期末专题突破：因式分解专题2025-2026学年人教版数学八年级上册

人教版数学八年级上册期末专题突破：因式分解专题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求。 1.化简的结果是(    ) A. B. C. D. 2.多项式各项的公因式是(    ) A. B. C. D. 3.因式分解：(    ) A. B. C. D. 4.多项式提取公因式后，得到的另一个因式为(    ) A. B. C. D. 5.若为任意整数，则的值总能  (    ) A. 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 6.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是  (    ) A. 我爱美 B. 中华游 C. 爱我中华 D. 美我中华 7.若长、宽分别为、的长方形周长为，面积为，则的值为  (    ) A. B. C. D. 8.要使式子成立，则“”内应填的式子是(    ) A. B. C. D. 9.若的结果为整数，则整数的值不可能是(    ) A. B. C. D. 10.若能分解为，则的值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.若，都是多项式的因式，则          ． 12.           13.填空：           ；                     ；           ． 14.已知，则           ． 15.因式分解，其中、、都为整数，则的最大值是          ． 三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 下面是某同学对多项式进行分解因式的过程： 解：设， 原式第一步 第二步 第三步 第四步 该同学第二步到第三步运用的分解因式的方法是____． A. 提取公因式 B. 平方差公式 C. 两数和的完全平方公式 D. 两数差的完全平方公式 该同学在第四步将用所设中原有的代数式替换，得到的结果是否完成了分解因式的全过程          填“是”或“否”如果否，直接写出最后的结果． 请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 17.本小题分 阅读理解： 用“十字相乘法”分解因式的方法． 第一步：分解二次项系数，； 第二步：分解常数项，； 第三步：如图所示，验算“交叉相乘之和”： ； ； ； ． 发现中“交叉相乘之和”的结果为，等于一次项系数． 将十字交叉线上的系数对应写在两个相乘的多项式中：，则． 像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 仿照以上方法分解因式：． 18. 本小题分 求证：当是整数时，两个连续奇数的平方差是的倍数． 19. 本小题分 分解因式： ； ． 20.本小题分 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如：，，因此，，都是“神秘数”． 请说明是否为“神秘数”． 下面是两个同学演算后的发现，请选择一个“发现”，判断真假，并说明理由． 甲同学发现：两个连续偶数和其中取非负整数构造的“神秘数”也是的倍数． 乙同学发现：是“神秘数”． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了分式的约分，解题的关键是确定公因式：取各系数的最大公因数，凡出现的字母或含字母的整式为底数的幂的因式都要取最低次幂，本题也考查了因式分解． 把分子分解因式后与分母约分即可． 【解答】 解：． 故选B． 2.【答案】  【解析】分别找出公因式的系数、字母及次数，得 3.【答案】  【解析】解： ． 故选：． 直接利用平方差公式分解因式得出答案． 此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 4.【答案】  【解析】略 5.【答案】  【解析】略 6.【答案】  【解析】略 7.【答案】  【解析】长、宽分别为、的长方形周长为，面积为，，，故选B． 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】原式， A.当时，，是的因数，可使结果为整数，故选项A不符合题意；当时，，是的因数，可使结果为整数，故选项B不符合题意；当时，，是的因数，可使结果为整数，故选项C不符合题意；当时，，不是的因数，不能使结果为整数，故选项D符合题意． 10.【答案】  【解析】【分析】 根据因式分解的结果，确定出的值即可． 此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键． 【解答】 解：根据题意得：， 则． 故选：． 11.【答案】  【解析】解： ， ，都是多项式的因式， ， 解得：， 故答案为：． 先根据多项式乘多项式计算，合并同类项后得出，即可求出答案． 本题考查了因式分解的意义和多项式乘多项式，能正确根据多项式乘多项式法则进行计算是解此题的关键． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了因式分解提公因式法，提取公因式，即可得到结果． 【解答】 解： 故答案为： 13.【答案】【小题】   【小题】     【小题】   【解析】 略  略  略 14.【答案】或  【解析】【点拨】因为，所以，所以，所以，所以或所以或． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了因式分解与整式乘法的关系，多项式乘多项式，有理数的乘法，有理数的加法，有理数的大小比较，对常数项的不同分解是解本题的关键． 首先根据多项式与多项式的乘法法则将等式的右边展开，从而得到，，然后把分解为两个整数的积，进而确定的最大值即可． 【解答】 解：， ，， ， 或或或． 又， 的最大值是． 故答案为． 16.【答案】【小题】 【小题】 小影同学因式分解的结果不彻底， 原式 ， 故答案为：不彻底， 【小题】 设， 原式， ， ， ， ．   【解析】  小影同学第二步到第三步运用了完全平方公式中两数和的平方公式， 故选：  略  略 17.【答案】解：分解二次项系数， 分解常数项， 验算“交叉相乘之和” ． 发现中“交叉相乘之和”的结果为，等于一次项系数， ．   【解析】本题主要考查的是十字相乘法进行因式分解的有关知识，根据题意利用十字相乘法进行因式分解即可． 18.【答案】证明： ． 因为是整数，所以是的倍数，所以两个连续奇数的平方差是的倍数．   【解析】见答案 19.【答案】解： ； ．  【解析】先利用平方差公式，再提取公因式； 先分组利用完全平方公式，再利用平方差公式． 本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法及分组分解法是解决本题的关键． 20.【答案】【小题】 是神秘数 【小题】 甲同学的发现是真命题，因为 所以是的倍数，甲同学的发现是真命题． 乙同学的发现是假命题，因为当时，解得不是非负整数，所以乙同学的发现是假命题   【解析】 略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $