专题01 三角形的内角和外角（6大题型）（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题01 三角形的内角和外角 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角形内角和定理的证明 1 题型二、与平行线有关的三角形内角和问题 6 题型三、与角平分线有关的三角形内角和问题 9 题型四、三角形折叠中的角度问题 14 题型五、三角形外角的性质 18 题型六、三角形的内、外角综合问题 20 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角形内角和定理的证明 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 2．（25-26八年级上·天津南开·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键．作出相应的平行线，把三角形的三个内角转化到同一条直线上，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：如图①所示，过点作， ，， ， 故图①能证明“三角形内角和是”， 故A选项不符合题意； 如图②所示，过点作， ，， ， 故图②能证明“三角形内角和是”， 故B选项不符合题意； 如图③所示，过点作、垂足为点， 只能证明， 故图③无法证明“三角形内角和是”， 故C选项符合题意； 如图④所示，过边上点作，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 故图④能证明“三角形内角和是”， 故D选项不符合题意． 故选：C． 3．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 【答案】(1) (2)三角形内角和为； (3)见解析 【分析】题目主要考查证明三角形内角和定理及平行线的性质，理解题意是解题关键． （1）根据图形直接写出结果即可； （2）根据（1）写出猜想即可； （3）根据题意，延长，过点C作，然后利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）解：通过、、的拼接，发现； （2）猜想：三角形内角和为； （3）延长，过点C作，如图所示：    ∴， ∵， ∴． 4．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（______） ∵（平角的定义） ∴______（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系．（提示：过点作） 【学以致用】（3）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 【答案】 （1），两直线平行，内错角相等， （2） （3） 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）根据平行线的性质，补全证明过程即可； （2）由平行线的判定和性质，可得，，等量代换即可得，，这三个角的关系； （3）作，，由平行线的性质可得，，相加即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，． （2）解：过点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） 即 （3）如图，作，则， ∵， ∴， 作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 题型二、与平行线有关的三角形内角和问题 5．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，直线，，，则的度数为 ． 【答案】/102度 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质求出相关角的度数，再结合三角形内角和为求出的度数． 【详解】 如图： 故答案为：． 6．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 7．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，中，分别是上的点，满足． (1)，是否平行？说明理由． (2)若平分，，求度数． 【答案】(1)平行 (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和，平行线的判定等知识点． （1）由三角形内角和为，结合已知可得，由同位角相等两直线平行即可得出结论； （2）根据角平分线定义可得，结合可得． 【详解】（1）结论：平行， ∵， ， ∴， ∴． （2）∵平分， ∴， ∵， ∴． 8．（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图所示的格线彼此平行．小航在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为． (1)如图1，点O在一条格线上，当时，_________；如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由； (2)在图3中，小航作射线，使得．记与图中的格线形成的锐角为，与图中格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)；，理由见解析 (2)或． 【分析】（1）根据“两直线平行，同位角相等”，即可得答案；过O点作平行于格线，同理可得； （2）分两种情况讨论：射线在的内部射线在的外部． 【详解】（1）解：如图： 如图1：格线都互相平行，， ， ， ， ， 故答案为：； ， 证明：如图2：过O点作平行于格线， 格线都互相平行, ， ， ; （2）或， 理由： 当射线在的内部，如图： ， ， 格线都互相平行， , ， ， ； 当射线在的外部，如图： ， ， 格线都互相平行， , ， ． 综上所述：或． 题型三、与角平分线有关的三角形内角和问题 9．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，是角平分线，则 度 【答案】100 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，由三角形内角和定理求出的度数，由角平分线的定义求出的度数，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， 故答案为：100． 10．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，已知中，与，相邻的外角的角平分线交于点D，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了三角形外角的性质与角平分线的定义，解题的关键是利用三角形内角和及外角和的关系，结合角平分线表示出相关角的度数． 先根据三角形外角的性质，用表示出与的外角和；再结合角平分线的定义，求出所在三角形的内角和，进而得出的度数． 【详解】解：在中，， 故 ∴， ∵是外角平分线，， ∴， 故． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·吉林·期末）如图，中，平分．点E，F分别在边，上；，交于点G， ． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，掌握平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义是解本题的关键． （1）首先根据，，等量代换可得，进而得到，最后利用平行线的性质即可得证，再由角平分线的定义得出，等量代换即可得出． （2）根据三角形的内角和定理得出，再利用角平分线的定义得出，又因为，所以，进而可求出的度数． 【详解】（1）证明：，， ， ， ． ∵平分， ∴， ∴． （2）解：，， ， 是角平分线， ， ， ， ． 12．（24-25八年级上·吉林·期末）在中，与的平分线相交于点． (1)如图1，试探究与的数量关系； (2)如图2，作外角的平分线，交于点．请分别写出与，与的数量关系，不需要证明； (3)如图3，延长线段，交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接用（1）和（2）中的相关结论求的度数． 【答案】(1) (2)； (3)或或 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解即可． （2）证明，可得结论． （3）首先证明，分3种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：如图①中，与的平分线相交于点， ， ， ； （2）解：；，理由如下： 理由：如图②中，外角，的角平分线交于点， ， ， ， ； （3）解：如图，延长至， 平分， ， ，， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ， ， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分3种情况： ①，则，， ②，则，； ③，则， 综上所述，的度数是或或． 题型四、三角形折叠中的角度问题 13．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折得到，若，则的度数为 ． 【答案】64 【分析】本题考查折叠中的三角形的内角和问题，根据折叠，得到，三角形的内角和定理求出的度数，平行线的性质，角的和差关系，求出的度数，进而求出的度数，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：64． 14．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，、的平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．由折叠的性质可知，，，则，从而得出，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ，， ， ， ， ， ， ， 、的平分线交于点P， ，， ， ， 故答案为：． 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为”是解题的关键． （1）根据折叠性质，，故，，； （2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点C沿折叠落在点， ∴， 在中， ， ，， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·福建厦门·月考）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 【答案】(1)①；；②是“友爱三角形”，理由见解析 (2)或或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理和“友爱角”的定义求解即可；由折叠的性质可证明，则可证明，据此可得结论； （2）由折叠的性质得到，则；再分，，和四种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ∵与互为“友爱角”（）， ∴， ∴， ∴， ∴； ②是“友爱三角形”，理由如下： 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“友爱三角形”； （2）解：由折叠的性质可得，， ∴； ∵是“友爱三角形”， ∴当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 题型五、三角形外角的性质 17．（25-26八年级上·福建厦门·月考）如图，的补角等于，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 由已知可得，根据，即可求解． 【详解】解：的补角等于， ， ， ． 故答案为：． 18．（25-26八年级上·北京昌平·期中）如图，直线，则 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，根据两直线平行，内错角相等可得的度数，再根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵直线， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 19．（25-26八年级上·重庆·期中）如图所示，，，，则 ． 【答案】/76度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，通过延长交于点，利用三角形外角的性质，逐步推导得出的度数． 【详解】解：延长交于点． ∵是的外角， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 20．（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，的角平分线和的外角平分线交于点；若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，三角形的外角性质，根据的角平分线和的外角平分线交于点，得，结合三角形的外角性质进行分析，则，代入数值到进行计算，即可作答． 【详解】解：∵的角平分线和的外角平分线交于点， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型六、三角形的内、外角综合问题 21．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，分别是的两个外角． (1)若，求的度数． (2)若，请用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形外角的性质和三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质可得，由三角形内角和定理可得，据此可得答案； （2）同（1）求解即可． 【详解】（1）解：∵分别是的两个外角， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）∵分别是的两个外角， ∴， ∴， ∵，， ∴． 22．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明． 【答案】(1)的度数是 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． （2）解： 证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∴， 即． 23．（25-26八年级上·安徽六安·月考）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，求的度数． (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的中线，高以及角平分线，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）由三角形外角的性质可得，，得到，根据角平分线的定义可得，，再根据为高可得，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）由是中线可得，再根据面积求解即可． 【详解】（1）解：由三角形外角的性质可得，， ∴， 平分， ， 为高， ， ； （2）解：∵是中线， ∴，即， 则，解得． 24．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与探究 【感知】如图1，在中，、分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，、分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【答案】(1) ； ； (2)，证明见解析； (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】（1）解：若， ∵分别是和的平分线，，， ∴， ∴． 若， ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 即． 一、单选题 1．（25-26八年级上·天津滨海新·期中）如图，是的一个外角，若，，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算． 【详解】解：，， ． 故选：B． 2．（25-26八年级上·吉林松原·期末）马扎（图①）是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，图②为其侧面示意图．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中求角度，熟记三角形外角性质是解决问题的关键． 根据题中图②，由是的一个外角，得到，将，代入计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 是的一个外角， ， ，， ， 故选：B． 3．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理、轴对称的性质，角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型． 连接．首先求出，再求出，由折叠可知：，，然后求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由折叠可知：，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期末）随着科技的发展，骑行共享单车这种＂低碳＂生活方式已融入人们的日常生活．如图是深圳某品牌共享单车放在水平地面的实物图和抽象出来的单车示意图，其中，都与地面平行，与平行，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角度，三角形内角和定理．根据，得出，根据三角形内角和定理，得出，再利用，可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵． ∴， 故选：C． 5．（25-26八年级上·安徽·月考）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解．根据三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：由条件可知， ，， ，， 故③正确，符合题意； 由条件可知，， ，， ， ， 故④正确，符合题意； ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 故②正确，符合题意； ， ， ， ， 故①正确，符合题意； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·广东江门·月考）在中，，，则的度数为 ． 【答案】/87度 【分析】本题考查三角形内角和定理，关键是掌握三角形的内角和是． 利用三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：在中，， ，， ． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等，作的平分线与的延长线交于点，与交于点M，与交于点Q，根据角平分线的定义证明，再用、表示出，最后由三角形外角的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作的平分线与的延长线交于点，与交于点M，与交于点Q， 平分，平分，平分， ，，， ， ． ，， ，， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，，点在边上，且，点在直线上，且，，则与的函数关系式为 ． 【答案】或 【分析】本题等腰三角形的性质，三角形的内角和，三角形的外角性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．分当点在线段上时和当点在线段的延长线上时，两种情况讨论，根据等边对等角，三角形的内角和以及三角形的外角性质，先表示出，，进而表示出， 最后等量代换表示出即可． 【详解】解：当点在线段上时，如图所示， ，， ，， ， ， 即； 当点在线段的延长线上时，如图所示， ，， ，， ， ， 即； 综上，与的函数关系式为或． 9．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． （1）若，，则 °； （2）直接写出、和之间存在的等量关系： ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． （1）先根据三角形的外角性质和角平分线的定义可得，再根据三角形内角和性质求解即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质即可得出结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． （2）．理由如下： ∵是的外角的平分线， ∴， 由三角形的外角性质得：，， ∴． 故答案为： ． 10．（24-25八年级下·福建宁德·月考）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，例如：在中，，若存在过点的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，如图所示，当，时，是满足条件的一种情况，此时．求满足以上条件的其他情况时的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和性质，三角形外角性质，能够正确分类讨论是解决本题的关键． 分类当，时，，时，，时，，时，结合等腰三角形的性质与三角形外角的性质计算求解． 【详解】解：当，时，如图所示， ， ， ， ， ， 即此时， ； 当，时，如图所示， ， ， ， ， ， ， 即此时， ； 当，时，如图所示， ， ， ， ， ， 即此时， ； 当，时，如图所示， ， ， ， ， ， ， 即此时， ； 当，时，如图所示， ， ， ， ， ， ， 即此时， ； 综上所述，的度数为或或或． 故答案为：或或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点E，F，G分别在直线上，已知． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键． （1）根据内错角相等，两直线平行得，根据平行线的性质得出，等量代换得，根据平行线的判定得出即可； （2）由平角的定义，根据平行线的性质得出，根据三角形外角的性质得出即可． 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是______（请填写序号）； (2)在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)选择图①，证明见解析． 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，牢记平行线的性质是解题的关键． 证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． 【详解】（1）①②③ （2）当选择图①时，证明：如图． ． ， 三角形的内角和为． 当选择图②时， 证明：． ， ，三角形的内角和为． 当选择图③时，证明：， ． ， ∴三角形的内角和为．（答案不唯一，选择一种方法证明即可）． 13．（25-26八年级上·江西上饶·月考）如图1，点，分别在射线，上运动（不与点重合），，分别是和的平分线，延长交于点． (1)若，求的度数； (2)如图2，若，过点作交于点，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质和内角和定理，熟练应用三角形外角性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，再根据三角形的外角性质求出的度数； （2）根据角平分线的定义得到，再根据三角形的外角性质求出，根据平行线的性质得到，进而得到． 【详解】（1）解：， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ． （2）， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， ， 故与的数量关系为． 14．（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，在中，，点、分别在边、上． (1)如图甲，若，是上的高，，则________； (2)如图乙，若，是上的高，，则___________； (3)通过对图甲、乙的观察和的探究，如图丙，当时，你会发现与大小间有何关系？请用式子表示，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质．解题的关键在于确定角度的数量关系． （1）由题意知，，，由三角形的内角和定理求的值，由计算求解即可； （2）同（1）的方法计算求解即可； （3）由题意知，，，由可知与的关系． 【详解】（1）解：在中，，是上的高， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． （2）解：同（1）得，， ， ， ， ， ． 故答案为：． （3）解：（或）；理由如下： 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 15．（25-26八年级上·湖南永州·期中）【阅读】如图1，是的一个外角，我们知道：，又因为，所以．于是我们得到一个结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 提问：若，，则 ； 【理解】 如图2，在五角星形中，是的一个外角，是的一个外角，求：的度数； 【应用】 如图3，，点A、B分别在、上运动（不与点O重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线与点D．试问：随着点A、B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数；如果会，请说明理由． 【答案】[阅读]；[理解]；[应用]的度数不会发生改变，为 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的定义及性质等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． [阅读]利用三角形外角的性质求解； [理解]通过两次运用三角形外角的性质，分别得出，，再利用三角形内角和定理求解即可； [应用]先利用三角形外角的性质得出，再利用角平分线的意义结合求解． 【详解】[阅读] 解：∵，， ∴， 故答案为：； [理解] ∵是的一个外角， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 在中，， ∴； [应用] 的度数不会发生改变，为，理由如下： 在中，， ∵， ∴， ∵、分别是、的角平分线， ∴，， 在中，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01三角形的内角和外角 目录 A题型建模·专项突破 题型一、三角形内角和定理的证明 题型二、与平行线有关的三角形内角和问题 …6 题型三、与角平分线有关的三角形内角和问题 题型四、三角形折叠中的角度问题. 9 .14 题型五、三角形外角的性质… 18 题型六、三角形的内、外角综合问题 .20 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、三角形内角和定理的证明 1.(24-25八年级上·河北邢台·期末)下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是() D B 2.(25-26八年级上·天津南开·期中)在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如 下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是 E.9. F G ① ② ⊙ ④ A.如图①所示，过点C作EF‖AB B.如图②所示，过点B作BG‖AC C.如图③所示，过点C作CD⊥AB、垂足为点D D.如图④所示，过AB边上点P作PM CB,PN I AC 3.(25-26九年级上·四川攀枝花期末)我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上 ∠1、∠2、∠3，如图1，再将∠1、∠2剪下，将它们与∠3拼在一起，如图2. 1/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2 3 2 C 图1 图2 (①)在图2中，通过∠1、∠2、∠3的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想 4.(24-25七年级下.宁夏吴忠期末)【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼角、“折”角，观察得到三角 形内角和为180°，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了， 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，过△ABC的顶点A作BC的平行线ED,请你证明三角形的内角和为180°. 证明：BC‖ED, ∴.∠EAB=∠B,∠DAC= ( :∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°（平角的定义） +∠BAC+∠C=180°（等量代换） 即三角形的内角和为180°. 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能， 【迁移应用】(2)近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢.自行 车的示意图如图2，其中AB‖CD,请你求∠AEC,∠EAB,∠ECD这三个角的关系.（提示：过点E作 EH AB) 【学以致用】(3)如图3是超市购物车，图4是其侧面示意图，已知AB‖CD,FD⊥CD,测量得知 ∠ABE=75°，∠DFE=115°，则∠BEF=· 题型二、与平行线有关的三角形内角和问题 5.(24-25七年级下·广西百色·期末)如图，直线a∥b,∠1=135°，∠2=33°，则∠3的度数为 a 2/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(25-26八年级上全国·期中)如图，在ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC,若 ∠ADE=155°，求∠B的度数. E U 7.(24-25七年级下·浙江杭州·期中)如图，ABC中，D,E分别是BA,BC上的点，满足 ∠ACB+∠B+∠BDE=180°. D B E (I)AC,DE是否平行？说明理由. (2)若CD平分∠ACB,∠1=35°，求∠2度数. 8.(24-25七年级下·河南焦作·期末)如图所示的格线彼此平行.小航在格线中作已知角，探究角的两边与 格线形成的锐角所满足的数量关系.他先作出∠AOB=60°，记OA与图中一条格线形成的锐角为∠1，OB 与图中另一条格线马形成的锐角为∠2 B B 图1 图2 图3 (1)①如图1，点O在一条格线上，当∠1=23°时，∠2= °；②如图2，点O在两条格线之间， 用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由； (2)在图3中，小航作射线0C,使得∠C0B=40°.记OA与图中的格线形成的锐角为，0C与图中格线形 成的锐角为B,请直接用等式表示α与B之间的数量关系. 题型三、与角平分线有关的三角形内角和问题 9.(25-26八年级上·全国期末)如图，在ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD是角平分线，则∠ADC= 度 3/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 10.(25-26八年级上·四川广元期中)如图，已知ABC中，∠B=40°，与∠BAC,∠ACB相邻的外角的角 平分线交于点D,则∠D的度数为 M -N 11.(25-26八年级上·吉林期末)如图，ABC中，CD平分∠ACB.点E,F分别在边AB,AC上；CD, BF交于点G,LBGC+∠EFB=180°. B (I)求证：∠BCD=∠AFE; (2)若LA=60°，∠ABC=70°，求∠BEF的度数. 12.(24-25八年级上·吉林期末)在ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P, E B Q 图1 图2 图3 (I)如图1，试探究∠A与∠BPC的数量关系； (2)如图2，作ABC外角的平分线BQ,CQ交于点Q.请分别写出∠Q与∠BPC,∠Q与∠A的数量关系， 不需要证明； (3)如图3，延长线段CP,QB交于点E.在△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接用(1) 和(2)中的相关结论求∠A的度数 4/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型四、三角形折叠中的角度问题 13.(25-26八年级上重庆期中)如图，在ABC中，∠ABC=90°，∠A=38°，E为AC边上一点，连接BE, 将△ABE沿BE翻折得到△BEF,若EF∥BC,则∠CEB的度数为」 B 14.(25-26八年级上山西朔州期中)如图，在ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点P,将ABC沿 DE折叠使得点A与点P重合，若LBDP+∠CEP=76°，则∠BPC的度数是一· B A E 15.(25-26七年级下·全国课后作业)如图，ABC是一张纸片，把∠C沿DE折叠，使点C落在点C的位 置 (1)当∠C=45°时，求∠1+∠2的度数 (2)若∠C=a,请直接写出∠1+∠2的度数.（用含a的代数式表示） 16.（25-26八年级上福建厦门月考)定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这 两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在ABC中，如果∠A=40°，∠B=80°，那 么∠A与∠B互为“友爱角”，ABC为“友爱三角形” A B'D D 图1 图2 (1)如图1，ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为友爱角”（∠B>∠A),∠ACB=90 ①则∠A= ,∠B= ②将ABC沿过点C的直线翻折，使得点B落在AB边上的点B处，折痕为CD(D在AB上).判断△ACD 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 是否为“友爱三角形”，并说明理由， (2)如图2，在ABC中，∠B>∠A,∠B=72°，D是边AB上一点（不与A、B重合），连接CD.将△CDB沿 CD翻折得到aCDB',B落在AC边上，若△ADB是“友爱三角形”，求∠ACD的度数. 题型五、三角形外角的性质 17.(25-26八年级上福建厦门月考)如图，∠BAC的补角等于120°，∠B=40°，则∠C= C B A 18.(25-26八年级上北京昌平.期中)如图，直线a∥b,则∠A=_度. 31°B a /70° b C 19.(25-26八年级上重庆期中)如图所示，∠BDC=148°，∠B=34°，∠C=38°，则∠A=一 D B 20.(25-26八年级上陕西榆林·月考)如图，在ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于 点P;若LBPC=25°，则LA=—, 题型六、三角形的内、外角综合问题 21.(25-26七年级下·全国·课后作业)如图，∠ECA,∠DAC分别是ABC的两个外角. 6/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A B (1)若∠B=50°，求∠ECA+∠DAC的度数. (②)若∠B=,请用含a的代数式表示LECA+∠DAC的度数. 22.（25-26八年级上·重庆·期中)如图，在ABC中，AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点， PE⊥AD交BC的延长线于点E. C (1)若∠ACB=80°，∠B=40°，求∠E的度数： (②)当P点在线段AD上运动时，猜想∠B,∠ACB与∠E的数量关系，并证明 23.(25-26八年级上安徽六安：月考)如图，在ABC中，AD,AF分别是ABC的中线和高，BE是 △ABD的角平分线. E B (1)若∠BED=60°，∠BAD=40°，求∠BAF的度数. (2)若ABC的面积为40，CD=5,求AF的长 24.(25-26八年级上·甘肃陇南·期末)综合与探究 图1 图2 【感知】如图1，在ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线. 【应用】 (1)若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BPC= ； 若LBAC=70°，则∠BPC= (②)求∠BPC与∠A之间的关系并证明： 【拓展】 7/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图2，在四边形ABCD中，BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，求∠BPC与∠A+∠D的数量 关系 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26八年级上·天津滨海新期中)如图，∠1是ABC的一个外角，若∠1=85°，∠C=30°，则∠B的 度数() D A.45° B.55 C.659 D.75 2.(25-26八年级上·吉林松原·期末)马扎（图①）是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等， 可以合拢，方便携带，图②为其侧面示意图.若∠AOB=80°，∠ABE=130°，则∠A的度数为() ,·E B D 图① 图② A.40 B.50° C.55 D.75 3.(24-25七年级下·重庆期末)如图，将ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点处，且BA平分∠ABC, CA平分∠ACB,若∠BA'C=115°，∠1=45°，则∠2的度数为() B D C A.50 B.55 C.60° D.65° 4.(25-26八年级上·广东深圳期末)随着科技的发展，骑行共享单车这种”低碳”生活方式己融入人们的 日常生活.如图是深圳某品牌共享单车放在水平地面的实物图和抽象出来的单车示意图，其中AB,CD都 与地面I平行，AM与BC平行，∠MAC=70°，∠BAC=50°，则∠BCD的度数为(). 8/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E --D 图1 图2 A.100° B.50° C.60° D.70° 5.(25-26八年级上·安徽月考)在ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线交于点0，∠ACB的外角平分线 所在直线与∠ABC的平分线相交于点D,与∠ABC的外角平分线相交于点E,则下列结论一定正确的个数 有()个 ①∠E+∠DCF=90°+LABD:②∠E=90°-∠A:③∠B0C=90°+)∠A:④∠D=∠A. A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 6.(25-26八年级上·广东江门月考)在△ABC中，∠B=43°，∠C=50°，则∠A的度数为 7.(25-26八年级上·广东江门期中)如图，直线AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,则∠P与 ∠B、∠D的数量关系是· B 8.(25-26八年级上江苏泰州月考)如图，在aABC中，∠BAC=Q,a>90°，点D在边BC上，且 BD=BA,点E在直线BC上，且CE=CA,∠DAE=B,则B与a的函数关系式为 C 9.(25-26八年级上·安徽合肥期中)如图，CE是ABC的外角LACD的平分线，且CE交BA的延长线于 点E. 9/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E A D (1)若LB=35°，∠E=25°，则∠CAE=°； (2)直接写出∠BAC、∠B和∠E之间存在的等量关系： 10.(24-25八年级下·福建宁德月考)经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成 两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，例如：在 ABC中，∠BAC=20°，若存在过点C的“钻石分割线”CD,使ABC是“钻石三角形”，如图所示，当 AD=CD,BD=CD时，是满足条件的一种情况，此时∠B=70°.求满足以上条件的其他情况时∠B的度 数为 A 三、解答题 11.(25-26八年级上·全国期末)如图，点E,F,G分别在直线CD,AB,AD上，已知∠A=∠D,∠CEB=∠BFG B -D (1)FG与BE平行吗？请说明理由； (2)若∠D=30°，∠BFG=135°，求LFGD的度数. 12.(2025八年级上·全国专题练习)为了证明“三角形的内角和是180°”，林老师给出了如图所示四种作辅 助线的方法.回答下列问题： F C AD B B B A B 过AB上一点D作 过点C作CD⊥AB 过点C作EFIAB 延长AC到点F, DEIBC.DFIAC 于点D 过点C作CEIlAB 图① 图② 图③ 图④ (1)能证明“三角形内角和是180°”的方法是 (请填写序号)； (2)在(1)的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明， 13.(25-26八年级上江西上饶月考)如图1，点A,B分别在射线0M,ON上运动（不与点0重合）， 10/12