专题04 图形的相似（期末复习知识清单，7知识11题型2易错2方法）九年级数学上学期北师大版

该初中数学“图形的相似”专题知识清单全面覆盖比例线段、相似三角形判定与性质、位似图形等核心内容，构建从概念定义到性质应用再到实际问题解决的递进式学习支架，为学生提供系统复习框架。 清单以“7知识清单+11题型示例+2易错点拨+2方法清单”四级架构呈现，11类题型分层设计，如基础的成比例线段到综合的四边形与相似证明，易错点标注“找不准相似三角形”并附颜色笔描线法点拨，方法清单含“A字型”“一线三直角”等辅助线模型图，培养几何直观与推理意识，助力师生精准突破重难点，提升复习效率。

专题04 图形的相似（7知识&11题型&2易错&2方法清单） 【清单01】比例线段与比例的性质 线段的比 两条线段a，b的长度分别为m、n，两条线段的比是，或写成a：b=m：n 比例线段 四条线段中，其中两条线段的比等于 ，叫做成比例线段，简称比例线段 基本性质 ①a:b=c:d ad=bc ②a:b=b:c 等比性质 【清单02】 平行线分线段成比例定理 基本事实 三条平行线截两条直线，所得的对应线段 。 ∵∴ DE∥BC；：DE∥BC 推论（1） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的 。（左图） 逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的 ，那么 。 推论（2） 平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形三边与原三角形三边对应成比例。 【清单03】相似三角形与相似三角形的判定 定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形，用符号“∽”来表示，对应边的比叫做 。 三角形相似的判定方法 ①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似 ②判定定理1： ，两三角形相似。 ③判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 ④判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。 直角三角形相似的判定 ①如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 ②垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 【清单04】相似三角形的性质 ·相似三角形的对应角 ，对应边 ； ·相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比 ； ·相似三角形周长的比 ，相似三角形面积的比 ； 【清单05】黄金分割点与黄金分割比 把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB 【清单06】位似图形 ·概念：两个相似图形，每组对应点所在直线都 ，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 ，此时的相似比叫做 。 位似中心：O；位似比相似比 ·性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到 之比都等于位似比。 到位似中心的距离比： 【清单07】相似三角形的应用 ·一般步骤： ①找到实际问题中的相似三角形模型; ②根据问题中的条件选用合适的对应边列比例式. 【题型一】成比例线段 【例1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）已知a、b、c、d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为 ． 【题型二】平行线截线短成比例 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，直线．若，，则的长为 ． 【变式2-1】如图，直线与交于点，，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】如图，两条直线被三条平行线所截，已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，点是边的中点，于点，若，，则的长为（　） A． B．4 C．10 D． 【题型三】黄金分割比 【例3】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在黄金分割点处（即），则点下方的琴弦的长为 ． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜设计为整个车身黄金分割点的位置，即．如图，若该车车身总长约为5米，则车头与后视镜的水平距离约为 米．    【变式3-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也蕴含着“黄金分割”．如图（），若，则的长为 ．（结果保留根号） 【题型四】确定位似中心 【例4】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型五】求位似图形的对应坐标 【例5】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，与位似，O是位似中心．若点，且，则点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与位似，位似中心是原点O，若点C的坐标为，则点D的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，两个“”字是位似图形，位似中心为点，号“”与号“”的相似比为．点在号“”上，则点在号“”上的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型六】利用相似三角形的性质求解 【例6】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）已知，与的周长比为．若，则的长为 ． 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）已知五边形五边形，且，若五边形的面积为，则五边形的面积为 ． 【变式6-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形（点的对应点分别为点），已知的顶点，若点的坐标为，的面积为，则的面积为（   ） A．8 B．4 C．2 D．16 【变式6-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积与的面积比为，那么的长为 ． 【变式6-4】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，点在边上，过点作交于点，过点作交于点，连接交于点，若，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【题型七】四边形与相似三角形的判定与性质综合 【例7】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，，，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，为边的中点，连接，交对角线于点，已知，则的值为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【变式7-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是平行四边形边延长线上的一点，且，交于点，若，则平行四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，为的对角线，E是边上一点，连接交于点G，F是边上一点，连接交于点H，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例8】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在矩形中，点是边的中点，于点，于点，连接．下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，在矩形中，是对角线上一点，连接并延长交于点，，分别是的中点，连接，若，则的值为 （    ） A． B．2 C． D． 【题型八】相似三角形的证明 【例9】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，，，连接，点在边上，连接，交于点，若．求证：． 【变式9-1】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，于点，于点，连接，求证：． 【变式9-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：． 【变式9-3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知四边形，，P是边上的一点，．若，，，求的长．    【变式9-4】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在正方形中，E为边的中点，点F在边上，且，． (1)求证：； (2)若，延长交的延长线于点G，求的长． 【题型九】尺规作图——作两个三角形相似 【例10】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，是以为底的等腰三角形，若，请用尺规作图法在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式10-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点为矩形的边的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式10-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）在中，．请用尺规作图，在边上求作一点，使得将分为两个相似三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式10-3】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，为矩形的对角线，N是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上求作一点M，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型十】坐标与图形——作位似图形 【例11】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标为．在第一象限画出以原点为位似中心的位似图形（点的对应点分别是），使与的相似比为． 【变式11-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．以原点为位似中心，在第一象限内画出，使与位似，且与的相似比为，并写出点、的对应点、的坐标． 【变式11-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．请你以原点为位似中心，在第三象限内画出，使与位似，且与的相似比为，并写出点、的对应点、的坐标． 【题型十一】相似三角形的应用 【例12】汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为 ． 【变式12-1】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）某中学数学实践小组决定测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在距离南岸20米（即米）的点处看北岸，小军和小强站在南岸边，调整小军和小强两人的位置，当小军和小强两人分别站在，两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军和小强遮挡（即，，三点共线，，，三点共线）．已知电线杆，之间的距离为100米，小军和小强两人之间的距离为40米，于点，求这条河的宽度．    【例13】小峰想用镜子测量一棵松树的高度，如图所示，把镜子放在点处（镜子的大小忽略不计），人站在点时，正好在镜子中看到树顶点，但由于树旁有一条河，不能直接测量镜子与树之间的距离，于是小峰从点向后退到点处，此时他发现自己的影子和树的影子于地面点处重合．已知小峰身高为1.6米（忽略头顶到眼睛的距离）．经过测量米，米，米，请你用所学的知识，帮小峰求出松树的高． 【变式13-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图甲是某型塔型大桥的结构，现为了测量大桥的立柱高，将图甲抽象成图乙所示的平面图．如图乙，测得拉索与水平桥面的夹角是，在点处有一根高为的警示牌，当从点处沿着移动到达点处时（即），此时发现立柱的顶端点、警示牌的顶端、以及点恰好在同一条直线上，通过测量得知，，，点，，，在同一条直线上，求立柱的高度． 【题型一】容易找不准哪两个三角形相似而出错 点拨：在确定相似三角形时，可以①将问题和条件中的已知线段和未知线段用有颜色的笔描出来；②成比例线段时，借助比的性质进行等积变换、等比代换，再确定相似三角形。 【例1】如图：在中，，点D、E、F分别在上，．求证：． 【变式1-1】如图，在中，于，求证：． 【题型二】含两对相似三角形的测高问题中因列错比例式出错 点拨：①测高问题中，列比例式时只用直角边的条件；②先根据相似列式，再代数求解，必要时可用方程。 【例2】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）摩天轮曾一度成为游乐城的热门打卡点．某实践小组欲测量摩天轮的高度，过程见下表． 主题 热门打卡，测量摩天轮的高度 测量方案及示意图 　　　　　　　　　 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，摩天轮最高点和标杆顶端确定的直线交水平线于点，测得米． 步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，最高点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米．（以上数据均为近似值） 根据表格信息，求摩天轮的大致高度． 【变式2-1】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，小林和小明想利用所学知识测量塔的高度，由于观测点与该塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，他们首先利用阳光下的影子进行测量，方法如下：某一时刻，小林在该塔影子的顶端D处竖直立一个标杆，并测得此时标杆的影长为2.4米；然后，小明在的延长线上找一点F，使得A、C、F三点在同一直线上，并测得为2.5米，已知图中所有点均在同一平面内，标杆高为2米，，，根据以上测量数据，求该塔的高度． 【变式2-2】如图，小华及数学小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度．在阳光下，小华站在点处时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点，其中；随后，该小组组员甲在点处放置一面平面镜，组员甲移动到点时，恰好在镜子中看到广告牌顶端的像，此时，，组员甲的眼睛到地面的距离为，小华的身高为．已知，，，点在一条直线上根据以上信息，求广告牌的高度．（平面镜的厚度、大小忽略不计） 【题型一】辅助线构造相似解决问题 ·求解方法：利用基本相似模型填加辅助线构造相似 A字型 (平行) （不平行) 母子型 (不垂直)(垂直) 一线三直角 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）问题提出 （1）如图1，在中，，点D在上，于点若，，，则的长为______． 问题解决 （2）如图2，有一块三角形试验田，面积为为了扩大试验规模，试验组决定将这个试验田扩建，考虑土壤、光照、温度、湿度、水源等诸多因素，最终扩建为三角形试验田经实际测量可得，，，，求扩建后三角形试验田的面积． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在一块直角三角形铁皮中，计划截取一个等腰直角三角形，点，分别在，边上，已知，且，，，则剩余阴影部分的面积之和为 ． 【例2】（24-25九年级上·陕西安康·期末）【问题情境】如图①，小明把三角板放置到矩形中，使顶点E、F、G分别落在边、、上，则与之间的数量关系为______； 【变式探究】如图②，小明把三角板放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在边、、上，若，，求的长； 【拓展应用】如图③，小明把三角形放置到平行四边形中，使顶点E、F、G分别在边、、上，若，，，直接写出的值． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）【问题提出】 （1）如图1，在矩形中，，，点是边上一点，连接，作交于点，若，求的长； 【问题解决】 （2）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图2，矩形是某校的一块劳动实践基地，，，边上的点处有一口灌溉水井，和是两条互相垂直的小路，且，现在沿修了一条延伸至边上的小路（点在上，点在上），发现点到灌溉水井的距离．求灌溉水井到点的距离． 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，分别是边上的点，且交于点． (1)如图①，若四边形是正方形，求证：； (2)如图②，若四边形是矩形，平分分别交于点，当点为的三等分点，且时，求的长． 【变式2-3】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）（1）如图①，在正方形中，E为边上一动点，将沿折叠，得到，过点F作直线，分别交边于点M，N． 【问题探究】 ①求证：； 【问题解决】 ②当时，若，求正方形的边长； 【实际应用】 （2）如图②，有一块形状为正方形的纸片，小李要在边上找一点E，然后将沿折叠，得到，过点F作直线，分别交边于点M，N，小李沿着裁剪交边于点P，沿着裁剪交于点Q．当时，点P为线段的中点吗？请说明理由． 【题型二】几何法解最值问题 ·适用条件：①问题求线段和、差的最小值；②可以作辅助线转化为共端点的两条线段和（差）. ·求解方法：利用三点共线求最值（两点之间线段最短、垂线段最短） 【例3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在正方形中，，为直线上的动点，连接，．为上一动点，连接，使得．在点的运动过程中，的最小值为 ． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，，D、E分别是、边上的两个动点，点G是的中点，连接，，若，则的最小值为 ． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，正方形的边长为10，点P为的中点，连接、，点M、N分别为、上的动点，连接、，则的最小值为 ． 【变式3-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，正方形的边长为10，点P为的中点，连接、，点M、N分别为、上的动点，连接、，则的最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 图形的相似（6知识&11题型&2易错&2方法清单） 【清单01】比例线段与比例的性质 线段的比 两条线段a，b的长度分别为m、n，两条线段的比是，或写成a：b=m：n 比例线段 四条线段中，其中两条线段的比等于 另外两条线段的比，叫做成比例线段，简称比例线段 基本性质 ①a:b=c:d ad=bc ②a:b=b:c 等比性质 【清单02】 平行线分线段成比例定理 基本事实 三条平行线截两条直线，所得的对应线段 成比例。 ∵∴ DE∥BC；：DE∥BC 推论（1） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。（左图） 逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 推论（2） 平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形三边与原三角形三边对应成比例。 【清单03】相似三角形与相似三角形的判定 定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形，用符号“∽”来表示，对应边的比叫做 相似比。 三角形相似的判定方法 ①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似 ②判定定理1： 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 ③判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 ④判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。 直角三角形相似的判定 ①如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 ②垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 【清单04】相似三角形的性质 ·相似三角形的对应角 相等，对应边 成比例； ·相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比 都等于相似比； ·相似三角形周长的比 等于相似比，相似三角形面积的比 等于相似比的平方； 【清单05】黄金分割点与黄金分割比 把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB 【清单06】位似图形 ·概念：两个相似图形，每组对应点所在直线都 经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 位似中心，此时的相似比叫做 位似比。 位似中心：O；位似比相似比 ·性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到 位似中心的距离之比都等于位似比。 到位似中心的距离比： 【清单07】相似三角形的应用 ·一般步骤： ①找到实际问题中的相似三角形模型; ②根据问题中的条件选用合适的对应边列比例式. 【题型一】成比例线段 【例1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查线段成比例的问题．根据线段成比例的性质求解即可．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义得，将，及的值代入即可求得． 【详解】解：已知，，，是成比例线段， 根据比例线段的定义得：， 代入，，，得：， 解得：， 故选：D ． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）已知a、b、c、d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为 ． 【答案】/2厘米 【难度】0.85 【知识点】成比例线段 【分析】若线段a，b，c，d，满足，称线段a，b，c，d为成比例的线段，根据定义计算判断可． 本题考查了成比例线段，熟练掌握定义，准确计算是解题的关键． 【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段，其中，，， ∴； ∴； 解得， 故答案为：． 【题型二】平行线截线短成比例 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，直线．若，，则的长为 ． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例定理可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，直线与交于点，，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，理解平行线分线段成比例定理是解答关键． 根据平行线分线段成比例定理易得到，，进而得到即可求解． 【详解】解：，， ， ． ，， ， ， ． 故选：D． 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，两条直线被三条平行线所截，已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例定理得到即可得解． 【详解】解：根据平行线分线段成比例可得：， ，， ， ． 故选：． 【变式2-3】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，点是边的中点，于点，若，，则的长为（　） A． B．4 C．10 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查的知识点包括直角三角形的勾股定理、三角形中位线的判定与性质．运用勾股定理是解题的关键．先通过勾股定理求出的长度，再结合是中点、的条件，判定为的中位线，进而利用中位线性质求出的长度． 【详解】解：在中，由勾股定理： ， ， , ∴， 点是的中点，即： ， ，即：点是的中点， 是的中位线 故选：B． 【题型三】黄金分割比 【例3】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在黄金分割点处（即），则点下方的琴弦的长为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义即可解决问题． 【详解】解：二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，二胡的琴弦长为 ， 解得， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜设计为整个车身黄金分割点的位置，即．如图，若该车车身总长约为5米，则车头与后视镜的水平距离约为 米．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．设车头与后视镜的水平距离约为x米，由题意得：，即，求解即可得出答案． 【详解】解：设车头与后视镜的水平距离约为x米， 由题意得：，即， 解得：， ∵不符合题意， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也蕴含着“黄金分割”．如图（），若，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要考查黄金分割点的运用，掌握黄金分割点的计算公式是解题的关键． 根据题意，运用黄金分割的计算公式得到，解出的值，再有即可求解． 【详解】解：∵为的黄金分割点（）， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型四】确定位似中心 【例4】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断位似中心、在坐标系中画位似中心 【分析】本题考查了位似图形及位似中心的概念，掌握位似中心的确定方法是解题关键． 根据连接位似图形的对应点，交点即为位似中心，即可解答． 【详解】解：如图所示 ， 连接，，，交于点D， 通过观察平面直角坐标系可以发现，这些连线的交点坐标为． 故选：A． 【题型五】求位似图形的对应坐标 【例5】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，与位似，O是位似中心．若点，且，则点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了坐标与位似图形．根据位似图形的概念易得与的相似比为，根据位似变换的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，与位似，原点O是位似中心，且， 即与的相似比为， 又， 点的坐标为，即E点的坐标为． 故选：D． 【变式5-1】（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与位似，位似中心是原点O，若点C的坐标为，则点D的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了位似坐标变化规律，解题关键是熟练掌握位似坐标变化规律，先确定位似坐标变化的规律，再据此求解即可． 【详解】解：与位似，点C与点A对应，点C的横坐标是12，点A的横坐标是，点C的横坐标的点A的横坐标倍，点C的纵坐标是6，点A的纵坐标是，点C的纵坐标的点A的纵横坐标倍， 点D与点B对应，点B的坐标为，则点D的坐标为，即； 故选：B． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，两个“”字是位似图形，位似中心为点，号“”与号“”的相似比为．点在号“”上，则点在号“”上的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查的是位似变换的性质，熟练掌握位似变换的性质是解答本题的关键． 根据位似变换的性质计算，即可解答． 【详解】解：号“”与号“”的相似比为，点， 点在号“”上的对应点的坐标为，即， 故选：A． 【题型六】利用相似三角形的性质求解 【例6】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）已知，与的周长比为．若，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形周长的比等于相似比计算即可． 【详解】解：，与的周长比为， 与相似比为，即， ， ， 故答案为：4． 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）已知五边形五边形，且，若五边形的面积为，则五边形的面积为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】相似多边形的性质 【分析】此题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形面积之比等于相似比的平方即可解答． 【详解】解：五边形五边形，且， 面积比为， 五边形的面积为， 五边形的面积为， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形（点的对应点分别为点），已知的顶点，若点的坐标为，的面积为，则的面积为（   ） A．8 B．4 C．2 D．16 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】本题主要考查位数图形的性质，掌握位数图形的性质，求出相似比是解题的关键． 先由得，，进而得，再利用位似的性质得，，然后根据三角形相似的性质解决问题． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式6-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积与的面积比为，那么的长为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解题的关键． 由，是公共角，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得到结论． 【详解】解：，， ∴， ， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为：． 【变式6-4】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，点在边上，过点作交于点，过点作交于点，连接交于点，若，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据平行线分线段成比例可知，得到，然后可证，得到，接着根据题意易证四边形是平行四边形，得到，最后由，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴， 故选：D． 【题型七】四边形与相似三角形的判定与性质综合 【例7】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，，，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质和直角三角形斜边上的中线性质．先利用矩形的性质得到，，再计算出，再由勾股定理计算出，接着根据斜边上的中线性质得到，所以，则，然后利用相似比求出，从而得到的长． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 故选：B． 【变式7-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，为边的中点，连接，交对角线于点，已知，则的值为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据平行四边形的性质得，，再证明，结合线段的中点得出，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 则 ∵为边的中点， ∴， ∴， 则， 故选：B 【变式7-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是平行四边形边延长线上的一点，且，交于点，若，则平行四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由平行四边形的性质推得，，，，再根据相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方即可得解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， 是延长线上的一点，交于点，且， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的知识点是平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质． 【变式7-3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，为的对角线，E是边上一点，连接交于点G，F是边上一点，连接交于点H，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质，可得，从而得到，进而得到，，再由，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 故选：B． 【例8】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在矩形中，点是边的中点，于点，于点，连接．下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用矩形的性质证明、线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质和线段垂直平分线的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据矩形的性质得到，，，利用，可判断则可对进行判断；通过证明，则，则可对进行判断；设的面积为，利用得到，所以，于是得到垂直平分，则，利用三角形面积公式得到， 然后利用得到，所以, 则，于是可对、进行判断． 【详解】解：、∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故原选项正确，不符合题意； 、∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴，故原选项正确，不符合题意； 、设的面积为，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴，故原选项错误，符合题意； 、由上可知：垂直平分， ∴，故原选项正确，不符合题意； 故选：． 【变式8-1】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在矩形中，是对角线上一点，连接并延长交于点，，分别是的中点，连接，若，则的值为 （    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定定理和性质，以及勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 先证明，利用相似三角形性质推出，进而求出，再结合线段中点性质，以及勾股定理求出，，即可解答． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得， ∴在中，， ∴，解得， ∵分别是的中点， ∴，， ∴在中，， 在中，， ∴． 故选：B． 【题型八】相似三角形的证明 【例9】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，，，连接，点在边上，连接，交于点，若．求证：． 【答案】见详解 【难度】0.85 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键，根据矩形的性质，证明，结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，即， ∴， ∴． 【变式9-1】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，于点，于点，连接，求证：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先通过两组角分别相等的三角形是相似三角形，得，则，变形得，再结合，则，即可作答． 【详解】证明：， ， 又， ， 又， ． 【变式9-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：． 【答案】见解析 【难度】0.94 【知识点】利用两角对应相等判定相似、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查相似三角形的判定，正确利用平行四边形的性质及题中所给条件，找到证明相似所需要的条件是解题的关键． 由得，得，由得，由得，即可证明结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 又，   ，         ， ， ． 【变式9-3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知四边形，，P是边上的一点，．若，，，求的长．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．先根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，推出，再利用相似三角形的性质即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 解得． 【变式9-4】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在正方形中，E为边的中点，点F在边上，且，． (1)求证：； (2)若，延长交的延长线于点G，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，正方形的性质是解题的关键． （1）由正方形的性质得出，再结合证出，即可得出； （2）通过证明得到，代入数据得到的长，再利用即可解答． 【详解】（1）证明：正方形， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：正方形， ，， 为边的中点， ， ， ， ， ， ， 的长为10． 【题型九】尺规作图——作两个三角形相似 【例10】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，是以为底的等腰三角形，若，请用尺规作图法在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】利用两角对应相等判定相似、作角平分线(尺规作图)、等边对等角 【分析】本题考查了作图—基本作图，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．作的角平分线交于，点即为所作，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，点即为所作， ∵，， ∴， 由作图可得：平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式10-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点为矩形的边的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】尺规作一个角等于已知角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了作图-相似变换，作一个角等于已知角，过点B作即可． 【详解】解：作图如图所示： 【变式10-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）在中，．请用尺规作图，在边上求作一点，使得将分为两个相似三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】作垂线(尺规作图)、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定、尺规作图—作垂线，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定以及垂线的作图方法． 根据垂线的作图方法，过点作的垂线，垂足为点，此时有，，则． 【详解】解：如图，点即为所求： 【变式10-3】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，为矩形的对角线，N是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上求作一点M，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】作垂线(尺规作图)、利用平行判定相似 【分析】本题考查了作垂直平分线，相似三角形的判定． 作线段的垂直平分线交于M即可． 【详解】解：如图，点M即为所求．（答案不唯一） 证明：∵N是边上的中点， ∴N在线段的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴． 【题型十】坐标与图形——作位似图形 【例11】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标为．在第一象限画出以原点为位似中心的位似图形（点的对应点分别是），使与的相似比为． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查在坐标系中画位似图形，先根据位似图形的点的坐标变化求出各顶点坐标，再依次连接即可解答． 【详解】解：∵， 且与的相似比为， ∴，，， ∴如图，为所求． 【变式11-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．以原点为位似中心，在第一象限内画出，使与位似，且与的相似比为，并写出点、的对应点、的坐标． 【答案】图见解析，， 【难度】0.94 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查了位似图形的性质以及作位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，延长至原来的2倍，找到点，顺次连接得到，根据坐标系即可得出点、的坐标． 【详解】解：如图所示，即为所求： 由图可得，，． 【变式11-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．请你以原点为位似中心，在第三象限内画出，使与位似，且与的相似比为，并写出点、的对应点、的坐标． 【答案】图见解析；点、的坐标分别为，． 【难度】0.65 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】此题考查了位似图形的作图和点的坐标．根据位似图形的作法找到点，顺次连接得到，再写出点A、B的对应点、的坐标即可． 【详解】解：如图，即为所求，点A、B的对应点、的坐标分别为，． 【题型十一】相似三角形的应用 【例12】（25-26九年级上·陕西汉中·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】过点P作于点N，交AF于点，根据求解即可． 本题考查了相似三角形的实际应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：如图，过点P作于点N，交于点， ，， ， ∵矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∴， ， ， 答：汽车盲区的长度为， 故答案为：． 【变式12-1】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）某中学数学实践小组决定测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在距离南岸20米（即米）的点处看北岸，小军和小强站在南岸边，调整小军和小强两人的位置，当小军和小强两人分别站在，两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军和小强遮挡（即，，三点共线，，，三点共线）．已知电线杆，之间的距离为100米，小军和小强两人之间的距离为40米，于点，求这条河的宽度．    【答案】这条河的宽度为30米 【难度】0.85 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的应用．延长交于点，设这条河的宽度为x米．由相似三角形对应高的比等于相似比得到，代入有关数据列方程求解方程，即可得解． 【详解】解：延长交于点，如图所示．     ，， ， 依题意，米，米． 设这条河的宽度为米． ∵， ． ， 即， 解得． 答：这条河的宽度为30米． 【例13】小峰想用镜子测量一棵松树的高度，如图所示，把镜子放在点处（镜子的大小忽略不计），人站在点时，正好在镜子中看到树顶点，但由于树旁有一条河，不能直接测量镜子与树之间的距离，于是小峰从点向后退到点处，此时他发现自己的影子和树的影子于地面点处重合．已知小峰身高为1.6米（忽略头顶到眼睛的距离）．经过测量米，米，米，请你用所学的知识，帮小峰求出松树的高． 【答案】9.6米 【难度】0.65 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，，根据相似三角形的性质得出，，然后解方程即可求解． 【详解】解：根据题意，得，，， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：松树的高9.6米． 【变式13-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图甲是某型塔型大桥的结构，现为了测量大桥的立柱高，将图甲抽象成图乙所示的平面图．如图乙，测得拉索与水平桥面的夹角是，在点处有一根高为的警示牌，当从点处沿着移动到达点处时（即），此时发现立柱的顶端点、警示牌的顶端、以及点恰好在同一条直线上，通过测量得知，，，点，，，在同一条直线上，求立柱的高度． 【答案】立柱的高度为 【难度】0.65 【知识点】相似三角形实际应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，根据题意得到，然后证明，然后利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴，解得， 答：立柱的高度为． 【题型一】容易找不准哪两个三角形相似而出错 点拨：在确定相似三角形时，可以①将问题和条件中的已知线段和未知线段用有颜色的笔描出来；②成比例线段时，借助比的性质进行等积变换、等比代换，再确定相似三角形。 【例1】如图：在中，，点D、E、F分别在上，．求证：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边对等角 【分析】本题考查的是等腰三角形性质及相似三角形判定与性质，先证明，，得出，即可证明结论． 【详解】证明：∵中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式1-1】如图，在中，于，求证：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：证明，列出比例式即可求证． 【详解】证明：∵于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型二】含两对相似三角形的测高问题中因列错比例式出错 点拨：①测高问题中，列比例式时只用直角边的条件；②先根据相似列式，再代数求解，必要时可用方程。 【例2】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）摩天轮曾一度成为游乐城的热门打卡点．某实践小组欲测量摩天轮的高度，过程见下表． 主题 热门打卡，测量摩天轮的高度 测量方案及示意图 　　　　　　　　　 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，摩天轮最高点和标杆顶端确定的直线交水平线于点，测得米． 步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，最高点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米．（以上数据均为近似值） 根据表格信息，求摩天轮的大致高度． 【答案】米 【难度】0.65 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由得，进而得，同理得，即得，再根据得到，解方程即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， 即， ∴， 同理得，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴米， 答：摩天轮的大致高度为米 ． 【变式2-1】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，小林和小明想利用所学知识测量塔的高度，由于观测点与该塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，他们首先利用阳光下的影子进行测量，方法如下：某一时刻，小林在该塔影子的顶端D处竖直立一个标杆，并测得此时标杆的影长为2.4米；然后，小明在的延长线上找一点F，使得A、C、F三点在同一直线上，并测得为2.5米，已知图中所有点均在同一平面内，标杆高为2米，，，根据以上测量数据，求该塔的高度． 【答案】50米 【难度】0.65 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行投影，熟练掌握是解题的关键． 根据相似三角形的性质得到，，得到，代入数据即可得到结论． 【详解】由题意得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 解得． ∴塔的高度为50米． 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，小华及数学小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度．在阳光下，小华站在点处时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点，其中；随后，该小组组员甲在点处放置一面平面镜，组员甲移动到点时，恰好在镜子中看到广告牌顶端的像，此时，，组员甲的眼睛到地面的距离为，小华的身高为．已知，，，点在一条直线上根据以上信息，求广告牌的高度．（平面镜的厚度、大小忽略不计） 【答案】广告牌的高度为． 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，根据题意可证，得，则，再证明，得，则，可得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，根据光的反射得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴广告牌的高度为 【题型一】辅助线构造相似解决问题 ·求解方法：利用基本相似模型填加辅助线构造相似 A字型 (平行) （不平行) 母子型 (不垂直)(垂直) 一线三直角 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）问题提出 （1）如图1，在中，，点D在上，于点若，，，则的长为______． 问题解决 （2）如图2，有一块三角形试验田，面积为为了扩大试验规模，试验组决定将这个试验田扩建，考虑土壤、光照、温度、湿度、水源等诸多因素，最终扩建为三角形试验田经实际测量可得，，，，求扩建后三角形试验田的面积． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形 【分析】先求出，，证明和相似得，由此可得出的长； 过点C作于点F，过点A作交的延长线于点H，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，根据的面积为得，则，在中，分别求出，，再证明和相似得，则，进而得，然后再根据三角形的面积公式可求出的面积． 【详解】解：在中，，，，， ， 由勾股定理得：， 于点E， ， 又， ， ， ， 故答案为：； 过点C作于点F，过点A作交的延长线于点H，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， 的面积为， ， ， ， 在中，，，， ， ， 由勾股定理得：， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，含有角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用含有角的直角三角形的性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在一块直角三角形铁皮中，计划截取一个等腰直角三角形，点，分别在，边上，已知，且，，，则剩余阴影部分的面积之和为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的定义 【分析】先过点B作于点M，过点E作于点N，结合等腰直角三角形的性质，运用证明，再推导出，证明，则设，得，解得，运用勾股定理分别算出，，结合面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：如图，过点B作于点M，过点E作于点N， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴设， 则， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·陕西安康·期末）【问题情境】如图①，小明把三角板放置到矩形中，使顶点E、F、G分别落在边、、上，则与之间的数量关系为______； 【变式探究】如图②，小明把三角板放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在边、、上，若，，求的长； 【拓展应用】如图③，小明把三角形放置到平行四边形中，使顶点E、F、G分别在边、、上，若，，，直接写出的值． 【答案】问题情境：；变式探究：；拓展应用： 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质与判定求线段长、利用平行四边形的性质求解、根据等角对等边证明边相等 【分析】问题情境：由四边形是矩形，可得，推出，可得； 变式探究：过点F作于H，则，可得，得出，，进而求得，，再由四边形是矩形，可得，即可求得答案； 拓展应用：延长至M，连接FM交于P，使，可得，推出，再根据平行四边形性质和等腰三角形性质即可求得答案． 【详解】解：问题情境：结论：，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 变式探究：如图2，过点F作于H，则， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 拓展应用：延长至M，连接交于P，使，如图3， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴，， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定和相似三角形的判定与性质，熟练掌握运用相关知识是解答本题的关键． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）【问题提出】 （1）如图1，在矩形中，，，点是边上一点，连接，作交于点，若，求的长； 【问题解决】 （2）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图2，矩形是某校的一块劳动实践基地，，，边上的点处有一口灌溉水井，和是两条互相垂直的小路，且，现在沿修了一条延伸至边上的小路（点在上，点在上），发现点到灌溉水井的距离．求灌溉水井到点的距离． 【答案】（1）； 【难度】0.4 【知识点】相似三角形实际应用、根据矩形的性质求线段长、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形的实际应用，解一元二次方程，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）证明得到，再代入和计算即可； （2）过作于，先得到，得到，，再根据得到，最后根据得到列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵矩形中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，； （2）解：过作于，则， ∵矩形中， ∴， ∵和是两条互相垂直的小路， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴灌溉水井到点的距离． 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，分别是边上的点，且交于点． (1)如图①，若四边形是正方形，求证：； (2)如图②，若四边形是矩形，平分分别交于点，当点为的三等分点，且时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据正方形的性质，得出，，推出，利用证明，即可得出； （2）作于，结合矩形的性质，证明，设，则，分“当时”和“当时”两种情况讨论，根据，求出、，根据勾股定理求出的长，然后分两种情况求解即可 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如解图，过点作于点， 四边形是矩形，平分， ，， ，， ， ， ， ， ； 设，则， 点为的三等分点， 分以下两种情况： ①当时，，则， 解得， ； ②当时，，则， 解得， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，分类讨论是解题的关键． 【变式2-3】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）（1）如图①，在正方形中，E为边上一动点，将沿折叠，得到，过点F作直线，分别交边于点M，N． 【问题探究】 ①求证：； 【问题解决】 ②当时，若，求正方形的边长； 【实际应用】 （2）如图②，有一块形状为正方形的纸片，小李要在边上找一点E，然后将沿折叠，得到，过点F作直线，分别交边于点M，N，小李沿着裁剪交边于点P，沿着裁剪交于点Q．当时，点P为线段的中点吗？请说明理由． 【答案】（1）①见解析，②；（2）点是线段的中点，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、折叠问题、根据正方形的性质证明、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）①根据正方形和平行线的性质得，由折叠得：，推出，即可得证；②根据相似三角形的性质得，继而得到，，得到，得，，根据勾股定理得，再代入，可得结论； （2）证明得，，根据，推出，，继而得到，再根据，可得，即可得证． 【详解】（1）①证明：四边形是正方形， ， 由题意易得，四边形为矩形， ， ∴由折叠得：， ， ．                          ②解：由①知， ， ，              四边形为矩形， ，             ，              解得或（不符合题意，舍去）， ， ，                                 ， ， 正方形的边长为．                                     （2）证明：点P是线段的中点，理由如下： ， ，                           在和中，， ， ，                              ， ， ， ， ，                                ， ， ， 为的中点． 【点睛】本题考查正方形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【题型二】几何法解最值问题 ·适用条件：①问题求线段和、差的最小值；②可以作辅助线转化为共端点的两条线段和（差）. ·求解方法：利用三点共线求最值（两点之间线段最短、垂线段最短） 【例3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在正方形中，，为直线上的动点，连接，．为上一动点，连接，使得．在点的运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、圆的基本概念辨析、相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接，取中点E，连接，，根据正方形的性质和勾股定理可求出，证明，可得出，等量代换得出，证明，得出，则点N在以为直径的圆上运动，故当B、N、E三点共线，且N在线段上时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：连接，取中点E，连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点N在以为直径的圆上运动， ∴当B、N、E三点共线，且N在线段上时，最小，最小值为， ∵E为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆的概念等知识，明确题意，添加合适辅助线，确定点N在以为直径的圆上运动是解题的关键． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，，D、E分别是、边上的两个动点，点G是的中点，连接，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】两点之间线段最短、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了利用构造相似三角形的方法，结合直角三角形的性质、勾股定理以及两点之间线段最短的原理，解题的关键是通过构造相似三角形将转化为，利用直角三角形性质与勾股定理计算边长，依据两点之间线段最短求的最小值. 在中，利用勾股定理算出斜边的长度。再根据直角三角形斜边中线性质，得出，在上取点，使与、与的比值都为，且夹角相等，从而构造出相似三角形和，依据相似三角形性质得到 ，根据两点之间线段最短的原理，当、、三点共线时，其值最小，利用勾股定理算出的长度，即为的最小值。 【详解】在中，，，， ∴． ∵连接，点是中点，， ∴为的中线， ∴． 在上取点，使， 连接， 在和中， ，，且， ∴， ∴，即， ∴， 根据两点之间线段最短，当，，三点共线时，取得最小值，即的长度， 连接，在中，， ∴， ∴的最小值为． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，正方形的边长为10，点P为的中点，连接、，点M、N分别为、上的动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理 【分析】取的中点E，连接，过点B作于H，交于点M，过点M作于点N，求出，证明，则，得到，此时是最小值，证明，则，即可求出． 【详解】解：取的中点E，连接，过点B作于H，交于点M，过点M作于点N， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点P为的中点，的中点E， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时是最小值， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为： ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，添加辅助线找到是最小值是解题的关键． 【变式3-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，正方形的边长为10，点P为的中点，连接、，点M、N分别为、上的动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】取的中点E，连接，过点B作于H，交于点M，过点M作于点N，求出，证明，则，得到，此时是最小值，证明，则，即可求出． 【详解】解：取的中点E，连接，过点B作于H，交于点M，过点M作于点N， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点P为的中点，的中点E， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时是最小值， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为： 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，添加辅助线找到是最小值是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $