专题1.6 三角形的证明（章节复习）（知识荟萃+28个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共71题）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册同步培优讲义

专题1.6 三角形的证明（章节复习） （知识荟萃+28个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共71题） 【解析版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：三角形内角和定理 2 知识点梳理02：三角形的外角 3 知识点梳理03：等腰三角形的概念与性质 3 知识点梳理04：等腰三角形的判定 4 知识点梳理05：等边三角形的概念与性质 4 知识点梳理06：等边三角形的判定 4 知识点梳理07：勾股定理 4 知识点梳理08：勾股定理证明 5 知识点梳理09：勾股定理逆定理 5 知识点梳理10：勾股数 6 知识点梳理11：直角三角形的判定（直角边、斜边） 6 知识点梳理12：命题 6 知识点梳理13：线段垂直平分线 6 知识点梳理14：角的平分线的性质 7 题型讲练 7 题型1：三角形内角和定理的证明 7 题型2：与平行线有关的三角形内角和问题 8 题型3：与角平分线有关的三角形内角和问题 10 题型4：三角形内角和定理的应用 13 题型5：三角形折叠中的角度问题 14 题型6：三角形的外角的定义及性质 16 题型7：等边对等角 17 题型8：三线合一 18 题型9：等边三角形的性质 20 题型10：根据等角对等边证明等腰三角形 22 题型11：根据等角对等边证明边相等 24 题型12：根据等角对等边求边长 26 题型13：等腰三角形的性质和判定 28 题型14：格点图中画等腰三角形 32 题型15：反证法证明中的假设 35 题型16：用反证法证明命题 35 题型17：等边三角形的判定 37 题型18：等边三角形的判定和性质 38 题型19：含30度角的直角三角形 42 题型20：直角三角形的两个锐角互余 44 题型21：锐角互余的三角形是直角三角形 46 题型22：写出命题的逆命题 47 题型23：线段垂直平分线的性质 48 题型24：线段垂直平分线的判定 50 题型25：作垂线(尺规作图) 52 题型26：角平分线的性质定理 53 题型27：角平分线的判定定理 56 题型28：角平分线性质的实际应用 58 中考真题 61 分层训练 68 基础夯实 68 培优拔高 71 知识点梳理01：三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 图 (1) 图 (2) 【知识拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 知识点梳理02：三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 2.性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.三角形的外角和等于360°. 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°. 知识点梳理03：等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 知识点梳理04：等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 知识点梳理05：等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点梳理06：等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点梳理07：勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 【易错点拨】 （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点梳理08：勾股定理证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　 图（1）中，所以. 　　　　 　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　 　　　 　　　　 ，所以. 知识点梳理09：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 知识点梳理10：勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 知识点梳理11：直角三角形的判定（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 【易错点拨】 用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点梳理12：命题 内容 定义 能判断一件事情的语句，叫做命题。 组成 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项 表达形式 通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。 分类 题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题 题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。 知识点梳理13：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点梳理14：角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 题型1：三角形内角和定理的证明 【典例精讲】（2023·广东佛山·一模）如下图所示，能利用图中作法：过点作的平行线，证明三角形内角和是的原理是（    ）    A．两直线平行，同旁内角互补 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【思路点拨】根据两直线平行，内错角相等，可得两直线平行，内错角相等，进而即可求解． 【规范解答】解：∵ ∴（两直线平行，内错角相等） ∴， 故选：B． 【变式训练】（2023·河北秦皇岛·三模）定理：三角形的内角和是180°． 已知：、、是的三个内角． 求证：． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】C 【思路点拨】根据平行线的性质得出，，即可推出结论． 【规范解答】解：证明：如图，作点E作直线，使得， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， ∴． ①*表示两直线平行，内错角相等；故①不正确，不符合题意； ②@表示，故②正确，符合题意； ③④上述证明得到的结论，在任何三角形均适用；故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意； 综上：正确的有②④， 故选：C． 题型2：与平行线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（24-25八年级下·新疆吐鲁番·期中）如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【规范解答】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【变式训练】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知：如图，，直线分别交、于点、，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 【答案】． 【思路点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，由，可知与互补，由角平分线的定义可得，由三角形内角和定理可得，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， 又∵的平分线与的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 题型3：与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·期末）推理能力 如图①所示，在中，是高，是的平分线， ． (1)求的度数． (2)当是的外角的平分线时，如图②所示，的度数是多少？设，用含的式子表示出结果，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是运用类比的方法分别求的度数和的度数． （1）由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据角平分线的定义即可求出的度数，由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据代入数据即可得出结论； （2）同（1）的过程找出和的度数，二者相加即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵，且， ， 又是的平分线， ． ， ∴， ， ． （2）解：．理由如下： ． 平分， ． ， ， 【变式训练】（24-25八年级下·广东佛山·期末）（1）如图，已知线段，相交于点O，连接，，可以得到、的关系式是 ． （2）如图，若和的平分线和相交于点P，与，分别交于点M，N．猜测之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点P，与，分别交于点M，N，其中，则之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2），见解析； （3），见解析． 【思路点拨】本题考查了对顶角的性质、三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，掌握题目中（1）的规律是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可作答； （2）由题意设，，再根据（1）的结论建立方程组即可； （3）设，之后同（2）根据（1）的结论建立方程组即可求解． 【规范解答】解：（1）在中，， 在中，， 又， ， 故答案为：； （2）之间的数量关系是：，证明如下： 和的平分线和相交于点P， 设，， 由（1）的结论：在和中， ，即， 由（1）的结论：在和中， ，即， 得：， ； （3）之间的数量关系是：，理由如下： 设， ， 由（1）的结论：在和中， ，即， 由（1）的结论：在和中， ，即， ， ， 整理得：． 题型4：三角形内角和定理的应用 【典例精讲】（24-25八年级下·广东揭阳·月考）如图，为的角平分线，，交于点E，，，求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， 在中，，， ∴． 【变式训练】（24-25八年级下·内蒙古兴安盟·月考）如图，，点A，E，B，D在同一条直线上． (1)若，，求的度数； (2)若，，是奇数，求的长度． 【答案】(1)； (2)8 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形三边关系，三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）首先根据全等三角形的性质以及邻补角的定义可得，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）首先根据三角形三边关系得出，进而全等三角形的性质可得，根据，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ， ∴. （2）解：在中，， ∴， 即， ∴， ∵是奇数， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型5：三角形折叠中的角度问题 【典例精讲】（23-24八年级下·广东深圳·期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，如图5将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点，若且，则的度数为 【答案】/度 【思路点拨】本题考查了轴对称的性质以及平行线的性质，正确求出的度数是解答本题的关键． 由折叠的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据三角形的内角和定理用含有的代数式表示出的度数，再根据三角形的外角性质可得的度数，进而得出的度数． 【规范解答】解：将纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图，三角形纸片中，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【规范解答】解：如图：    ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 故答案是：． 题型6：三角形的外角的定义及性质 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，平分，交于点F，E为上一点，交的延长线于点D，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了角平分线、三角形外角等于不相邻的两个内角之和的性质，根据角平分线的性质以及三角形内角之和为180°的性质，分析相互角度关系，把已知角度代入关系式求解，问题即可得到解决． 【规范解答】解：∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ， 又， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式训练】（2024·广东清远·一模）如图，直线被所截，， 度． 【答案】80 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出的度数和得出． 根据平行线的性质求出，根据三角形外角性质求出即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：80． 题型7：等边对等角 【典例精讲】（2024·湖南·中考真题）若等腰三角形的一个底角的度数为，则它的顶角的度数为 ． 【答案】100 【思路点拨】根据等腰三角形的性质即可解决问题． 【规范解答】解：∵等腰三角形的一个底角的度数为， ∴这个等腰三角形的另一个底角的度数为， ∴等腰三角形的顶角的度数为：． 故答案为：． 【变式训练】（2025·安徽·模拟预测）如图，等腰直角三角形和等边三角形的边，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了等腰直角三角形性质，等边三角形性质，平行线的性质，三角形外角定理.等腰直角三角形中两个锐角为，即.等边三角形中每个角为，即，然后利用两直线平行内错角相等、三角形的外角等于不相邻的两个内角和，即可求解. 【规范解答】解：如图所示，设、相交于点F， ∵是等腰直角三角形，等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵为的外角， ∴， ∴. 故选：C. 题型8：三线合一 【典例精讲】（24-25八年级下·四川达州·月考）如图，在中，是边的中线，E是边上的动点，F是边上的动点．若的面积为48，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了轴对称-最短路径问题，理解转化思想和掌握三角形的面积公式是解题的关键．先根据轴对称的性质和垂线段最短确定最小值，再根据三角形的面积公式求解． 【规范解答】解：过A作于F，交于E，连接， ∵是边的中线， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值即为线段的长， ∵的面积为：， 解得：， 则的最小值为， 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·广西钦州·月考）如图，在中，点在边上，，，分别为，的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握相关性质是解题的关键．连接，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形斜边上的中线的性质求解． 【规范解答】解：如图，连接， ，是的中点， ， 在中，是的中点， ． 故选：A． 题型9：等边三角形的性质 【典例精讲】（23-24八年级下·贵州遵义·月考）如图，点O是边长为4的等边的重心，点P在外，，，，的面积分别记为，，，．若，则线段长的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】如图，证明的面积为定值，过点作的平行线，连接并延长交于点，交于点，连接，由于的面积为定值，推出点的运动轨迹是直线，求出的值，可得结论． 【规范解答】解：， ， ， ， ， 是等边三角形，边长为4， ， ， 如图，过点作的平行线，连接并延长交于点，交于点，连接， 的面积为定值， 点的运动轨迹是直线， 是的中心， ，， ，，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【变式训练】（23-24八年级下·贵州遵义·月考）如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，轴，，点C的坐标为，P为边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．12 【答案】C 【思路点拨】作关于的对称点，连接交于点，连接，则此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得出答案 【规范解答】解：如图，作关于的对称点，连接交于点，连接， 此时，的值最小， 为等边三角形，轴， ， ， ， 点C的坐标为， ， ， ， 即最小值为． 故选：C． 题型10：根据等角对等边证明等腰三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·广东佛山·期末）三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的判定，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 利用三角形内角和定理，可求出第三个内角的度数，结合，可得出该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形，再对照四个选项，即可得出结论． 【规范解答】解：第三个内角的度数为， ， ∴该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形． 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在平行四边形中，于点E，交对角线于点F，，，，则的长度为 ． 【答案】 【思路点拨】题目主要考查平行四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质及勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 取的中点O，连接，根据平行四边形的性质得出，再由直角三角形斜边中点的性质得出，利用等角对等边及勾股定理求解即可． 【规范解答】解：取的中点O，连接，如图所示： ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 题型11：根据等角对等边证明边相等 【典例精讲】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，的平分线交的延长线于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，，求及的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】（）利用平行四边形的性质和角平分线的定义可得，进而即可求证； （）由等腰三角形的性质得，，即可得，进而得，得到，再证明，得到，即得到，即得，据此即可求解； 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【变式训练】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，是的平分线，交于点，过点作，交于点，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，根据平分线的定义，可设，根据平行线的性质得，根据平行四边形的性质得，，则，，进而可得结论． 【规范解答】证明：平分， 设， ， ， ∵， ，， ， ， ， ． 题型12：根据等角对等边求边长 【典例精讲】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，点，点分别是，的中点，连接，．若平分，，，则四边形的周长为 ． 【答案】 【思路点拨】由平行四边形的性质可得出，，进一步得出，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得出，，由角平分线的定义，可得，由平行线的性质，可得，等量代换，可得，由等角对等边，可得，从而可得，根据平行四边形的周长计算即可． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点，点分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为． 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，在中，，，的平分线交于E，则的长为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定及性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．利用平行四边形的性质和角平分线的性质判定出为等腰三角形，可得到，即可求解． 【规范解答】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 题型13：等腰三角形的性质和判定 【典例精讲】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）【模型建立】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【模型运用】如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，与轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求点B、D两点的坐标； 【模型拓展】如图3，直线 上有一点A，x轴上有一点，且满足，直接写出点A的坐标________． 【答案】（1）见解析；（2），；（3） 【思路点拨】（1）证明，进而用即可证明； （2）过点作轴于．证明推出，，可得，求出直线的解析式，即可解决问题； （3）作于B，交的延长线于K，作轴于T，轴于F，设，则，，证明，得到，由此得到，设直线的解析式为，将，代入得到，解方程求出a值即可． 【规范解答】解：（1） ， ． ，， ， ， ． 在与中， ， ． （2）如图1，过点作轴于， AI点的坐标为，点的坐标为， ，， 等腰，，， 又轴，轴轴， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， ，， ， ， 直线的解析式为， 与轴交点， ； （3）作于B，交的延长线于K，作轴于T，轴于F，如图： 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式训练】（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）如图，在，中，，，，点C，D，E在同一条直线上，连接，，以下四个结论：①；②的长度即是点B到的距离；③；④．其中结论正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质的应用，勾股定理的应用．①由条件证明，就可以得到结论； ②由就可以得出，就可以得出而得出结论； ③由，，可得结论； ④为直角三角形就可以得出，由和是等腰直角三角形就有，，就有就可以得出结论． 【规范解答】解：①∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴．故①正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； ∴的长度即是点B到的距离；故②正确； ③∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴． ∵，，， ∴，． ∵， ∴．故④正确． 故选：D． 题型14：格点图中画等腰三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，点、、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中画一个，使是等腰三角形，且三边长均为无理数； (2)在图②中画一个，使与全等（要求两个三角形无公共顶点）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理应用、全等三角形的判定及无理数，解本题的关键在利用相关性质正确画出图形． （1）取格点，连接则，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）取格点，连接，则，根据全等三角形的判定即可得到结论． 【规范解答】（1）解：即为所求作； （2）解：即为所求作； 【变式训练】（24-25八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法． (1)在图①中找一格点，连结AB，使线段； (2)在图②中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且； (3)在图③中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且腰长为5，则这个三角形的面积是______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)10或． 【思路点拨】（1）利用网格结合勾股定理画图即可； （2）结合等腰三角形的判定，画以为顶角且底边为2，高为2的等腰三角形或者画底边为，高为的等腰三角形即可； （3）结合勾股定理画出等腰，使即可；利用三角形面积公式或者割补法算出三角形面积． 【规范解答】（1）解：如图所示，点即为所求． （2）解：如图所示， 即为所求． （3）解：如图所示，即为求． 三角形面积：或． 故答案为：10或 题型15：反证法证明中的假设 【典例精讲】（24-25八年级下·河南周口·月考）在证明“等腰三角形的两个底角是锐角”时，先假设“等腰三角形的两个底角不是锐角”，这种证明方法是（   ） A．举反例法 B．整体代入法 C．反证法 D．数学归纳法 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了反证法，根据反证法的第一步：假设结论不成立，即可判断解题． 【规范解答】解：证明“等腰三角形的两个底角是锐角”时，先假设“等腰三角形的两个底角不是锐角”，这种证明方法是反证法； 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·浙江杭州·月考）对于命题：如果，那么，若用反证法证明，则应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是反证法，反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【规范解答】解：反证法证明命题如果，那么，应假设， 故选：A． 题型16：用反证法证明命题 【典例精讲】（24-25八年级下·上海普陀·期末）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 利用等腰三角形的性质和大边对大角进行分析作答． 【规范解答】证明：假设， （等边对等角）． 假设， （大边对大角）． 上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立． ． 【变式训练】（23-24八年级下·山东枣庄·期中）已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断即可． 【规范解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤， ③假设在中，， ④由，得，即， ②，这与三角形内角和为矛盾， ①因此假设不成立．， 综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④②①． 故选：C． 题型17：等边三角形的判定 【典例精讲】（2024八年级下·全国·专题练习）如图：在中，，，与相交于点P，于Q．求证：①；②． 【答案】①见解析；②见解析 【思路点拨】此题主要考查学生对等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力． （1）由已知可得是等边三角形，从而得到，即可判定； （2）根据全等三角形的性质可得到，再根据等角的性质即可求得，再根据余角的性质得到，根据在直角三角形中的角对的边是斜边的一半即可证得结果． 【规范解答】证明：①∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． ②∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，垂足为，且，点、分别在边、上，且．求证： (1)是等边三角形； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质． （1）根据等腰三角形的“三线合一”求出，再由即可得证； （2）根据等边三角形的性质得到，，从而证明，根据全等三角形的对应边相等即可得证． 【规范解答】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型18：等边三角形的判定和性质 【典例精讲】（2024八年级下·江西上饶·竞赛）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验，如图，把的三个角截去就得到一个凸六边形，已知这个六边形的六个角都是，其连续四边的长依次是10，665，15，653，则这个六边形的周长是 ． 【答案】2023 【思路点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键．先证出，和都是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，，，则可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再设，分别求出的长，由此即可得． 【规范解答】解：∵六边形的六个角都是， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 同理可得：和都是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵六边形连续四边的长依次是10，665，15，653， ∴不妨设， ∴， ∴， ∴， ∴这个六边形的周长是， 故答案为：2023． 【变式训练】（2024八年级下·湖南长沙·竞赛） 如图1，已知点D是等边中边上的点，连接，过点D作． ，与 的外角 的平分线交于点F． (1)求证：； (2)当点D在线段的延长线上时，如图2，请写出之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形： （1）作，交于点，证明为等边三角形，得到，进而得到，三角形的外角推出，证明，即可得证； （2）作交于G ，推出为等边三角形，证明，得到，进而得到，根据线段的和差关系即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：作，交于点， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∴，即：， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解： 理由如下： 作交于G， 则，， ∴为等边三角形，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型19：含30度角的直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如图，在中，，，以线段为边在上方作等边，点F是线段的中点，连接． (1)若，求的长； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明是本题的关键． （1）设，则，然后根据勾股定理求出x的值即可求解； （2）由等边三角形的性质得出，，得出，然后证明，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵点F是线段的中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 则， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 【变式训练】（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在 中，，，平分交于点，为直线上一动点．以，为邻边构造 ，连接，若，则长度的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】通过作辅助线，利用三角函数、勾股定理求出相关线段长度，再结合平行四边形性质、全等三角形判定与性质以及垂线段最短来求解 的最小值． 【规范解答】解：过点 作 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， ∴， ， ， ， ， 由勾股定理得，， ， ， ， 平分 ， ， 设 ，则 ， 在 中，， ， 由勾股定理得，， ， ， 又在 中，， ， 解得，， ， 设 为平行四边形 的中心，则 在 上， ， ∵，， ， ， 根据垂线段最短可知，当 时， 最短，此时 ． 故答案为：． 题型20：直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（23-24八年级下·广西柳州·期中）如图所示，长方形纸片中，，现将长方形纸片沿折叠，使点B落在点处，与交于点E；再将三角形沿折叠，使点D落在点处．则 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题主要考查折叠的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.由题意得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【规范解答】解：由折叠的性质可得：， 在长方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏徐州·期中）把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由三角形内角和定理可求，再由平行线的性质可求，进而可求． 【规范解答】解：如图所示， 根据直角三角形的性质，得， 直尺的对边平行， ， ， ， 故答案为：． 题型21：锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）下列命题中是真命题的是（ ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．有两个角互余的三角形是直角三角形 C．三角形的一个外角等于两个内角的和 D．对角线相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【思路点拨】本题考查了判断命题真假，根据平行线性质、三角形内角和、外角定理及平行四边形的判定进行判断即可，熟练掌握平行线性质、三角形内角和、外角定理及平行四边形的判定是解题的关键． 【规范解答】解：、两直线平行时，同旁内角互补（和为），而非相等，原选项是假命题，不符合题意； 、若三角形中有两个角互余（和为），则第三个角为，必为直角三角形，原选项是真命题，符合题意； 、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原选项是假命题，不符合题意； 、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形对角线相等但非平行四边形，原选项是假命题，不符合题意； 故选：． 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图中，在边上，在边上，，则的大小为 度． 【答案】 【思路点拨】本题考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的定义，角度的和差计算，掌握等边对角，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据题意，设，则，可得，根据等边对等角可得，再由，即可求解． 【规范解答】解：设， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 题型22：写出命题的逆命题 【典例精讲】（24-25八年级下·四川成都·月考）下列命题的逆命题不正确的是（   ） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等边三角形的三个内角相等 【答案】B 【思路点拨】本题考查逆命题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定，解题的关键是正确找出各选项的逆命题．根据求逆命题的原则，把原命题的结论作为条件，原命题的条件作为结论得到的命题是原命题的逆命题，逐一判断逆命题的正误即可． 【规范解答】解：A的逆命题是：两个全等三角形的三边对应相等，正确，故不符合题意； B的逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，错误，故符合题意； C的逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，故不符合题意； D的逆命题是：三个内角相等的三角形是等边三角形，正确，故不符合题意． 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西宝鸡·月考）下列定理中，逆命题错误的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【思路点拨】本题考查判断逆命题的真假，先写出各项的逆命题，再判断真假即可． 【规范解答】解：A、逆命题为：内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意； B、逆命题为：两锐角互余的三角形为直角三角形，是真命题，不符合题意； C、逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，符合题意； D、逆命题为：两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意； 故选C． 题型23：线段垂直平分线的性质 【典例精讲】（2024八年级下·天津·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求∠B的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质． （1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知； （2）设，由（1）可知，然后根据三角形的内角和为列出方程即可求出x的值． 【规范解答】（1）解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质， ， ∵， ∴， 在中，， 解得，， ∴． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，边的垂直平分线与边相交于点，边的垂直平分线与边相交于点（在的左侧）．若的周长为8，． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)8 (2) 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，将线段进行转化． （1）利用线段垂直平分线的性质，将转化为转化为，再结合的周长求出的长； （2）利用等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形内角和求出的度数． 【规范解答】（1）解： 是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质， ， 是的垂直平分线， 同理可得， 的周长为， 将代入可得： ， 的长为8； （2）解： ， ； ， ． 在中，， ，且， ，即， ， ． 题型24：线段垂直平分线的判定 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，为右侧一点，连接、、，，，求证：是的垂直平分线． 【答案】证明见解析 【思路点拨】本题考查的是等边三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，先证明为等边三角形，可得，进一步解答即可. 【规范解答】证明：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，于． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1)； (2)见解析． 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的性质、垂直的定义、全等三角形的判定与性质． 根据角平分线的定义可知，根据垂直的定义可知，根据直角三角形的两个锐角互余可求； 利用可证，根据全等三角形的性质可知，又因为平分，根据等腰三角形的三线合一定理可证：直线是线段的垂直平分线． 【规范解答】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 平分， ，平分线段， 直线是线段的垂直平分线． 题型25：作垂线(尺规作图) 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在中．平分，交于点．请用尺规作图法，在边上求作一点F，使（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查作垂线，在上取点，以点为圆心，长为半径交于另一点，分别以点，为圆心大于长为半径画弧，两弧交于点P，作直线，交于点，则点即为所求． 【规范解答】解：如图，点即为所求． 【变式训练】（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，在中，，是三角形的高，用尺规作图的方法作出射线交于点E，交于点O． (1)判断用尺规作出的是 ； (2)求证：． 【答案】(1)的垂线 (2)见解析 【思路点拨】本题考查尺规作图—作垂线，等边对等角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作垂线的方法，是解题的关键： （1）根据作图可知，为垂线，作答即可； （2）利用证明，即可得证． 【规范解答】（1）解：由作图可知，， 故是的垂线； （2）证明：∵， ∴．     ∵是两条高， ∴． 在和中， ∴．     ∴． 题型26：角平分线的性质定理 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）如图，是的角平分线，，垂足为，的面积为，，，则的长为（    ）    A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质．作可得，根据即可求解． 【规范解答】解：作，如图所示：    ∵是的角平分线，，, ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练】（23-24八年级下·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，平分，交于点，把绕点逆时针旋转到，连接，连接交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)在上取一点，使，连接，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，解直角三角形，熟练掌握相关性质和判定定理是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得，，即，结合，即，等量代换可得，，从而证得，可得，等量代换可得，从而得证； （2）根据等腰三角形三线合一可得，进而结合角平分线的性质可求得的度数，即可得到的度数，根据外角的性质和等腰直角三角形的性质，结合角的等量代换可求得，证得，从而得证； （3）过点作于点，结合角平分线的性质，易得，易证是等腰直角三角形，，利用锐角三角函数求得的长，进而依次求得、、的长，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】（1）证明：把绕点逆时针旋转到， ，，即， ，即， ，， 在和中， ， ， ， ，即， ； （2）证明：，，， ， 平分， ， ，， ，， ， ， ， ； （3）解：如图所示，过点作于点， 平分，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为． 题型27：角平分线的判定定理 【典例精讲】（23-24八年级下·山东枣庄·开学考试）如图，已知于点，于点，且，，，则 ． 【答案】/45度 【思路点拨】本题考查了角平分线的判定定理，三角形的外角的性质，掌握知识点是解题的关键． 先证明是的平分线，可得，再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，即可得出答案． 【规范解答】解：由题意得：，，且， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，点为内部一点，连接，过点分别作于点，于点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题考查了角平分线的判定定理，根据题意得到平分，进而求解即可． 【规范解答】∵，，且 ∴平分 ∴． 故选：A． 题型28：角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（23-24八年级下·河南南阳·月考）如图，某公司要在公路m，n之间的S区域修建一所物流中心P．按照设计要求，物流中心P到区域S内的两个社区A、B的距离必须相等，到两条公路m、n的距离也必须相等．那么物流中心P应建在什么位置才符合设计要求？请用尺规作图画出它的位置并注明点P的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法） 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的性质定理以及线段垂直平分线性质定理的实际应用．分别作出公路夹角的角平分线和线段的垂直平分线，它们的交点为P，则P点就是物流中心的位置． 【规范解答】解：如图，点P即为所求． 【变式训练】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）中，，． (1)如图，若M与C重合，平分，，垂足E在的延长线上，试探究与的数量关系，并证明你的结论； (2)若M在线段上且不与B，C重合，D在线段上，且，，垂足E在的延长线上，则与的数量关系是什么？画图并说明理由． 【答案】(1) (2)，画图和理由见解析 【思路点拨】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理， （1）延长交延长线于N点，根据题意证明出，得到，然后证明出，得到，即可证明出； （2）过M作交延长线于N点，交于Q点，首先证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：，，，，．全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等． 【规范解答】（1）， 理由：延长交延长线于N点， ∵，， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）， 理由：过M作交延长线于N点，交于Q点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，为上一点，连接．在下方取一点 ，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点．若为的中点，，的周长为14，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【思路点拨】本题考查了作图-基本作图，作垂线，线段的垂直平分线的性质及勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 由作图可知是线段的垂线，利用为的中点，可以推知是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质及勾股定理即可得到的长，进而得结论． 【规范解答】解：由作图可知是线段的垂线，且为的中点， ， ∵的周长为14， 即， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选：B． 2．（2024·全国·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上，连接．给出下面四个结论： ；②；③； ． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 【答案】A 【思路点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 由即可判断②；然后证明，根据对应角相等以及等腰直角三角形锐角为即可证明③；对等腰直角运用勾股定理即可判断①；对运用勾股定理判断④． 【规范解答】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴，即：，故②正确； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③正确， ∵在等腰直角中，，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴在中，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； ∴正确结论的序号①②③④， 故选：A． 3．（2024·四川成都·中考真题）如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了中心对称的性质、坐标与图形性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，分别判断出的横坐标和纵坐标是解题的关键． 首先根据是边长为2的等边三角形，求出和的坐标．然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，即可求出的坐标． 【规范解答】解：是边长为2的等边三角形， 的坐标为：，的坐标为：； 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， 的横坐标为，纵坐标为，即 ； 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， 的横坐标为，纵坐标为，即 ； 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， 的横坐标为，纵坐标为，即 ； ……， 由此可知，的横坐标为， 当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是． 故答案为：． 4．（2024·山东日照·中考真题）如图，中，和的角平分线交于点，若，则、、的面积之比为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查角平分线的性质，等高三角形，能够熟练运用角平分线的性质是解决本题的关键． 过点作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质可知三个三角形的高相等，故底之比等于面积之比，由此可得答案． 【规范解答】解：过点作于点D，于点E，于点F，如图， ∵和的角平分线交于点P， ∴，， ∴，设， ∵， ， ， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（2024·重庆江津·中考真题）在中，为中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为上一点，若，试探究的数量关系； (3)如图3，若，点为直线上一动点，以为边作平行四边形，连接，试求出的最小值． 【答案】(1)证明见详解 (2)，探究见详解 (3) 【思路点拨】（1）先由平行四边形性质得到，，进而由平行线性质得到，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而由等边对等角确定，等量代换即可得证； （2）连接，如图所示，由垂直平分线的判定与性质得到，在中，由勾股定理可得，进而结合平行四边形中即可得到的数量关系； （3）由点为直线上一动点，可分三种情况：①点在射线上；②点在线段上；③点在射线上，作出图形，分情况讨论得到动点到直线的距离始终是，即点在平行于的直线上运动，从而由点到直线的距离垂线段最短可知，当时，有最小值，求出线段长即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：在中，，， ，， 在中，为中点，即为斜边上的中线，则， ， ； （2）解：， 探究如下： 连接，如图所示： 为中点，且， 是线段的中垂线， 则， 由（1）知，即是直角三角形， 由勾股定理可得， 在中，，又，则； （3）解：由点为直线上一动点，可分三种情况：①点在射线上；②点在线段上；③点在射线上， 在中，， 为中点， ， 当点在射线上，过点作于，如图所示： 以为边作平行四边形，则，， ， ， ， 在中，，，，则； 当点在线段上，过点作于，如图所示： 以为边作平行四边形，则，， ， 在中，，，，则； 当点在射线上，过点作于，如图所示： ， 在中，，，，则； 综上所述，当点为直线上一动点，以为边作平行四边形时，动点到直线的距离始终是，即点在平行于的直线上运动，如图所示： 连接，其中点为定点、点为直线上的动点，则由点到直线的距离垂线段最短可知，当时，有最小值，为，如图所示： ，， ，， ，， ， 在中，，，，则， 则的最小值为． 基础夯实 1．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与、分别相交于点和点，连接，若，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，作图基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，，结合的周长为，求出，即可得解． 【规范解答】解：由题意得：垂直平分， ，， ， 的周长为， ， ， 的周长， 故选：C． 2．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）如图，在中，的垂直平分线交于点D，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由线段垂直平分线的性质和等边对等角求出的度数即可得到答案． 【规范解答】解：∵在中，，， ∴； ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级下·江苏常州·月考）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】19 【思路点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长计算公式推出的值即可得到答案． 【规范解答】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为 ， 故答案为：． 4．（2026九年级·河北·专题练习）如图，已知线段，使用直尺和圆规作得直线l，交于点D，点C在直线l上，若，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了尺规作图一线段的垂直平分线，等腰三角形的判定与性质。根据尺规作图痕迹可知，直线垂直平分，点在直线上，是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可求解． 【规范解答】解：根据尺规作图痕迹可知，直线垂直平分，点在直线上，是等腰三角形， ． 故答案为：． 5．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，已知在等腰中，，分别以，为边向外作三角形，使得．有下列2个条件：①；②． (1)请从上述条件中选择一个条件，使得，你选择的条件为______（请填写序号），并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)①，见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，等边对等角； （1）选择①，根据证明，选择②，根据证明； （2）由等腰三角形的性质得，由（1）知，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【规范解答】（1）解：选择①，理由如下： 在和中， ． 选择②，理由如下： 在和中， ． （2）解：， ． ． 由（1）知， ． 培优拔高 6．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，在中，，将沿所在直线翻折，点落在边上的点，若，那么等于 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查翻折的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，翻折前后两个图形全等，对应边相等，对应角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；等腰三角形的两个底角相等；熟练掌握相关性质是解题关键．根据翻折的性质可得，根据可得，根据等腰三角形的性质及外角性质可得，然后根据三角形内角和定理列出关于的方程，即可得答案． 【规范解答】解：∵将沿所在直线翻折，点B落在边上的点E处． ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， 故选：B． 7．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【思路点拨】本题考查全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质等知识，证明是等腰直角三角形，从而证明，根据全等三角形的性质即可证明结论，证明是等腰直角三角形，可得，可得，即可证明结论，解题的关键是根据题意证明三角形全等，根据性质证明结论． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故①②③符合题意， 如图，过点D作于点F，则， ， ， ， ∵点E是的中点， ， ，， ， ， ∴ ，故④符合题意， 故选：A 8．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在中，，，点D，E分别在边，上，若沿直线折叠，点A恰好与点B重合，且，则 ． 【答案】9 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 根据题意，得到，由折叠的性质，得到，，利用直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半，得到，由此得到答案． 【规范解答】解：根据题意得：， ∴， ∴， 由折叠可知， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 9．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/95度 【思路点拨】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质． 先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数． 【规范解答】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)四边形的周长为． 【思路点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （）由等腰三角形的性质可得，又，从而可证是等边三角形； （）由是等边三角形，则，所以，通过角度和差可得，证明，所以，，又是等边三角形，，则，得，最后通过四边形的周长为即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴，， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为 ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 三角形的证明（章节复习） （知识荟萃+28个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共71题） 【原卷版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：三角形内角和定理 2 知识点梳理02：三角形的外角 3 知识点梳理03：等腰三角形的概念与性质 3 知识点梳理04：等腰三角形的判定 4 知识点梳理05：等边三角形的概念与性质 4 知识点梳理06：等边三角形的判定 4 知识点梳理07：勾股定理 4 知识点梳理08：勾股定理证明 5 知识点梳理09：勾股定理逆定理 5 知识点梳理10：勾股数 6 知识点梳理11：直角三角形的判定（直角边、斜边） 6 知识点梳理12：命题 6 知识点梳理13：线段垂直平分线 6 知识点梳理14：角的平分线的性质 7 题型讲练 7 题型1：三角形内角和定理的证明 7 题型2：与平行线有关的三角形内角和问题 8 题型3：与角平分线有关的三角形内角和问题 9 题型4：三角形内角和定理的应用 10 题型5：三角形折叠中的角度问题 10 题型6：三角形的外角的定义及性质 11 题型7：等边对等角 11 题型8：三线合一 12 题型9：等边三角形的性质 12 题型10：根据等角对等边证明等腰三角形 13 题型11：根据等角对等边证明边相等 13 题型12：根据等角对等边求边长 14 题型13：等腰三角形的性质和判定 15 题型14：格点图中画等腰三角形 15 题型15：反证法证明中的假设 16 题型16：用反证法证明命题 17 题型17：等边三角形的判定 17 题型18：等边三角形的判定和性质 18 题型19：含30度角的直角三角形 19 题型20：直角三角形的两个锐角互余 20 题型21：锐角互余的三角形是直角三角形 20 题型22：写出命题的逆命题 21 题型23：线段垂直平分线的性质 21 题型24：线段垂直平分线的判定 22 题型25：作垂线(尺规作图) 23 题型26：角平分线的性质定理 23 题型27：角平分线的判定定理 24 题型28：角平分线性质的实际应用 25 中考真题 26 分层训练 27 基础夯实 27 培优拔高 29 知识点梳理01：三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 图 (1) 图 (2) 【知识拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 知识点梳理02：三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 2.性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.三角形的外角和等于360°. 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°. 知识点梳理03：等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 知识点梳理04：等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 知识点梳理05：等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点梳理06：等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点梳理07：勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 【易错点拨】 （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点梳理08：勾股定理证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　 图（1）中，所以. 　　　　 　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　 　　　 　　　　 ，所以. 知识点梳理09：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 知识点梳理10：勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 知识点梳理11：直角三角形的判定（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 【易错点拨】 用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点梳理12：命题 内容 定义 能判断一件事情的语句，叫做命题。 组成 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项 表达形式 通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。 分类 题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题 题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。 知识点梳理13：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点梳理14：角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 题型1：三角形内角和定理的证明 【典例精讲】（2023·广东佛山·一模）如下图所示，能利用图中作法：过点作的平行线，证明三角形内角和是的原理是（    ）    A．两直线平行，同旁内角互补 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【变式训练】（2023·河北秦皇岛·三模）定理：三角形的内角和是180°． 已知：、、是的三个内角． 求证：． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 题型2：与平行线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（24-25八年级下·新疆吐鲁番·期中）如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知：如图，，直线分别交、于点、，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 题型3：与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·期末）推理能力 如图①所示，在中，是高，是的平分线， ． (1)求的度数． (2)当是的外角的平分线时，如图②所示，的度数是多少？设，用含的式子表示出结果，并说明理由． 【变式训练】（24-25八年级下·广东佛山·期末）（1）如图，已知线段，相交于点O，连接，，可以得到、的关系式是 ． （2）如图，若和的平分线和相交于点P，与，分别交于点M，N．猜测之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点P，与，分别交于点M，N，其中，则之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 题型4：三角形内角和定理的应用 【典例精讲】（24-25八年级下·广东揭阳·月考）如图，为的角平分线，，交于点E，，，求的度数． 【变式训练】（24-25八年级下·内蒙古兴安盟·月考）如图，，点A，E，B，D在同一条直线上． (1)若，，求的度数； (2)若，，是奇数，求的长度． 题型5：三角形折叠中的角度问题 【典例精讲】（23-24八年级下·广东深圳·期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，如图5将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点，若且，则的度数为 【变式训练】（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图，三角形纸片中，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为 ．    题型6：三角形的外角的定义及性质 【典例精讲】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，平分，交于点F，E为上一点，交的延长线于点D，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（2024·广东清远·一模）如图，直线被所截，， 度． 题型7：等边对等角 【典例精讲】（2024·湖南·中考真题）若等腰三角形的一个底角的度数为，则它的顶角的度数为 ． 【变式训练】（2025·安徽·模拟预测）如图，等腰直角三角形和等边三角形的边，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型8：三线合一 【典例精讲】（24-25八年级下·四川达州·月考）如图，在中，是边的中线，E是边上的动点，F是边上的动点．若的面积为48，则的最小值为 ． 【变式训练】（24-25八年级下·广西钦州·月考）如图，在中，点在边上，，，分别为，的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型9：等边三角形的性质 【典例精讲】（23-24八年级下·贵州遵义·月考）如图，点O是边长为4的等边的重心，点P在外，，，，的面积分别记为，，，．若，则线段长的最小值是 ． 【变式训练】（23-24八年级下·贵州遵义·月考）如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，轴，，点C的坐标为，P为边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．12 题型10：根据等角对等边证明等腰三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·广东佛山·期末）三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在平行四边形中，于点E，交对角线于点F，，，，则的长度为 ． 题型11：根据等角对等边证明边相等 【典例精讲】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，的平分线交的延长线于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，，求及的长度． 【变式训练】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，是的平分线，交于点，过点作，交于点，求证：． 题型12：根据等角对等边求边长 【典例精讲】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在中，点，点分别是，的中点，连接，．若平分，，，则四边形的周长为 ． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，在中，，，的平分线交于E，则的长为 ． 题型13：等腰三角形的性质和判定 【典例精讲】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）【模型建立】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【模型运用】如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，与轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求点B、D两点的坐标； 【模型拓展】如图3，直线 上有一点A，x轴上有一点，且满足，直接写出点A的坐标________． 【变式训练】（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）如图，在，中，，，，点C，D，E在同一条直线上，连接，，以下四个结论：①；②的长度即是点B到的距离；③；④．其中结论正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 题型14：格点图中画等腰三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，点、、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中画一个，使是等腰三角形，且三边长均为无理数； (2)在图②中画一个，使与全等（要求两个三角形无公共顶点）． 【变式训练】（24-25八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法． (1)在图①中找一格点，连结AB，使线段； (2)在图②中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且； (3)在图③中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且腰长为5，则这个三角形的面积是______． 题型15：反证法证明中的假设 【典例精讲】（24-25八年级下·河南周口·月考）在证明“等腰三角形的两个底角是锐角”时，先假设“等腰三角形的两个底角不是锐角”，这种证明方法是（   ） A．举反例法 B．整体代入法 C．反证法 D．数学归纳法 【变式训练】（24-25八年级下·浙江杭州·月考）对于命题：如果，那么，若用反证法证明，则应假设（   ） A． B． C． D． 题型16：用反证法证明命题 【典例精讲】（24-25八年级下·上海普陀·期末）用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 【变式训练】（23-24八年级下·山东枣庄·期中）已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 题型17：等边三角形的判定 【典例精讲】（2024八年级下·全国·专题练习）如图：在中，，，与相交于点P，于Q．求证：①；②． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，垂足为，且，点、分别在边、上，且．求证： (1)是等边三角形； (2)． 题型18：等边三角形的判定和性质 【典例精讲】（2024八年级下·江西上饶·竞赛）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验，如图，把的三个角截去就得到一个凸六边形，已知这个六边形的六个角都是，其连续四边的长依次是10，665，15，653，则这个六边形的周长是 ． 【变式训练】（2024八年级下·湖南长沙·竞赛） 如图1，已知点D是等边中边上的点，连接，过点D作． ，与 的外角 的平分线交于点F． (1)求证：； (2)当点D在线段的延长线上时，如图2，请写出之间的数量关系，并说明理由． 题型19：含30度角的直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如图，在中，，，以线段为边在上方作等边，点F是线段的中点，连接． (1)若，求的长； (2)求证：四边形是平行四边形． 【变式训练】（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在 中，，，平分交于点，为直线上一动点．以，为邻边构造 ，连接，若，则长度的最小值为 ． 题型20：直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（23-24八年级下·广西柳州·期中）如图所示，长方形纸片中，，现将长方形纸片沿折叠，使点B落在点处，与交于点E；再将三角形沿折叠，使点D落在点处．则 ． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏徐州·期中）把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为 ． 题型21：锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）下列命题中是真命题的是（ ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．有两个角互余的三角形是直角三角形 C．三角形的一个外角等于两个内角的和 D．对角线相等的四边形是平行四边形 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图中，在边上，在边上，，则的大小为 度． 题型22：写出命题的逆命题 【典例精讲】（24-25八年级下·四川成都·月考）下列命题的逆命题不正确的是（   ） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等边三角形的三个内角相等 【变式训练】（24-25八年级下·陕西宝鸡·月考）下列定理中，逆命题错误的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 题型23：线段垂直平分线的性质 【典例精讲】（2024八年级下·天津·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求∠B的度数． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，边的垂直平分线与边相交于点，边的垂直平分线与边相交于点（在的左侧）．若的周长为8，． (1)求的长； (2)求的度数． 题型24：线段垂直平分线的判定 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，为右侧一点，连接、、，，，求证：是的垂直平分线． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，于． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． 题型25：作垂线(尺规作图) 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在中．平分，交于点．请用尺规作图法，在边上求作一点F，使（保留作图痕迹，不写作法） 【变式训练】（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，在中，，是三角形的高，用尺规作图的方法作出射线交于点E，交于点O． (1)判断用尺规作出的是 ； (2)求证：． 题型26：角平分线的性质定理 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）如图，是的角平分线，，垂足为，的面积为，，，则的长为（    ）    A．10 B．9 C．8 D．7 【变式训练】（23-24八年级下·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，平分，交于点，把绕点逆时针旋转到，连接，连接交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)在上取一点，使，连接，若，求的面积． 题型27：角平分线的判定定理 【典例精讲】（23-24八年级下·山东枣庄·开学考试）如图，已知于点，于点，且，，，则 ． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，点为内部一点，连接，过点分别作于点，于点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 题型28：角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（23-24八年级下·河南南阳·月考）如图，某公司要在公路m，n之间的S区域修建一所物流中心P．按照设计要求，物流中心P到区域S内的两个社区A、B的距离必须相等，到两条公路m、n的距离也必须相等．那么物流中心P应建在什么位置才符合设计要求？请用尺规作图画出它的位置并注明点P的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法） 【变式训练】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）中，，． (1)如图，若M与C重合，平分，，垂足E在的延长线上，试探究与的数量关系，并证明你的结论； (2)若M在线段上且不与B，C重合，D在线段上，且，，垂足E在的延长线上，则与的数量关系是什么？画图并说明理由． 1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，为上一点，连接．在下方取一点 ，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点．若为的中点，，的周长为14，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2024·全国·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上，连接．给出下面四个结论： ；②；③； ． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 3．（2024·四川成都·中考真题）如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 4．（2024·山东日照·中考真题）如图，中，和的角平分线交于点，若，则、、的面积之比为 ． 5．（2024·重庆江津·中考真题）在中，为中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为上一点，若，试探究的数量关系； (3)如图3，若，点为直线上一动点，以为边作平行四边形，连接，试求出的最小值． 基础夯实 1．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与、分别相交于点和点，连接，若，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）如图，在中，的垂直平分线交于点D，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏常州·月考）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为 ． 4．（2026九年级·河北·专题练习）如图，已知线段，使用直尺和圆规作得直线l，交于点D，点C在直线l上，若，则的度数为 ． 5．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，已知在等腰中，，分别以，为边向外作三角形，使得．有下列2个条件：①；②． (1)请从上述条件中选择一个条件，使得，你选择的条件为______（请填写序号），并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 培优拔高 6．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，在中，，将沿所在直线翻折，点落在边上的点，若，那么等于 （    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在中，，，点D，E分别在边，上，若沿直线折叠，点A恰好与点B重合，且，则 ． 9．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 10．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求四边形的周长． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $