精品解析：贵州遵义市南白中学2026-2027学年高三上学期第一次测试数学试题

遵义市南白中学2026-2027-1高三第一次测试 数学 （满分：150分；时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在回答非选择题时，请将答案书写在答题卡上．写在本试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分；每个小题所给的四个选项中，只有一个符合要求） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则等于（ ） A. 32 B. C. 64 D. 5. 从名大学毕业生中选人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的上､下底面面积分别为，且，圆台的高为3，轴截面面积为9，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足：，且，当时，，则的最大值与最小值的差为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分；在每个小题所给的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得全分，部分选对部分得分，有选错的得0分）． 9. 已知数列的前n项和为，且满足，则（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 10. 已知圆与圆，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则两圆外离 B. 若两圆相交，则 C. 若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D. 若，则直线为两圆的公切线 11. 已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. 直线与相切 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的周长的最小值为11 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．作答时，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上） 12. 已知，则_______． 13. 双曲线的一条渐近线为，则其焦距为________． 14. 三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，，，则三棱锥的外接球体积为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分；作答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图， （1）求图中的值和样本成绩的中位数； （2）已知学校用分层抽样的方法，从，两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在内的有人，求的分布列和数学期望． 16. 已知等差数列的公差，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：． 17. 如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 18. 已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性： （3）若对定义域内的任意，都有恒成立，求整数的最小值. 19. 已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． （1）求C的方程； （2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市南白中学2026-2027-1高三第一次测试 数学 （满分：150分；时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在回答非选择题时，请将答案书写在答题卡上．写在本试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分；每个小题所给的四个选项中，只有一个符合要求） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集概念求解即可 【详解】因为集合，集合，所以. 故选：A 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】化简复数，根据复数的几何意义求解即可． 【详解】， 在复平面内对应的点为，位于第二象限． 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，结合向量模的坐标运算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得， 所以，所以． 4. 已知，则等于（ ） A. 32 B. C. 64 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法，分别令和，得到的两式相加，即可得出答案. 【详解】令，则， 令，则， 两式相加可得，，则. 故选：D. 5. 从名大学毕业生中选人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别在甲、乙有且仅有人入选和甲、乙人都入选的情况下确定选法种数，根据分类加法计数原理可求得结果. 【详解】甲、乙有且仅有人入选、丙没有入选的情况有：种； 甲、乙人都入选、丙没有入选的情况有：种； 甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数有种. 故选：C. 6. 在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式及正弦定理列式求解. 【详解】在中，由及的面积为， 得，即，解得， 由正弦定理，得， 因此，所以. 7. 已知圆台的上､下底面面积分别为，且，圆台的高为3，轴截面面积为9，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设圆台的上下底面半径为， 因为，所以，则， 则轴截面面积为，得， 则该圆台的体积为 8. 定义在上的函数满足：，且，当时，，则的最大值与最小值的差为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知推得是周期为8的周期函数，结合对称性求得，利用导数研究函数的区间单调性，应用周期性、对称性求最值，即可得. 【详解】因为定义在上的函数满足： ，所以的图象关于直线对称， ，所以的图象关于点对称， 所以，， 所以，则， 所以，则， 故是周期为8的周期函数，的定义域为， 所以对称中心在的图象上，可得，所以， 当时，，则， 当或时，；当时，． 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，极大值，极小值， 因为，，所以，， 因为的图象关于点对称，所以时，，． 当时，，． 由于的图象关于直线对称，故时，，． 因为是周期为8的周期函数，故当时，，． 因此的最大值与最小值的差为． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分；在每个小题所给的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得全分，部分选对部分得分，有选错的得0分）． 9. 已知数列的前n项和为，且满足，则（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由及先求；再推出为等比数列，并逐项验证各选项. 【详解】对任意有. 当时，，又，故，得，故A正确. 当时，，代入得. 结合可推得（）， 故是首项为4、公比为的等比数列，，故B正确. 进而，即，从而，，故C错误. 又，且随增大而趋近于8但取不到8，故恒成立，故D正确. 10. 已知圆与圆，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则两圆外离 B. 若两圆相交，则 C. 若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D. 若，则直线为两圆的公切线 【答案】BD 【解析】 【分析】根据圆与圆位置关系计算可判断AB；根据两圆公共弦所在直线方程求法计算可判断C；根据直线与圆的位置关系计算可判断D. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由圆，得圆心，半径． 对于A，若，，两圆外切，故A错误； 对于B，由两圆相交，得， 即，解得，故B正确； 对于C，若，则， 此时，所以两圆相交， 因为两圆方程作差得， 所以两圆的公共弦所在直线方程为，故C错误； 对于D，若，则到直线的距离， 到直线的距离， 所以直线为两圆的公切线，故D正确． 11. 已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. 直线与相切 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的周长的最小值为11 【答案】BCD 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D. 【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误； 由，即，解得，所以直线与相切，故B正确； 设点，所以， 所以，故C正确； 如图过点作准线，交于点，，， 所以， 当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确； 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．作答时，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上） 12. 已知，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得； 【详解】解：因为，所以； 故答案为： 13. 双曲线的一条渐近线为，则其焦距为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据双曲线渐近线方程求出参数，再利用双曲线的关系求解，进而得到焦距. 【详解】因为双曲线方程为，所以. 所以渐近线方程为，由题意知，渐近线方程为，所以. 又因为，所以，故焦距是. 14. 三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，，，则三棱锥的外接球体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由题中条件，作出示意图，在中，用余弦定理求得，用勾股定理证得为直角三角形，再由平面平面，为等边三角形，证得平面，得到三棱锥的外接球的球心必在直线上，再由，求得外接球半径，得到外接球体积. 【详解】解析：作出图形如图所示， 在中，由余弦定理，， 解得，或（，舍）， 又由，，则，故为直角三角形， 设的中点为，因为为等边三角形，故，又平面平面， 故平面， 又为直角三角形，点为斜边的中点， 则球心必在直线上，易知， 故在之间，设，则， 即，解得，故所求球半径，球的体积为. 故答案为： . 【点睛】本题考查了面面垂直的性质，三棱锥的外接球半径的求法，属于中档题. 四、解答题（本题共5小题，共77分；作答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图， （1）求图中的值和样本成绩的中位数； （2）已知学校用分层抽样的方法，从，两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在内的有人，求的分布列和数学期望． 【答案】（1），中位数为75 （2）的分布列为 0 1 2 期望为 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积为1即可求得a，再由频率分布直方图求中位数； （2）根据分层抽样得出每组的人数，再根据超几何分布的概率公式求出相应的概率即可得分布列以及数学期望. 【小问1详解】 ∵每组小矩形的面积之和为1， ∴， ∴ 成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， ∴中位数落在内， 设中位数为，则，解得，即中位数为75． 【小问2详解】 由分层抽样可知，成绩在的人数为人，成绩在的人数为2人， 故的可能取值为0，1，2， 且, 所以的分布列为 0 1 2 故． 16. 已知等差数列的公差，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行计算证明即可. 【小问1详解】 由题意，得且， 解得 所以. 【小问2详解】 证明：由（1）得，因为， 所以. 则 因为，所以，所以. 17. 如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】（1）取的中点，连接， ， ，分别是和的中点，与平行且xd； 和都垂直于平面，且，与平行且相等， 与平行且相等，四边形为平行四边形，， 又平面， 平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接， ，证明为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求出； （2）法一：先根据体积求出点到平面 的距离，再建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，代入公式即可求出最大值； 法二：先根据体积求出点到平面 的距离，延长和交于点，过作于，找到为平面与平面的夹角，再根据三角形面积相等得，同时结合即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设到平面 的距离为， 则，故． 法一：由于垂直于平面，建立如图空间直角坐标系 ， ，， ，，，， 设，则， ，， 设平面的法向量为，则由得 取，得 ，，因此平面的一个法向量． 由于垂直于平面，因此是平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， ∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 法二：延长和交于点，过作于， 平面，，又,，且两直线在平面内， 平面 ，， 为平面与平面的夹角， 由，得， 而，所以，当且仅当时等号成立； ，， ∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 18. 已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性： （3）若对定义域内的任意，都有恒成立，求整数的最小值. 【答案】（1）； （2） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3）1. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出的导数，再分类讨论求出函数的单调性. （3）将给定不等式分离参数，构造函数，利用导数求出最大值即可. 【小问1详解】 当时，，求导得，则，而， 所以函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 函数的定义域为， ，不等式恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递减， 而，，则，使得，即， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 而，所以整数m的最小值为1. 19. 已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． （1）求C的方程； （2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】（1） （2）(ⅰ) (ⅱ) 【解析】 【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 【小问1详解】 由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 (ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $