专题13绝对值及化简求值类问题（巩固提升20题+能力培优8题+拓展突破8题）-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（人教版）

专题13绝对值及化简求值类问题（巩固提升20题+能力培优8题+拓展突破8题） 知识清单 1.绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 2.绝对值的代数定义 （1）一个正数的绝对值是它本身；（2）一个负数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0. 可用字母表示为： ①如果a>0，那么|a|=a； ②如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0． 可归纳为①：a≥0|a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数．） ②a≤0|a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数．） 3.几何意义常见类型 类型一： 表示数轴上的点a到原点O的距离； 类型二： 表示数轴.上的点a到点b的距离(或点b到点a的距离)； 类型三： 表示数轴上的点a到点-b的距离(点b到点- a的距离)； 类型四： 表示数轴上的点x到点a的距离； 类型五： 表示数轴上的点x到点-a的距离. 1．（2024七年级上·全国·专题练习）若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 2．（2024七年级上·全国·专题练习）若，则的值是（　　） A． B． C．2 D．1 3．（2024七年级上·全国·专题练习）适合的整数a的值有（　　） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 4．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）对于有理数，定义一种新运算“”，规定．当在数轴上的位置如图所示时，化简得（   ） A．0 B． C． D． 5．（24-25七年级上·山东济宁·期中）已知，．则代数式的值为（　　　） A． B．3 C．或3 D．或1或3 6．（24-25七年级上·山东临沂·期中）若互为相反数，互为倒数，是绝对值最小的数，则的值是（   ） A． B． C． D．2024 7．（24-25七年级上·江苏南通·期中）下列说法中：①2.04（精确到0.1）取近似数是2.0；②两个三次多项式的和一定是三次多项式；③若是8的相反数，比的相反数小3，则；④若，则可能的值为0或；正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（2024七年级上·全国·专题练习）如果有理数，，满足，对于以下结论：①；②；③当a，b互为相反数时，不可能是正数；④当时，．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）如图，数轴上点的初始位置表示的数为，现在点做如下移动：第次点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，，按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离不小于，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·全国·期中）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（    ） A．秒 B．秒或者秒 C．秒或秒 D．秒 11．（24-25七年级上·北京·阶段练习）如图，、、是数轴上点表示的有理数．计算： ． 12．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）已知实数x，y满足，则代数式的值为 ． 13．（23-24七年级上·江西赣州·期中）已知四个有理数a，b，c，d满足，则的值等于 ． 14．（24-25七年级上·辽宁营口·期末）如图，数轴上点A和点B表示的数分别是3和，动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速移动，动点Q同时从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速移动．设移动时间为t秒，当动点Q到点B的距离等于动点P到点B的距离时，t的值 ． 15．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）计算： ． 16．（24-25七年级上·江苏南通·期中）先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是． 原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是_______； (2)尝试解绝对值方程：； (3)在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：． 17．（24-25七年级上·四川自贡·阶段练习）已知有理数、在数轴上对应位置如图： (1)用“”或“”填空： ①；②； (2)比较、、、的大小（用“”把它们连接起来）； (3)化简：． 18．（23-24七年级上·江西赣州·期末）已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足，请回答问题． (1)请直接写出a、b、c的值．______，______，______； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到1之间运动时，请化简式子：（请写出化简过程）； (3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度也向左运动，运动时间为是否存在t，使A、B、C中一点是其它两点的中点，若存在，求t的值，若不存在，说明理由． 19．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知数轴上两点对应的数分别为，且满足． (1)求点A、两点对应的有理数是______、______； (2)若点到点A的距离正好是5，则点所表示的数为__________； (3)若点所表示的数为9，现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向右运动，若运动的时间为秒 ①点运动秒后所在位置的点表示的数为________； ②点运动秒后，；（用含的式子表示） ③若的值不随时间的变化而改变，求的值． 20．（24-25七年级上·湖北荆州·期中）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）在数轴上表示有理数，，的点如图所示，若，，则下面四个结论：①；②；③；④，其中一定成立的结论个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）下列说法正确的有（   ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③若代数式的值与无关，则该代数式值为； ④代数式最大值是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，满足，则下列各式：①；②；③；④ 若b比a小2，则，其中正确的个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 24．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，．有下列结论：①；②；③；④；则其中结论正确的序号是 ． 25．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知、、均为非零有理数，若这三个数的和小于0，积大于0，则的值为 ． 26．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知：，且的最大值是，最小值是，则 ． 27．（24-25七年级上·广西柳州·期中）阅读材料：点在数轴上分别表示有理数，，两点之间的距离可表示为．例如：7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示6的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和2，数轴上另有一个点P对应的数为有理数． (1)请根据阅读材料填空： 数轴上A，B两点之间的距离为 ，点P、B之间的距离 （用含的式子表示）；若，则 ； (2)请根据阅读材料和题（1）中结论，请用文字语言叙述表示的几何意义： ． 根据几何意义，解决下列问题： ①若点P在线段上，则 ； ②若，则点P表示的有理数的值为 ． 28．（24-25七年级上·广东珠海·阶段练习）阅读理解，问题解决 【方法指导】数轴上的动点问题，若是告诉了运动速度，一般设运动时间为t，用含t的式子表示出动点及点与点之间的距离，通过题目中的和差倍分关系建立方程求解即可，若是求定值，含参数计算也可得结果． 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示、在数轴上对应的两点之的距离，，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离，一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离用线段AB的长度表示，有． 问题解决：如图，在数轴上，点A表示，点B表示，点C表示．动点P从点A出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动．设运动时间为t秒． (1)当时，线段的长为________；线段的长为________． (2)在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时； (3)当t为何值时，两点间的距离． 29．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 30．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）下列说法中，错误的个数是（   ） ①若，则； ②若，则有是负数： ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式值为2024； ⑤若，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．（24-25七年级上·海南儋州·期中）规定，，例如，，下列结论中，正确的是（    ） ①若，则； ②若，则； ③能使成立的的值不存在； ④式子的最小值是． A．①② B．①②④ C．①④ D．①②③④ 32．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的绝对值方程有三个解，则 ． 33．（24-25七年级上·四川成都·期中）成都外国语学校有五个优质摄影社团，依次为一社、二社、三社、四社、五社，它们分别有相机15，7，11，3，14台，现在为使各社团相机台数相等，各调几台给相邻社团，规定一社给二社台，二社给三社台，三社给四社台，四社给五社台，五社给一社台，则调动相机总台数的最小值为 ． 34．（24-25七年级上·湖南常德·期中）下列说法中，正确的是 ．（请写出正确的序号） ①若，则； ②的最大值为2； ③若，则是负数； ④三点在数轴上对应的数分别是、x、6，若相邻两点的距离相等，则； ⑤若代数式的值与无关，则该代数式值为2024； ⑥若，则的值为1． 35．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）对于有理数，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如：，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为______； (2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为和关于2的“美好关联数”为知关于3的“美好关联数”为和关于41的“美好关联数”为． ①求的最小值； ②求的最小值． 36．（24-25七年级上·天津河北·期中）在一条光滑的轨道上，滑块，可在轨道上进行无摩擦的滑动，，分别从点，同时出发，以相同的速度相向运动．沿着轨道建立数轴，规定向右为正方向，，两点表示的数分别为，，且，b满足． (1)则______，______； (2)若，的速度均为个单位/秒，运动时间为（秒）．，滑块碰撞后会相互弹开，并分别以原来速度的和原路返回，问：经过多长时间，两滑块在轨道上相距个单位长度？（不考虑滑块的尺寸大小） (3)拓展应用： 已知数轴上两点，对应的数分别是，，，，为数轴上三个动点，点从点出发速度为每秒个单位，点从点出发速度为点的倍，点从原点出发速度为每秒个单位．若点，，同时都向右运动，求多长时间点到点，的距离相等？ ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13绝对值及化简求值类问题（巩固提升20题+能力培优8题+拓展突破8题） 知识清单 1.绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 2.绝对值的代数定义 （1）一个正数的绝对值是它本身；（2）一个负数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0. 可用字母表示为： ①如果a>0，那么|a|=a； ②如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0． 可归纳为①：a≥0|a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数．） ②a≤0|a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数．） 3.几何意义常见类型 类型一： 表示数轴上的点a到原点O的距离； 类型二： 表示数轴.上的点a到点b的距离(或点b到点a的距离)； 类型三： 表示数轴上的点a到点-b的距离(点b到点- a的距离)； 类型四： 表示数轴上的点x到点a的距离； 类型五： 表示数轴上的点x到点-a的距离. 1．（2024七年级上·全国·专题练习）若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 【答案】A 【分析】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”是解题关键．根据相反数的定义可得，再通过“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”，计算出a和b的值，即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ， 解得， ∴， 故选：A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）若，则的值是（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值，代数式的化简求值问题．解此题的关键是在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号．在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式， 故选：D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）适合的整数a的值有（　　） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴，绝对值的几何意义，此方程可理解为数轴上a到和3的距离的和，由此可得出a的值，进而可得出答案． 【详解】解： ， 可理解为数轴上a到和3的距离的和， 和3之间的距离为8， 当时，均满足， a为整数， 可以为，，，，，0，1，2，3，共9个， 故选D． 4．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）对于有理数，定义一种新运算“”，规定．当在数轴上的位置如图所示时，化简得（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值与数轴，合并同类项等知识．根据数轴判断绝对值中式子的正负情况，然后去绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：根据题意可知：，， ∴，， 则． 故选：B． 5．（24-25七年级上·山东济宁·期中）已知，．则代数式的值为（　　　） A． B．3 C．或3 D．或1或3 【答案】A 【分析】本题考查绝对值，理解当时，，当时，是正确解答的前提．根据当时，，当时，，再由，分情况讨论得出答案． 【详解】解：当时，，当时，， ， ，，， ， 由于，，因此有， ①，，，原式； ②，，，原式； ③，，，原式； 故选：A． 6．（24-25七年级上·山东临沂·期中）若互为相反数，互为倒数，是绝对值最小的数，则的值是（   ） A． B． C． D．2024 【答案】B 【分析】本题考查相反数，倒数和绝对值的性质，熟练掌握这些性质是解决本题的关键．根据相反数的性质得，由倒数的性质得，根据绝对值的性质可得，代入式子求值即可． 【详解】解：由题意得， ， 故选：B． 7．（24-25七年级上·江苏南通·期中）下列说法中：①2.04（精确到0.1）取近似数是2.0；②两个三次多项式的和一定是三次多项式；③若是8的相反数，比的相反数小3，则；④若，则可能的值为0或；正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查近似数，绝对值，相反数及整式加减，解题的关键是掌握相关概念，能进行准确计算．由四舍五入可判断①；根据整式的加减可判断②；求出a，b相加可判断③；根据，可判断出，中负数的个数为1个或2个，然后分类化简可判断④． 【详解】解：①2.04（精确到0.1）取近似数是2.0，故①正确； ②两个三次多项式的和不一定是三次多项式；故②错误； ③a是8的相反数，b比a的相反数小3，则，故③正确； ④∵， ∴中负数的个数为1个或2个， 当中负数的个数为1个时， 原式． 当中负数的个数为2个时， 原式，故④错误． 故选：C． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）如果有理数，，满足，对于以下结论：①；②；③当a，b互为相反数时，不可能是正数；④当时，．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算，绝对值的性质，含绝对值的整式的化简是解答本题的关键， 绝对值化简方法为． 根据绝对值的化简方法，可知或，由此可判断①不正确，②正确； 当a，b互为相反数时，，代入，可得，即得，所以③正确； 当时，可知，且，则可化简的值，从而可知④正确；故可知正确的个数． 【详解】， 或， 或， ， 所以①不正确，②正确， 当a，b互为相反数时，， ， ， ， 所以③正确， 当时，则，且， ， 所以④正确， 所以正确的个数是3， 故选：C． 9．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）如图，数轴上点的初始位置表示的数为，现在点做如下移动：第次点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，，按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离不小于，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数字的变化规律以及数轴上点的距离，根据题意，找到数轴上点所对应的数的变化规律，是解题的关键．由题意得：序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到表示的数为，表示的数为22，则可判断点与原点的距离不小于20时，n的最小值． 【详解】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点，则表示的数为：； 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则表示的数为：； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则表示的数为：； 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则表示的数为：； 第5次从点向左移动15个单位长度至点，则表示的数为：； …； 以此类推： 表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：， 表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：， ∴点与原点的距离不小于20时，n的最小值是14． 故选：C． 10．（24-25七年级上·全国·期中）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（    ） A．秒 B．秒或者秒 C．秒或秒 D．秒 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点的表示，解一元一次方程，绝对值，结合动点运动情况确定点所表示的数是解题的关键． 由确定点表示的数为，由点、点分别到原点的距离相等，分别表示出，，建立方程求解即可． 【详解】解：∵点表示的数为，， ∴， ∴点表示的数为， 设经过秒，点、点分别到原点的距离相等，则点运动距离为，则点表示的数为，点运动的距离为，点表示的数为， ∴，， 根据题意得：时， 即， ∴或， 解得：或， 即经过秒或秒后，点到原点的距离相等． 故选：B． 11．（24-25七年级上·北京·阶段练习）如图，、、是数轴上点表示的有理数．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，以及合并同类项，根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键．根据数轴判断出的正负情况以及绝对值的大小，然后求出的正负情况，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后合并同类项即可得解． 【详解】解：由图可知：， 所以可得， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）已知实数x，y满足，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值、绝对值和偶次方的非负性；根据绝对值和偶次方的非负性求得x、y的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 13．（23-24七年级上·江西赣州·期中）已知四个有理数a，b，c，d满足，则的值等于 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了绝对值的意义以及有理数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义结合分类讨论的思想解题是关键． 根据，得到a，b，c，d中负数个数为1个或3个，然后分情况求解即可． 【详解】解：根据，得到a，b，c，d中负数个数为1个或3个， 则原式或． 故答案为：2或． 14．（24-25七年级上·辽宁营口·期末）如图，数轴上点A和点B表示的数分别是3和，动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速移动，动点Q同时从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速移动．设移动时间为t秒，当动点Q到点B的距离等于动点P到点B的距离时，t的值 ． 【答案】3秒或9秒 【分析】此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，正确理解数轴上两点之问的距离是解题的关键．点表示的数为，点表示的数为，可得点到点的距离为，点到点的距离为，列方程即可解答． 【详解】解：根据题意，点表示的数为，点表示的数为， ∵表示的数是， ∴点到点的距离为，点到点的距离为． ， 解得：或， 故答案为：3秒或9秒． 15．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减，绝对值，利用有理数的加减法即可解答，熟练进行计算是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·江苏南通·期中）先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是． 原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是_______； (2)尝试解绝对值方程：； (3)在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了解一元一次方程、绝对值，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）分类讨论：①当时，②当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （3）分类讨论：①当，②当，③当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：讨论：①当时，原方程可化为， 解得：． ②当时，原方程可化为， 解得：． ∴原方程的解为或， 故答案为：或． （2）， ①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是； ∴原方程的解为或． （3）， ①当，即时，原方程可化为，它的解是； ②当，即时，原方程可化为，它的解是； ③当时，原方程可化为，此时方程无解； ∴原方程的解为或． 故答案为：或． 17．（24-25七年级上·四川自贡·阶段练习）已知有理数、在数轴上对应位置如图： (1)用“”或“”填空： ①；②； (2)比较、、、的大小（用“”把它们连接起来）； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，以及数轴的性质，熟知有理数大小比较的法则是解答此题的关键． （1）根据数轴和绝对值的意义，可得答案； （2）根据相反数的意义，数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案； （3）根据绝对值的性质，可得答案． 【详解】（1）解：由数轴可得： ① ；②； 故答案为：； （2）解：因为 所以，的大小关系为：； （3）解：因为 所以 ． 18．（23-24七年级上·江西赣州·期末）已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足，请回答问题． (1)请直接写出a、b、c的值．______，______，______； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到1之间运动时，请化简式子：（请写出化简过程）； (3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度也向左运动，运动时间为是否存在t，使A、B、C中一点是其它两点的中点，若存在，求t的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)；1；5 (2) (3)t的值是或1或 【分析】（1）根据b是最小的正整数，以及偶次方和绝对值的非负性进行求解即可； （2）根据，结合绝对值的意义，化简即可； （3）分A是的中点，B是中点，C是中点三种情况，进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，； （2）解：当时， ； （3）解：存在t，使A、B、C中一点是其它两点的中点，理由如下： 根据题意，运动后A表示的数是，B表示的数是，C表示的数是， ①A是的中点时，， 解得， ②B是中点时，， 解得， ③C是中点时，， 解得， 综上所述，t的值是或1或． 【点睛】本题考查整式的加减，一元一次方程的应用，数轴上两点间距离，绝对值的意义．熟练掌握绝对值的意义，以及数轴上两点间的距离公式，是解题的关键． 19．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知数轴上两点对应的数分别为，且满足． (1)求点A、两点对应的有理数是______、______； (2)若点到点A的距离正好是5，则点所表示的数为__________； (3)若点所表示的数为9，现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向右运动，若运动的时间为秒 ①点运动秒后所在位置的点表示的数为________； ②点运动秒后，；（用含的式子表示） ③若的值不随时间的变化而改变，求的值． 【答案】(1)、3 (2)4或 (3)①；②；③ 【分析】（1）非负性求出a、b的值，即可求出答案； （2）设点C所表示的数是x，再建立方程，解方程即可得到答案； （3）①若运动的时间为秒，则运动后点所在位置的点表示的数为；②点运动秒后，；③，进而得到，即可求出的值． 【详解】（1）解： ， ， 解得， 点A、两点对应的有理数分别是、3， 故答案为：、3； （2）设点C所表示的数是x， 根据题意得，， 即或， 解得：或， 点所表示的数为4或， 故答案为：4或； （3）①点运动秒后所在位置的点表示的数为， 故答案为：； ②点运动秒后，， ， 故答案为：； ③， 的值不随时间的变化而改变， ， 解得， 的值为2． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点的距离求法，非负数的性质，整式加减中无关型问题，绝对值方程，理解非负数的性质，掌握数轴上动点问题的解法是解题的关键． 20．（24-25七年级上·湖北荆州·期中）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 【答案】(1)，（写成也可） (2)或 (3)，，，，， (4)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的意义． 根据题干中提供的两点之间的距离公式计算即可； 根据绝对值的定义可得，解方程即可得到的值； 根据绝对值表示的意义分当、、时三段分别求解； 根据绝对值表示的意义可知数式表示到和的距离之和，所以可知当代数式取最小值时，表示的点一定在和之间且和的距离是，可得，根据绝对值的意义解方程求出． 【详解】（1）解：数轴上表示与的两点之间的距离是； 数轴上表示与的两点之间的距离是； 故答案为：，； （2）解：， ， 或， 或； （3）解：当时， ， ， 整理得：， 解得：， ， 不在取值范围之内，故不符合题意； 当时， 可得：， 整理得：， 即当时，恒成立， 在之间的整数有、、、、、； 当时，， 解得：，不在取值范围之内，故不符合题意； （4）解：代数式表示到和的距离之和， 当代数式取最小值时，表示的点一定在和之间，且和的距离是， 即， ， 解得：或． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）在数轴上表示有理数，，的点如图所示，若，，则下面四个结论：①；②；③；④，其中一定成立的结论个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要了数轴，绝对值，有理数的加法和乘法法则，解题的关键是掌握和的符号与加数的关系．根据已知得出，，b的符号无法确定，再逐个判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ①b的符号无法确定，故不一定成立，故①不符合题意； ②∵b的符号无法确定，故不一定成立，故②不符合题意； ③∵，∴，故③一定成立，符合题意； ④∵， ∴原点在点A和点C之间， ∵表示点A与点C之间的距离，表示点A到原点距离， ∴，故④不成立，不符合题意； 综上：一定成立的结论有③，共1个， 故选：A． 22．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）下列说法正确的有（   ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③若代数式的值与无关，则该代数式值为； ④代数式最大值是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，化简绝对值，掌握绝对值的意义，有理数混合运算的计算方法是正确解题的关键． 根据绝对值，分式有意义的条件逐项进行判断即可． 【详解】解：①则，故①正确； ②∵ ∴或或或， 当时，， 当时，， 当时，是正数， 当时，是正数， 故②正确； ③∵的值与无关， ∴， 故③正确； ④∵的最大值为， ∴， ∴不存在， 故④错误； ∴说法正确的是①②③，有3个， 故选：C． 23．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，满足，则下列各式：①；②；③；④ 若b比a小2，则，其中正确的个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值，根据数轴上的数右边的比左边的大，结合绝对值的意义，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知：，且 ∴，，，故①正确； ∴，；故②错误， ∵， ∴；故③正确； 若b比a小2，则：， ∴；故④正确； 故选B． 24．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，．有下列结论：①；②；③；④；则其中结论正确的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，根据数轴可得，，据此逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故①不符合题意； ∵， ∴，故②符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵，， ∴，故④符合题意； 故答案为：②③④． 25．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知、、均为非零有理数，若这三个数的和小于0，积大于0，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了绝对值的性质、有理数的乘法、有理数的加法，由题意可得、、中两个数为负数，一个数为正数，再分三种情况：当为正数，、为负数时；当为正数，、为负数时；当为正数，、为负数时；分别求解即可得解． 【详解】解：∵、、均为非零有理数，若这三个数的和小于0，积大于0， ∴、、中两个数为负数，一个数为正数， 当为正数，、为负数时，此时， 当为正数，、为负数时，此时； 当为正数，、为负数时，此时； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 26．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知：，且的最大值是，最小值是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，解决本题的关键利用分类讨论的思想，分情况讨论分别计算出不同情况下代数式的值，从而得到、的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：当、、、都为正数时， ， 当、、、有个正数、个负数时， 则有， ， 当、、、有个正数、个负数时， 则有， ， 当、、、有个正数、个负数时， 则有， ， 当、、、都为负数时， 则有， ， ，， ． 故答案为： ． 27．（24-25七年级上·广西柳州·期中）阅读材料：点在数轴上分别表示有理数，，两点之间的距离可表示为．例如：7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示6的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和2，数轴上另有一个点P对应的数为有理数． (1)请根据阅读材料填空： 数轴上A，B两点之间的距离为 ，点P、B之间的距离 （用含的式子表示）；若，则 ； (2)请根据阅读材料和题（1）中结论，请用文字语言叙述表示的几何意义： ． 根据几何意义，解决下列问题： ①若点P在线段上，则 ； ②若，则点P表示的有理数的值为 ． 【答案】(1)3，，或6 (2)数轴上表示有理数 x 的点与表示的点之间的距离（或数轴上P 点与A 点之间的距离）①3；②或4 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值方程的含义，一元一次方程的应用，熟练的利用两点之间的距离公式进行解题是解本题的关键． （1）根据两点间的距离公式，进行求解即可； （2）根据绝对值的意义进行作答即可；①根据绝对值的意义，进行求解即可；②分三种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：，， 当时，或； 故答案为：3，，或6 （2）表示的几何意义：数轴上表示有理数 x 的点与表示的点之间的距离（或数轴上P 点与A 点之间的距离）； ①当点P在线段上，则； ②时，分两种情况， 时，， 解得：； 时，， 解得：． 综上可知，点P表示的有理数的值为或4． 28．（24-25七年级上·广东珠海·阶段练习）阅读理解，问题解决 【方法指导】数轴上的动点问题，若是告诉了运动速度，一般设运动时间为t，用含t的式子表示出动点及点与点之间的距离，通过题目中的和差倍分关系建立方程求解即可，若是求定值，含参数计算也可得结果． 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示、在数轴上对应的两点之的距离，，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离，一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离用线段AB的长度表示，有． 问题解决：如图，在数轴上，点A表示，点B表示，点C表示．动点P从点A出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动．设运动时间为t秒． (1)当时，线段的长为________；线段的长为________． (2)在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时； (3)当t为何值时，两点间的距离． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，一元一次方程的应用；掌握数轴上两点的距离计算是解题的关键． （1）根据题意表示出点P和点Q表示的数，进而求出时点P和点Q表示的数，再根据两点距离计算公式求值即可； （2）根据题意表示出，的长度，然后根据列方程求解即可； （3）首先表示出，的长度，然后根据列方程求解即可． 【详解】（1）已知点A表示，点B表示，点C表示， 由动点P从点A出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动， 可得动点P表示的数为， 由动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， 可得动点Q表示的数为， 当时，点P表示的数为， 点Q表示的数为， ，． （2）点P表示的数为， 点Q表示的数为， 点Q出发后到达点B之前， ， ， 当时，， 或， 解得或． （3）点P表示的数为， 点Q表示的数为， ， ， ， 则， 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得，不合题意舍去； 综上所述，或时，． 29．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的意义，两点间的距离公式，根据绝对值的意义，把求的最小值转化为求的最小值问题是解题的关键；先求出值最小，的最小值，两个最小值的条件是一致的，再求出答案即可． 【详解】解：， 的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和， 当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离， 的最小值为， 的最小值是0，且取最小值时x的值为，且当时，最小值是3， 的最小值为， 的最小值是， 故选：． 30．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）下列说法中，错误的个数是（   ） ①若，则； ②若，则有是负数： ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式值为2024； ⑤若，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算、绝对值的意义，整式的加减，根据绝对值的意义和分母不能为0可判断①；根据绝对值的意义和有理数的运算法则可判断②；根据两点间的距离可判断③；根据与无关化简后可判断④；根据绝对值的意义和有理数的运算法则可判断⑤． 【详解】解：①若，则，故①正确，不符合题意； ②若， 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； ，故②错误，符合题意； ③、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则或或14，故③错误，符合题意； ④若代数式的值与无关， 则 ，故④正确，不符合题意； ⑤，， 、、中一定是一正两负，，，， 不妨设，，， ，故⑤错误，符合题意； 故选：C． 31．（24-25七年级上·海南儋州·期中）规定，，例如，，下列结论中，正确的是（    ） ①若，则； ②若，则； ③能使成立的的值不存在； ④式子的最小值是． A．①② B．①②④ C．①④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查定义新运算，化简绝对值，整式的加减运算，根据新运算的法则，结合绝对值的意义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，则：， ∴， ∴；故①正确； 当时，则；故②错误； 当时，则：，解得：，故③错误； ， ∴当在和之间时，有最小值为：；故④正确； 故选C． 32．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的绝对值方程有三个解，则 ． 【答案】4 【分析】首先去绝对值符号得到，然后分情况再次去绝对值符号共得到四种情况：、、、，然后用含的代数式表示出方程的解，再根据方程有三个解，所以可得：，或，求出或，再根据绝对值的非负性可得． 【详解】解：， ， 当时， 移项得：， ， 若， 解得：， 若， 解得：； 当时， 移项得：， ， 若， 解得：， 若， 解得：； 或或或， 方程有三个解， 或， 或4， ， ． 故本题答案为：4． 【点睛】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，解决本题的关键是正确理解绝对值的意义并根据绝对值的定义去掉绝对值符号，把方程转化为一般形式的方程． 33．（24-25七年级上·四川成都·期中）成都外国语学校有五个优质摄影社团，依次为一社、二社、三社、四社、五社，它们分别有相机15，7，11，3，14台，现在为使各社团相机台数相等，各调几台给相邻社团，规定一社给二社台，二社给三社台，三社给四社台，四社给五社台，五社给一社台，则调动相机总台数的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何意义，有理数的加减计算，根据题意求出调动后每个社团的相机都为10台，再用分别表示出，，，，再利用绝对值的几何意义求解即可． 【详解】解：∵台， ∴调动后每个社团的相机都为10台， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由绝对值的几何意义可知表示的是数轴上表示数的点到表示数0和数9的两个点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， 同理当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为0， ∴当时，，和能同时取得最小值， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴调动相机总台数的最小值为， 故答案为：． 34．（24-25七年级上·湖南常德·期中）下列说法中，正确的是 ．（请写出正确的序号） ①若，则； ②的最大值为2； ③若，则是负数； ④三点在数轴上对应的数分别是、x、6，若相邻两点的距离相等，则； ⑤若代数式的值与无关，则该代数式值为2024； ⑥若，则的值为1． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】本题考查有理数的混合运算、整式的乘除、平方差公式，解答本题的关键是对于错误的结论，要说明理由或者举出反例．根据各个小题中的说法，可以判断是否正确，尤其是对于错误的结论，我们只要说明理由或者举出反例即可． 【详解】解：①若，则，故①正确； ②的最小值为0，则的最大值为2，故②正确； ③因为， 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时；， 当时，此时； ，故③错误； ④、、三点在数轴上对应的数分别是、、6，若相邻两点的距离相等， 当三点在数轴上的位置为、、时，此时，解得； 当三点在数轴上的位置为、、时，此时，解得； 当三点在数轴上的位置为、、时，此时，解得； 故或或14，故④错误； ⑤若代数式的值与无关， 则 ，故⑤正确； ⑥，， 、、中一定是一正两负，，，， 不妨设，，， ，故⑥正确. 故答案为：①②⑤⑥． 35．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）对于有理数，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如：，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为______； (2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为和关于2的“美好关联数”为知关于3的“美好关联数”为和关于41的“美好关联数”为． ①求的最小值； ②求的最小值． 【答案】(1)8 (2)或 (3)①1；② 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． （1）认真读懂题意，利用新定义计算即可 （2）利用新定义计算求未知数x； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、……、n的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值． 【详解】（1）解： ， 和5关于2的“美好关联数”为8， 故答案为：8； （2）解∶和2关于3的“美好关联数”为4， ， ， 解得或； （3）解∶ ①和关于1的“美好关联数”为1， ， 在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， 有最小值1， 故答案为：1； ②由题意可知：， ， 的最小值； ， ， 的最小值； 同理，的最小值； 的最小值； …… 的最小值； 的最小值： ． 36．（24-25七年级上·天津河北·期中）在一条光滑的轨道上，滑块，可在轨道上进行无摩擦的滑动，，分别从点，同时出发，以相同的速度相向运动．沿着轨道建立数轴，规定向右为正方向，，两点表示的数分别为，，且，b满足． (1)则______，______； (2)若，的速度均为个单位/秒，运动时间为（秒）．，滑块碰撞后会相互弹开，并分别以原来速度的和原路返回，问：经过多长时间，两滑块在轨道上相距个单位长度？（不考虑滑块的尺寸大小） (3)拓展应用： 已知数轴上两点，对应的数分别是，，，，为数轴上三个动点，点从点出发速度为每秒个单位，点从点出发速度为点的倍，点从原点出发速度为每秒个单位．若点，，同时都向右运动，求多长时间点到点，的距离相等？ 【答案】(1)； (2)经过或秒，两滑块在轨道上相距个单位长度 (3)或秒时，点到点，的距离相等 【分析】本题考查了数轴、绝对值、解一元一次方程，关键是注意分类讨论． （1）根据，，可得、； （2）分类讨论：当未碰撞时，两滑块在轨道上相距个单位长度，可得，解得，当碰撞时，，可得相撞时，，在数轴上，当碰撞后，可得，综合以上即可解得； （3）分类讨论：当点还未追上点时，可得，当点追上点时，可得，即可解得． 【详解】（1）解： ， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：还未碰撞时，， 解得：， ， 解得：， 相撞时，，在数轴上处； 碰撞后，的速度为个单位秒，的速度为个单位秒， ， 解得：， ， 经过或秒，两滑块在轨道上相距个单位长度； （3）解：当点还未追上点时， ， 解得：， 当点追上点时， ， 解得：， 或秒时，点到点，的距离相等． ( 27 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$