齐次化在圆锥曲线中的应用 学案-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理圆锥曲线中齐次化的应用，将常数代换与平移变换两大核心考点，通过例题解析、规律方法提炼及跟踪演练，构建“问题-方法-应用”的知识网络，引导学生自主推导斜率关系规律，形成系统解题思路。 亮点在于以学生为主体的分层实践设计，如跟踪演练中斜率成等比数列证明及专题强化练中的定点问题，培养数学思维与数学语言表达能力。学生可通过演练自主诊断薄弱环节，教师能依据学情精准指导，有效提升备考效率与自主复习能力。

　齐次化在圆锥曲线中的应用 [考情分析]　圆锥曲线中的定点、定值、弦长、面积等许多问题都可以转化为斜率问题，当解圆锥曲线问题遇到斜率之和或斜率之积时，如果采用齐次化解决，会使题目计算量大大减少. 考点一　常数代换+齐次化 例1　如图，已知抛物线y2=4x，直线l交抛物线于A，B两点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点. [规律方法]　齐次化在圆锥曲线中的应用步骤 (1)设直线与圆锥曲线相交于两点A(x1，y1)和B(x2，y2). (2)联立直线和圆锥曲线的方程，得出齐次方程. (3)利用根与系数的关系，得到斜率之和或斜率之积的表达式.(目的) 通过齐次化处理，将复杂的表达式转化为简单的代数形式，从而简化计算.(效果) 跟踪演练1　如图，已知不过原点的动直线l交椭圆+=1于A，B两点，直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求证：直线l的斜率为定值. 考点二　平移变换+齐次化 例2　如图，已知抛物线y2=4x，P(1，2)，直线l交抛物线于A，B两点，PA⊥PB，求证：直线l过定点. [规律方法]　齐次化方法一般应用于： (1)题设条件中满足三个点都在圆锥曲线上，其中一个点为定点. (2)定点与两个动点连线的斜率之和或斜率之积有关系. 跟踪演练2　如图，已知椭圆+=1，点P在椭圆上，A，B为椭圆上两点，kPA+kPB=0.求证：直线AB的斜率为定值. 专题强化练 [分值：30分] 1.(13分)如图，已知双曲线-=1，P(2，0)，A，B为双曲线上两点，且kPA+kPB=0.AB不与x轴垂直，求证：直线AB过定点. 2.(17分)如图，椭圆E：+=1(a>b>0)经过点A(0，-1)，且离心率为. (1)求椭圆E的方程；(5分) (2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ斜率之和为2.(12分) 学科网（北京）股份有限公司 $ 齐次化在圆锥曲线中的应用 [考情分析]　圆锥曲线中的定点、定值、弦长、面积等许多问题都可以转化为斜率问题，当解圆锥曲线问题遇到斜率之和或斜率之积时，如果采用齐次化解决，会使题目计算量大大减少. 考点一　常数代换+齐次化 例1　如图，已知抛物线y2=4x，直线l交抛物线于A，B两点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点. 证明　设直线AB的方程为mx+ny=1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得y2-4mx2-4nxy=0， 上式两边同时除以x2，得-4n-4m=0， 则Δ=16n2+16m>0， 因为kOAkOB=·=-1， 则由根与系数的关系得-4m=-1，解得m=， 故直线AB：x+ny=1，过定点(4，0). [规律方法]　齐次化在圆锥曲线中的应用步骤 (1)设直线与圆锥曲线相交于两点A(x1，y1)和B(x2，y2). (2)联立直线和圆锥曲线的方程，得出齐次方程. (3)利用根与系数的关系，得到斜率之和或斜率之积的表达式.(目的) 通过齐次化处理，将复杂的表达式转化为简单的代数形式，从而简化计算.(效果) 跟踪演练1　如图，已知不过原点的动直线l交椭圆+=1于A，B两点，直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求证：直线l的斜率为定值. 证明　设直线l的方程为mx+ny=1， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 得(12n2-4)+24mn+12m2-3=0， 则12n2-4≠0，Δ>0， 于是kOAkOB=·=， 又kAB=-，直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，所以=， 解得kAB=-=±， 故直线l的斜率为定值. 考点二　平移变换+齐次化 例2　如图，已知抛物线y2=4x，P(1，2)，直线l交抛物线于A，B两点，PA⊥PB，求证：直线l过定点. 证明　将图形向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，使点P位于坐标原点，如图， 平移后的抛物线方程为(y+2)2=4(x+1)， 整理得y2+4y-4x=0， 设平移后直线A'B'的方程为mx+ny=1，A'(x1，y1)，B'(x2，y2)， 联立 得(1+4n)+(4m-4n)-4m=0， 则1+4n≠0，Δ>0， 于是kP'A'kP'B'=·==-1， 整理得4m-4n=1， 所以直线A'B'：mx+ny=1过定点(4，-4)，将其向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， 得直线l过定点(5，-2). [规律方法]　齐次化方法一般应用于： (1)题设条件中满足三个点都在圆锥曲线上，其中一个点为定点. (2)定点与两个动点连线的斜率之和或斜率之积有关系. 跟踪演练2　如图，已知椭圆+=1，点P在椭圆上，A，B为椭圆上两点，kPA+kPB=0.求证：直线AB的斜率为定值. 证明　将图形向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度，使点P位于坐标原点(图略)，则平移后的椭圆方程为+=1， 整理得4y2+3x2+6x+12y=0， 设平移后的点P，A，B为P'，A'，B'，直线A'B'的方程为mx+ny=1，A'(x1，y1)，B'(x2，y2)，P'(0，0)， 联立 得(12n+4)y2+6(2m+n)xy+(6m+3)x2=0， 上式两边同时除以x2，得(12n+4)+6(2m+n)+6m+3=0， 则12n+4≠0，Δ>0， 则kP'A'+kP'B'=+==0， 所以2m+n=0， 故kA'B'=kAB=-=， 故直线AB的斜率为定值. 专题强化练 [分值：30分] 1.(13分)如图，已知双曲线-=1，P(2，0)，A，B为双曲线上两点，且kPA+kPB=0.AB不与x轴垂直，求证：直线AB过定点. 证明　将图形向左平移2个单位长度，使点P位于坐标原点(图略)，则平移后的双曲线方程为-=1， 整理得y2-x2-4x-2=0， 设平移后的点P，A，B为P'，A'，B'，直线A'B'的方程为mx+ny=1，A'(x1，y1)，B'(x2，y2)，P'(0，0)， 联立 得(1-2n2)y2-(4n+4mn)xy-(2m2+4m+1)x2=0， 上式两边同时除以x2，得(1-2n2)-(4n+4mn)-(2m2+4m+1)=0， 则1-2n2≠0，Δ>0， 则kP'A'+kP'B'=+==0， 所以4n+4mn=4n(m+1)=0， 解得n=0或m=-1， 又直线AB不与x轴垂直，则n≠0， 所以m=-1，故直线A'B'：-x+ny=1，过定点(-1，0)，将其向右平移2个单位长度，故直线AB过定点(1，0). 2.(17分)如图，椭圆E：+=1(a>b>0)经过点A(0，-1)，且离心率为. (1)求椭圆E的方程；(5分) (2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ斜率之和为2.(12分) (1)解　由题设知，=，b=1， 结合a2=b2+c2，解得a=，所以椭圆E的方程为+y2=1. (2)证明　将图形向上平移1个单位长度，使点A位于坐标原点(图略)，则平移后的椭圆的方程为+(y-1)2=1， 设平移后的点P，Q为P'，Q'，直线P'Q'的方程为mx+ny=1，P'(x1，y1)，Q'(x2，y2)， 联立 得2y2+x2-4y(mx+ny)=0， 即(-4n+2)y2-4mxy+x2=0， 因为x≠0，上式两边同时除以x2， 得(-4n+2)-4m·+1=0，则-4n+2≠0，Δ>0，则+=， 易得直线mx+ny=1过点(1，2)，得m+2n=1，即m=1-2n， 故kAP+kAQ====2. 学科网（北京）股份有限公司 $