2024-2025学年高三上学期开学摸底考数学试题

高三开学考试数学卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔填涂在答题卡上。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数z满足 则（      ）. A．1 B． C．2 D． 2．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，，则（    ） A． B．1 C． D．2 4．某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势如图所示，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，下列说法中不正确的是（    ） A．该市14天空气质量指数的中位数为78.5 B．该市14天空气质量指数的第30百分位数为55 C．该市14天空气质量指数的平均值大于100 D．计算连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的方差最大 5．已知点是椭圆上的动点，于点，若，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的值域为，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．8 7．已知三棱锥，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．若，则（    ）． A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数（，），恒成立，且的最小正周期为π，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．将的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于y轴对称 D．在上单调递增 10．已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（    ） A．的准线方程为 B．周长的最小值为5 C．四边形可能是平行四边形 D．的最小值为 11．已知的图象上能找到两个不同点关于原点对称，则称为函数的一对“友好点”，则下列正确的有（    ） A．若，则有两对“友好点” B．不可能有三对“友好点” C．若仅有一对“友好点”，则 D．当时，对任意的，总是存在，使得 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列中，，则数列的前8项和等于 ． 13．已知，，则 ． 14．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．现在已知甲选择了号箱，用表示号箱有奖品（），用表示主持人打开号箱子（），则 ，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，. (1)求的大小； (2)若，求的面积． 16．（15分）已知是函数的极值点，曲线在点处的切线斜率为． (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最值． 17．（15分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值． 18．（17分）甲､乙､丙三人进行一种传球游戏：当球在甲手中时，甲将球保留（也记为一次传球）的概率为，否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为，否则乙将球传给丙；当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为，否则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中. (1)设传球三次后，球在甲手中的次数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)传次球后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式； (3)在第（2）问的条件下，设.求证：. 19．（17分）如图，已知双曲线的离心率为2，点在上，为双曲线的左、右顶点，为右支上的动点，直线和直线交于点，直线交的右支于点． (1)求的方程； (2)探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由； (3)设分别为和的外接圆面积，求的取值范围． 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $高三开学考试数学卷 参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1 4 P B D B C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABD BD BD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.72 4. g0375 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) s4im6得cos9 【详解】(1)由已知得B-5,由正弦定理a- b bsinA b sinB -5得aB= 3 tanB>0.BE0. 得8-名 (2)法：由(1)知8=，代入ac0sB=5得a=2, 由余弦定理b2=a2+c2-2ac·c0sB得2=4+c2-2V5c c2-2W3c+2=0得c=V3+1或c=V3-1 ①当c=√3+1时， SABc=ac.sinB= 1 ②当c=3-1时， SLABC=ac·sinB=E- 法二：b=V5代入bsim4-=1得sim4=5 a>b,A>BA=开或A=3弧 4 4 回4=牙时，C=正夏7π 4612 c=0沿m行分0co子+ea如月 π，π 4 -5x5+x56+2 22224 5.absincxxx 1 4 2 ②4=经时C=x好名8 4612 s-cos5sn4 -Bx巨_1x56-互 2222 4 5.ane-ab-sincx2xVx 1 4 2 16.(15分)【详解】 (1)f(x)=3ax2+c,由题意可知，f"(2)=0,f'(1)=-9, 12a+c=0 即 3a+c=-9'解得：a=1,c=-12, 则f(x)=x3-12x+1,f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2), x,f()和f()的变化关系，如下表所示， (-0,-2) -2 (-2.2) 2 (2,+o) f'(x) + 0 0 + f(x) 单调递增 极大值17 单调递减 极小值-15 单调递增 所以x=2是函数的极值点，a=1,c=-12,满足题意，所以f(x)=x3-12x+1: 2 (2)根据(1)的结果可知，x∈[1,3]，，f'()和f()的变化关系，如下表所示， 1 (-1,2) (2,3) 3 f'(x) 0 + f(x) 12 单调递减 极小值-15 单调递增 -8 当x=-1时，函数取得最大值12， 当x=2时，函数取得最小值-15， 所以函数f(x)的最大值是12，最小值是-15. 17.(15分) 【详解】(1)连接ME,B,C D :ME分别为BB,BC中点ME为△B,BC的中位线 1 :MB1/BC且Ma=AC 又N为A,D中点，且AD/BCND1IB,C且wD= BC .ElND四边形MNDE为平行四边形 D MNIIDE,又MNt平面CDB,DEc平面CDE .MN/1平面CDE (2)设AC O BD=0,AC∩BD=O 由直四棱柱性质可知：OO,⊥平面ABCD D C1 ·四边形ABCD为菱形AC⊥BD 则以O为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系： 则Aw300MQl2.46a4.o010aNf5} M 取B中点P,连接DP,则50 -0 22 B :四边形ABCD为菱形且∠BAD=60.△BAD为等边三角形“.DF⊥AB 又AA:⊥平面ABCD,DFC平面ABCD·DF⊥AA 3 DF⊥平面ABB,A,'即DFL平面AM4 DF为平面A4的一个法向量，且DF= 设平面M4N的法向量=(xy,=,又M4=(W5,-1,2),MN= 5_30 2’2 i.MA=3x-y+2z=0 ∴. n.N=53. )少=0：令x=3,则v=1，z=-1元=(W3,1-1) .cos<DF,n DF.i 3v15 D同V厉5sin<D原，- 5 二面角4-M4-N的正弦值为： 5 18.(17分)【详解】(1)由题意知，X=0,1,2,3, P(X=0)= 8 =271 1×2×2+2×2×1+2×2x1=12 P(X-)-3*+33*33*3*327 p(x=2)=xx2+x2x+2x1x16 33333333327 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 8 4 2 1 27 9 27 随机变量X的数学期望为(x)=0x8+1×4+2×名+3×-1： 271 9 9 27 (2)由于传n次球后不在乙手中的概率为1-n, 此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙， 做有。0 变形%2子-引 又县子m以数列-引是有项为因专5公比为的守北微 所以-房)”=， 所以数到积道项公式刀=子号（号引： 92可4 -3=3-3 子a是时 d, 3 是}2232mew =0>12 d, 33 d,d; 19.(17分)【详解】(1)因为离心率e=C=2,所以c=2a,b=c2-a2=3a2, a x2 y2 双曲线的方程为行30=1， 将点 ,LG=4业，所以C的方程为三一之寸 (2)直线P9过定点(4,0)，理由如下：设P(x,乃)，2(x2,y2), 2_y=1 直线PQ的方程为x=y+n,与C的方程联立412 、x=y+n, 整理得(3m2-1)y2+6ww+3m2-12=0, 5 则△=12m2+-4>0,y+y2= 6nin 3m2-12 3-y4=3m-1 直线P,所以》 x+2 又N,B,Q三点共线， 所以ke=,即业。 3y1 x2-2x1+2 即y2(x+2)+3y(x2-2)=0, 即y2(%,+n+2)+3y,(y2+n-2)=0, 化简得4%y+(n+2)y+3(n-2)乃=0， 因为y+y= 6nin 3m2-1y= 3n2-12 3m2-1 所以yy2= (3m2-12)(y+y2) -6 代入上式得430-1206g+)+0+23,+30r-2%=0, -6m 即(m-6n+8)y+(n-2n-8)%2=0, (n-2)(n-4)片+(n-4)(n+2)y2=0, 所以n=4.所以P2过定点(4,0). (3)设△ABN和△P的外接圆半径分别为R,R,其中AB=4, 由正弦定理可得 AB =2R, PO一=2R,: sin∠ANB sin∠PWQ 又sin∠ANB=sin∠PNQ, 所以是=A R:PO' 即 区_R-AB4 VS,R PO PO 设直线PQ的方程为x=y+4, x=y+4, 与C的方程联立x2y2 =1, 412 整理得(3m2-1)y2+24w+36=0, 24m 36 则y+4=3-3m-1 6 3m2-1≠0， 3m2-1≠0， △>0， 0 △>0， 又 x2>0, (%+4)(y2+4)>0, x+x2>0, (%+4)+(y2+4)>0, 由3m-1≠0得m≠ 由△-5762-144(32-1)>0，解得meR, 由0+4y,+4)=my丛+4my+)+16=,e-2+16>0得，0≤m2< 3m2-13m2-1 由(4+到+(，+4=g+)48= 242 3m2-1 8>0,相0sm<兮 综上，0≤m<3: 1 又因为Pg=1+mVy+y,)'-4y,y=1+m 24 4.36 3m2-1 3m2-1 =V+m2V144m2+144 12.m+1 1-3m2 1-3m2 4 所以 S-1-32 S, 3m