专题02 等腰三角形的性质与判定（8大题型）（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题02 等腰三角形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用等腰三角形的性质求角 1 题型二、利用等腰三角形的性质求线段长 3 题型三、利用等腰三角形的性质求角的多解问题 8 题型四、利用等腰三角形的性质求线段长的多解问题 12 题型五、等腰三角形的性质与判定多结论问题 17 题型六、等腰三角形的性质与判定综合问题 23 题型七、等腰三角形的性质与判定动点问题 29 题型八、等腰三角形的性质与判定新定义型问题 37 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用等腰三角形的性质求角 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质 根据等腰三角形的两个底角相等，再结合三角形内角和定理，即可得到顶角度数． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴它的顶角的度数是． 故答案为： 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在等腰三角形ABC中，，点E在AC的延长线上，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是掌握等腰三角形的两底角相等，两直线平行，同位角相等． 由等腰三角形的性质得到，由平行线的性质推出． 【详解】解：，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·重庆·月考）如图，在中，，点D在上，连接，若，，则的度数为 ． 【答案】/28度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理；设，由三角形外角的性质得，由等腰三角形的性质得，结合，即可求解． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）“三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则为 度 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握好三角形外角的性质是解题关键． 设，根据等腰三角形的性质可得，，．由三角形外角的性质可得，，，计算出x的值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴，． ∵是的外角， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 题型二、利用等腰三角形的性质求线段长 5．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，在四边形中，，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查三角形的全等证明、等腰三角形的性质，余角的性质，垂线定义理解，掌握相关知识并正确画出辅助线是解题的关键． 作，由，，证，再结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，作，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2 6．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，点P、A分别位于直线异侧，连接，，，当，时，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，过点作，交的延长线于点，利用已知条件证明，得到，然后分别在，，中利用勾股定理求出，列方程求出，最后求出，通过作辅助线构造直角三角形，将已知条件集中起来是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图， 则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， 在中， 由勾股定理，得，， 设，则， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得， 在中， 由勾股定理，得． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查三线合一，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三线合一，一线三垂直全等模型，是解题的关键．作于点，作于点，三线合一，得到，证明，进而得到，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：作于点，作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：64． 8．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，在中，，，点为的中点，点为延长线上一点，连接交于点，过点作，与的延长线相交于点，若，，的面积是36，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，得到的面积是解题的关键． 连接，先证，得到，进而得到，再由，得到，再结合三角形面积公式求出的长． 【详解】连接， 在中，，， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∵ , ∴，即， 解得． 故答案为：8． 题型三、利用等腰三角形的性质求角的多解问题 9．（2025·上海·模拟预测）已知是等腰三角形，，点D在腰上，如果将分割成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 【答案】或 【分析】题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质的应用，关键是能根据等腰三角形的性质进行推理．分为两种情况：当时，根据等腰三角形的性质得出，推出，求出，根据三角形内角和定理求出即可；当时，设，则，，，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：当时， ， ， 和是等腰三角形， ， ， ，即， ， ， ； 当时， 设，则，，， 在中，， 解得：， ， 故答案为：或． 10．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据等腰三角形的定义分三种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，， ， ， ∵，是等腰三角形， ∴分以下三种情况讨论： ①当时，， ，此时点与点重合，不符合题意； ②当时，， ； ③当时，， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 11．（25-26八年级上·江西赣州·月考）如图，，，，点在四边形的边上，若是等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和及平行线的性质，掌握等腰三角形的性质是关键，注意分类讨论；分三种情况考虑，利用等腰三角形的性质、三角形内角和、平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，当时，此时点E在边上时， ∴； 当时，此时 点E与点C重合时， ∴， 当重合时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 12．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，已知，，在射线上找一点（不与点重合），使得为等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，分为当时，当时，时三种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当时， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，当时， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，时， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上可得：为等腰三角形时，的度数是或或， 故答案为：或或． 题型四、利用等腰三角形的性质求线段长的多解问题 13．（25-26八年级上·辽宁营口·月考）如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒．当点Q在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时， ． 【答案】11或12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，理解题意是解决本题的关键． 利用等腰三角形的性质可分为：以或为底边两种情况，分别求得的值． 【详解】解：设运动时间为t秒． 由题意可知，当点P运动到点B时两点停止运动，则， 当点Q在边上运动时，此时， ①当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示， 则， ， ，． ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示， 则， ． 故答案为：11或12． 14．（25-26八年级上·江西抚州·月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理的应用，学会分类讨论是解决本题的关键． 根据题意分为三种情况：或或，进行作图求解即可． 【详解】解：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时，如图， 在中，，， ∴， ∴P的坐标是； ②以D为圆心，以5为半径画弧交于和点，此时，如图，过作于N，过作于M， 由作图可知四边形和四边形为长方形， ∴，，，， 在中，设，则，，， ∴， 解得， 则的坐标是； 设，则，，， 在中，， 解得， ，， 即的坐标是； ③假设，则由点向OD边作垂线，交点为，如图， 则有， ， 此时的为等边三角形， ∴，，， 代入， 得， ∴排除此种可能． 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 15．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，为等腰三角形，是边上的高，，动点分别在边上（点不与点重合），满足．当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用；分为三种情况：①，②，③，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：分为3种情况： ①当时， ∵为等腰三角形，是边上的高，， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ； ②当时， 则， ， ， 根据三角形外角性质得：， 这种情况不存在； ③如图所示，当时， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，或． 故答案为：或． 16．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是 ． 【答案】5或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，勾股定理，分是以为底边的等腰三角形和是以为底边的等腰三角形两种情况，结合等腰三角形的定义讨论求解即可． 【详解】解：当是以为底边的等腰三角形时，则， 由题意得，， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴当时，点P一定在的延长线上， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得； 当是以为底边的等腰三角形时，则， ∴； 综上所述，t的值为5或， 故答案为：5或． 题型五、等腰三角形的性质与判定多结论问题 17．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和．通过等腰三角形的性质得到，利用角度的转换即可得到，故①正确；当时，可证明，即可得到，故②正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③正确；根据三角形外角的性质，可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④不正确． 【详解】解：∵， ， ，， ，故①正确； 若， 由①得， ， ，故②正确； 若，则可得， ∵， D为中点，故③正确； 根据三角形外角的性质，可得， 故， 当时， ； 当， ，故④不正确， 所以正确的为①②③． 故选：A． 18．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在和中，，，连接，延长交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．先证明，可得，则，故①符合题意；如图，记，的交点为，结合，可得，故③符合题意；在上可以是个动点，仍然满足中，，可得不一定等于，故②不符合题意；如图，作于，作于．由全等三角形的对应高相等可得：，证明，可得，则平分，故④符合题意． 【详解】解：， ， ， ，， ， ，故①符合题意； ， 如图，记，的交点为， ， ，故③符合题意； 在上可以是个动点，仍然满足中，， 不一定等于，故②不符合题意； 如图，作于，作于． ， 由全等三角形的对应高相等可得：， ，， ， ， 平分， 故④符合题意； 故选：B． 19．（25-26八年级上·云南怒江·期中）如图，在和中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．有四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，准确找到并证明图中的全等三角形是解决问题的关键，还需要能够合理利用全等三角形的性质． 由，，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出与全等，由全等三角形的对应边相等得到，①结论正确；由与全等，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，②结论错误；由②结论再加上等于，再利用两锐角互余的三角形为直角三角形，得到，③结论正确；④结论正确，利用周角减去两个直角可得答案． 【详解】解：①∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确． ②∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②错误． ③由②知，， ∴， ∴， 故③正确． ④∵， ∴， 故④正确． 故①③④都正确． 故选：C． 20．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点，若点E是的中点，则下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，利用全等三角形的性质求解是解答的关键． 可证明得到，则可证明，得到，故①正确；可证明，得到，则可得到，进而可证明②③正确；过点作于点F，可证明，推出．进而得到，据此可推出④正确． 【详解】解：， ， ， 又， ． ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， ， ． 在和中， ， ， ，故②正确， ． ， 且， ，故③正确； 如图，过点作于点F， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ． 由②得是等腰直角三角形， ， ， ， ． ，故④正确； 故选：D． 题型六、等腰三角形的性质与判定综合问题 21．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，平分，过线段上一点作 ，交于点，交的延长线于点． (1)判断的形状，并加以证明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)是等腰三角形，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，根据平行线的性质得到，，推出，即可求证； （2）由角平分线的定义可得，推出，再根据得到，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：是等腰三角形，证明如下： 平分， ， ， ，， ， 是等腰三角形； （2）平分，， ， ， ， ， ， ． 22．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，于，平分，交于点F，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理及角平分线的计算，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得出，，确定，再由各角之间的等量代换及等角对等边判断即可． （2）根据邻补角得出，确定，得出，即可求解． 【详解】（1）证明： ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 23．（25-26八年级上·河南信阳·期末）已知：如图，与中，，，． (1)如图1，，相交于点M，连接． ①求证：； ②求的度数（用含n的式子表示）； (2)如图2，当时，分别取，的中点P，Q，连接，和，判断的形状，并加以证明． 【答案】(1)①见解析；② (2)为等腰直角三角形，见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理； （1）①由，可得，进而可证明，结论即可得证； ②由可得，再由三角形内角和定理可得，即可求解； （2）由（1）可得，，又因为P，Q分别为，的中点，可得，进而可证明，可得，，由，可得，即可得出的形状. 【详解】（1）①证明：∵ ∴ ∴ 在与中 ∴ ∴ ②解：如图所示： 由①得， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴. （2）解：是等腰直角三角形，证明如下： 由（1）得， ∴，， ∵P，Q分别为，的中点， ∴， 在与中 ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形. 24．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）【手拉手模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，这种模型称为“手拉手模型”． (1)如图1，在△和△中，，，，连接、，当点落在边上，且、、三点共线时，与△全等的三角形是 ，的度数为 ． (2)如图2，已知△和△为等腰直角三角形，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②如图3，连接、，过点作，垂足为，垂线交于点，请你判断和的数量关系 ，并说明理由． 【答案】(1)△， (2)①见解析；②，理由见解析 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）利用证明△△，得出，结合三角形外角的性质即可得出，即可求解； （2）①利用证明△△，得出，，然后利用直角三角形的性质即可得出； ②过点作于点，过点作延长线于点，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到△△，同理：△△，求得，根据全等三角形的性质得到． 【详解】（1）解：如图1中， 在△和△中， ， △△， ， ， ， 故答案为：△，； （2）①证明：△和△均为等腰直角三角形，， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ； ②，理由如下： 过点作于点，过点作延长线于点， ，，， ， 在△中， ， ， ， 在△和△中， ， △△， 同理：△△， ，， ， 在△和△中， ， △△， ． 题型七、等腰三角形的性质与判定动点问题 25．（25-26八年级上·吉林延边·期末）中，，过点C作直线，点D从点B出发，在直线上以每秒2个单位长度的速度运动，如图①，过点D作的垂线交直线于点E． (1)________（在横线上填“>”，“<”或“=”）； (2)若，，点D运动时间为t秒，当时，求出t的值； (3)如图②，若，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)= (2)7 (3)或 【分析】（1）先根据垂直的意义得出，再利用平角的意义得出，然后利用直角三角形的两个锐角互余得出，从而可得，再根据对顶角的性质得出，从而可得； （2）先利用证明，从而可得出，于是可得关于的方程求解； （3）当是以为腰的等腰三角形时，只有点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，分别求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：=； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∵点D从点B出发，在直线上以每秒2个单位长度的速度运动，点D运动时间为t秒， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （3）解：当，且点在线段上时，如图， 则， ∵由（1）得，， ∴， ∴； 当，且点在线段的延长线上时，如图， 则， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 26．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在等腰中，，，于点D．动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，连接，点P不与点D、点A和点B重合．设动点P运动时间为t秒（）． (1)求线段的长度； (2)当点P在边上运动且时，求的长度； (3)当的面积是面积的时，求t的值； (4)当是等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)2或 (4)或 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，勾股定理解答即可； （2）利用三角形面积不同表示建立等式解答即可； （3）先计算面积的，再分类计算的面积，建立等式解答即可； （4）分类解答即可． 本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的全等的判定与性质，本题是动点问题，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，于点D，， ∴． 在中，， ． （2）解：当点P在边AB上运动且时， ∵， ∴， ∴． 即当点P在边上运动且时，的长度为． （3）解：． 当时，根据题意可得， 解得：． 当时，根据题意可得， 解得：． （4）解：当点P在上时， 根据直角三角形的斜边大于任何一条直角边，结合垂线段最短原理，得到 ， 此时只有时，是等腰三角形， 根据题意，得， 根据勾股定理，得， 故， 解得； 当点P在上时， 此时只有时，是等腰三角形， 过点C作于点E， 根据题意，得，，， 根据勾股定理，得， 故， 故； 故； 故， 综上所述，当t等于或时，是等腰三角形． 27．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，．点是边上一点，且．在上方作射线，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，连结、、．设点的运动时间为秒．       (1)边的长为______； (2)当为等腰三角形时，求的值； (3)当时，探究与有怎样的数量关系，并说明理由； (4)当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)6 (2) (3)，见解析 (4)或 【分析】本题考查勾股定理、等腰三角形和等腰直角三角形的性质和三角形全等的判定和性质，结合勾股定理是解本题的关键．综合性较强． （1）利用勾股定理计算即可； （2）利用等腰直角三角形的性质即可解答； （3）根据直角三角形两个锐角互余，可证明，进一步证明，即证明，即得出答； （4）根据题意可求出的值和的最小值，可推断，即该等腰三角形不可能是．再分类讨论和两种情况结合勾股定理，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 若为等腰三角形，则只能是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故为等腰三角形时，． （3）解：当时，如下图所示： 由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （4）解：分类讨论： 当时，如下图所示： ∵，， ∴， ∴， 此时； 当时： ∵，，， ∴， 点到直线的距离与长度一致，， ∵， 即，故该情况不存在； 当时，过点作交于点，如下图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 令，则， ∴，, ∵， ∴， ∴， 解得， 则， 综上，的值为或． 28．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）在中，，，点D为直线上一动点（点D不与点B、C重合），以为直角边在右侧作等腰直角三角形，使，连接． (1)探究：如图①，当点D在线段上时，求证：； (2)拓展：如图②，当点D在线段的延长线上时，如图③，当点D在线段的延长线上时，试猜想、、之间的数量关系是否变化；若变化，请直接写出猜想的结论，不需证明； (3)在（1）和（2）问的条件下，若，，则的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)当点D在线段的延长线上时，；当点D在线段的延长线上时， (3)4或8 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质． （1）判断出，再用即可得出结论； （2）当点D在线段的延长线上时，同探究的方法得出，得出，即可得出结论； 当点D在线段的延长线上时同探究的方法得出，得出，即可得出结论； （3）利用（1）、（2）中的结论分别求出，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：当点D在线段的延长线上时， 同理得，， ∴， ∴； ②同理得，， ∴， ∴； （3）解：当点D在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上时，， 而，， 此时，不符合题意，故舍去； 当点D在线段的延长线上时，， ∵，， ∴， 同理可证， ∴， 综上，的面积为4或8． 题型八、等腰三角形的性质与判定新定义型问题 29．（黑龙江省牡丹江市第五课改子联盟2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷）【阅读材料】定义：如图1，在中，，等边在的左侧，连接，平分交于点F．则称等腰和互为“伴侣三角形”，称为“伴侣角”． (1)【解决问题】图2中，等边在的右侧，其它条件不变，若等腰和互为“伴侣三角形”，求“伴侣角”的度数； (2)【拓展延伸】在（1）的条件下，于点H，如图3，探究、，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质，得出，根据角平分线定义得出，根据三角形外角的性质得出； （2）根据等腰三角形的性质得出，，求出，根据直角三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：； 证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 30．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在中，若，，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，．求的度数． (2)如图2所示，在中，，且．求证：为“类勾股三角形”．小明同学想到可以在上找一点使得，再作． ①探索的形状并说明理由． ②请你帮助小明完成证明过程． 【答案】(1)； (2)①等腰三角形，理由见解析；②见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合“类勾股三角形”的定义得到是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）①根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，结合题意得到，根据三角形的定义即可求解； ②根据等腰三角形的性质得到，，在中，，在中，，由此得到，结合“类勾股三角形”的定义即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， 是类勾股三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ； （2）解：①等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 是等腰三角形 ②由①得， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 是“类勾股三角形”． 31．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形” 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________． 【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3）或． 【分析】（1）证明和中三个角分别对应相等即可得到结论； （2）分别证明，，，可得与为均等三角形，证明，可得，可得为等腰三角形，从而可得结论； （3）当，，求得；当，有，得，即可求得；当，，则，不合题意舍去即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴和是均等三角形. （2）在中，，则， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴，，， ∴与为均等三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴为的“均等分割线”． （3）①∵是等腰三角形，， 当时，， ∵是的均等分割线， ∴， 此时，，满足条件； ②当时，， ∴， ∵是的等角分割线， ∴， 则， ③当时，， 则 那么（舍去）， 故的度数为或． 32．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）[概念学习] 规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么这两个三角形互为“形似三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中的一个为等腰三角形，另一个与原来的三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”． [概念理解] （1）如图1，在中，，，平分，则与___________（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”． （2）如图2，在中，平分，，．求证：为的“等腰分割线”． [概念应用] （3）在中，，是的等腰分割线，当是等腰三角形时，的度数为___________，当为等腰三角形时，的度数为___________． 【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3）；． 【分析】（1）由题意推出，，，从而得出结论； （2）根据题意，通过计算得出是等腰三角形，，，，从而得出结论； （3）根据题意，分为当是等腰三角形和是等腰三角形两类，当是等腰三角形时，再分为：，，三种情形讨论；同样当是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出的度数即可． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∴与是互为“形似三角形”， 故答案为：是； （2）∵在中,，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”，且是等腰三角形， ∴为的“等腰分割线”； （3）（Ⅰ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图1所示：    当时，则， ， 此时，是“形似三角形”，可知， ∴， ∴舍去； ②如图2所示：    当时，则， 此时，是“形似三角形”，可知， ； ③当时，这种情况不存在； （Ⅱ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图3所示：    当时，，同理可知舍去； ②如图4所示：    当时，， 此时，是“形似三角形”，可知， ， 在中，由三角形内角和可知，得， ， ； ③当时，这种情况不存在； 综上所述：当是等腰三角形时，的度数为；当是等腰三角形时，的度数为． 故答案为：；． 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东韶关·期中）如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的“三线合一”“等边对等角”的性质解题是关键．由，是的中点，可得，平分，，即可作出判断． 【详解】解：对于选项B与C： ∵，是的中点， ∴，平分． ∴选项B与C正确． 对于选项A： ∵， ∴． ∴选项A正确． 对于选项D： 根据题目已知条件，无法得到． ∴选项D不正确． 故选：D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）下列能判定为等腰三角形的是（　　） A． B． C． D． ，周长为13 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定定理，有两个角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形，同时需满足三角形三边关系． 【详解】解：选项A：∵, ∴, 三个角均不相等, ∴不能判定为等腰三角形； 选项B：∵, ∴, ∴, ∴, ∴为等腰三角形； 选项C：∵, ∴, 不满足三角形三边关系, ∴不能构成三角形, 故不能判定； 选项D：∵, 周长为13, ∴, ∴，但, 不满足三角形三边关系, ∴不能构成三角形, 故不能判定． 故选：B． 3．（25-26八年级上·广西南宁·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练运用等腰三角形的性质是本题关键． 根据等腰三角形的性质设，由性质得，，由外角性质可得，即可求解． 【详解】解：设， ， ． ． ， ． ． ． ． 故选：D． 4．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，在中，，、分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，熟练掌握相关的定理是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线定义即可得出． 【详解】解：∵，是的中线， ∴，， ∴°， ∵是的角平分线， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，，于点，．．于点，交于点，，过点作于点，交于点，连接，为延长线上一点，且使得，下列结论：①；②；③．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，面积问题，正确地作出辅助线是解题的关键．由，于点，得，，，由于点，得，可推导出，进而证明，得，，所以，可判断①正确；连接，可证明，则，推导出，则，可判断②正确；再证明，则，，作于点，则，所以，再证明，得，，所以，，则，可判断③正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：，于点， ，，， ， 于点，，交于点， ， ， 在和中， ， ．．， ，，， ， 故①正确； 连接，则， ，，于点， ，， ， ， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， ， ，， 作于点，则， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 故③正确， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系的应用，先分类讨论等腰三角形的腰和底，再利用三角形的三边关系验证．最后再求周长即可． 【详解】解：若腰长为5，底边为10，则三边为5，5，10， ∵，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形； 若腰长为10，底边为5，则三边为10，10，5， ∵，，满足三角形三边关系，故能构成三角形， 则周长为． 故答案为：25 7．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，，D是的中点，，则的大小为 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三线合一性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得，，再根据三角形内角和定理，计算即可． 【详解】解：∵，是的中点，， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，，点D为上一点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 过点A作于点E，根据等腰直角三角形性质得，设，则，，，在中，由勾股定理求出，继而可得的长为 【详解】解：过点A作于点E，如图所示： ， 是直角三角形， 在中，，， ， 设，则， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， ，或，不合题意，舍去， ， 即的长为 故答案为：． 9．（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图，在中，，于，点为线段上的一点，过点作于点E，交于点G，且，过点A作交于点D，若，，则为 ． 【答案】 【分析】过点B作交的延长线于点M，则四边形是矩形，设，则，， 则，，，根据勾股定理解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：过点B作交的延长线于点M， 则四边形是矩形， ∴，， 设， ∴， ∵，， ∴点A到的距离等于， ∵，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）在中，，，点D在边上，和关于直线对称，的平分线交于点G，连接． （1）的度数为 ； （2）设，当θ为 时，为等腰三角形． 【答案】 或或 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，，根据轴对称的性质可知，．结合已知条件，容易证出，则，从而求出； （2）由三角形内角和定理可得，，进而得到，由轴对称的性质可得，，从而计算得，若为等腰三角形，有三种可能，即、、，计算每种情况下的值，进一步算出θ的值． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 根据轴对称的性质可知，，， ∴ ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由轴对称的性质可得，， ∵， ∴，， ∴， ①当时，， ∴， 解得； ②当时，， ∴， ∴， 解得； ③当时，， ∴， 解得； 综上，当或或时，为等腰三角形． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，运用分类讨论思想是解题关键． 三、解答题 11．（25-26八年级上·吉林·期末）如图，的角平分线交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)作，垂足为，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由平行线得，根据角平分线的定义可得，即，由等角对等边可得即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可得，再在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， 是的角平分线 ， ， ∴， 是等腰三角形． （2）解：是等腰三角形，， ， 在中， ． 12．（25-26七年级上·山东威海·期中）现有a、b、c三个有理数，且，． (1)求a、b、c的值； (2)若a、b、c分别是三条边的长度， ①判断形状，并说明理由； ②求出此时的周长． 【答案】(1)或 (2)①等腰三角形，理由见解析；②7 【分析】本题考查了乘方，绝对值，等腰三角形的判定，正确求得a、b、c的值是解题的关键． （1）利用偶次方的非负性，绝对值方程，可得a、b、c的值； （2）① 分情况讨论可得时，无法组成，可得，此时为等腰三角形； ②根据①求出的周长即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 或； （2）解：①等腰三角形，理由如下： 当时， ，即 此时无法组成三角形， a、b、c是三条边的长度时，， ， 是等腰三角形； ②此时的周长为． 13．（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）如图，已知在中，，，，为的平分线，是边上一动点（点不与，重合），连接，过点作于点，交射线于点． (1)当点在点的左侧运动时，求证：； (2)若，，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)1或7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质与判定定理是解题关键． （1）首先证明，，然后利用“”证明即可； （2）分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，结合求解即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，为的平分线，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当点在点的左侧时，如下图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点在点的右侧时，如下图， ∵，，为的平分线， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的长为1或7； 14．（25-26八年级上·全国·期末）如图，，射线，且，，点P是线段（不与点B、C重合）上的动点，过点P作交射线于点D，连接． (1)如图1，当 时，是等腰直角三角形．（请直接写出答案） (2)如图2，若平分，试猜测和的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)4 (2)，理由见解析 【分析】（1）证明，得出，根据，得出是等腰直角三角形； （2）延长线段、交于点E，证明，得出，证明，得出． 【详解】（1）解：当时，， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴当时，是等腰直角三角形． （2）解：和的数量关系：， 证明：如图2，延长线段、交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线定义，等腰直角三角形的判定，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 15．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． (1)若，则的度数为_____． (2)求证：． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意求出的度数，再根据，得出即可求出； （2）设，根据题意表示出的度数，再根据，表示出，即可求出； （3）过C作于E，可证明为等腰直角三角形，则可求出和，再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， 又∵     ，   ∴， ∴； （2）证明：设， ∵， ∴， 又∵，   ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过C作于E， ∵， ∴由（2）得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，     又∵ ，     ∴， 又∵ ，           ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·福建莆田·月考）规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“类似三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“类似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”． (1)如图1，在中，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“类似三角形”． (2)如图2，在中，平分，，．求证：为的完美分割线； (3)在中，，是的完美分割线，直接写出的度数． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)∠ACB＝108°或117°或84°或102° 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点． （1）先求出、、，然后根据“类似三角形”的定义即可解答从而得出结论； （2）可计算得出，，，，再根据“完美分割线”的定义即可证明结论； （3）分为当是等腰三角形和是等腰三角形两种情况，当 是等腰三角形时，再分为：三种情形讨论，同样当是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴与互为“类似三角形”． 故答案为：是． （2）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，， ∴为的完美分割线． （3）（Ⅰ）当是等腰三角形时， ①如图1， 当时，则， ∴， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ②如图2， 当时，则， 此时， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ③当时，这种情况不存在； （Ⅱ）当是等腰三角形时， ①如图3， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；，， ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ②如图4， 当，时， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∴，； ∴，， ∵， ∴， ∴此种情况符合题意； ③当时，这种情况不存在； 综上所述：或或或． 17．（25-26八年级上·全国·期末）【问题情境】某数学兴趣小组在一组课题学习活动中，对以下问题进行了研究：在中，是线段上一点，连接，以为直角边作等腰，连接交于点． 【特例感知】（1）如图①，当点与点重合时，通过观察图形可知，与之间的数量关系为___________； 【变式探究】（2）如图②，当点在线段上，且不与点重合． ①请问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； ②若，当时，求的长． 【答案】（1）；（2）①成立，理由见解析；②3 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质： （1）证明即可； （2）①过点作于点，证明可得，再证即可得到结论；②结合①中的三角形全等得． 【详解】解：①根据题意可知，， ∵点与点重合， 在和中， ， ， ， ； 故答案为：； （2）①成立． 理由如下： 如图，过点作于点， 在和中， 在和中， ， ②∵， 由①可知，， 18．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图1，中，，点D在上，连接，在的右侧作，且，连接． (1)求证：； (2)作点C关于的对称点F，连接交于点M，连接． ①直接写出和的数量关系； ②如图2，点D和点C重合时，求证：； ③如图3，点D不与点C重合，时，请你通过测量猜想出与的数量关系：______，并对猜想加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析；③，见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形及等边三角形的判定和性质，轴对称性质等，理解题意，构造全等三角形是解题关键． （1）根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质及角之间的等量代换即可证明； （2）①根据轴对称的性质可得出结果；②连接，根据平行线的判定和性质得出，再由轴对称的性质得出，，利用等量代换即可证明；③根据等边三角形的判定得出为等边三角形，过点E作交于点H，连接，利用全等三角形的判定得出，，结合其性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）①∵点C关于的对称点F， ∴； ②证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵点C关于的对称点F， ∴，， ∴， ∴， ∴； ③，证明如下： ∵，，，， ∴为等边三角形， ∴，， 过点E作交于点H，连接，如图所示： ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点C关于的对称点F， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02等腰三角形的性质与判定 目录 A题型建模·专项突破 题型一、利用等腰三角形的性质求角… 题型二、利用等腰三角形的性质求线段长3 题型三、利用等腰三角形的性质求角的多解问题8 题型四、利用等腰三角形的性质求线段长的多解问题 .12 题型五、等腰三角形的性质与判定多结论问题… 17 题型六、等腰三角形的性质与判定综合问题…23 题型七、等腰三角形的性质与判定动点问题..29 题型八、等腰三角形的性质与判定新定义型问题.37 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、利用等腰三角形的性质求角 1.(25-26八年级上·全国单元测试)等腰三角形的一个底角为30°，则它的顶角的度数是 2.(24-25七年级下·全国·周测)如图，在等腰三角形ABC中，AB=BC,点E在AC的延长线上， DE∥BC,若LABC=112°，则∠E的度数为. E 3.(24-25八年级上·重庆月考)如图，在ABC中，∠BAC=114°，点D在BC上，连接AD,若BA=BD, DA=DC,则∠B的度数为 D 4.(25-26八年级上安徽合肥月考)“三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的 “三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在O点相连并可绕 O转动，C点固定，OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则L0为度. D B 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型二、利用等腰三角形的性质求线段长 5.(25-26八年级上·山西忻州月考)如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=AD,AC⊥CD,若 CD=1,则AC的长为 6.(25-26八年级上·江苏无锡期末)如图，在ABC中，AB=AC,点P、A分别位于直线BC异侧，连接 AP,∠PBC=∠BAC,∠APB+2LPAB=90°，当BC=8,PB=5时，则AB的长为 7.(25-26八年级上湖北成宁.期中)如图，在等腰ABC中，AB=AC,D为BC延长线上一点， CE⊥AC,垂足为C,且CE=AC,连接BE,若BC=I6,则△BCE的面积为 B D C 8.(25-26八年级上辽宁营口·期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D为BC的中点，点 E为CA延长线上一点，连接DE交AB于点G,过点D作DF⊥DE,与AB的延长线相交于点F,若 BF=4,AG=2,△DGF的面积是36，则BD的长为 G B D 题型三、利用等腰三角形的性质求角的多解问题 9.(2025·上海模拟预测)己知ABC是等腰三角形，AB=AC,点D在腰AC上，如果BD将ABC分割 成两个等腰三角形，那么∠BAC的度数为一· 10.(25-26八年级上·河南洛阳期中)如图，在ABC中，AB=AC,∠B=50°，点D在线段BC上运动（点 D不与点B,C重合)，连接AD,作∠ADE=50°，DE交线段AC于点E.当ADE是等腰三角形时， 2/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BAD的度数为_ B D 11.(25-26八年级上·江西赣州月考)如图，AB=BC=AD,AD∥BC,∠B=50°，点E在四边形ABCD的 边上，若△ABE是等腰三角形，则∠BAE的度数是一 D B 12.(25-26八年级上江西赣州期中)如图，己知0B=AB,∠A0B=35°，在射线BM上找一点P（P不与 点B重合)，使得aABP为等腰三角形，则∠APB的度数是· B M 题型四、利用等腰三角形的性质求线段长的多解问题 13.(25-26八年级上辽宁营口月考)如图，在ABC中，∠B=90°，AB=16cm，,BC=12cm, AC=20cm,P、Q是ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm ,点Q从点B开始沿BC→CA方向运动，且速度为每秒2cm,P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时 两点停止运动，设运动时间为t秒.当点Q在边CA上运动时，当△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角 形时，t=」 C A 14.（25-26八年级上江西抚州月考)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形0ABC是长方形， 点A,C的坐标分别为A10,0),C0,4,点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的 等腰三角形时，点P的坐标为 3/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 V B 0 D A龙 15.(24-25八年级下·河南郑州期末)如图，ABC为等腰三角形，AB=BC,AC=16,BO是AC边上的高， B0=6,动点P,Q分别在边AC,AB上（点P不与点A,C重合），满足∠BPQ=∠BAO.当△PQB为等腰三 角形时，CP的长为」 16.(25-26八年级上河南平顶山期中)如图，在RtAABC中，∠C=90°，AB=5cm,AC=4cm,动点P 从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒.当△ABP为以AB或AP为底边的等腰三 角形时，t的值是 B 题型五、等腰三角形的性质与判定多结论问题 17.(25-26八年级上·河南信阳·月考)如图，在ABC中，AB=AC,点D为线段BC上一动点（不与点B, C重合)，连接AD，,作∠ADE=∠B=40°，DE交线段AC于点E,下列结论：①∠DEC=∠BDA;②若 AB=DC,则AD=DE;③当DE⊥AC时，则D为BC中点；④当ADE为等腰三角形时，∠BAD=30°： 其中正确的有() 40 D A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 18.(25-26八年级上全国期末)如图，在ABC和ADE中，AB=AC,AD=AE,AD<AB, LBAC=LDAE=49°，连接CE,BD,延长BD交CE于点F,连接AF.下列结论：①BD=CE;② AD=BD;③LBFC=49°；④AF平分∠BFE.其中正确的结论个数是() 4/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.4 B.3 C.2 D.1 19.(25-26八年级上云南怒江期中)如图，在ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,， AD=AE,C,D,E三点在同一条直线上，连接BD,BE,有四个结论：①BD=CE;② ∠ACE+∠DBC=40°；③BD⊥CE;④∠BAE+∠DAC=180°.其中结论正确的有() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 20.(25-26八年级上·河南南阳·月考)如图，在ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D,过点 B作BM⊥AC于点M,连接MD,过点D作DM⊥DN,交BM于点N.CD与BM相交于点E,若点E是 CD的中点，则下列结论中正确的有() ①AD=DE;②DM=DN;③LAMD=45°；④EM:MC:NE=1:2:3. M B A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①②③④ 题型六、等腰三角形的性质与判定综合问题 21.(25-26八年级上黑龙江齐齐哈尔期末)如图，在ABC中，AD平分∠BAC,过线段CD上一点E作 EG∥AD,交AC于点F,交BA的延长线于点G· 5/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)判断△AFG的形状，并加以证明； (2)若CE=EF,LBAC=84°，求∠B的度数. 22.(25-26八年级上·甘肃武威期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,BE平分∠ABC, 交CD于点F,交AC于点E. E F A D B (I)求证：△CEF是等腰三角形： (2)若∠CFB=115°，求∠A的度数. 23.(25-26八年级上河南信阳期末)已知：如图，ABC与aCDE中，CA=CB,CD=CE, ∠ACB=∠DCE=n°. 图1 图2 (1)如图1，AD,BE相交于点M,连接CM. ①求证：AD=BE; ②求∠AMB的度数（用含n的式子表示)： (2)如图2，当n=90时，分别取AD,BE的中点P,Q,连接CP，CQ和PQ,判断△CPQ的形状，并加以 证明. 24.(25-26八年级上·江苏苏州期末)【手拉手模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成 的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，这种 模型称为“手拉手模型”. B 图1 图2 图3 (1)如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,LBAC=LDAE=30(AB>AD),连接BD、CE, 当点E落在AB边上，且D、E、C三点共线时，与△ABD全等的三角形是，LBDC的度数为_： 6/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，已知△ABC和△ADE为等腰直角三角形，其中∠BAC=∠DAE=90°，连接CE、BD,线段CE 和BD交于点O. ①证明：BD=CE且CE⊥BD; ②如图3，连接BE、CD,过点A作MN⊥BE,垂足为M,垂线交CD于点N,请你判断CN和DN的数 量关系，并说明理由， 题型七、等腰三角形的性质与判定动点问题 25.(25-26八年级上吉林延边·期末)Rt△ABC中，∠ABC=90°，过点C作直线MN⊥AC,点D从点B 出发，在直线BC上以每秒2个单位长度的速度运动，如图①，过点D作BC的垂线交直线MN于点E. B M 图① 图② (I)∠A ∠BCM（在横线上填“>”，“<”或“=”)： (2)若AB=8,BC=6,点D运动时间为t秒，当DE=6时，求出t的值； (3)如图②，若∠A=40°，当△BCE是以BC为腰的等腰三角形时，直接写出∠CBE的度数， 26.(25-26八年级上·吉林长春期末)如图，在等腰ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD1BC于点D.动 点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线D-A-B运动，连接PC,点P不与点D、点A和点B 重合.设动点P运动时间为t秒(t>0). (I)求线段AD的长度： (②)当点P在边AB上运动且PC⊥AB时，求PC的长度； (3)当△APC的面积是ABC面积的4时，求t的值； (4)当△APC是等腰三角形时，直接写出t的值. 27.(25-26八年级上·吉林长春期末)如图，在RtAABC中，∠C=90°，AB=10,AC=8.点M是边AC 上一点，且AM=6,在AC上方作射线AN‖BC,动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线 AN运动，连结BM、BP、PM.设点P的运动时间为t秒. 7/15 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 N B M C M 备用图 (1)边BC的长为 (2)当aAMP为等腰三角形时，求t的值； (3)当PM⊥AB时，探究PM与AB有怎样的数量关系，并说明理由； (4当△BMP为等腰三角形时，直接写出t的值 28.(25-26八年级上黑龙江牡丹江·期末)在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D为直线BC上一动 点（点D不与点B、C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE,使∠DAE=90°，连接 CE. B D 图① 图② 图③ (I)探究：如图①，当点D在线段BC上时，求证：BC=CE+CD; (②)拓展：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，如图③，当点D在线段BC的延长线上时，试猜想BC、 CD、CE之间的数量关系是否变化；若变化，请直接写出猜想的结论，不需证明； (3)在(1)和(2)问的条件下，若BC=6,CD=2,则△DCE的面积为 题型八、等腰三角形的性质与判定新定义型问题 29.(黑龙江省牡丹江市第五课改子联盟2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷)【阅读材料】定义：如 图I,在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，等边△ABD在AB的左侧，连接CD,AF平分∠CAD交CD于 点F.则称等腰Rt△ABC和△ACD互为“伴侣三角形”，∠AEB称为“伴侣角”. B E D 图1 图2 图3 (I)【解决问题】图2中，等边△ABD在AB的右侧，其它条件不变，若等腰Rt△ABC和△ACD互为“伴侣三 角形”，求“伴侣角”∠AEB的度数； (2)【拓展延伸】在(1)的条件下，AH⊥BC于点H,如图3，探究AF、EF,EH之间的数量关系，并加 8/15 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 以证明。 30.(24-25八年级上·江苏扬州期末)定义：在ABC中，若BC=a,4C=b,AB=c,a、b、c满足 ac+a2=b2,则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题： D E 图1 图2 (1)如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB=BC,AC>AB.求∠A的度数 (2)如图2所示，在ABC中，∠B=2∠A,且∠C>∠A,求证：ABC为类勾股三角形”.小明同学想到可 以在AB上找一点D使得AD=CD,再作CE⊥BD· ①探索△CDB的形状并说明理由. ②请你帮助小明完成证明过程， 31.(24-25七年级下·辽宁沈阳·月考)【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角， 那么称这两个三角形互为“均等三角形” 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个 三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等 三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”. (图1) (图2) (备用图) 【概念理解】 (1)如图1，在Rt△ABC中，LACB=90,CD⊥AB,△BCD和△ACD 均等三角形（填“是”或者 “不是”). (2)如图2，在ABC中，CD为∠ACB的角平分线，LA=75,LB=35°，试说明CD为ABC的均等分 割线。 【应用拓展】 (3)在ABC中，∠A=47°，CD是ABC的均等分割线，若aACD是等腰三角形，则∠ACB的度数为 32.(25-26八年级上·河南洛阳·期中)[概念学习] 规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么这两个三角形互为“形似三角形”， 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个 9/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中的一个为等腰三角形，另一个与原来的三角形是 “形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”. 36 B D 图1 图2 [概念理解] (1)如图1，在ABC中，∠A=36°，AB=AC,CD平分∠ACB,则△CBD与ABC (填“是” 或“不是”)互为“形似三角形”. (2)如图2，在ABC中，CD平分∠ACB,∠A=36°，∠B=48°，求证：CD为ABC的“等腰分割线”. [概念应用 (3)在ABC中，∠A=45°，CD是ABC的等腰分割线，当△ACD是等腰三角形时，∠ACB的度数为 ,当△BCD为等腰三角形时，∠ACB的度数为 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26八年级上：广东韶关·期中)如图，在ABC中，AB=AC,D是BC的中点，下列结论中不正确 的是() D A.∠B=∠C B.AD⊥BC C.AD平分∠BACD.AB=2BD 2.(2025八年级上全国.专题练习)下列能判定ABC为等腰三角形的是() A.∠A=40°，∠B=60° B.∠A=50°，∠B=80 C.AB=AC=2,BC=4 D.AB=3,BC=7,周长为13 3.(25-26八年级上：广西南宁.期中)“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分 角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在0点相连并可绕0转动， C点固定，OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°，则∠O的度数是() 10/15