专题1.5 角平分线（知识荟萃+3个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共34题）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦“角平分线”核心知识点，系统梳理性质定理、判定定理、三角形角平分线交点、运用注意事项及尺规作图五大要点，搭建从基础概念到实际应用的学习支架，衔接已学的全等三角形知识，为后续几何综合问题奠定基础。 资料以“知识梳理+题型讲练+真题演练+分层训练”为框架，题型讲练中实际应用案例（如度假村选址）培养数学眼光，典例与变式训练通过推理证明提升推理意识，分层训练满足不同学生需求，课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

专题1.5 角平分线 （知识荟萃+3个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共34题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：角平分线的性质定理 1 知识点梳理02：角平分线的判定定理 1 知识点梳理03：三角形的三条角平分线交点 2 知识点梳理04：运用角平分线的性质时应注意三个问题 2 知识点梳理05：尺规作图画角平分线 2 题型讲练 2 题型1：角平分线的性质定理 2 题型2：角平分线的判定定理 6 题型3：角平分线性质的实际应用 9 中考真题 13 分层训练 19 基础夯实 19 培优拔高 27 知识点梳理01：角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的作用： ①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 知识点梳理02：角平分线的判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的作用： 用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线. 知识点梳理03：三角形的三条角平分线交点 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. 三角形的三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部. 知识点梳理04：运用角平分线的性质时应注意三个问题 （1）这里的距离指的是点到角的两边的垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有两个垂直. 知识点梳理05：尺规作图画角平分线 （题设中有关作图痕迹，要能识别角平分线的作法） （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； （2）分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P； （3）过点P作射线OP，射线OP即为所求. 题型1：角平分线的性质定理 【典例精讲】（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图①是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图②，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P，是的角平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，，求的面积． 【答案】(1)是的角平分线，理由见解析 (2)的面积为54 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定定理． （1）由全等三角形的判定定理判定和全等，由全等三角形的对应角相等证明即可； （2）过P作于点H，得出的长度，根据三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：是的角平分线，理由如下： 在和中， 是的角平分线． （2）解：过P作于点H， 于点Q，平分 的面积的面积+的面积， 的面积 答：的面积为． 【变式训练1】（24-25八年级下·河南周口·期末）（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质． （1）直接根据角平分线的性质可判断； （2）过点D作于E，交延长线于F，如图2，先根据角平分线的性质得到，再利用等角的补角相等得到，然后证明得到； （3）过点D作于E，交延长线于F，如图3，先根据角平分线的性质得到，再根据判断，所以，然后根据邻补角的定义计算的度数． 【规范解答】解：（1）如图1， ∵，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴； 故答案为：； （2）， 如图2，过点D作于E，交延长线于F， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ． ∴； （3）如图3，过点D作于E，交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】A 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为3． 故选：A． 题型2：角平分线的判定定理 【典例精讲】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A．的平分线上 B．边的高上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【规范解答】解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选：A． 【变式训练1】（25-26八年级下·河北沧州·月考）如图，在中，与的平分线相交于P，E为延长线上一点，，连接，，下列结论中，正确的有（    ） ①； ②； ③垂直平分 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【思路点拨】根据角平分线定义和三角形外角性质可证①正确；由角平分线的性质得，再由角平分线判定可知平分，则可证，②正确；由三线合一定理可证③正确． 【规范解答】解：平分，平分， ，， ，， 即，， ，故①正确，符合题意； 如图，过点P作于点M，于点N，于点S， 平分，平分， ， 平分， ，故②正确，符合题意； ，平分， 垂直平分，故③正确，符合题意； 综上分析可知，正确的有3个． 故选：D． 【变式训练2】（25-26八年级下·广东珠海·开学考试）如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则 ． 【答案】/25度 【思路点拨】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理以及判定定理． 过F作于M，于N，于K，由角平分线的性质定理推出，，得到，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，求出． 【规范解答】解：过F作于M，于N，于K， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵于M，于N， ∴平分， ∴． 故答案为：． 题型3：角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（24-25八年级下·河南郑州·期末）某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在三条角平分线的交点处． 【规范解答】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点． 故选D． 【变式训练1】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（）的距离都相等，则油库的位置可以设计在（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】B 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． 要使到三边的距离相等，根据角平分线的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论． 【规范解答】解：三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等， 油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示． 故选：B． 【变式训练2】（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【规范解答】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，，垂直平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的判定，垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解决此题的关键是熟练掌握角平分线的判定；先根据角平分线的判定得到角相等，再根据垂直平分线的性质得到等腰三角形得到角相等，进而得到答案； 【规范解答】解：∵垂直平分， ∴， ∴ ∵ ，， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024·贵州贵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，小恒进行如下操作①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交x轴，y轴于点A，B；②分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧交于点C．若点C的坐标为，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查作角平分线，角平分线的性质． 根据题意可知，点在的角平分线上，由角平分线的性质可得，从而可得的值． 【规范解答】解：由作图过程可知，点在的角平分线上， 由图可知，点在第一象限， 又∵点的坐标为， ∴， 解得， ∴的值为． 故选：B． 3．（2024·河南开封·中考真题）如图，，均是等边三角形，点A，C，B在同一条直线上，且，分别与，交于点M，N，连结．则下列结论：①；②为等边三角形；③平分；④；⑤平分．其中正确的有（  ） 【答案】①②③④ 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平分线判定定理．证明，由全等三角形的性质得出，证得，由全等三角形的性质得出，再由，判定为等边三角形，进而得到，根据平行线的判定得出，连接，过点C作于点P，作于点Q，根据三角形面积公式和角平线定理可证③，再证，可判断⑤，即可解答． 【规范解答】解：和均是等边三角形， ，，， 点A，C，B在同一条直线上， ， ， 在和中， ， ，故①正确； ， 在和中， ， ， ， 又， 为等边三角形，故②正确； ， ， ∴，故④正确， 如图，连接，过点C作于点P，作于点Q， ， ，， ， ， ，， 平分，故③正确， 在和中， ， ， ， 不一定等于， 不一定平分，故⑤不正确， 所以，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 4．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是 ． 【答案】①②③⑤ 【思路点拨】本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，角平分线的判定与性质等知识，熟练证明三角形全等是解答本题的关键． 证明，证明，再利用全等三角形的性质即可判断①②；由可得，再由，证得即可判断③；分别过A作，，根据全等三角形面积相等和，证得，即可得平分，但无法得到平分，可判断④；由平分结合即可判断⑤． 【规范解答】解：∵， ∴，即， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，，故①②符合题意； 设与交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，故③符合题意； 分别过A作，，垂足分别为M、N， ∵， ∴， ∴平分， ∴， 若平分， ∴， ∴，而， ∴， ∴， 但未必相等， 故④不符合题意； ∵平分，， ∴，故⑤符合题意． 综上，正确的是①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 5．（2024·辽宁丹东·中考真题）如图，在中，平分，交于点，为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （1）依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到，即可得到； （2）过作于，依据角平分线的性质，即可得到，再根据，即可得出，进而得到的长． 【规范解答】（1）证明：平分， ， 又， ， ， ； （2）解：如图，过作于， ，平分， ， ，， ， ， ． 基础夯实 1．（24-25八年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ）． A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】D 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键．根据角平分线上的点到角两边的距离相等，作图分析即可求解． 【规范解答】解：如图所示， 根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”得到点到三条公路的距离相等， ∴可供选择的地址有4个， 故选：D ． 2．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在中，的平分线交于点．若，则点到的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【思路点拨】本题考查三角形中求线段长，涉及角平分线的性质，熟记角平分线性质是解决问题的关键． 先由题意求出，过点作于点，如图所示，从而由角平分线的性质得到即可确定答案． 【规范解答】解： ， ， 过点作于点，如图所示： 在中，的平分线交于点， 由角平分线的性质可知， 则点到的距离为， 故选：A． 3．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，点Q在的内部，且点Q到的距离与点Q到的距离相等，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了角平分线的判定，与角平分线有关的计算，先理解题意，得出是的平分线，结合，进行列式计算，即可作答． 【规范解答】解：∵点Q在的内部，且点Q到的距离与点Q到的距离相等， ∴是的平分线， ∴， 故选：B． 4．（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，在中，平分，若，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作的垂线，垂足分别为M、N，则，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【规范解答】解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足分别为M、N， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，是的角平分线，，，那么与的面积之比为 ． 【答案】 【思路点拨】由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式得到与的面积之比 本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出 【规范解答】解：过D作于H， 是的角平分线，， ， 的面积的面积， 与的面积之比 故答案为： 6．（24-25八年级下·江西赣州·月考）如图，在中，，平分，，则点D到的距离是 ． 【答案】5 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．过点D作于点E，根据角平分线的性质定理，即可求解． 【规范解答】解：过点D作于点E， ∵，平分，， ∴， 即点D到边的距离是5， 故答案为：5． 7．（24-25八年级下·四川成都·期末）把两个相同的含有角的直角三角尺像如图所示那样放置，其中M是与的交点，，若，则 用含m的式子表示 【答案】 【思路点拨】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，列代数式，关键是由角平分线的性质推出． 过M作于H，由角平分线的性质推出，于是得到． 【规范解答】解：过M作于H， ， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，交于点H，连． (1)求证：； (2)求；（用含α的式子表示） (3)求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，三角形内角和定理， 对于（1），根据“边角边”即可证明； 对于（2），由，可得，进而求得答案； 对于（3），作，，根据，可得，进而得，最后根据角平分线性质定理的逆定理得出答案. 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 即， 在中， ， ∴； （2）解：设交于点O， ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）证明：过点C作于M，于N， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 9．（24-25八年级下·广东清远·月考）如图，在中， (1)用尺规作图法在上找一点D，使得点D到边的距离相等（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查作图—基本作图，角平分线的性质，含的直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 作平分交BC于点D，点D即为所求； 证明，再证明可得结论． 【规范解答】（1）解：如图，点D即为所求； （2）解：如图，过点D作于点 平分， ， ， ， ． 10．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理， （）由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，即得，进而得到，据此即可求证； （）由平行线的性质可得，进而得到，再根据三角形外角性质即可求解； 【规范解答】（1）证明：， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 培优拔高 11．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在内作一条射线，在上取一点P，过点P分别作于点Q，于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了角平分线的判定定理，运用角平分线的判定定理，即角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，进而求出的度数． 【规范解答】解：∵，，， 根据角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上， ∴是的角平分线， ∴， 故选：B． 12．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线，交于点D，过点D作，垂足为E，若，则的长为（   ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质定理，30度角的性质，三角形内角和定理，等角对等边． 根据三角形内角和定理得到，由作图可知，根据角平分线的性质定理得到，根据30度角的性质得到，根据等角对等边即可得到． 【规范解答】解：∵，， ∴， 由作图可知，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 13．（24-25八年级下·广西桂林·期中）如图，的周长是21，，分别平分和，于D，且，则的面积为（　　） A．48 B．63 C．21 D．42 【答案】C 【思路点拨】本题考查了角平分线定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键．过点O作于点M，于点N，连结，根据角平分线定理，可求得，，再根据，即可求得答案． 【规范解答】解：过点O作于点M，于点N，连结， 平分，， ， 同理可得， ． 故选：C． 14．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在中，，平分，，，则点D到的距离为 ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键． 作交于，根据角平分线的性质定理可得，从而得到答案． 【规范解答】解：如图，作交于， ，平分，， ， 则点D到的距离为5， 故答案为：5． 15．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点D是边上的一点，连接，且，平分，交于点E，过点E作，垂足为F，连接，且．若，，的面积是，则的面积是 ． 【答案】84 【思路点拨】先算出，再结合，，得出，，故平分，再结合角平分线的性质得出，运用三角形面积之间的关系列式计算，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 如图，过E作于N，延长，过E作于H， ∵平分，，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴ ， 故答案为：84． 16．（25-26八年级下·四川自贡·期中）如图，在中，，是的角平分线，，则的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积． 作于，利用角平分线的性质定理证明，代入三角形面积公式即可解决问题． 【规范解答】解：如图，作于H， 平分，，， ， ， 故答案为：． 17．（25-26八年级下·辽宁大连·月考）如图，在与中，，，，连接和交于点，连接．则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 过点作，交于点，证明，得出对应边相等和对应角相等，然后利用三角形的内角和及角平分线的定义即可求解． 【规范解答】解：如图所示，过点作，交于点， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在中，，． (1)用尺规作图法，在上求作一点P，使点P到，的距离相等； (2)若，，，求点P到的距离． 【答案】(1) 作图见详解； (2)3 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图，三角形的面积公式，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点P在的角平分线上，据此作的角平分线与交点P即可； （2）过点P作，交于D，根据角平分线的性质得到，然后利用等面积法求解即可． 【规范解答】（1）解∶ 作的角平分线与交点P， 点P到，的距离相等，如图，点P即为所求 （2）解：过点P作，交于D， ． ，由（1）知平分， ． ， ，解得． 即P到的距离为3． 19．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是的角平分线． (1)若，求的度数； (2)过点D作于点E，若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余得到，再由角平分线的定义得到，在中即可求解； （2）由角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 20．（23-24八年级下·湖南益阳·月考）如图，已知，平分，交于点C，，垂足为点D，且，求的长． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，角的平分线的性质定理，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 过点P作于点E，得到，根据，计算即可． 【规范解答】解：如图，过点P作于点E， ∵P是平分线上一点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 角平分线 （知识荟萃+3个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共34题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：角平分线的性质定理 1 知识点梳理02：角平分线的判定定理 1 知识点梳理03：三角形的三条角平分线交点 1 知识点梳理04：运用角平分线的性质时应注意三个问题 2 知识点梳理05：尺规作图画角平分线 2 题型讲练 2 题型1：角平分线的性质定理 2 题型2：角平分线的判定定理 3 题型3：角平分线性质的实际应用 4 中考真题 6 分层训练 7 基础夯实 7 培优拔高 10 知识点梳理01：角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的作用： ①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 知识点梳理02：角平分线的判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的作用： 用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线. 知识点梳理03：三角形的三条角平分线交点 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. 三角形的三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部. 知识点梳理04：运用角平分线的性质时应注意三个问题 （1）这里的距离指的是点到角的两边的垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有两个垂直. 知识点梳理05：尺规作图画角平分线 （题设中有关作图痕迹，要能识别角平分线的作法） （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； （2）分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P； （3）过点P作射线OP，射线OP即为所求. 题型1：角平分线的性质定理 【典例精讲】（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图①是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图②，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P，是的角平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，，求的面积． 【变式训练1】（24-25八年级下·河南周口·期末）（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 【变式训练2】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A．3 B．4 C．6 D．10 题型2：角平分线的判定定理 【典例精讲】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A．的平分线上 B．边的高上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 【变式训练1】（25-26八年级下·河北沧州·月考）如图，在中，与的平分线相交于P，E为延长线上一点，，连接，，下列结论中，正确的有（    ） ①； ②； ③垂直平分 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练2】（25-26八年级下·广东珠海·开学考试）如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则 ． 题型3：角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（24-25八年级下·河南郑州·期末）某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【变式训练1】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（）的距离都相等，则油库的位置可以设计在（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【变式训练2】（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，，垂直平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·贵州贵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，小恒进行如下操作①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交x轴，y轴于点A，B；②分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧交于点C．若点C的坐标为，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·河南开封·中考真题）如图，，均是等边三角形，点A，C，B在同一条直线上，且，分别与，交于点M，N，连结．则下列结论：①；②为等边三角形；③平分；④；⑤平分．其中正确的有（  ） 4．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是 ． 5．（2024·辽宁丹东·中考真题）如图，在中，平分，交于点，为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 基础夯实 1．（24-25八年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ）． A．处 B．处 C．处 D．处 2．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在中，的平分线交于点．若，则点到的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，点Q在的内部，且点Q到的距离与点Q到的距离相等，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，在中，平分，若，，则 ． 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，是的角平分线，，，那么与的面积之比为 ． 6．（24-25八年级下·江西赣州·月考）如图，在中，，平分，，则点D到的距离是 ． 7．（24-25八年级下·四川成都·期末）把两个相同的含有角的直角三角尺像如图所示那样放置，其中M是与的交点，，若，则 用含m的式子表示 8．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，交于点H，连． (1)求证：； (2)求；（用含α的式子表示） (3)求证：平分． 9．（24-25八年级下·广东清远·月考）如图，在中， (1)用尺规作图法在上找一点D，使得点D到边的距离相等（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 10．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 培优拔高 11．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在内作一条射线，在上取一点P，过点P分别作于点Q，于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线，交于点D，过点D作，垂足为E，若，则的长为（   ） A．12 B．8 C．6 D．4 13．（24-25八年级下·广西桂林·期中）如图，的周长是21，，分别平分和，于D，且，则的面积为（　　） A．48 B．63 C．21 D．42 14．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在中，，平分，，，则点D到的距离为 ． 15．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点D是边上的一点，连接，且，平分，交于点E，过点E作，垂足为F，连接，且．若，，的面积是，则的面积是 ． 16．（25-26八年级下·四川自贡·期中）如图，在中，，是的角平分线，，则的面积是 ． 17．（25-26八年级下·辽宁大连·月考）如图，在与中，，，，连接和交于点，连接．则 （用含的代数式表示）． 18．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在中，，． (1)用尺规作图法，在上求作一点P，使点P到，的距离相等； (2)若，，，求点P到的距离． 19．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是的角平分线． (1)若，求的度数； (2)过点D作于点E，若，，求的值． 20．（23-24八年级下·湖南益阳·月考）如图，已知，平分，交于点C，，垂足为点D，且，求的长． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $