精品解析：内蒙古包头市昆都仑区第九中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

昆区九中2025-2026年度第一学期九年级数学阶段性测试 一、选择题（24分） 1. 榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图，从物体上面看物体得到的平面图形就是物体的俯视图，从而确定答案，注意看得见的棱用实线、看不见的棱用虚线． 【详解】解：从上面看组合体，可得它的俯视图是， 故选：C． 2. 若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则线段d的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例线段，四条线段成比例，中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例，据此进行判断即可． 【详解】解：∵ 线段a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故选：C 3. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 点在该函数的图象上 C. y随x的增大而增大 D. 点，都在该函数图象上，则 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键． 直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案． 【详解】解：∵， ∴图象在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故A、C选项错误，不符合题意； 当时，， ∴点不在该函数的图象上，故B选项错误，不符合题意； ∵点，都在该函数图象上，， ∴点在第二象限内，在第四象限内， ∴，故D选项正确，符合题意； 故选：D 4. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　） A. 4 B. 4 C. 8 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】在Rt△BDH中先求得BD的长，根据菱形面积公式求得AC长，再根据勾股定理求得CD长． 【详解】∵DH⊥AB， ∴∠BHD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OC＝OA＝，AC⊥BD， ∴OH＝OB＝OD＝（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）， ∴OD＝4，BD＝8， 由得， ＝32， ∴AC＝8， ∴OC＝＝4， ∴CD＝＝8， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得BD的长． 5. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，锐角三角函数，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，先证明为直角三角形，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴，即为直角三角形， ∴， 故选：D． 6. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．注意到二次项系数不等于0这一条件是解题的关键． 方程有两个不相等的实数根，则，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根，则，， 解得：且 故选：A． 7. 如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形的位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，注意分情况计算． 根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算即可． 【详解】解：∵以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，， ∴当在第一象限时，点的坐标为，即； 当在第三象限时，点的坐标为，即； 综上可知，点的坐标为或， 故选 C． 8. 如图，点P是边长为2的正方形的对角线上的动点，过点P分别作于点E，于点F，连接并延长，交射线于点H，交射线于点M，连接交于点G，当点P在上运动时（不包括B、D两点），以下结论：①；②；③；④的最小值是．其中正确结论的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点；熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． ①如图：连接交于O，根据对称性可知， ，再说明四边形是矩形，根据矩形的性质可得，故，又因为，故，进而得到，即可判断①．②可用特殊值法证明，当点P与中点重合时，，，显然，可判定②；③先证明，得到，即，再结合即可判定③；④先说明当时，的值最小，此时A、P、C共线，再运用勾股定理求得、即可解答． 【详解】解：①如图：连接交于O．根据对称性可知，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．即①正确； ②当点P与中点重合时，，，显然；即②错误； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即③正确； ④∵四边形是矩形， ∴， ∴当时，的值最小，此时A、P、C共线， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 综上，正确的有①③④，共3个． 故选C． 二、选择题（18分） 9. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，由已知比例关系，设参数表示a和b，代入所求分式计算． 【详解】解：设（），则 ，， ∴， 故答案为：． 10. 在一个不透明的口袋中装有4个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了利用估计概率，根据摸到红球的频率稳定在得到摸到白球的频率稳定在附近，进而得到摸到白球的概率为，然后列式求解即可． 【详解】∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到白球的频率稳定在附近， ∴摸到白球的概率为， ∴（个） ∴口袋中红球可能有6个． 故答案为：6． 11. 已知方程的两根分别为和，则代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， ，， ， ． 故答案为：． 12. 如图，在中，，是边上的中线，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，不妨设，根据勾股定理，得，取的中点E，连接，利用三角形中位线定理，正切函数的定义解答即可． 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，正切函数的定义，正弦函数的定义，熟练掌握性质和定义是解题的关键． 【详解】解：根据，不妨设， 根据勾股定理，得， 取的中点E，连接， ∵是边上的中线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 有一张矩形纸片如图所示，，．点N在边上，现将矩形沿折叠，使得点A对应的点为点M，点M恰好落在边上．则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由折叠性质和勾股定理证，得即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，， 由折叠性质可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴即， ∴， 故答案为：3． 14. 如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，理解并掌握三角形的性质是解题的关键； 设运动时间为，由题意得，，则，再由题意可得只存在和这两种情况，据此分两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故答案为：或． 三、解答题（50分） 15. （1）解方程： （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数计算，绝对值的化简，公式法解方程，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． （1）根据公式法解方程即可． （2）根据负整数指数幂，特殊角的三角函数计算，绝对值的化简，解答即可． 【详解】解：（1） ， ， ， 所以方程的解为； （2） 16. 近年来，随着全球人工智能大模型等发展迅速，人工智能日渐成为新一轮科技革命和产业革命的重要驱动力量．为了培养新时代青少年对科技的探究兴趣，某校开展以“人工智能”为主题的知识讲座．讲座后，该校还开展了“人工智能”知识答题竞赛活动，现从该校九年级中随机抽取部分学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：．下面给出了部分信息：九年级10名学生的成绩在中的数据是90，92，92，91． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________，并补全频数分布直方图； （2）所抽取学生的竞赛成绩的中位数为___________； （3）该校九年级共600人参加了此次答题竞赛活动，请估计参加竞赛活动的学生成绩不低于90分的有多少人． （4）上述调查过程中，从九年级抽取的10名学生中，成绩为前四名的学生是2男2女，现从这4人中任选两名学生参加市级“人工智能知识”的培训课程，请用画树状图或列表的方法求出所选中的两名学生都是女生的概率． 【答案】（1）； 补全的频数分布直方图如图．    （2） （3）估计参加竞赛活动的学生成绩不低于90分的有420人 （4） 【解析】 【分析】本题考查频数直方图，扇形统计图，求中位数，树状图法求概率，从统计图中有效地获取信息，是解题的关键， （1）用的人数除以总人数求出a的值即可，根据；的人数补全直方图即可； （2）利用中位数的确定方法进行求解即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可； （4）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意，的人数为4人， 故的人数为：人； ∴， ∴； 【小问2详解】 解：将10个数据排序后，第5个和第6个数据分别为：， ∴中位数为：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计参加竞赛活动的学生成绩不低于90分的有420人； 【小问4详解】 解：设2名男生用A，B表示，2名女生用a，b表示， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选中的两名学生都是女生的结果数为2， ∴选中的两名学生都是女生的概率． 17. 学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】博学楼的高度为9米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形是矩形，解中，得到，设，则，，解，得到，求解，再代入即可． 【详解】解：过点作于点，由题意得，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴设， 则，， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴， 答：博学楼的高度为9米． 18. 如图，四边形中，，，E为的中点． （1）求证：． （2）若，，连结DE交AC于点F，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，由直角三角形斜边上中线性质得到，则，得到，又由即可得到结论； （2）由，得到，求得，得到，由，得到，进一步即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上中线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 19. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点A、B，且点A的横坐标为，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象直接写出当x取何范围时，有？ （3）若点P在y轴上，且的面积为6，求出点P的坐标； 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的综合，几何图形面积问题，正确掌握各知识点是解题的关键． （1）将代入，求得，再将代入求出k即可； （2）观察图象即可的答案； （3）求出点 B、C的坐标，设点P的坐标为，得到，根据的面积为6，得到，求出a值即可得到点P的坐标． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， ∵反比例函数的图象过点A， ∴，即 ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：观察图象可知时，x取何范围是或； 【小问3详解】 解：∵反比例函数的图象过点B，点B的横坐标为4， ∴，即 设点P的坐标为， ∵一次函数的图象与y轴交于点C． ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴， 解得或 ∴点P的坐标为或． 21. 如图，在中，点在对角线上，，，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 四边形是正方形，理由如下： 由（）知，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（）证明得，进而得，得到四边形是平行四边形，再根据即可求证； （）先证四边形是平行四边形，得到，可得，进而得到，即可得，得到，即可求证； 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定等，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆区九中2025-2026年度第一学期九年级数学阶段性测试 一、选择题（24分） 1. 榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则线段d的长度为（ ） A. B. C. D. 3. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 点在该函数的图象上 C. y随x的增大而增大 D. 点，都在该函数图象上，则 4. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　） A. 4 B. 4 C. 8 D. 8 5. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 7. 如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，点P是边长为2的正方形的对角线上的动点，过点P分别作于点E，于点F，连接并延长，交射线于点H，交射线于点M，连接交于点G，当点P在上运动时（不包括B、D两点），以下结论：①；②；③；④的最小值是．其中正确结论的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 二、选择题（18分） 9. 已知，则______． 10. 在一个不透明的口袋中装有4个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有______． 11. 已知方程的两根分别为和，则代数式的值为__________． 12. 如图，在中，，是边上的中线，，则_______． 13. 有一张矩形纸片如图所示，，．点N在边上，现将矩形沿折叠，使得点A对应的点为点M，点M恰好落在边上．则的长为______． 14. 如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是________． 三、解答题（50分） 15. （1）解方程： （2）计算： 16. 近年来，随着全球人工智能大模型等发展迅速，人工智能日渐成为新一轮科技革命和产业革命的重要驱动力量．为了培养新时代青少年对科技的探究兴趣，某校开展以“人工智能”为主题的知识讲座．讲座后，该校还开展了“人工智能”知识答题竞赛活动，现从该校九年级中随机抽取部分学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：．下面给出了部分信息：九年级10名学生的成绩在中的数据是90，92，92，91． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________，并补全频数分布直方图； （2）所抽取学生的竞赛成绩的中位数为___________； （3）该校九年级共600人参加了此次答题竞赛活动，请估计参加竞赛活动的学生成绩不低于90分的有多少人． （4）上述调查过程中，从九年级抽取的10名学生中，成绩为前四名的学生是2男2女，现从这4人中任选两名学生参加市级“人工智能知识”的培训课程，请用画树状图或列表的方法求出所选中的两名学生都是女生的概率． 17. 学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 18. 如图，四边形中，，，E为的中点． （1）求证：． （2）若，，连结DE交AC于点F，求的值． 19. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点A、B，且点A的横坐标为，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象直接写出当x取何范围时，有？ （3）若点P在y轴上，且的面积为6，求出点P的坐标； 21. 如图，在中，点在对角线上，，，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $