寒假作业06 相似三角形的判定与性质13大题型巩固提升+能力培优+创新题型（巩固培优）九年级数学北师大版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 相似三角形的判定与性质 知识点一、相似三角形的相关概念 1、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 三角形相似具有传递性。 2、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 知识点二、相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。 知识点三、相似三角形的性质 ①对应角相等，对应边的比相等； ②拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 ③相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） 知识点四、利用相似三角形测高 1、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。 2、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 相似三角形的判定 1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在锐角三角形中，，上的高，相交于点D． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）由垂直的定义求得，利用公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似，即可证明； （2）由，得到，结合夹角相等，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，是，上的高， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴． 2．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，在矩形中，是边上的一点，连接，作交边于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）根据矩形的性质，垂直的定义，利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）根据矩形的性质，得，利用，求的长，再结合，解答即可． 本题考查了矩形的性质，垂直的定义，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 3．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，过点C作于点D，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过点F作于点H． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）依据题意，由，则，又，可得，从而可得，进而可以得解； （2）由点E为的中点，得，结合可得，故，又，，则，从而，结合，可得，进而可以得 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵点E为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线截线段成比例定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，解题时要熟练掌握并能找出相似三角形是关键． 4．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． (1)试说明； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理、相似三角形的判定等知识点，弄清楚线段间的关系是解题的关键。 （1）由平行线等分线段定理可得，再结合即可证明结论； （2）由可得，即，进而得到；从而得到，再结合即可证明结论。 【详解】（1）解：∵， ， ， 。 （2）证明：， ， ， ． ， ． 又， ． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等边对等角得到，然后结合角平分线得到，然后结合即可得到； （2）首先由三角形内角和定理求出，然后利用含30度角直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图，， ， 平分交于点， ， ， ， ∽． （2）解：如图，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了等边对等角，相似三角形的判定，三角形内角和定理，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 题型二 选择或补充条件使两个三角形相似 6．（25-26九年级上·吉林松原·期末）如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点．若添加一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题核心是运用相似三角形的判定定理，通过分析各选项提供的条件与已知平行关系结合后能否满足判定规则，关键在于准确识别角的对应关系和边的比例关系．利用相似三角形的判定定理，对每个选项逐一分析是否能推出，从而确定无法判定的条件． 【详解】已知，可得． 若添加条件，可得． 因此． 又因为，为截线，可得． ． 因此选项A不符合题意． 若添加条件， 由，为截线，可得． 此时与中，且夹角， 故． 因此选项B不符合题意． 若添加条件， ∵， ． ， ． 因此选项C不符合题意． 若添加条件，． 该比例中，与的夹角为，与的夹角为． 虽然可得，但与无直接等量关系，且比例对应的角并非“夹角”；同时也无法通过其他判定定理证明相似．因此添加该条件后，仍无法判定，选项D符合题意 故选D 7．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）如图，已知点D，E分别在的边上，连接．若添加下列一个条件后，可以判定，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是关键． 根据相似三角形的判定定理分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故B能判定，符合题意； A 、C、 D选项均不能判定， 故选B 8．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图：点D在的边上，连接，下列条件：①；②；③；④．其中不能判定的是 （填序号）． 【答案】④ 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：①， ∴， ②∵， ∴， ③∵， ∴， ∵， ∴， ④条件不符合，不能判定， 故答案为：④． 9．（24-25八年级下·浙江金华·月考）如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：①；②；③；④中的一个，能得出和相似的是： （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论． 【详解】解：①，时，，故①符合题意； ②，时，，故②符合题意； ③，时， ，故③符合题意； ④，时，不能推出，故④不符合题意， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似． 10．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，． (1)求证：； (2)请添加一个条件__________，使，并写出证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)或或，证明过程见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由得，结合已知条件，利用即可求证； （2）添加条件；由得，推出，即可求证； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，． ∴； （2）解：添加条件； ∵； ∴， ∴，即， ∵， ∴； 同理还可添加条件：或． 题型三 相似三角形判定综合 11．（2025·江苏无锡·二模）如图，点E在的对角线上，当平分，且时． 求证： (1)四边形是菱形； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得，，从而即可得证； （2）由菱形的性质可得，．则．由，，证明三角形相似即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定及性质，相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 12．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识是解题的关键． （1）直接证明，然后根据全等三角形的性质证明即可； （2）先证明，，从而可得结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证，结合，则结论得证； （2）证明即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 14．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 15．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，是的中线，作于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形的性质可得；再说明，最后根据两组对应角相等的三角形是相似三角形即可证明结论； （2）根据相似三角形的性质可得，进而得到，最后根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】（1）证明：是的中线，， ，即， ， ， ． （2）解：， ，即， ， 是的中线， ． 题型四 相似三角形判定定理的证明 16．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，中，，D为AB上一点，下列条件：①，②，③，④中，能判定与相似的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．根据相似三角形的判定与性质对各个结论逐一分析即可． 【详解】解：∵，， ∴，∴①可以； ∵，， ∴，∴②可以； ∵已知，但是夹角和不知道相等， ∴不能判断两个三角形相似，∴③不可以； ∵， ∴， ∵， ∴，∴④可以； 故选：C． 17．（25-26九年级上·全国·阶段练习）如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有 对相似三角形． 【答案】6 【分析】根据矩形的性质得到，根据邻补角的定义得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】四边形是矩形， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有6对相似三角形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 18． （25-26九年级上·全国·阶段练习） (1)如图①，在中，是上一点，，垂足为D．求的长． (2)如图②，在中，，点分别在线段上，．求的长． 【答案】(1) ； (2) 。 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得到，把边长代入即可求解； （2）在上截取，连接BH，根据等边三角形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质得到相似比，即可求解。 【详解】（1）解： ； 又， ． ， ， 解得； 故答案为. （2）解：在上截取，连接，如图． ， 为等边三角形， ， ． ， ， ． 又， ， 即， 解得． 19．（24-25九年级上·辽宁铁岭·月考）四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． (1)若，求的长； (2)如果，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，由平行线分线段成比例定理得，继而得到，根据平行四边形性质得，推出，可得结论； （2）根据中点的定义及已知得，由（1）知，推出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， ∵点和点分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴的长为； （2）证明：∵为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点．掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定是解题的关键． 20．（24-25九年级上·海南儋州·期中）如图，在四边形中，是的中点，和交于点，，． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）证明是的中位线，得，，继而推出，，根据相似三角形的判定即可得证； （2）由（1）知：，根据平行四边形的判定即可得证； （3）根据三角形中位线的性质推出，，继而得到，，由平行四边形的性质得，最后利用勾股定理可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴； （2）由（1）知：，即， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵，，， ∴， 由（1）知：，， ∴，， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， 在中，， ∴的长为． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 题型五 证明三角形的对应线段成比例 21．（24-25八年级下·上海静安·期末）如图，在四边形中，，，且，，点P在边上，点B关于直线的对称点为Q，的延长线交边于点R，如果，那么线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查直角平行四边形的判定和性质，平行线等分线段定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质与判定． 连接交于O，证明四边形是平行四边形，再根据得出，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：如图，连接交于O． ，， 四边形是平行四边形， ， B，Q关于对称， ， ， 在中，，，， ． 故答案为：． 22．（24-25九年级上·上海浦东新·月考）如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则 ． 【答案】4 【分析】根据∠ADE=∠C及∠A为公共角可得△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质可得，进而求出AD的值即可. 【详解】∵∠ADE=∠C，∠A为公共角， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∵DE=3，BC=6，AC=8， ∴， 解得：AD=4， 故答案为：4 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键. 23．（25-26九年级上·江西抚州·期中）已知，点是上任意一点，菱形菱形． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据菱形的性质可得，再由菱形菱形，可得，由此可证； （2）根据菱形的性质可得边长与角度的关系，即可得，根据直角三角形可得，再根据相似三角形边长成比例求解即可． 【详解】（1）证明：在菱形中， ∴， ∴， ∵菱形菱形， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：在菱形中， ∴，， 在菱形中，， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， 由（1）知，， ∴， 即，解得． 24．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，再结合可证，再根据两组对角相等的三角形是相似三角形即可证明结论； （2）根据正方形的性质以及已知条件可得、，再结合列比例式求解即可． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ． （2）解：四边形为正方形， ． ， ，， ， ， ，解得：． 25．（2025·广东深圳·一模）如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）要证，过点B作，交的延长线于H，证得，得出与的数量关系，再证得，得出根据线段间关系，即可求证； （2）要求的值，根据角度间的转化，得出，即可求出的值，根据，推出，即可得到最后结果． 【详解】（1）证明：如图，过点B作，交的延长线于H， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ,， ， ， ． （2）解：，， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 设，则， ，, ， 解得（舍去），， ， 又， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求证三角形相似和全等，正确做出辅助线，利用直角三角形特殊三角函数求角，是解本题的关键． 题型六 利用相似三角形的性质求解 26．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，同高三角形的面积比，理解“同高三角形面积比等于底的比”是解题关键． 先由得，根据两个三角形的面积比推出，再由推出，最后由“同高三角形的面积比等于底的比”得出结果． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的高相等， ． 故选：． 27．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，是上的一点，，点是的中点，设，，的面积分别为，，，且，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查求解三角形面积；结合图形，利用高相同，底的比即为面积比计算是解题关键． 利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，点是的中点则，则，然后利用即可得到答案． 【详解】解：点是的中点， ， ， ， ，， ， ． 故选A． 28．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，点在边上，过点的直线与边相交于点，若，，，当与相似时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是相似三角形的对应边成比例，分两种情况讨论，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：①当时·，即， 所以； ②当时，，即, 所以. 综上所述，或． 故答案为：或． 29．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）如图，在中，，在上取一点，使，，如果在上取一点，使与相似，则长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，分类讨论相似的对应情况是解题的关键．根据相似三角形的对应边成比例，分“”和“”两种情况分析，结合已知边长计算出的可能值，再结合题目条件确定最终结果． 【详解】解： ① ， ， 又， ． ② ， ， 又， ． 故答案为：或． 30．（25-26九年级上·浙江·期末）如图，在中，点分别在边上，连结，与相交于点．已知四边形是平行四边形，且． (1)若，求线段的长． (2)若四边形的面积为32，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，根据平行线的性质找到相似三角形是解题关键． （1）利用四边形是平行四边形，通过平行关系证出，，再通过相似三角形的性质，通过比例关系求解即可； （2）利用（1）中的相似三角形，求出图中三角形的面积关系，再求解即可． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，∴． ∵， ∴， ∴，∴． （2）由（1），得，， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 题型七 相似三角形的判定与性质综合 31．（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，在和中，，平分． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可求出的长，再利用相似三角形的性质即可得的长． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵在中，，，， ∴， 由（1）已证：， ∴，即， 解得． 32．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，交于点F，． (1)求证：； (2)如果． ①若，求的长； ②若四边形的面积为24，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①5；②1 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由平行四边形的性质可得，，可得，，再证明，最后可得出； （2）①先证明，可得，从而可得，求出，再证明，可得，再求解即可； ②设与之间的距离为，由四边形的面积为24，可得，再求出 ，再由求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ； （2）解：①， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②设与之间的距离为， 四边形的面积为24， ， ， ， ． 33．（25-26九年级上·甘肃白银·期末）如图，在中，点P，D分别在边，上，，垂足为A，，垂足为P，且． (1)求证： (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，根据条件找到图中的相似三角形是解题关键． （1）根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，通过相似三角形的性质即可证明； （2）先通过（1）中的相似三角形，得到相等角，利用等角对等边，求出，再利用角的等量代换，得到另一组相等角，从而证明另一组相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． 又， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）解：由（1），得， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 故的长为． 34．（25-26九年级上·安徽·期末）如图，在中，是边上一点，连接，，的平分线交于点． (1)求证：； (2)已知． ①求的值； ②若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②的值为8 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及角平分线定义、等腰三角形性质、外角性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由角平分线定义得到，设，根据等腰三角形性质、外角性质即可得出、，从而判定； （2）①由得到，由得到，等量代换确定即可得到答案； ②由条件得到，先判定，进而由相似比列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：平分， ， 设， ， ，， 是的一个外角， ， 即， ， ， ； （2）解：①， ， ，， ， ， ， ， ， ； ②，， ， 由（1）知， 又， ， ， ， 即， 解得或（线段长度为负值，舍去）， 的值为． 35．（2026·湖北·模拟预测）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．   （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 题型八 利用相似求坐标 36．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质及平面直角坐标系中坐标的变化规律．先根据已知条件得出的比值，在平面直角坐标系中，根据点G的坐标得出其横纵坐标的值，由题意易证得，从而得到相关线段的长度，进而求得点B的横纵坐标并最终求出点B的坐标． 【详解】解：∵， ∴， 又∵点， ∴，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴，即，，即， ∴点B坐标为， 故选：D． 37．（2025·海南海口·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论． 【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形， ∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0）， ∴AC=6，OC=2，OB=7， ∴BC=9， ∵四边形OCDE是正方形， ∴DE=OC=OE=2， ∴O′E′=O′C′=2， ∵E′O′⊥BC， ∴∠BO′E′=∠BCA=90°， ∴E′O′∥AC， ∴△BO′E′∽△BCA， ∴， ∴， ∴BO′=3， ∴OO′=7-3=4， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 38．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 【答案】或； 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴ ，， ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 39．（24-25九年级上·江苏盐城·月考）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可． 【详解】根据题意： OA=2，OB=1，AB=， △ABC和△OAB相似应分两种情况讨论， 当∠BAC=90°时，如图，△ABC即为所作 ∵△ABC∽△OBA， AB∶OB=BC∶BA，即：∶1=BC∶， 解得BC=5， ∴OC=4， ∴C点坐标为(4，0)， 当∠ABC=90°时，AB∶OB=∶BA， =，=5， 此时C点坐标为(3，2)， 综上所述，C点坐标为 (4，0)或(3，2)， 故答案为：（4，0）或（3，2）． 【点睛】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图． 40．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是 ．    【答案】（2，0）或（，0） 【分析】设P（x，0），可表示出AP的长，分△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得P点的坐标． 【详解】解：∵A（4，0）和B点（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB=5， ∵C是AB的中点， ∴AC=2.5， 设P（x，0）， 由题意可知点P在点A的左侧， ∴AP=4﹣x， ∵以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似， ∴有△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB两种情况， 当△APC∽△AOB时，则，即，解得x=2， ∴P（2，0）； 当△ACP∽△AOB时，则，即，解得x=， ∴P（，0）； 综上可知P点坐标为（2，0）或（，0）． 故答案为：（2，0）或（，0）． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论． 题型九 在网格中画与已知三角形相似的三角形 41．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，、甲、乙、丙、丁都是正方形网格的格点，若，则点应是网格中的点（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例解决问题即可． 【详解】如图， ， ∴两个三角形的对应边的比是， ， 观察图象可知点与丁重合， 故选: D． 42．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理与网格，根据相似三角形的性质画出图形,即可求解． 【详解】解：如图所示， ，，，，，， ， ， ，，，，， ， ， 综上所述，与相似（但不全等）的格点三角形的个数是2个 故选：B． 43．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点、、、都是格点，是一个格点三角形，且点的坐标是，若点、、、分别都和点、连接，且连接后构成的格点三角形和相似，则这个点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，直角坐标系，解题的关键是掌握相关知识．根据图形和勾股定理求出，，，，，得到，即可求解． 【详解】解：如图，点、、、分别都和点、连接， ，，，，， ，，， ， 和相似，即点和点、连接后构成的格点三角形和相似，， 故答案为：． 44．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 根据题意，得出的三边之比，并在直角坐标系中找出与各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：有图可知：的三边为： ，， ， 如图所示： 可能出现的相似三角形共有以下六种情况： ， 故答案为：6． 45．（25-26九年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均为的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹． (1)在图①中画的高． (2)在图②中画的中位线，使点、分别在边、上． (3)在图③中画，使点、分别在边、上，且，其面积比为． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（1）取格点T，连接交于点P即为所求； （2）由网格的特点取的中点E， 的中点F，连接即为所求； （3）取格点，H，连接即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； 由网格得， ∵ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了画三角形高，三角形的中位线，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 题型十 相似三角形的动点问题 46．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设t秒后，与相似，可表示出，，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设t秒后，与相似，则，， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故t的值为或时，与相似， 故选：C． 47．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（    ）s后，与相似． A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．设经过秒后两三角形相似，分两种情况分别计算，①若，得，②若，得，代入用表示的线段计算即可． 【详解】解：设经过秒后与相似， ∵， 若， 则需， ， 解得； ， 则需， ， 解得， 经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 48．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；同时动点从点出发，沿方向运动，如果点的运动速度为，点的运动速度为，那么运动 秒时，与相似． 【答案】或2 【分析】本题考查了相似三角形的性质等知识，注意分类讨论是解题关键．设运动时间为x秒，则，分和两种情况分类讨论，得到比例式即可求解． 【详解】解：设运动时间为x秒，则． 当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得． 故答案为：或2 49．（25-26九年级上·江西吉安·月考）如图，等边的边长为，，，为边上动点，以的速度从向运动，假设点运动时间为，当 时，与相似． 【答案】或或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况讨论，若，则；若，则，以此为等量关系列出方程，求出，进而求出时间即可． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴， 若， 则， ， 或4， 或， 若， 则， ， ， ， 故答案为：或或． 50．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）在平面直角坐标系中，已知，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动．如果同时出发，用表示移动的时间． (1)用含t的代数式表示：线段 ； ． (2)求当t为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出t的值． 【答案】(1) (2)当或3时，四边形的面积为 (3)当或1时，与相似 【分析】本题主要考查三角形的面积公式，相似三角形的性质， （1）由运动知，得出结论； （2）根据题意，列出方程，解方程即可求解； （3）分或两种情况，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案． 【详解】（1）解：由运动知，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ 解得：或3， ∴当或3时，四边形的面积为． （3）解：与相似，， 或， 或， 当，则， ， 当时，则， ， 当或1时，与相似． 题型十一 重心的有关性质 51．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，点是的重心，若的面积是12，则的面积是（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识．三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，，再根据的面积是12，推出． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线，， ∵的面积是12， ∴． 故选：D． 52．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，在中，D，E分别是的中点，与交于点G．若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形重心的性质；根据题意得到G点为的重心，再结合计算即可． 【详解】解：∵D，E分别是的中点，与交于点G． ∴G点为的重心， ∴， 故选：B． 53．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，点G是的重心，D是边上一点，，连接，连接并延长分别交、于点E、F，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的重心的性质、三角形中位线定理，取中点，连接，由题意可得，是中点，连接并延长交于，则点为的中点，即，过点作交的延长线于，证明，证明为的中位线，得出，，结合题意可得，证明，求出，，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接， ∵点G是的重心， ∴是中点， 连接并延长交于，则点为的中点， ∴， 过点作交的延长线于， ∴， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点，是中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 54．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，点P是的重心，连接并延长，交于点D，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的重心，等腰三角形的性质，掌握三角形的重心是三角形三边中线的交点是解答本题的关键． 依据P是的重心，即可得到是的中线，进而得出，结合图形求面积即可． 【详解】解：∵P是的重心， ∴是的中线， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 55．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，，连接交于点G，连接． (1)当时，求的值； (2)当时，取边中点F，连接交于点H．已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的性质、三角形重心的性质、相似三角形的判定和性质，重点掌握平行线分线段成比例的性质是解决本题的关键． （1）根据可得，则，进而可得，再根据平行线分线段成比例的性质可得，结合即可求解； （2）根据题意可证G为的重心，则，求出的长，再根据题意可证结合G为的重心的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． （2）解：∵， ∴D、E分别为和边中点． ∴G为的重心． ∴． ∵， ∴． ∵E为边中点、F为边中点， ∴． ∴． ∵G为的重心． ∴． ∴． ∴． 题型十二 相似三角形的实际应用 56．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）滹沱河是石家庄的“母亲河”，滋养着冀中平原．嘉嘉为测量滹沱河某段的宽度，采用如下方法：如图，该段河道两岸平行，他在对岸选定目标点，在靠近自己的河岸取点和，并在，的延长线上分别取点，，使，经测量米，米，点到的距离为350米，于点． (1)求的值； (2)求滹沱河该段的宽度． 【答案】(1)2 (2)700米 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定； （1）由可得，进而可得，最后求出； （2）过点E作，可得，得到，即可求解. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴. （2）解：过点E作垂足为，如图所示： 由题意得：米， ∵，，， ∴， ∴， ∴米. 57．（甘肃省白银市2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点在同一水平面上．求灯泡到地面的高度． 【答案】灯泡到地面的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，直接利用相似三角形的判定与性质得出的长，根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【详解】解：由题意可得：， 则， 故， 即， 解得：； ∵， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 58．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）龙角塔（图），位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量龙角塔的高度．他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与龙角塔顶点在同一条直线上．已知，，目测点到地面的距离，到龙角塔的水平距离，求龙角塔的高度． 【答案】龙角塔的高度为 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段的和差计算，通过证明三角形相似建立比例关系是解题关键． 先由、均垂直地面且平行地面，判定四边形是矩形，得，再通过直角和公共角证，利用相似边成比例求出，最后由算出龙角塔高度． 【详解】解：与地面保持平行， 地面， 地面， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， 即， 解得， ． 答：龙角塔的高度为． 59．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）学习了相似的相关数学知识以后，老师布置了阶段练习：查阅历史上相似学的典型应用．安安阅读了《周髀算经》，在这部中国最早的“测天量地”著作里，安安发现相似学大量用于测量，下面是安安关于“陈子模型”的学习笔记，请将表格补充完整，写出计算过程与结论： 测量目标 知道太阳的高低和大小 测量方法 使用圭表，利用影长测量人与太阳的距离：利用竹竿测量太阳直径． 测量一 图形 测量过程 已知：圭表高8尺，从太阳正下方无影之点直上到太阳的距离（）为里，圭表距太阳正下方的距离（）为里．步骤：在观测点 A．当圭表（）上的影长（）为6尺时，计算观测人与太阳的距离．即的长（点C为太阳中心点）． 计算过程及结论： 图形 测量过程 测量二 已知：与上述测量同时同地，利用竹空（古代望远设备）．竹空筒长 （H到的距离）与竹空直径（） 的长度之比为． 步骤：观测人让太阳（）的边缘恰好充满竹管的圆孔时可计算太阳的直径． 计算过程及结论： 【答案】人与太阳的距离约为10万里．太阳的直径为1250里．过程见解析 【分析】此题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先求出万里，证明，利用相似三角形的性质即可求出太阳的直径． 【详解】解：测量一结论：人与太阳的距离约为10万里． 在中，里． 万里 即：人与太阳中心的距离约为10万里． 测量二结论：太阳的直径约为1250里． 由测量一可知，人与太阳中心的距离为10万里 ， ． ， 万里 即：太阳的直径约为1250里． 60．（25-26九年级上·四川达州·期中）利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度，某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．根据上面活动报告，解答下列问题： 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 测量示意图 测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的小乐的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 小慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度为米，小慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为米． 小智在他前面立一根标杆，当小智的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为米，小智的眼睛距离地面的高度为米，小智与旗杆之间的距离为米，小智与标杆之间的距离为米． 计算结果 ．．． ．．． ．．． 反思 ．．． ．．． ．．． (1)利用方案测得旗杆的高度为___________米； (2)请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； (3)请利用方案帮小智计算旗杆的高度． 【答案】(1) (2)见解析；旗杆的高度为米 (3)旗杆的高度为米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例． （1）同一时刻下，物长与影子的长对应成比例，即，据此列出比例式求解即可； （2）先根据题意补全示意图，再证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）根据题意可知四边形和四边形均为矩形，从而得到、、、以及的长，再证明，得到，求出的长即可解答． 【详解】（1）解：由题意得， ，即， 米， 利用方案测得旗杆的高度为米； 故答案为：． （2）补全测量示意图如下所示，过点作， ，     又， ， ， ， ，即， 米， 旗杆的高度为15米； （3）如下图所示，过点作于点，与交于点， ， 四边形和四边形均为矩形， 米，米，米， （米）， ， ， ， ，即， 米， （米）， 旗杆的高度为5.585米. 题型十三 相似三角形的综合问题 61．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）我们对“等腰邻相似三角形”下个定义，以四边形为例，如图1，四边形中，为对角线，在的上取一点P，连接，如果是等腰三角形，且与相似，则我们称是该四边形边上的“等腰邻相似三角形”． (1)如图2， 中，，若是边上的“等腰邻相似三角形”，且， ，则的大小是 ； (2)如图3，在四边形中，若，，请在图3中画出一个边上的“等腰邻相似三角形”，并证明是边上的“等腰邻相似三角形”； (3)若是某个四边形的“等腰邻相似三角形”，且，与相似，请直接写出对角线长度的所有可能值． 【答案】(1) (2)见详解；见详解 (3)或 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，根据等边对等角得出，再结合已知条件进一步即可解决问题； （2）在线段上取一点P，使得，则即为所求，然后证明即可． （3）分四种情形分别求解即可解决问题； 【详解】（1）解∶∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∴ 故答案为：． （2）解：如下图：在线段上取一点P，使得，即等腰邻相似三角形， 证明∶∵, ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是一个边上的“等腰邻相似三角形”， （3）解：由题意是等腰直角三角形， ∵与，与相似， ∴，都是等腰直角三角形； 如图4中，当点P在线段上，时， ∵，，都是等腰直角三角形； ∴，，，，, ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 如图5中，当点P在线段上，时， 作交的延长线于E． 则， 又∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 当时，四边形不存在，不符合题意； 如图6中，如图7中，的长度与图4，图5类似． 综上所述，满足条件的的长度为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定与正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 62．（24-25九年级下·湖北武汉·月考）【问题背景】（1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，利用线段比等于相似比即可求证； （2）证明，利用线段比等于相似比即可求得； （3）作辅助线，根据已知条件，先求得EF的长，再根据勾股定理求得AB． 【详解】解：（1）如图，∵，，， ∴，且， ∴， ∴， ∴ （2）如图2，连接BD， ∵，， ∴ 在正方形ABCD中，， ∴，， ， ∴； （3）如图，过点作，交于点，连接 又 即 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线，构造三角形相似，是解题的关键． 63．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，点为的中点，为上一点． （1）若，点为上一点． ①如图1，，则的值为_______（直接写出结果）； ②如图2，若点在的延长线上，在的延长线上．试判断之间满足的数量关系并说明理由； （2）如图3，若于点的延长线交于点．若，请直接写出的值为______． 【答案】（1）①；②，见解析；（2） 【分析】（1）①连结AD，由AC=BC，点为的中点，可得AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=60°，由，可求∠C=∠B=，可得AC=2AD，由，可求∠ADE=90°-∠EAD=90°-60°=30°可得AE=，再求出CE=即可； ②结论是：，连接，在上取点，使，连接，先证为等边三角形，再证，可得，可求，可得，AE=AD=，可得AE =GB+BF即可； （2）过G作GH⊥BA交BA延长线于H，先证，再证△GHB∽△AEN，可得由，设GE=4x，BE=5x，GH=GE=4x，BG=BE+GE=9x 可求即可． 【详解】（1）①连结AD， ∵AC=BC，点为的中点， ∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=60°， ∵， ∴∠C=∠B=， ∴AC=2AD， ∵， ∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-60°=30°， AE=， ∴CE=AC-AE=2AD-=， ∴， 故答案为：； ②结论是：， 连接，在上取点，使，连接， ∵点为的中点，，AB=AC， ∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=60°， ∴为等边三角形， ， 又， ∴∠ADE+∠EDG=∠EDG+∠GDF=60°， ， 在△ADE和△GDF中， ， ， ， ∴， ，AD=， ∴AE=GF=GB+BF， ∴AE-BF=GB=DG=AD=， ∴， （2）过G作GH⊥BA交BA延长线于H， ∵∠CAD=∠BAD， ∴∠GAH=∠GAE， ∵于点的延长线交于点． ∠GEA=90°=∠GHA， 在△GHA和△GEA中， ， ， ∴GH=GE， 又∵∠H=∠AEB，∠HBG=∠EBA， ∴△GHB∽△AEB， ∴， ∴， ∵， 设GE=4x，BE=5x，GH=GE=4x，BG=BE+GE=9x， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，30°角直角三角形性质，三角形全等判定与性质，等边三角形判断与性质，线段和差，三角形相似判定与性质，掌握等腰三角形性质，30°角直角三角形性质，三角形全等判定与性质，等边三角形判断与性质，线段和差，三角形相似判定与性质是解题关键． 64．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）问题发现： （1）如图1，在中，，，，点为上一点，且，过点作，填空：________，________； 类比探究： （2）如图2，在（1）的条件下将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，请求出，的值； 拓展延伸： （3）如图3，和同为等边三角形，且，连接，，将绕（）的中点逆时针自由旋转，请直接写出在旋转过程中的最大值． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】（1）在中，由勾股定理求出，由，可得，由，截线段成比例，由，分比，即即可 （2）由旋转性质可知：，，，由，，可得，由性质，，可证，利用性质； （3）如图4，连接，，由点是（）的中点，和同为等边三角形，可知，可推得，由，，可证，可得，可求，，由三边关系可得，，当、、三点共线时（如图5），存在最大值为即可求出． 【详解】解：（1），； 解答如下：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：，； （2）由旋转性质可知：，，， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）的最大值为；提示如下： 如图4，连接，， ∵点是（）的中点，和同为等边三角形， 由三线合一性质可知， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在中，由三边关系可得，， 当、、三点共线时（如图5），存在最大值为， ∵， ∴当存在最大值时，的最大值． 【点睛】本题考查三角形全等变换，勾股定理，平行线截比，比例性质，相似三角形的判定与性质，三边关系，线段和差最值，掌握三角形全等的性质，勾股定理，平行线截比，比例性质，相似三角形的判定与性质，三边关系，线段和差最值，解题关键是根据相似求出线段BO与OE． 65．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，已知菱形ABCD，点E是BC上的点，连接DE，点C关于DE的对称点F恰好落在AB边上，连接DF、EF，延长FE，交DC延长线于点G． （1）求证：△DFG∽△FAD； （2）连接BD，若BD＝6，菱形ABCD的边长为5． ①求菱形ABCD的面积； ②求CG的长． 【答案】（1）详见解析；（2）①24；② 【分析】（1）由菱形的性质判断出CD∥AB，∠A＝∠BCD，再由对称得出∠BCD＝∠DFG，得出∠A＝∠DFG，即可得出结论； （2）先利用勾股定理求出OA，进而得出AC，即可得出结论； ②先利用菱形的面积求出DF，再用勾股定理求出AH，进而得出AF，最后借助（1）的结论得出，即可求出DG，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴∠A＝∠BCD， 由对称知，∠DFG＝∠BCD， ∴∠A＝∠DFG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∴∠AFD＝∠FDG， ∴△DFG∽△FAD； （2）①如图，连接AC，BD相交于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠AOB＝90°，OB＝BD＝3，AC＝2OA， 在Rt△AOB中，根据勾股定理得，OA＝＝4， ∴AC＝2OA＝8， ∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×8×6＝24； ②过点D作DH⊥AB于H， ∴S菱形ABCD＝AB•DH＝5DH， 由①知，S菱形ABCD＝24， ∴5DH＝24， ∴DH＝， 在Rt△DAH中，AH＝＝＝， 由对称知，DF＝CD＝5， ∵DH⊥AF， ∴AF＝2AH＝， 由（1）知，△DFG∽△FAD， ∴， ∴， ∴DG＝， ∴CG＝DG﹣CD＝． 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式，对称的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，判断出△DFG∽△FAD是解本题的关键． 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，已知点和点分别是的边和边的延长线上的点，连接，则添加下列条件：①；②；③；④；能够判定的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：，， ， 故①符合题意； ，， ， 故②符合题意； 由③不能判定， ，， ， 故④符合题意； 其中能够判定的条件有3个， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶端．已知小颖的眼睛离地面的高度为，同时量得小颖与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，三角形相似的判定和性质，光的反射定理，正确利用三角形相似解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：D． 3．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，点 E，F 分别在边上，，，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，矩形的性质，勾股定理．解决本题的关键是利用相似三角形对应边成比例得到． 先根据相似三角形的性质求出，再求出，然后由勾股定理即可得出结论 ． 【详解】解：∵， ∴ ∵，，， ∴ 解得． ∵ 四边形为矩形， ∴， ∴． 由勾股定理，得 ． 故选D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，，，D是线段上一点（不与端点B，C重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段交于点F，则线段长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点作于，解得到，证明，可得，根据可知当有最小值时，有最大值，当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合，可求出的最小值为，则的最大值为． 【详解】解：如图所示，过点作于， 在中，， ∴, ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当有最小值时，有最大值， ∴当有最小值时，有最小值， ∴当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合， ∴的最小值为， ∴的最小值为， ∴的最大值为， 故选：D． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于构造辅助线． 在上截取，，导角证明，即可证明． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与相似的三角形是， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．先证明得到，然后代值可得，则，再证明得到，代值计算出即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 解得：， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止移动，那么经过 s时，与相似． 【答案】3或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 由题意得，，与相似，当与相似时，可知或，则有或，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值． 【详解】解：由题意得，， ∵与相似， ∴有或， ∴或， ∴或， 解得：或． ∴经过3或秒，与相似． 故答案为：3或． 8．（2026九年级·全国·专题练习）如图，在矩形中，是矩形内部一点，且，连接，延长交于点，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形性质和判定，勾股定理，根据，证明，利用相似三角形性质得到，再结合等量代换与勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：，线段的长度是固定的， ． 又， ， ，即， ． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·山西晋中·期中）已知：如图，在中，点D是边上的一点，的平分线交于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质及角平分线的定义可逐步证明，再根据相似三角形的判定证明即可； （2）根据相似三角形的性质列方程求出的长，即得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ，， ， 又， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 10．（25-26八年级上·上海·期中）已知在梯形中，，； (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）由可得，再由平角可得，由此可得，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）先由边成比例得，即可得，可证明，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴； （2）证明：如图， 由（1）知，， ∴，即， ∵， ∴， 即，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）塔刹位于塔的最高处，是“观表全塔”和塔上最显著的标记．如图①，北寺塔为九级八面砖身木檐混合结构，塔刹高耸，宏伟秀逸．小明采用了如下方式测量北寺塔的塔刹高度． 【学科融合】光的反射定律：如图②，光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，反射角等于入射角； 【探索活动】如图③，小明先测量了北寺塔的高度，他先在地面点处平放一面镜子，然后沿直线退至点处，此时眼睛恰好在镜子中看到北寺塔塔刹的顶端．经测量，小明的眼睛到地面的距离，，，求北寺塔的高度； 【解决问题】小明再将镜子移至直线上的点处，当他回到点处时，恰好可以通过镜子看到塔刹的顶部． ①请用无刻度直尺和圆规，在图④中作出表示镜子位置的点（不写作法，保留作图痕迹）； ②经测量，，求塔刹的高度（精确到）． 【答案】探索活动：北寺塔的高度为；解决问题：①见解析；②塔刹的高度为 【分析】 本题考查了图形的相似和尺规作图，解题的关键在于读懂题意，正确作图． [探索活动]由题意知，，，可知∽，进而求解； [解决问题]①根据题意作图即可； ②根据题意可知，∽，利用相似求解． 【详解】 解：[探索活动]由题意知，，， ∴∽， ∴， ∴， ∴， 故北寺塔的高度为； [解决问题]①如图， ②由[探索活动]同理得，， ∴， 解得， ， 故塔刹的高度为． 1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1， 在中，，作，垂足为点D． (1)求证：； (2)如图2，矩形的顶点E，F分别在，上，顶点H，G在上，与交于点I． ①求证：； ②若，，，直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质是解题关键． （1）通过两角相等证明，根据相似三角形的性质得证； （2）①证明，由相似三角形对应线段成比例的性质和矩形的性质得证； ②设，则，由（1）可得，．证明四边形 是矩形，则，进一步得到，根据①中的比例式计算出x的值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①证明：∵四边形 是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②设，则， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形 是矩形， ∴， ∵， ∴四边形 是矩形， ∴， ∴， 由①可知，， ∴， 解得，， ∴． 2．（25-26九年级上·山东德州·月考）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点、处，如图②，可证，可得． （1）在图①中添加辅助线，证明一般性的规律． 【模型应用】 （2）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则______．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （3）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，求的长度． 【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3） 【分析】（1）过点作，交于点，过点作，交于点，先证出，根据相似三角形的性质可得，再证出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，由此即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，由此即可得； （3）先利用勾股定理可得，再过点作于点，证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：如图①，过点作，交于点，过点作，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，；，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴，， ∴． （2）解：∵在正方形中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：1． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 如图④，过点作于点， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 3．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）如图，，是四边形的对角线，，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上定理和性质． 过点作，交的延长线于点，利用勾股定理求出相关线段的长度，证明，通过对应边成比例求出，然后再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， ∴， ∵，，， ∴由勾股定理得，； ∵，， ∴由勾股定理得，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在中，，平分，为中点，连接，若，，则 ， ． 【答案】 【分析】此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，作于点F，由，E为的中点，，得，所以，再证明，所以，则，可证明，得，则，而，所以，再证明，得，求得，设，则，，于是得，求得符合题意的m值为，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点F，则， ，E为的中点，， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则，， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 5．（2025·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2)旗杆高度为； (3)雕塑高度为． 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 6．（2025·江苏苏州·二模）【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 【答案】问题一：；问题二：；问题三：见详解 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质， 问题一：根据反射特点可知，即可证明，有，即可求得． 问题二：由反射特点可知，，证得，，有，，结合得到，求得，可得； 问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可． 【详解】解：问题一：由反射特点可知， 又∵， ∴， ∴ ∵，， 即：， ∴． 问题二： 由反射特点可知，， ∵ ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得， ∴， 解得； 问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差； （2）实际中测量两点之间的距离也存在误差． 7．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图1，是等边三角形，点是外部一点，连接，，与边交于点，， (1)求的度数； (2)如图2，过点作，过点作的垂线，交于点，探究线段与的数量关系，并证明结论； (3)在（2）的条件下，若，求的值. 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）结合等边三角形的性质，得，因为，得，又因为三角形内角和性质，得，代入数值计算，即可作答． （2）先证明是等边三角形，得出，又因为是等边三角形，故，即可证明，运用30度角的直角三角形的性质，得，结合，即可得出； （3）理解题意，延长交的延长线于点，证明，设为，则，，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ，且， ∴， ， ； （2）解：；证明如下： 延长至，使，连接，， ， ， ， ， ∵ 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：延长交的延长线于点， ， ， ， ，， ， ， 设为，则， ， ， ， ， ， 在中, ， 则， ∴， 得（负值已舍去）， ， 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形内角和性质，30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 8．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）（）如图，在矩形中，点分别是边的中点，连接，求证：； （）如图，在四边形中，，，点分别是边的中点，连接，与相交于点，若，求的长； （）如图，在四边形中，，，连接，点是边的中点，点在边上，，连接，交于点，连接，若，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由题意结合矩形的性质，对应边成比例且夹角相等即可证得； （2）先证明四边形为平行四边形，进而得到边的平行关系，证明，得出线段的比例关系，利用线段之间的比例关系求解线段的长度即可； （3）过作于点，取的中点，连接，先根据已知条件得到相关线段的长度，再利用，求出线段的比值即可． 【详解】（1）证明：在矩形中，，， 点分别是边的中点， ， ， ； （2）解：点是边的中点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， 又， ， ， 是的中点，， ， ， 又， ； （3）解：过作于点，取的中点，连接， 则四边形为矩形， ，， ， ， 设，则， ， ， ，点是边的中点， 垂直平分， ， 为的中点， 为的中位线， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线以及勾股定理的应用；解决第（3）问的关键是正确添加辅助线． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 相似三角形的判定与性质 知识点一、相似三角形的相关概念 1、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 三角形相似具有传递性。 2、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 知识点二、相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。 知识点三、相似三角形的性质 ①对应角相等，对应边的比相等； ②拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 ③相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） 知识点四、利用相似三角形测高 1、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。 2、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 相似三角形的判定 1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在锐角三角形中，，上的高，相交于点D． (1)求证：； (2)连接，求证：． 2．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，在矩形中，是边上的一点，连接，作交边于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 3．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，过点C作于点D，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过点F作于点H． (1)求证：； (2)若，求的长度． 4．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． (1)试说明； (2)若，求证：． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 题型二 选择或补充条件使两个三角形相似 6．（25-26九年级上·吉林松原·期末）如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点．若添加一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）如图，已知点D，E分别在的边上，连接．若添加下列一个条件后，可以判定，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图：点D在的边上，连接，下列条件：①；②；③；④．其中不能判定的是 （填序号）． 9．（24-25八年级下·浙江金华·月考）如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：①；②；③；④中的一个，能得出和相似的是： （填序号）． 10．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，． (1)求证：； (2)请添加一个条件__________，使，并写出证明过程． 题型三 相似三角形判定综合 11．（2025·江苏无锡·二模）如图，点E在的对角线上，当平分，且时． 求证： (1)四边形是菱形； (2)． 12．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 13．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 14．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 15．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，是的中线，作于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型四 相似三角形判定定理的证明 16．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，中，，D为AB上一点，下列条件：①，②，③，④中，能判定与相似的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（25-26九年级上·全国·阶段练习）如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有 对相似三角形． 18． （25-26九年级上·全国·阶段练习） (1)如图①，在中，是上一点，，垂足为D．求的长． (2)如图②，在中，，点分别在线段上，．求的长． 19．（24-25九年级上·辽宁铁岭·月考）四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． (1)若，求的长； (2)如果，求证：． 20．（24-25九年级上·海南儋州·期中）如图，在四边形中，是的中点，和交于点，，． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，，，求的长． 题型五 证明三角形的对应线段成比例 21．（24-25八年级下·上海静安·期末）如图，在四边形中，，，且，，点P在边上，点B关于直线的对称点为Q，的延长线交边于点R，如果，那么线段的长为 ． 22．（24-25九年级上·上海浦东新·月考）如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则 ． 23．（25-26九年级上·江西抚州·期中）已知，点是上任意一点，菱形菱形． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 25．（2025·广东深圳·一模）如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：； (2)如图②，若，，求的值． 题型六 利用相似三角形的性质求解 26．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则是（   ） A． B． C． D． 27．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，是上的一点，，点是的中点，设，，的面积分别为，，，且，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 28．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，点在边上，过点的直线与边相交于点，若，，，当与相似时，的长为 ． 29．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）如图，在中，，在上取一点，使，，如果在上取一点，使与相似，则长为 ． 30．（25-26九年级上·浙江·期末）如图，在中，点分别在边上，连结，与相交于点．已知四边形是平行四边形，且． (1)若，求线段的长． (2)若四边形的面积为32，求的面积． 题型七 相似三角形的判定与性质综合 31．（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，在和中，，平分． (1)证明：； (2)若，，求的长． 32．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，交于点F，． (1)求证：； (2)如果． ①若，求的长； ②若四边形的面积为24，求的面积． 33．（25-26九年级上·甘肃白银·期末）如图，在中，点P，D分别在边，上，，垂足为A，，垂足为P，且． (1)求证： (2)如果，，求的长． 34．（25-26九年级上·安徽·期末）如图，在中，是边上一点，连接，，的平分线交于点． (1)求证：； (2)已知． ①求的值； ②若，求的值． 35．（2026·湖北·模拟预测）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．   （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 题型八 利用相似求坐标 36．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 37．（2025·海南海口·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 38．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 39．（24-25九年级上·江苏盐城·月考）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是 ． 40．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是 ．    题型九 在网格中画与已知三角形相似的三角形 41．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，、甲、乙、丙、丁都是正方形网格的格点，若，则点应是网格中的点（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 42．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 43．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点、、、都是格点，是一个格点三角形，且点的坐标是，若点、、、分别都和点、连接，且连接后构成的格点三角形和相似，则这个点的坐标是 ． 44．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 45．（25-26九年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均为的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹． (1)在图①中画的高． (2)在图②中画的中位线，使点、分别在边、上． (3)在图③中画，使点、分别在边、上，且，其面积比为． 题型十 相似三角形的动点问题 46．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 47．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（    ）s后，与相似． A． B．或 C．或 D．或 48．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；同时动点从点出发，沿方向运动，如果点的运动速度为，点的运动速度为，那么运动 秒时，与相似． 49．（25-26九年级上·江西吉安·月考）如图，等边的边长为，，，为边上动点，以的速度从向运动，假设点运动时间为，当 时，与相似． 50．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）在平面直角坐标系中，已知，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动．如果同时出发，用表示移动的时间． (1)用含t的代数式表示：线段 ； ． (2)求当t为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出t的值． 题型十一 重心的有关性质 51．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，点是的重心，若的面积是12，则的面积是（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 52．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，在中，D，E分别是的中点，与交于点G．若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 53．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，点G是的重心，D是边上一点，，连接，连接并延长分别交、于点E、F，则的值为 ． 54．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，点P是的重心，连接并延长，交于点D，若，则的面积为 ． 55．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，，连接交于点G，连接． (1)当时，求的值； (2)当时，取边中点F，连接交于点H．已知，求的长． 题型十二 相似三角形的实际应用 56．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）滹沱河是石家庄的“母亲河”，滋养着冀中平原．嘉嘉为测量滹沱河某段的宽度，采用如下方法：如图，该段河道两岸平行，他在对岸选定目标点，在靠近自己的河岸取点和，并在，的延长线上分别取点，，使，经测量米，米，点到的距离为350米，于点． (1)求的值； (2)求滹沱河该段的宽度． 57．（甘肃省白银市2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点在同一水平面上．求灯泡到地面的高度． 58．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）龙角塔（图），位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量龙角塔的高度．他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与龙角塔顶点在同一条直线上．已知，，目测点到地面的距离，到龙角塔的水平距离，求龙角塔的高度． 59．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）学习了相似的相关数学知识以后，老师布置了阶段练习：查阅历史上相似学的典型应用．安安阅读了《周髀算经》，在这部中国最早的“测天量地”著作里，安安发现相似学大量用于测量，下面是安安关于“陈子模型”的学习笔记，请将表格补充完整，写出计算过程与结论： 测量目标 知道太阳的高低和大小 测量方法 使用圭表，利用影长测量人与太阳的距离：利用竹竿测量太阳直径． 测量一 图形 测量过程 已知：圭表高8尺，从太阳正下方无影之点直上到太阳的距离（）为里，圭表距太阳正下方的距离（）为里．步骤：在观测点 A．当圭表（）上的影长（）为6尺时，计算观测人与太阳的距离．即的长（点C为太阳中心点）． 计算过程及结论： 图形 测量过程 测量二 已知：与上述测量同时同地，利用竹空（古代望远设备）．竹空筒长 （H到的距离）与竹空直径（） 的长度之比为． 步骤：观测人让太阳（）的边缘恰好充满竹管的圆孔时可计算太阳的直径． 计算过程及结论： 60．（25-26九年级上·四川达州·期中）利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度，某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．根据上面活动报告，解答下列问题： 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 测量示意图 测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的小乐的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 小慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度为米，小慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为米． 小智在他前面立一根标杆，当小智的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为米，小智的眼睛距离地面的高度为米，小智与旗杆之间的距离为米，小智与标杆之间的距离为米． 计算结果 ．．． ．．． ．．． 反思 ．．． ．．． ．．． (1)利用方案测得旗杆的高度为___________米； (2)请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； (3)请利用方案帮小智计算旗杆的高度． 题型十三 相似三角形的综合问题 61．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）我们对“等腰邻相似三角形”下个定义，以四边形为例，如图1，四边形中，为对角线，在的上取一点P，连接，如果是等腰三角形，且与相似，则我们称是该四边形边上的“等腰邻相似三角形”． (1)如图2， 中，，若是边上的“等腰邻相似三角形”，且， ，则的大小是 ； (2)如图3，在四边形中，若，，请在图3中画出一个边上的“等腰邻相似三角形”，并证明是边上的“等腰邻相似三角形”； (3)若是某个四边形的“等腰邻相似三角形”，且，与相似，请直接写出对角线长度的所有可能值． 62．（24-25九年级下·湖北武汉·月考）【问题背景】（1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长． 63．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，点为的中点，为上一点． （1）若，点为上一点． ①如图1，，则的值为_______（直接写出结果）； ②如图2，若点在的延长线上，在的延长线上．试判断之间满足的数量关系并说明理由； （2）如图3，若于点的延长线交于点．若，请直接写出的值为______． 64．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）问题发现： （1）如图1，在中，，，，点为上一点，且，过点作，填空：________，________； 类比探究： （2）如图2，在（1）的条件下将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，请求出，的值； 拓展延伸： （3）如图3，和同为等边三角形，且，连接，，将绕（）的中点逆时针自由旋转，请直接写出在旋转过程中的最大值． 65．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，已知菱形ABCD，点E是BC上的点，连接DE，点C关于DE的对称点F恰好落在AB边上，连接DF、EF，延长FE，交DC延长线于点G． （1）求证：△DFG∽△FAD； （2）连接BD，若BD＝6，菱形ABCD的边长为5． ①求菱形ABCD的面积； ②求CG的长． 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，已知点和点分别是的边和边的延长线上的点，连接，则添加下列条件：①；②；③；④；能够判定的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶端．已知小颖的眼睛离地面的高度为，同时量得小颖与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，点 E，F 分别在边上，，，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，，，D是线段上一点（不与端点B，C重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段交于点F，则线段长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是 ． 6．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为 ． 7．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止移动，那么经过 s时，与相似． 8．（2026九年级·全国·专题练习）如图，在矩形中，是矩形内部一点，且，连接，延长交于点，若，则的最小值为 ． 9．（25-26九年级上·山西晋中·期中）已知：如图，在中，点D是边上的一点，的平分线交于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．（25-26八年级上·上海·期中）已知在梯形中，，； (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 11．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）塔刹位于塔的最高处，是“观表全塔”和塔上最显著的标记．如图①，北寺塔为九级八面砖身木檐混合结构，塔刹高耸，宏伟秀逸．小明采用了如下方式测量北寺塔的塔刹高度． 【学科融合】光的反射定律：如图②，光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，反射角等于入射角； 【探索活动】如图③，小明先测量了北寺塔的高度，他先在地面点处平放一面镜子，然后沿直线退至点处，此时眼睛恰好在镜子中看到北寺塔塔刹的顶端．经测量，小明的眼睛到地面的距离，，，求北寺塔的高度； 【解决问题】小明再将镜子移至直线上的点处，当他回到点处时，恰好可以通过镜子看到塔刹的顶部． ①请用无刻度直尺和圆规，在图④中作出表示镜子位置的点（不写作法，保留作图痕迹）； ②经测量，，求塔刹的高度（精确到）． 1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1， 在中，，作，垂足为点D． (1)求证：； (2)如图2，矩形的顶点E，F分别在，上，顶点H，G在上，与交于点I． ①求证：； ②若，，，直接写出的值． 2．（25-26九年级上·山东德州·月考）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点、处，如图②，可证，可得． （1）在图①中添加辅助线，证明一般性的规律． 【模型应用】 （2）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则______．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （3）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，求的长度． 3．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）如图，，是四边形的对角线，，若，，，则的长为 ． 4．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在中，，平分，为中点，连接，若，，则 ， ． 5．（2025·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 6．（2025·江苏苏州·二模）【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 7．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图1，是等边三角形，点是外部一点，连接，，与边交于点，， (1)求的度数； (2)如图2，过点作，过点作的垂线，交于点，探究线段与的数量关系，并证明结论； (3)在（2）的条件下，若，求的值. 8．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）（）如图，在矩形中，点分别是边的中点，连接，求证：； （）如图，在四边形中，，，点分别是边的中点，连接，与相交于点，若，求的长； （）如图，在四边形中，，，连接，点是边的中点，点在边上，，连接，交于点，连接，若，，求的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $