寒假作业12 计算类专项训练（有理数运算、整式的化简求值、解方程等）（巩固培优）七年级数学新教材人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 计算类专项训练 （有理数运算、整式的化简求值、解方程等） 1、有理数混合运算的顺序： (1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 2、运用运算律简化计算常见技巧： 加减法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。 乘除法：①运用结合律，将能约分的先结合计算；②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数；③带分数应先化为假分数的形式；④几个分数相乘，先约分，在相乘；⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。 除了常规的运算律，分组法、凑整法、拆项法、裂项相消法、倒数法、错位相减法也是需要掌握的。 3、整式化简求值一定注意是先化简再代入给定数值计算，注意运算顺序和符，切记避免直接代入未化简的复杂式子导致计算错误。整式化简求值的核心在于‌规范去括号‌与‌精准合并同类项。 4、解一元一次方程的步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将未知数的系数化为1。 注意：去分母、去括号、移项和合并同类项在方程变形中经常用到，去分母时注意方程的每项都要成分母的最小公倍数；去括号时注意括号前面时“－”时注意变号；移项时应注意改变项的符号。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型1 有理数的混合运算 1．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； 【答案】(1)(2)18(3)(4)2.2(5)(6)(7) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； 2．（24-25七年级上·湖南永州·期中）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)2(4)15 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．（24-25七年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)0(2)(3)23(4)(5)7(6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． （6）解： ． 题型2 有理数的运算技巧 4．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)0(3)7(4) 【详解】（1）解：原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 5．（25-26七年级上·陕西·期中）用简便方法计算： （1）；(2)． 【答案】（1）；(2) 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ； 6．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 7.（25-26七年级上·湖南·校考期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算 刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数： 所以，原式 (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算： 【答案】(1)更喜欢张明的解法，理由见解析(2) 【详解】（1）解：更喜欢张明的解法，理由如下： 观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便， ∴更喜欢张明的解法； （2）解：原式的倒数为： ， ． 8.（25-26七年级上·浙江宁波·期中）多个数进行相加时，有许多计算技巧，其中一种为裂项相消法，有一种裂项方法为：当n，i均为正整数时，有，例如．根据上述结论，完成问题： (1)计算：； (2)直接写出下式的计算结果：______； (3)①计算的值；②计算的值． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：，故答案为：， （2），故答案为：． （3）① ； ② ， ． 9.（24-25七年级上·重庆·期中）计算： 【答案】 【详解】 题型3 整式的化简求值 10．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 11．（24-25七年级上·广西·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时， 原式． 12．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，26 【详解】解： ； 当，时， 原式． 13．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）（1）先化简，再求值：，其中与互为相反数． （2）若关于、的多项式不含二次项，求的值． 【答案】（1），；（2） 【详解】解：（1） ， ∵与互为相反数，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴原式； （2） ， ∵关于、的多项式不含二次项， ∴，∴，∴． 题型4 解一元一次方程 14．（23-24七年级上·山东济南·期末）解方程：(1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2） ， ， ， ， ， ． 15．（25-26七年级上·绵阳市·期中）解下列方程：(1)． (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】解：（1）去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 故答案为：． （2）方程整理，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 故答案为：． 16．（24-25七年级上·广东·期末）解方程：(1)；(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 故原方程的解为； （2）解：原方程化为，即 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得 故原方程的解为． 17．（25-26七年级上·湖北·课后作业）解下列方程：(1)． (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)（用简便方法）．(2)（用乘法分配律） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： （2）解： ． 3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）计算（能简算的要简算） (1)；(2)；(3) (4)；(5)；(6) 【答案】(1)(2)3(3)(4)80(5)2(6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 5．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）用简便方法计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．（24-25七年级上·四川成都·期末）（1）计算： （2）小明同学在计算“”时，第一步的计算过程如下： 解：原式 i）小明第一步计算过程中，有误的是__________（请在①②③的番号中，选填相应的番号）； ii）请你完整地写出本题的正确解答过程． （3）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）i）①③；ii）14；（3）； 【详解】解：（1）原式 （2）i）有误的是：①③； ii）原式 （3）原式 ； 当，时， ． 7．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将整式化简得到，再将代入计算即可． 【详解】解：， 当时，原式． 8．（24-25七年级上·上海·阶段练习）先化简，再求值：．其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 9．（24-25七年级上·山东德州·期末）解一元一次方程： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 10．（24-25七年级上·陕西西安·期末）解方程：（1）；（2）。 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）， ， ， ， ． （2）， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 11．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，为整式，且，． (1)若的计算结果不含的一次项，求的值； (2)小明说：“当时，取任何值，的值总是正数”．你认为他的说法正确吗?请说明理由． 【答案】(1)(2)正确，理由见详解 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的结果中不含的一次项，∴，∴； （2）正确，理由如下：当时， ， ∵，∴，即的值总是正数． 1．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着又把一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把其中的一个正方形等分成两个面积为的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算：（    ）    A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】解：根据以上分析可得：．故选：B． 2．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）解方程： 【答案】． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 3．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）（1）已知关于的多项式合并后不含有二次项，求的值．（2）已知两个整式的和是，如果其中一个整式是，求另一个整式．（3）小亮做一道数学题：“有两个多项式，其中为，求”．小亮误将看成，求得的答案是．请你写出的正确答案． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）的多项式合并后不含有二次项，即二次项系数为0， ，解，得， （2）， （3）根据题意可知：， ， 4．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）若多项式、满足： ，． 我们可以通过添加括号求出多项式，过程如下： 则 (1)请用类似的方法求出多项式； (2)当、是互为倒数时，多项式的值为，求此时多项式的值； (3)当______时，无论字母取何值，多项式的值总比多项式的值大． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵，． ∴ ； ∴； （2）解：∵、互为倒数， ∴， 又， ∴， ∴，则， ∴； （3）解： ， ∵无论字母取何值，多项式的值总比多项式的值大， ∴，解得：， 即 故答案为：． 5．（24-25七年级上·江苏·期中）计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？(2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果；(4)根据上述分析，求出原式的结果． 【答案】(1)前后两部分互为倒数(2)先计算后面的部分比较简单，解答过程见解析(3)另一部分的结果为 【解析】解：∵乘积为1的两个数互为倒数 ∴前后两部分互为倒数． （2）解：计算应先通分，然后化除法为乘法，最后进行计算； 计算，先化除法为乘法，然后根据乘法分配律，进行加减计算； ∴先计算后面部分比较方便 计算如下： ． （3）解：∵前后两部分互为倒数，后面部分： ∴前面部分：． （4）解： ． 6．（24-25七年级上·浙江·期末）观察下列等式：，，， 请将以上三个等式两边分别相加得： 。 （1）猜想并写出： 。（2） 。 （3）探究并计算： 。 （4）计算： 【答案】（1）（2）（3）（4） 【详解】（1）＝ ＝ 7．（24-25七年级上·云南昆明·期末）在数学兴趣活动中，小容为了求的值，写出下列解题过程． 解：设① 两边同乘以2得：② 由②-①得： (1)应用结论：根据题目的结论，直接写出：______； (2)模仿计算：请模仿题目中的算法计算：； (3)拓展迁移：“数形结合”是数学中常用的思想，“以形助数”能够利用几何图形解决相关的不易求解的代数问题．小容在计算（2）的过程中发现，借助几何图形可以快速得出结果． 如图，小容将一个面积为1的正方形按一定规律分割成若干部分． ①请你根据图示说明小容是如何分割正方形的？ ②请你说明小容是如何利用分割的图形来计算？ 【答案】(1)(2)(3)①见解析；②见解析 【详解】（1）解：由题干得：， 将代入得：，故答案为：； （2）解：设 两边同乘得： 由得： ； （3）解：答：小容将面积为的正方形平均分成两部分，部分Ⅰ的面积为 ；部分Ⅱ是部分Ⅰ面积的一半， ；部分Ⅲ是部分Ⅱ面积的一半， ，，以此类推，第次分出部分， ，剩余阴影部分的面积也是 ； 可以看做各个部分的面积和，即为 ． 8．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若关于x的一个方程为（a为常数），关于y的一个方程的解为（b为常数），且a，b满足（m为正数），则称这两个方程是“m差解友好方程”， 例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程是“1差解友好方程”． (1)请通过计算判断关于x的方程与关于y的方程是不是“4差解友好方程”； (2)如果关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”，求k的值；(3)关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），若对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，求n的值． 【答案】(1)是，理由见解析(2)或(3) 【详解】（1）解：方程的解是； 方程的解是．根据题意可得， ∴这两个方程是“4差解友好方程”； （2）解：∵，∴，解得：， ∵，∴，∴，解得：， ∵关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程” ∴，即，∴或，解得：或； （3）解：∵，∴，∴，解得：， ∵，∴，解得：， ∵关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，∴，∴， ∴，∴，解得：． 9．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知（，，…an是各项的系数，c是常数项）：我们规定的伴随多项式是，且，例：如果，则它的伴随多项式． (1)已知，则它的伴随多项式 ；(2)已知，它的伴随多项式，求x的值；(3)已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于x的方程有正整数解，求整数a的值． 【答案】(1)；(2)；(3)或． 【详解】（1）解：∵，∴它的伴随多项式；故答案为：； （2）解：， 它的伴随多项式， ∵∴，解得：； （3）解：∵，∴它的伴随多项式， ∵，∴，∴， ∵方程有正整数解，且a为整数，∴或，解得： 或 ． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 天气： 作业12 计算类专项训练 （有理数运算、整式的化简求值、解方程等） 1、有理数混合运算的顺序： (1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 2、运用运算律简化计算常见技巧： 加减法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。 乘除法：①运用结合律，将能约分的先结合计算；②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数；③带分数应先化为假分数的形式；④几个分数相乘，先约分，在相乘；⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。 除了常规的运算律，分组法、凑整法、拆项法、裂项相消法、倒数法、错位相减法也是需要掌握的。 3、整式化简求值一定注意是先化简再代入给定数值计算，注意运算顺序和符，切记避免直接代入未化简的复杂式子导致计算错误。整式化简求值的核心在于‌规范去括号‌与‌精准合并同类项。 4、解一元一次方程的步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将未知数的系数化为1。 注意：去分母、去括号、移项和合并同类项在方程变形中经常用到，去分母时注意方程的每项都要成分母的最小公倍数；去括号时注意括号前面时“－”时注意变号；移项时应注意改变项的符号。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型1 有理数的混合运算 1．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； 2．（24-25七年级上·湖南永州·期中）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25七年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型2 有理数的运算技巧 4．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（25-26七年级上·陕西·期中）用简便方法计算： （1）； (2)． 6．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 7.（25-26七年级上·湖南·校考期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算 刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数： 所以，原式 (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算： 8.（25-26七年级上·浙江宁波·期中）多个数进行相加时，有许多计算技巧，其中一种为裂项相消法，有一种裂项方法为：当n，i均为正整数时，有，例如．根据上述结论，完成问题： (1)计算：； (2)直接写出下式的计算结果：______； (3)①计算的值；②计算的值． 9.（24-25七年级上·重庆·期中）计算： 题型3 整式的化简求值 10．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 11．（24-25七年级上·广西·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 12．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 13．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）（1）先化简，再求值：，其中与互为相反数． （2）若关于、的多项式不含二次项，求的值． 题型4 解一元一次方程 14．（23-24七年级上·山东济南·期末）解方程：(1)； (2)． 15．（25-26七年级上·绵阳市·期中）解下列方程：(1)． (2)． 16．（24-25七年级上·广东·期末）解方程：(1)；(2) 17．（25-26七年级上·湖北·课后作业）解下列方程：(1)． (2)． 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)（用简便方法）．(2)（用乘法分配律） 3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）计算（能简算的要简算） (1)；(2)；(3) (4)；(5)；(6) 4．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 5．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）用简便方法计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（24-25七年级上·四川成都·期末）（1）计算： （2）小明同学在计算“”时，第一步的计算过程如下： 解：原式 i）小明第一步计算过程中，有误的是__________（请在①②③的番号中，选填相应的番号）； ii）请你完整地写出本题的正确解答过程． （3）先化简，再求值：，其中，． 7．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 8．（24-25七年级上·上海·阶段练习）先化简，再求值：．其中，． 9．（24-25七年级上·山东德州·期末）解一元一次方程：(1)；(2)． 10．（24-25七年级上·陕西西安·期末）解方程：（1）；（2）。 11．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，为整式，且，． (1)若的计算结果不含的一次项，求的值； (2)小明说：“当时，取任何值，的值总是正数”．你认为他的说法正确吗?请说明理由． 1．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着又把一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把其中的一个正方形等分成两个面积为的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算：（    ）    A． B． C．1 D． 2．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）解方程： 3．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）（1）已知关于的多项式合并后不含有二次项，求的值．（2）已知两个整式的和是，如果其中一个整式是，求另一个整式．（3）小亮做一道数学题：“有两个多项式，其中为，求”．小亮误将看成，求得的答案是．请你写出的正确答案． 4．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）若多项式、满足： ，． 我们可以通过添加括号求出多项式，过程如下： 则 (1)请用类似的方法求出多项式； (2)当、是互为倒数时，多项式的值为，求此时多项式的值； (3)当______时，无论字母取何值，多项式的值总比多项式的值大． 5．（24-25七年级上·江苏·期中）计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？(2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果；(4)根据上述分析，求出原式的结果． 6．（24-25七年级上·浙江·期末）观察下列等式：，，， 请将以上三个等式两边分别相加得： 。 （1）猜想并写出： 。（2） 。 （3）探究并计算： 。 （4）计算： 7．（24-25七年级上·云南昆明·期末）在数学兴趣活动中，小容为了求的值，写出下列解题过程． 解：设① 两边同乘以2得：② 由②-①得： (1)应用结论：根据题目的结论，直接写出：______； (2)模仿计算：请模仿题目中的算法计算：； (3)拓展迁移：“数形结合”是数学中常用的思想，“以形助数”能够利用几何图形解决相关的不易求解的代数问题．小容在计算（2）的过程中发现，借助几何图形可以快速得出结果． 如图，小容将一个面积为1的正方形按一定规律分割成若干部分． ①请你根据图示说明小容是如何分割正方形的？ ②请你说明小容是如何利用分割的图形来计算？ 8．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若关于x的一个方程为（a为常数），关于y的一个方程的解为（b为常数），且a，b满足（m为正数），则称这两个方程是“m差解友好方程”， 例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程是“1差解友好方程”． (1)请通过计算判断关于x的方程与关于y的方程是不是“4差解友好方程”； (2)如果关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”，求k的值；(3)关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），若对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，求n的值． 9．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知（，，…an是各项的系数，c是常数项）：我们规定的伴随多项式是，且，例：如果，则它的伴随多项式． (1)已知，则它的伴随多项式 ；(2)已知，它的伴随多项式，求x的值；(3)已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于x的方程有正整数解，求整数a的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $