第四章图形的相似训练2025—2026学年北师大版数学九年级上册

第四章 图形的相似 训练2 一、单选题 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（ ） A．矩形都是相似图形； B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形； D．等边三角形都是相似三角形 3．若两个相似三角形的面积比是，则它们对应高之比为（　　） A． B．3 C． D． 4．如图，已知矩形的顶点，分别落在轴，轴上，，，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 5．图，以顶点为位似中心放大后得到，若方格纸的边长为，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，，，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，点，，分别是三边上的中点，若的面积为12，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 8．小明设计用手电来测量某古城墙高度，如图所示，点处水平放置一平面镜（平面镜的厚度忽略不计），光线从点出发，经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（  ） A．9米 B．12米 C．15米 D．21.6米 9．如图，在中，，高，矩形的边在线段上，点，分别在边，上，，求的长度为（   ） A． B． C． D． 10．如图所示，若把矩形截除一个正方形阴影部分后，剩下的矩形仍与原矩形相似，那么原矩形的两边与应满足的关系是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知，则代数式 ． 12．点在线段上，若，那么的值为 ． 13．如下图所示，一个直角三角形里面有一个正方形，且，，则正方形的面积为 ． 14．在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为 ．    15．如图，在平行四边形中，，E是边的中点，连接，交于点G，按以下步骤作图：①以点B为圆心、适当的长为半径作弧，分别交于点M，N；②以点A为圆心、BM的长为半径作弧，交AB于点；③以点M'为圆心、的长为半径作弧，在平行四边形内部交前面的弧于点；④过点作射线'交于点若，则的长为 ． 三、解答题 16．初三数学小组准备用所学知识测量路灯的高度，路灯底端有花坛无法直接到达，在路灯一侧有一棵高为3米的小树（米），小峰站在距离小树2.8米的D处（米）观察发现，他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面1.6米（米），小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A，平面镜距离小树1.4米（米），请你帮助小峰计算路灯的高度．（结果精确到0.1米） 17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为：． (1)平移到，其中点的对应点坐标为，请在图中画出； (2)将绕点旋转得到，请在图中画出； (3)将绕点顺时针方向旋转得，则点的对应点坐标为 ； (4)求四边形的面积． 18．如图，在矩形中，，，连接，点分别在边，上，连接，，分别交于，∠ (1)若，求的长； (2)在点由点运动到点的过程中，设，． ①求与的关系式； ②连接，求面积的最大值． 19．已知：如图，矩形中，，E为上一点，连接，与对角线交于点H．以为边顺时针作矩形，矩形矩形，对角线与分别交于M，N． (1)如图①，当，E为中点时，求的值； (2)如图②，，若，用含有的式子来表示． 20．在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的性质”为主题开展数学探究活动，矩形和矩形是两个完全一样的矩形，． (1)如图1，连接、，直线和直线的位置关系为_____． (2)如图2，当点恰好落在边上，连接交于点，连接，求证：①平分；②点为线段的中点． (3)若直线与直线交于点，当时，请直接写出的长_____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第四章 图形的相似 训练2025—2026学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C C C B A C C B 1．C 【分析】本题考查了求代数式的值，根据，可得：，把代入代数式，可得：原式，计算即可求出结果． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了相似图形的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握相似图形的定义和特点． 根据相似图形的三条特点①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况，结合选项即可判断出答案． 【详解】解：A、矩形的四个角都为直角，但邻边的比值不一定相等，只有邻边比值相等的矩形才相似，所以矩形不都是相似图形，故本选项错误，不符合题意； B、菱形的内角度数不定，所以菱形不都是相似图形，故本选项错误，不符合题意； C、菱形和正方形可以满足边长对应成比例，但不是相似图形，故本选项错误，不符合题意； D、等边三角形都是相似三角形，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由两个相似三角形面积之比为，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得它们的相似比，又由相似三角形对应高的比等于相似比，即可求得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴相似比为， ∴对应高之比为． 故选：C． 4．C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，过作轴于，根据矩形的性质得到，，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，，于是得到结论，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作轴于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 5．C 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念是解题的关键．根据位似图形的概念得到，结合图形解答即可． 【详解】解：以顶点为位似中心放大后得到， ， 方格纸的边长为，则，， 与的相似比是， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质和直角三角形斜边上的中线性质．先利用矩形的性质得到，，再计算出，再由勾股定理计算出，接着根据斜边上的中线性质得到，所以，则，然后利用相似比求出，从而得到的长． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 故选：B． 7．A 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，证明，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵点D，E，F分别是三边上的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为12， ∴的面积为3， 故选：A． 8．C 【分析】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 根据题意得出，利用相似比即可得出古城墙的高度． 【详解】解：根据题意，，， ∴， 米，米，米， 米， 该古城墙的高度是15米． 故选C． 9．C 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，根据矩形的性质，推出，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：设交于点， ∵矩形， ∴，， ∵为的高， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴设，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴； ∴； 故选C． 10．B 【分析】本题考查的是相似多边形的性质、解一元二次方程．解决本题的关键是根据相似多边形的对应边成比例列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可求出结果． 【详解】解：由题意可知：矩形矩形， ， ， ， 整理得：， ， 解得：或(负值，舍去)， 故选：B． 11． 【分析】本题考查比例的性质，能利用整体代入法求解是解题的关键． 先由题意得到，然后代入代数式化简解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了黄金分割，设，则，根据可得：，解方程可得：，所以可得：． 【详解】解：如下图所示， 设，则， 由题意得：， 整理得：， 解得：或不符合题意，舍去， ， ， 故答案为： 13． 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理与相似三角形的判定与性质，灵活的运用相关知识是解题的关键． 在直角三角形中根据勾股定理可得，设正方形的边长为x，则，，，利用正方形的性质可知，，则可证得，利用相似比可得，由此求解出正方形的边长，再计算其面积即可． 【详解】解：在直角三角形中，，， ， 设正方形的边长为x， 则，，， 在正方形中， ，， ，， ， ， 即， 解得：， 正方形的面积为：． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查位似变换，对应顶点所在直线相交于一点即为位似中心，确定位似中心是解题的关键． 连接、，并延长交于一点，交点即为所求． 【详解】解：如图，    连接、，并延长交于一点，点即为所求．由网格图形可知，点的坐标为． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了平行四边形的判定与性质． 先利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，，则，接着利用BG：：1得到，所以，然后证明∽，则利用相似三角形的性质可求出的长． 【详解】解：由作图可得：， 四边形为平行四边形， ，， 是边DC的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得 故答案为： 16．6.6米 【分析】本题考查相似三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点C作于G，交于Q，先证明四边形是矩形，四边形是矩形，得米，，米，设米，则米，再证明，，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于G，交于Q， 由题意得，，，， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴米，，米， ∵米， ∴米， 设米，则米， ∵小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴， ∴米， ∵ ∴ ∴，即 解得： ∴（米）． 答：路灯的高度约为6.6米． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)16 【分析】（1）平移到，其中点的对应点坐标为，得到一个向左平移6个单位，再向下平移2个单位平移变换，确定坐标后，画图即可； （2）将绕点旋转得到，即作了一个中心对称变换，根据中心对称坐标特点，确定坐标后，画图即可； （3）根据旋转的性质画图解答即可； （4）利用分割法计算四边形的面积即可． 本题考查了平移作图，中心对称作图，旋转作图，分割法计算面积，熟练掌握变换的基本特征，分割法求面积是解题的关键． 【详解】（1）解：平移到，其中点的对应点坐标为，得到一个向左平移6个单位，再向下平移2个单位平移变换， 则，画图如下： 则即为所求． （2）解：将绕点旋转得到，即作了一个中心对称变换，根据题意，得，画图如下： 则即为所求． （3）解：根据旋转的性质，画图如下： 则即为所求，且． （4）解：连接，如图所示， 则四边形的面积为： ． 18．(1) (2)①；② 【分析】（1）可通过证明三角形相似：，，，利用相似三角形的性质来求解的长 （2）①延长到，使，延长到，使，连接，延长交于点，连接，过点作交的延长线于，通过同样利用全等三角形（）及勾股定理（），建立与的关系式；②先表示出的面积表达式，再根据不等式的性质求最大值． 【详解】（1）解：在矩形中，， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ； （2）①延长到，使，延长到，使，连接，延长交于点，连接， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是正方形， 过点作交的延长线于， ，即， ， ， ，即， ， ， 又，， ， ， ， ，即是的中位线， ， ， 在中，，，， ， 整理，得，， ②如图，过点作于，则四边形为矩形， ，，， , , 由①，； ， ， ， ， ， 当时，面积的最大值为16． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质 ，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，不等式的性质等知识，构造辅助线，证全等、相似及利用勾股定理构造方程是解题的关键． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定，难度较大，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）连接交于点，证明，设正方形边长为，则，而，那么，而，则，可得，，由，得到，求出，而，则，即可求解； （2）连接，延长交于点，证明，导角得到，而，则，而由勾股定理得到，则． 【详解】（1）解：连接交于点， 当时，， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，，， ∵矩形矩形， ∴四边形是正方形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 设正方形边长为， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵正方形中，， ∴，， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴ ∴； （2）解：连接，延长交于点， ∵矩形矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵矩形中， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵矩形中，， ∴ ∴， ∴． 20．(1) (2)①证明见解析；②证明见解析； (3)或 【分析】（1）由题得到，，，求得，根据相似三角形的性质得到，延长与的延长线于点，交于点，求得，据此得解； （2）①过点作于点，由题可知，得到，根据平行线的性质得到，推出平分； ②根据角平分线的性质得到，由题可知，，根据全等三角形的性质得到； （3）根据已知条件得到，，，求得，得到，得到为等边三角形，同理为等边三角形，如图2，根据直角三角形的性质结合勾股定理得到，，即可求得；如图3，同理求解即可． 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】（1）由题可知，，，， ， ， ， 延长与的延长线于点，交于点， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①由题可知，， ， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ②如图，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵，平分， ∴， 由题可知，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）由题可知，，， ∴． ∵， ∴，在四边形中，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵ ∴为等边三角形， ∴， 如图，令与的交点为， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图， 同理可得，，， ∴ 综上所述，的长为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$