=CD；;④△CFG是等边三角形. B 题型四、等边三角形的性质与判定综合问题 13.(25-26八年级上广东珠海期末)如图，在等边ABC的AC,BC上各取一点D、E,使AD=CE. AE,BD相交于点M,过点B作直线AE的垂线BH,垂足为H. A M B (I)求证：△ACE≌△BAD; (2)若AE=6,MD=1,求线段MH的长度 14.(25-26八年级上·山东滨州月考)己知：如图，△ABC和aBDM都是等边三角形，D是AB延长线上一 点，AM与CD相交于点N,AM、BC相交于点E,BM,CD相交于点F. B (I)求∠AND的度数： (2)判断△BEF的形状，并说明理由. 15.(24-25八年级上河南信阳·期中)如图，点0是等边ABC内一点，D是ABC外的一点， 4/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 LA0B=110°，∠B0C=Q,△B0C≌△ADC,∠0CD=60°，连接0D. 110% B (I)求证：△OCD是等边三角形； (2)当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； (3)当a=时，△AOD是等腰三角形. 16.(24-25八年级上江苏盐城期末)如图1，图2，点O是线段AC的中点，0B⊥AC,∠AB0=30°； 图1 图2 (1)如图1，按边分类，ABC的形状为 (2)如图1，若点D在射线AC上，点D在点C右侧，且△BD2是等边三角形，QC的延长线交直线OB于 点P,求证：PC=BC; (3)如图2，若点M在线段BC上，AOMN是等边三角形，求∠OCN的度数. 题型五、等边三角形的性质与判定动点问题 17.(25-26八年级上吉林·期末)如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，P,Q两点分别从点A,B同 时出发，点P以2cm/s的速度沿折线AC-CB向终点B匀速运动，点Q以1cm/s的速度沿线段BA向终点A匀 速运动.设点P的运动时间为S（x>0). B (I)当点P在线段AC上时，AP= cm,A0= cm,（用含x的代数式表示) (2)当△APQ为等边三角形时，求x的值， 5/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)若△BPQ为等边三角形，则x的值为 (④)当△BPQ为直角三角形时，直接写出x的值. 18.(25-26八年级上·辽宁抚顺期末)问题情境：在等边ABC中，E为边BC中线AD上的一动点，连 接BE,在BE的下方作等边△BEF. B C B 图1 图2 (1)如图1，当BD=DE时，连接CF. ①∠ABE的度数为_； ②猜想CF与AC的位置关系，并说明理由； (②)如图2，连接DF,BF+DF是否有最小值，若有请求出此时∠DBF的度数；若没有请说明理由 19.(25-26八年级上甘肃天水期末)在ABC中，AB=AC,点D为CB所在直线上的一个动点（不与B 、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作ADE,使AD=AE,LDAE=∠BAC,过点E作EF∥BC,交 直线AC于点F,连接CE. D D 图① 图② 图③ 【初步思考】(1)如图①，当点D在线段BC上，若LBAC=60°，CE=3,则△CEF的周长是 (2)若LBAC≠60°： 【深入探究】①如图②，当点D在线段CB上时，请判断△CEF的形状？并说明理由； 【拓展延伸】②当点D在CB的延长线上时，请判断△CEF的形状？并说明理由. 20.(25-26八年级上·全国·单元测试)（综合探究）点P是边长为3cm的等边ABC的边AB上的动点，点 P从点A出发，沿线段AB向点B运动. 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B Q B 图1 图2 (I)如图1，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，动点P,Q都以1cm/s的速度同时出发，设 运动时间为(s,连接AQ,CP交于点M,连接PQ ①当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ ②在P,Q运动的过程中，∠CM但会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，连接PQ交AC于点D,动点P,Q都以1cm/s 的速度同时出发，设运动时间为(s,连接PC,当t为何值时，△DCQ是等腰三角形？ B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26八年级上·甘肃陇南期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4,则AB的长是 () B A.8 B.4 C.2 D.1 2.(25-26八年级上辽宁葫芦岛期末)如图所示，ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE1AC,垂 足为E.若AE=5,则ABC的边长为() A D B A.40 B.30 C.20 D.10 3.(25-26八年级上·甘肃甘南期末)如图，已知ABC是等边三角形，点D在AB上，点E在BC的延长线 上，AD=CE,DE交AC于点F,DG⊥AC,若DE⊥AB,且FG=3,则BE的长为() 7/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E A.8 B.9 C.10 D.11 4.(25-26八年级上·重庆铜梁期中)如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，E、F分 别是AC、AD边上的动点.当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为() A.15° B.25° C.30° D.45° 5.(25-26八年级上广东韶关期中)如图，己知：∠M0N=30°，点A、A、A在射线0N上，点B、 B、B…在射线0M上，△4B4、△A,B,4、△A,B,A均为等边三角形.若OA=1,则△AB。A,的边长为 () B:M B2 B O A Az A3 A.80 B.64 C.48 D.32 二、填空题 6.(25-26八年级上黑龙江哈尔滨·期中)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAD=26°，AD=AE,则 ∠EDC的度数是 度 D 7.(25-26八年级上广东广州期中)如图，ABC的周长为40cm,且AB=AC,以AC为边作等边三角形 ACD,若△ACD周长为45cm,那么BC为 cm 8/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.(25-26八年级上广东广州期中)如图，等边三角形ABC的边长为10，D为AB边上一动点，过点D作 DE⊥BC于点E,过E作EF⊥AC于点F.若AD=2,则AF= ■ B E 9.(25-26九年级上广东佛山期中)如图所示，一个等边三角形在另一个更大的等边三角形内部，它们之 间的区线可以分成三个全等的梯形。内部三角形的边长是大三角形边长的子则一个梯形的面积与内部三 角形的面积之比是 10.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中)已知等边ABC的边长为4，点D在射线AC上运动，点E在线 段BC的延长线上.若DB=DE,且CD=2,则BE的长为一 三、解答题 11.(25-26八年级上·广西南宁.期中)如图，点D,E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且 BD=CE,BE与AD交于点F. E F B D (I)求证AD=BE. (2)求∠AFE的度数. 12.(25-26八年级上甘肃武威期中)如图，在等边ABC中，点D是AB的中点，点E,F分别是边AC, 9/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BC上的点，连接DE,EF,且DE⊥AC,EF∥AB. (I)求证：△EFC是等边三角形； (2)若AE=2cm,求△EFC的周长 13.(25-26八年级上山东日照期中)如图，在△ABD与△BCD中，AB=AD,CB=CD,∠DAB=60°， 过点C作CE∥BA,交AD于E,交BD于F,连接AC,交BD于H. A (I)判断△DEF的形状，并说明理由 (2)求证：AC平分∠DAB. 14.(25-26八年级上·天津·月考)如图，等腰ABC中，CA=CB,∠ACB=120,CP=4,点D在线段 AB上运动（不与A,B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA,CB翻折得到△CAP与△CBQ, D (1)CQ的长度为 (2)求LPCQ的度数； (3)当点D是AB的中点时，判断DPQ是何种三角形，并说明理由. 15.(25-26八年级上福建龙岩·月考)已知：在ABC中，D、E分别在边AB,BC上，AE、CD交于点F. 10/11 专题03 等边三角形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用等边三角形的性质求角 1 题型二、利用等边三角形的性质求线段长 4 题型三、等边三角形的性质与判定多结论问题 8 题型四、等边三角形的性质与判定综合问题 14 题型五、等边三角形的性质与判定动点问题 20 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用等边三角形的性质求角 1．（25-26八年级上·吉林·期末）如图，将等边三角形的边向两边延长，使，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．由等边三角形的性质可得，，结合题意可得，，由等边对等角并结合三角形外角的定义及性质得出，，即可得出结果． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，直线，等边的顶点C在直线b上，，则为 度． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，已知是等边三角形，点E为边上一点，点D，F为延长线上的点，连接，且，点C是线段上的点，连接，且，则的度数为 °． 【答案】15 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的外角定义．根据等边三角形的性质得出，再由得出，根据三角形外角定义得出，进而求得，同理可求得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 由三角形的外角定义可知：， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴，即， 故答案为：15． 4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，是等边三角形，在中，，连接交于点E，则的度数为 ． 【答案】/105度 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 根据等边三角形的性质得，再根据得，由此得，再求出，由三角形内角和定理得，然后在中，再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中， 即的度数为． 故答案为：． 题型二、利用等边三角形的性质求线段长 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，把等边三角形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据折叠得到，进而得到，从而得到的长. 【详解】解：是等边三角形， ，． ， ， ． ， ， ． 由折叠的性质，得，， ， ， ． ， ， ． 故答案为：. 6．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，根据等边三角形的性质求出，再根据等边三角形的性质得出，从而求出即可． 【详解】解：∵为等边三角形，为中线， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 7．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，为等边三角形，，相交于点P，于Q，，．的长是 ． 【答案】7 【分析】由已知条件，先证明得，可得，．即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∴，． ∴°． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及含30°的角的直角三角形的性质．熟练掌握这些知识是正确解答本题的关键． 8．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）已知在等边三角形中，点D是的中点，点E在的延长线上，且，连接，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且若，则 ，的长为 ． 【答案】 9或1 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键．分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． 【详解】解：是等边三角形，点D是的中点， ，，， ，， ， ， ， ； 当点Q在线段的延长线上时， 如图③，作交AC于点M， 由知为等边三角形， ，， 为等边的边的中点， ，， ， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为9或 故答案为：，9或 题型三、等边三角形的性质与判定多结论问题 9．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，是等边三角形，D是上一点，E是上一点，，相交于点F，过点B作交的延长线于点G，过点B作于点H，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ． 【答案】①②④ 【分析】①根据等边三角形性质证，即可求证； ②在①前提下，根据是外角，即可求证； ③依据以上结论，过作于，求证，再证得，则和无固定数量关系； ④依据以上结论，结合平行线的性质，证得，找到线段关系，即可求证． 【详解】解：①判断是否正确 ∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴，故①正确； ②判断是否正确， ∵， ∴， ∵是外角， ∴， ∴， 故②正确； ③判断是否正确； 过作于 ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 但和无固定数量关系， ∴不一定等于， 故③错误； ④判断是否正确 ∵， ， ∴， ∵， ∴， 又∵，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为①②④． 【点睛】本题考查等边三角形性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角定理及直角三角形全等判定（）；解题核心是通过构造全等三角形转化线段和角的关系，结合平行线性质推导结论；易错点在于误判与的数量关系，忽略辅助线构造后线段的对应逻辑． 10．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交于点H．下列结论：①；②；③；④H为中点；⑤．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质及多边形的内角和定理的应用．设，证明，可得①符合题意；连接，求解，证明，可得②符合题意；通过角度计算得出，证明，可得③符合题意；通过角度计算得出从而证明出H不是中点，可得④不符合题意；过G作交于I，截取，连接，而，证明，可得⑤符合题意，从而可得出答案． 【详解】解：设， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，故①正确； 如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， 又∵为等边三角形， 要使H为中点， 则需垂直平分，即， 而，， ∴， ∴H不是的中点，故④错误； 过G作交于I，截取，连接， ∵， ∴，为等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，故⑤正确， 综上所述，正确的有①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 11．（22-23八年级下·河南郑州·月考）如图，已知和均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，与相交于点O，与交于点G，与相交于点F，连接，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，得到可判断①，结合，得到，可判断②，接着证明，得到，可判断③，最后证明是等边三角形，可得到，从而判断④． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴， ∵点B，C，E在同一条直线上， ∴， ， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 12．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知线段上一点，分别以和为边作等边和等边，连接和，在和上截取，连接、、．以下说法正确的是 ．（填写正确语句序号） ①平分；②；③；④是等边三角形． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等． 通过等边三角形的性质得出角的关系、边的关系，进而证明三角形全等，再据此对每个说法进行判断． 【详解】解：①：和都是等边三角形， ， ， 平分，①正确； ②：， （同位角相等，两直线平行），②正确； ③：和都是等边三角形， ， ，即， 在和中，， ， ， 在和中，， ，则，． ， ， 是等边三角形，④正确； 而与不一定相等，③错误． 综上，正确的是①②④． 故答案为：①②④． 题型四、等边三角形的性质与判定综合问题 13．（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，在等边的，上各取一点、，使．，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，从而可证得； （2）由全等三角形的性质可得，，再根据角的和差关系等量代换可得，从而得到，最后根据含角直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ； （2）解：， ，， ， 又， ， ， ． 14．（25-26八年级上·山东滨州·月考）已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，，相交于点． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)的度数为 (2)为等边三角形，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，准确找出等量关系是解题的关键． （1）由和都是等边三角形，结合边长与角度的等量关系，证出，即，结合，可得，进一步得出的度数； （2）由（1）中的，得出，结合边长和角度关系，证出，故，又因为，可证为等边三角形． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故的度数为． （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， 在与中： ∵， ∴， ∴， 又∵， 故为等边三角形． 15．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当 时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析； (2)是直角三角形，理由见解析； (3)或或． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （）根据全等三角形的性质得到，再根据等边三角形的判定定理证明即可；   （）根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可；   （）分，，三种情况，再根据等腰三角形的判定定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 16．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图1，图2，点O是线段的中点，，； (1)如图1，按边分类，的形状为______； (2)如图1，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求证：； (3)如图2，若点M在线段上，是等边三角形，求的度数． 【答案】(1)等边三角形 (2)见解析 (3) 【分析】根据全等三角形的判定与性质得出，，进而利用等边三角形的判定解答即可； 根据等边三角形的性质得出，，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可； 作交于点E，可证明是等边三角形，则，而是等边三角形，所以，，则，进而证明，得． 此题重点考查线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 【详解】（1）解：点O是线段的中点， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 是等边三角形； 故答案为：等边三角形； （2）证明：是等边三角形，是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在与中， ， ， ， ， ； （3）解：如图2，作交于点E，则，， ，， 是等边三角形， ， 是等边三角形； ，， ， 在和中， ， ， ， 的度数是． 题型五、等边三角形的性质与判定动点问题 17．（25-26八年级上·吉林·期末）如图，是边长为的等边三角形，，两点分别从点，同时出发，点以的速度沿折线向终点匀速运动，点以的速度沿线段向终点匀速运动．设点的运动时间为（）． (1)当点在线段上时，_______，_______ ．（用含x的代数式表示） (2)当为等边三角形时，求的值． (3)若为等边三角形，则的值为_______． (4)当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)的值为 (3) (4)当为直角三角形时，的值为、 【分析】本题考查了列代数式，等边三角形的性质与判定，30度所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据运动的起点，以及运动的方向和速度计算即可； （2）当为等边三角形时，，代入计算即可； （3）当为等边三角形时，，代入计算即可； （4）根据或进行分类讨论，再结合度所对的直角边是斜边的一半，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：当点在线段上时， ，， ∴， 故答案为：；． （2）解：当点在线段上时， ，， 若为等边三角形， 则， ∴， 解得， 当点在线段上时， ， 该情况下不可能为等边三角形， 综上，的值为． （3）解：若为等边三角形，只能点在上，如下图所示： ∵， ， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． （4）解：当时，如下图： 图中， ， 在中， ∵， ∴， ∴， 得， 解得，此时点恰与点重合，满足要求； 当时，如下图： 图中， ， 在中， ∵， ∴， ∴， 得， 解得，满足要求； 综上，当为直角三角形时，的值为、． 18．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）问题情境：在等边 中，E为边中线 上的一动点，连接，在的下方作等边 (1)如图1， 当时， 连接． 的度数为 ； ②猜想与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，是否有最小值，若有请求出此时 的度数；若没有请说明理由． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2)有最小值， 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、轴对称的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，，再根据等腰直角三角形的性质可得，即可求解； ②根据等边三角形的性质可得，再由三线合一得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，即可求解； （2）连接,可得，作点D关于的对称点G，连接、、、，则，当B、F、G三点共线，的最小值为，且时，最小，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵、是等边三角形， ∴， ∵是边上的中线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下: ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∵是等边三角形， ∴, ∵， ∴, ∴， ∴, ∴, ∴； （2）解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， 如图，作点D关于的对称点G，连接、、、，则， ∴当B、F、G三点共线，的最小值为，且时，最小， ∵轴对称， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 19．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）在中，，点为所在直线上的一个动点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，过点作，交直线于点，连接． 【初步思考】（1）如图，当点在线段上，若，，则的周长是________； （2）若： 【深入探究】如图，当点在线段上时，请判断的形状？并说明理由； 【拓展延伸】当点在的延长线上时，请判断的形状？并说明理由． 【答案】（）；（）为等腰三角形，理由见解析；为等腰三角形，理由见解析． 【分析】（1）先证明，则有，再证明为等边三角形，从而求解； （2）先证明，所以，则，根据平行线的性质可得，所以，从而有，然后通过等腰三角形的判定即可求解； 证明，则有，又，所以，根据平行线性质可得，所以，则，根据等角对等边即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长是， 故答案为：； （2）为等腰三角形， 证明：如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 如图，为等腰三角形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等角的补角相等等知识．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． 20．（25-26八年级上·全国·单元测试）（综合探究）点是边长为3cm的等边的边上的动点，点从点出发，沿线段向点运动． (1)如图1，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，交于点，连接． ①当为何值时，是直角三角形？ ②在，运动的过程中，会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交于点，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1)①或；②不会发生变化， (2)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，一元一次方程动点问题，等腰三角形的判定，较为综合，根据题意分情况讨论是本题的关键． （1）①当是直角三角形时，分或时两种情况列方程，即可算出t的值；②根据证得，得到，根据三角形外角的性质得到，即可证明； （2）当是等腰三角形时，，然后即可证明，即可根据题意求出t的值． 【详解】（1）解：①∵等边的边长为3cm， ∴，， 根据题意得：，， ∵是直角三角形， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ， 解得． 当的值为1或2时，是直角三角形． ②不会发生变化，． 是等边三角形， ，． 在和中， ， ， ． ， ． 故不会发生变化，． （2）解：， 当是等腰三角形时，， ． ， ， ，即． ， ，解得． 故当的值为1时，是等腰三角形． 一、单选题 1．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）如图，在中，，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，掌握性质是解题的关键．根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质、直角三角形的性质，解决本题的核心是直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半． 根据为等边三角形和，可得，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，即可求解． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， ， D为AB的中点， ， 等边三角形的边长为． 故选：． 3．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）如图，已知是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，，交于点F，，若，且，则BE的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含角直角三角形的性质，过点D作交于点．先证明，可得，求出，设，则，，然后利用含角直角三角形的性质得到，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交于点Ｈ． ∵是等边三角形， ∴ ∵ ∴， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ 设 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：A． 4．（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）如图，等边三角形的边长为是边上的中线，分别是边上的动点．当取得最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点的位置．根据对称性和等边三角形的性质，过点B作交于点F，连接，此时取得最小值，借助等边三角形的性质得，，即可求解． 【详解】解：过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为是边上的中线， ∴垂直平分， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值 ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 故选：C． 5．（25-26八年级上·广东韶关·期中）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形．若，则的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及度角的直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】解：如图所示 为等边三角形， ，． ，， ． ． ． ． ， ． 、…均为等边三角形． ． ， ． ，． ，． ． 同理，， 以此类推：． 即的边长为． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，，则的度数是 度． 【答案】13 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，还涉及三角形内角和定理，三角形外角的性质． 设，构建方程即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，的周长为，且，以为边作等边三角形，若周长为，那么为 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的性质， 先根据等边三角形的周长求出其边长，再根据等腰三角形的性质得出其底边长即可． 【详解】解：∵等边的周长为45cm， ∴， ， ， ∵等腰的周长为40cm， ∴， 故答案为：10． 8．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，等边三角形的边长为10，为边上一动点，过点作于点，过作于点．若，则 ； 【答案】7 【分析】本题考查了等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，解题的关键是利用等边三角形的内角为，结合直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半计算线段长度． 由得的长度；在中求得；在中求，进而得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图所示，一个等边三角形在另一个更大的等边三角形内部，它们之间的区域可以分成三个全等的梯形．内部三角形的边长是大三角形边长的．则一个梯形的面积与内部三角形的面积之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和等边三角形的性质．熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质是解题的关键． 利用勾股定理和等边三角形的性质可以推导出等边三角形的面积公式为，其中为等边三角形的边长．设大等边三角形的边长为，那么内部小等边三角形的边长为，求出两者面积后得到三个梯形的总面积，进而得出一个梯形的面积，最后即可求出一个梯形的面积与内部三角形的面积之比． 【详解】解：假设一个等边三角形的边长为，高为， ，， ， 在中， 根据勾股定理，有， 解得， 等边三角形的面积可以表示为． 设大等边三角形的边长为，那么内部小等边三角形的边长为， ，， 它们之间的区域面积为， ， 一个梯形的面积与内部三角形的面积之比为， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等边的边长为，点在射线上运动，点在线段的延长线上．若，且，则的长为 ． 【答案】6或10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，点在射线上，，需分两种情形讨论：当点在线段上时，根据等边对等角可知，根据三角形外角的性质可知，根据等角对等边可得，从而可以求出的长度；当点在延长线上时，过点作，含角的直角三角形的性质，可知，根据等腰三角形的三线合一定理可以求出． 【详解】解：如下图所示，当点在线段上时， 等边的边长为，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； 如下图所示，当点在的延长线上时，过点作， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ； 综上所述，的长度为或． 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，点D，E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F． (1)求证． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质． （1）根据等边三角形的性质得出，，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）由（1）知，推出，再利用三角形外角的性质结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明∶∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）知， ∴， ∵，是等边三角形， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，在等边中，点D是的中点，点E，F分别是边，上的点，连接，，且，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的周长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质及解直角三角形． （1）根据为等边三角形得出，由利用同位角相等的定理得出，，此时，进而得出是等边三角形； （2）利用解直角三角形的性质得出，进而得出等边的边长，随后得出等边的边长，进而求得其周长． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，，， ∴在中，， 又∵点D是的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴的周长为：． 13．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：∵，， ∴是的垂直平分线，即， ∵， ∴平分； 14．（25-26八年级上·天津·月考）如图，等腰中，，，，点D在线段上运动（不与，重合），将与分别沿直线，翻折得到与． (1)的长度为_______； (2)求的度数； (3)当点D是的中点时，判断是何种三角形，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质即可得出结果； （2）由折叠的性质可得，，结合题意求出，即可得出结果； （3）由折叠的性质可得，，证明为等边三角形，得出，，同理可得是等边三角形，得出，，求出，结合题意得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵将与分别沿直线，翻折得到与， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵将与分别沿直线，翻折得到与， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：是等边三角形，理由如下： ∵将与分别沿直线，翻折得到与， ∴，， ∵等腰中，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 同理可得：是等边三角形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 15．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）已知：在中，D、E分别在边上，交于点F． (1)如图1，，分别是和的平分线，求的度数． (2)如图2，，，，且． ①求证：为等边三角形； ②如图3，点H在上，.交于点G，求证：． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得到，根据三角形外角的性质和角平分线定义即可得到答案； （2）①在上截取，连接，证明，和，则，即可得结论；②延长至K，使，连接，，证明和，即可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵分别是和的平分线， ∴， ∴ （2）①证明：如图1，在上截取， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； ②证明：延长至K，使，连接，，如图3所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）在中，，点，是边上的两点． (1)如图，若，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作交于点，，，求的值； (2)如图，若，点在的延长线上，连接，，，且，，求证：； (3)如图，连接，，若，且，平分，，的面积为，点，分别是线段，上的动点，连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据题意得到是等边三角形，证得是等边三角形，再证明，即可解答； （2）利用角的等量代换证明，过点作，交于点，得到是等边三角形，证明，即可得证； （3）根据题意求出，过点作于点，交于点，过点作于点，利用三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，过点作，交于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作于点，交于点，过点作于点， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $