第一章 三角形的证明及其应用（单元自测·基础卷）数学新教材北师大版八年级下册

2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第一章 三角形的证明及其应用·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边对等角和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180度即可求出答案． 【详解】∵等腰三角形两底角相等， 设底角为，则顶角为， ∴， 即， ∴， ∴． 故底角为． 故选：B． 2．若一个多边形的每个外角等于，则这个多边形的边数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理. 根据多边形的外角和定理，即可求解． 【详解】解：∵多边形的外角和等于，每个外角为， ∴边数． 故选：B． 3．若的三边长分别是a、b、c，满足下列条件的不是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理逐项判断即可得． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴是直角三角形，此项不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴是直角三角形，此项不符合题意； C、∵， ∴设，则， ∴， ∴是直角三角形，此项不符合题意； D、∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，此项符合题意； 故选：D． 4．如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，根据，是边上的中线，得，故，即可作答． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， 即， 故选：C． 5．如图，，于点F，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理，先根据得出，再利用三角形内角和定理即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 由三角形内角和定理可知：． 故选：C． 6．将一副三角尺按如图所示的位置摆放(斜边与直角边重合)，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、外角定理，找到外角是解题的关键． 首先根据三角板的度数，得到对应角的度数，再利用外角定理求得的度数即可． 【详解】解：如解图，设与交于点E， 根据题意可知，，，， ∴， 在△AEB中，， 故选：C． 7．如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长是，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到两端的距离相等． 先根据垂直平分线的性质得出，再根据的周长是，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴的周长=． 故选：A． 8．如图，点在的内部，点，分别在，上，且，若只添加一个条件即可证明和全等，那么这个条件不可以是（　　） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：依题意，， A. 平分则，根据可以证明和全等     B. ，根据可以证明和全等     C. ，SSA不能证明和全等         D. ，根据可以证明和全等     故选：C． 9．如图，平分且于点，，，的周长为32，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，注意认真观察图中各边之间的关系． 由已知得，，则，所以，则，即可求得． 【详解】∵平分且于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，的周长， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．如图，在和中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的为（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，准确找到并证明图中的全等三角形是解决问题的关键，还需要能够合理利用全等三角形的性质． 由，，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出与全等，由全等三角形的对应边相等得到，①结论正确；由与全等，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，②结论正确；由②结论再加上等于，再利用两锐角互余的三角形为直角三角形，得到，③结论正确；④结论正确，利用周角减去两个直角可得答案． 【详解】解：①∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确． ②∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确． ③由②知，， ∴， ∴， 故③正确． ④∵， ∴， 故④正确． 故①②③④都正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义．先根据三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线的定义求出的度数即可解答． 【详解】解：在中，，， ， 是的角平分线， ， 故答案为：． 12．直角三角形斜边长是10，则该三角形中的角所对的直角边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了含的直角三角形，勾股定理，熟知所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 先求得所对的直角边，再利用勾股定理即可． 【详解】解：在直角三角形中，若一个角为，则另一个锐角为， 所以的角所对的直角边长是， 根据勾股定理可得的角所对的直角边长是， 故答案为：． 13．如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为 ． 【答案】22 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据垂直平分线的性质得到，，，进而求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴的周长为． 故答案为：22． 14．如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据网格结构，分别以A、B为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数． 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有5个． 故答案为：5． 15．如图，，平分，于，，已知，则 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查角平分线、平行线的性质和直角三角形中锐角所对直角边等于斜边的一半，作辅助线是关键． 由得，由角平分线的定义和平行线的性质易得，，作于，根据角平分线的性质可得，，在中，易得，即可求解． 【详解】解：作于， 平分， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ∴在中， ， ∴， 故答案为：2． 16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理的应用，学会分类讨论是解决本题的关键． 根据题意分为三种情况：或或，进行作图求解即可． 【详解】解：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时，如图， 在中，，， ∴， ∴P的坐标是； ②以D为圆心，以5为半径画弧交于和点，此时，如图，过作于N，过作于M， 由作图可知四边形和四边形为长方形， ∴，，，， 在中，设，则，，， ∴， 解得， 则的坐标是； 设，则，，， 在中，， 解得， ，， 即的坐标是； ③假设，则由点向OD边作垂线，交点为，如图， 则有， ， 此时的为等边三角形， ∴，，， 代入， 得， ∴排除此种可能． 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在和中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据的判定方法进行证明即可； （2）由（1）知，根据全等三角形的性质证得，根据余角的性质求解的度数即可． 【详解】（1）解：在和中， ； （2）解：由（1）知， ， ， ， ． 18．如图，在中，边、的垂直平分线分别交于D、E． (1)若，求△的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． （1）根据线段垂直平分线性质得出，求出的周长，即可得出答案； （2）由，即可得，又由，即可求得的度数． 【详解】（1）解：在中，边的垂直平分线分别交于D、E， ∴， ∵， ∴的周长为 ； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理列方程求解． (1)连接，根据线段垂直平分线的性质可知，根据可得，根据勾股定理的逆定理可以判断结论成立； (2)设，可得，根据，可得：，，根据勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值，即可得到的值． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， 的垂直平分线分别交、于点、， ， ， ， ， 是直角三角形，且； （2）解：，， 设，则， ， ， 在中，， 即， (负值舍去)， ． 20．如图，在中，，分别是，的外角平分线， (1)若，，那么___________． (2)若，求的度数用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质及平角的定义． （1）利用平角的定义及角平分线的性质可得出，，再通过三角形内角和定理求得结果； （2）利用三角形内角和定理，角平分线的性质得出角度之间的等量关系，经过计算即可得出的表达式． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 又∵，分别是，的外角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 又∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 21．如图，在中，，，是的中点．动点、从点出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点、终点．连接、和．设点的运动时间为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若是等腰三角形，直接写出的大小． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，外角性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合等边对等角得，再由线段的中点得，即可证明，故，即可作答． （2）先得出，结合是等腰三角形，进行分类讨论，运用三角形外角性质以及等边对等角进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵是的中点． ∴ ∵动点、从点出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点、终点． ∴， 则， 即， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：连接， ∵，是的中点． ∴， 即， ∵，， ∴， 依题意，当时， 则 ∴； 依题意，当时， 则 ∴； 依题意，当时， 则 ∴（舍去）； 综上：是等腰三角形，则或． 22．如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形判定和性质，作出合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，，由，，可得，，由是的中垂线可得，即可证，得； （2）设，则，，易证，得，由，代入列方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵平分，，， ∴，， ∵是的中垂线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵平分，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得，即． 23．已知四边形（其中）的四个内角的度数之比为． (1)如图1，求出四个内角的度数； (2)如图2，将四边形的沿折叠，点落在四边形内点的位置，请求出与的和； (3)如图3，将四边形沿折叠，点刚好落在边上的位置，交于，连接，若，试判断的形状，并加以证明． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形；见解析 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质与判定、多边形内角和以及比例： （1）设，根据度数之比设，根据内角和列方程求解即可； （2）由折叠性质得到，根据角度之间的关系列出等式，结合三角形内角和得出与的和； （3）由折叠的性质得到，证明即可判断． 【详解】（1）解：设， ∵的度数之比为， ∵． 根据四边形内角和为，可得方程： 解得：， ∵． （2）解：由折叠性质可知：， ∵； ∵， 又∵， ∴． （3）解：是等腰三角形． 证明：由折叠性质可知：， ∵， ∴； 即，         在和中， ， ∴ ∴， 因此是等腰三角形． 24．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为秒． (1)______cm； (2)若点运动到的中点时，求的值； (3)当为直角三角形时，求的值； (4)当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)8 (2) (3)的值为4或 (4)的值为5或8或 【分析】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理、分类讨论的思想方法的运用是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）由（1）知，点运动到的中点时，得到的长度，进而求出的值； （3）分两种情况讨论：①当为直角时，点与点重合和②当为直角时，分别求出此时的的值即可； （4）分三种情况讨论：①当、②和③时，分别求出的长度，进而求出的值． 【详解】（1）解：在中，，， 由勾股定理得， 故答案为：8； （2）解：由（1）知，点运动到的中点时，， 动点从点出发沿射线以的速度运动， 则； （3）解：根据题意可知，为直角三角形如图： ①当为直角时，点与点重合， 则，即， 解得； ②当为直角时，，， 则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 解得， 因此，当为直角三角形时，的值为或； （4）解：根据题意得，，为等腰三角形如图： ①当时，， 解得； ②当时， ， ， ， 解得； ③当时，，、， 在中，， 解得， 综上所述，当为等腰三角形时，的值为5或8或． 25．已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，． (1)如图1，证明为等边三角形； (2)如图2，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查等边三角形的证明性质，全等三角形的证明及性质，能够正确作出辅助线是解题关键； （1）先证，再证，进而为等边三角形； （2）先证，再证，进而； （3）在上取一点，使，求得，再证为等边三角形，再证，进而. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第一章 三角形的证明及其应用·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C C C A C C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13．22 14．5 15．2 16．或或 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：在和中， ；............3分 （2）解：由（1）知， ， ， ， ．............6分 18． 【详解】（1）解：在中，边的垂直平分线分别交于D、E， ∴， ∵， ∴的周长为 ；............3分 （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．............6分 19． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， 的垂直平分线分别交、于点、， ， ， ， ， 是直角三角形，且；............3分 （2）解：，， 设，则， ， ， 在中，， 即， (负值舍去)， ．............6分 20． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 又∵，分别是，的外角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：．............2分 （2）解：∵， ∴， 又∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即．............6分 21． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵是的中点． ∴ ∵动点、从点出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点、终点． ∴， 则， 即， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；............4分 （2）解：连接， ∵，是的中点． ∴， 即， ∵，， ∴， 依题意，当时， 则 ∴； 依题意，当时， 则 ∴； 依题意，当时， 则 ∴（舍去）； 综上：是等腰三角形，则或．............8分 22． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵平分，，， ∴，， ∵是的中垂线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；............4分 （2）解：设，则， ∴， ∵平分，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得，即．............8分 23． 【详解】（1）解：设， ∵的度数之比为， ∵． 根据四边形内角和为，可得方程： 解得：， ∵．............2分 （2）解：由折叠性质可知：， ∵； ∵， 又∵， ∴．............5分 （3）解：是等腰三角形． 证明：由折叠性质可知：， ∵， ∴； 即，         在和中， ， ∴ ∴， 因此是等腰三角形．............8分 24． 【详解】（1）解：在中，，， 由勾股定理得， 故答案为：8；............2分 （2）解：由（1）知，点运动到的中点时，， 动点从点出发沿射线以的速度运动， 则；............4分 （3）解：根据题意可知，为直角三角形如图： ①当为直角时，点与点重合， 则，即， 解得； ②当为直角时，，， 则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 解得， 因此，当为直角三角形时，的值为或；............8分 （4）解：根据题意得，，为等腰三角形如图： ①当时，， 解得； ②当时， ， ， ， 解得； ③当时，，、， 在中，， 解得， 综上所述，当为等腰三角形时，的值为5或8或．............12分 25． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形；............4分 （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴；............8分 （3）解：在上取一点，使， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴．............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第一章 三角形的证明及其应用·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于（   ） A． B． C． D．或 2．若一个多边形的每个外角等于，则这个多边形的边数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 3．若的三边长分别是a、b、c，满足下列条件的不是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C． D． 4．如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 5．如图，，于点F，若，则（   ） A． B． C． D． 6．将一副三角尺按如图所示的位置摆放(斜边与直角边重合)，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长是，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 8．如图，点在的内部，点，分别在，上，且，若只添加一个条件即可证明和全等，那么这个条件不可以是（　　） A．平分 B． C． D． 9．如图，平分且于点，，，的周长为32，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．16 10．如图，在和中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的为（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是 ． 12．直角三角形斜边长是10，则该三角形中的角所对的直角边长是 ． 13．如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为 ． 14．如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有 个． 15．如图，，平分，于，，已知，则 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在和中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 18．如图，在中，边、的垂直平分线分别交于D、E． (1)若，求△的周长； (2)若，求的度数． 19．如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．如图，在中，，分别是，的外角平分线， (1)若，，那么___________． (2)若，求的度数用含α的式子表示）． 21．如图，在中，，，是的中点．动点、从点出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点、终点．连接、和．设点的运动时间为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若是等腰三角形，直接写出的大小． 22．如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 23．已知四边形（其中）的四个内角的度数之比为． (1)如图1，求出四个内角的度数； (2)如图2，将四边形的沿折叠，点落在四边形内点的位置，请求出与的和； (3)如图3，将四边形沿折叠，点刚好落在边上的位置，交于，连接，若，试判断的形状，并加以证明． 24．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为秒． (1)______cm； (2)若点运动到的中点时，求的值； (3)当为直角三角形时，求的值； (4)当为等腰三角形时，直接写出的值． 25．已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，． (1)如图1，证明为等边三角形； (2)如图2，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第一章 三角形的证明及其应用·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于（   ） A． B． C． D．或 2．若一个多边形的每个外角等于，则这个多边形的边数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 3．若的三边长分别是a、b、c，满足下列条件的不是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C． D． 4．如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 5．如图，，于点F，若，则（   ） A． B． C． D． 6．将一副三角尺按如图所示的位置摆放(斜边与直角边重合)，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长是，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 8．如图，点在的内部，点，分别在，上，且，若只添加一个条件即可证明和全等，那么这个条件不可以是（　　） A．平分 B． C． D． 9．如图，平分且于点，，，的周长为32，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．16 10．如图，在和中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的为（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是 ． 12．直角三角形斜边长是10，则该三角形中的角所对的直角边长是 ． 13．如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为 ． 14．如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有 个． 15．如图，，平分，于，，已知，则 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在和中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 18．如图，在中，边、的垂直平分线分别交于D、E． (1)若，求△的周长； (2)若，求的度数． 19．如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．如图，在中，，分别是，的外角平分线， (1)若，，那么___________． (2)若，求的度数用含α的式子表示）． 21．如图，在中，，，是的中点．动点、从点出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点、终点．连接、和．设点的运动时间为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若是等腰三角形，直接写出的大小． 22．如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 23．已知四边形（其中）的四个内角的度数之比为． (1)如图1，求出四个内角的度数； (2)如图2，将四边形的沿折叠，点落在四边形内点的位置，请求出与的和； (3)如图3，将四边形沿折叠，点刚好落在边上的位置，交于，连接，若，试判断的形状，并加以证明． 24．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为秒． (1)______cm； (2)若点运动到的中点时，求的值； (3)当为直角三角形时，求的值； (4)当为等腰三角形时，直接写出的值． 25．已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，． (1)如图1，证明为等边三角形； (2)如图2，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $