专题1.4 线段的垂直平分线（知识荟萃+3个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共34题）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦线段的垂直平分线核心知识点，系统梳理性质定理（线上点到两端距离相等）、判定定理（到两端距离相等的点在线上）及尺规作图方法，前承线段与垂直的基础概念，后启三角形性质与轴对称应用，构建从基础到综合的学习支架。 资料以“知识梳理-题型讲练-真题演练-分层训练”为框架，通过性质定理的全等证明培养推理能力，尺规作图操作发展几何直观，分层练习（基础10题、拔高10题）适配不同学生。课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

专题1.4 线段的垂直平分线 （知识荟萃+3个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共34题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：线段的垂直平分线的性质定理 1 知识点梳理02：线段的垂直平分线的判定定理 2 知识点梳理03：尺规作图——作线段的垂直平分线： 2 题型讲练 3 题型1：线段垂直平分线的性质 3 题型2：线段垂直平分线的判定 3 题型3：作垂线(尺规作图) 5 中考真题 7 分层训练 8 基础夯实 8 培优拔高 11 知识点梳理01：线段的垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. ①如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.试说明P1A= P1B. ∵直线l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB. 又CA=CB，P1C= P1C， ∴△P1CA≌△P1CB (SAS). ∴P1A= P1B. 几何语言叙述： ∵直线l垂直平分AB，P是直线l上任意一点， ∴PA=PB. 知识点梳理02：线段的垂直平分线的判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 如图，在△PAB中，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？请证明这个结论？ 点P在线段AB的垂直平分线上 作PC⊥AB，垂足为C，则∠ACP=∠BCP=90°， 在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL). ∴AC=BC. ∴PC是AB的垂直平分线， 即点P在线段AB的垂直平分线上. 几何语言叙述： ∵PA=PB; ∴P点在AB的垂直平分线上. 知识点梳理03：尺规作图——作线段的垂直平分线： （1）分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； 说明：作弧时的半径必须大于的长，否则就不能得到两弧的交点了； （2）作直线CD，CD即为所求直线； 说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线. 题型1：线段垂直平分线的性质 【典例精讲】（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，直线m，n分别是、的垂直平分线，m，n交于点P，连接．若，则的度数为 ． 【变式训练1】（24-25八年级下·广西北海·期中）如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是 ． 【变式训练2】（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，在中，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D，连接．若平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型2：线段垂直平分线的判定 【典例精讲】（24-25八年级下·四川成都·月考）如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 【变式训练1】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，D为上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作的垂线，F为垂线上任意一点，G为的中点，则线段长的最小值是（    ） A． B．9 C． D．6 【变式训练2】（24-25八年级下·山东日照·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 题型3：作垂线(尺规作图) 【典例精讲】（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，，是的平分线． (1)尺规作图：过点D作的垂线，垂足为E．（保留作图痕迹，不写作法） (2)判断与的数量关系，并说明理由． 【变式训练1】（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不用写作法）． (2)连接，求证：平分． 【变式训练2】（25-26八年级下·重庆九龙坡·月考）如图，点为的角平分线上一点，垂直于点．点在射线上，且． (1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线交于点（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）； (2)在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程． 证明：平分， ___________ 在和中， ___________④___________ ___________⑤___________ 1．（2024·江西吉安·中考真题）如图，为内一点，过点的线段分别交，于点，，且，分别在，的垂直平分线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M、N，直线交于点D．连结，再按如图所示作射线，交于点P，根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西晋中·中考真题）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，，，分别以、两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、，画直线交于点，交于点，则线段的长为 ． 5．（2024·山东泰安·中考真题）如图，在中，，D，E分别是上的点，且，的垂直平分线交于点F，交于点G，连接． (1)求证：； (2)若四边形的周长为14，，求线段的长． 基础夯实 1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，交于点，，连接交于点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南·模拟预测）如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线，连接．则下列说法正确的是（   ） A．垂直平分线段 B．是等边三角形 C．射线是的平分线 D．，两点关于所在直线对称 4．（2025·甘肃·一模）如图，的边的垂直平分线交于点D，连接．若，，则 ． 5．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边点D、E且的周长为，则的长为 ． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，分别是的垂直平分线，分别交 于点 ，连接，若，则的周长为 ． 7．（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，作线段的垂直平分线，交于点，连接．若，，则的周长为 ． 8．（25-26七年级上·山东淄博·月考）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． (1)求线段的长． (2)若，求的度数． 9．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，为锐角三角形． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接；保留作图痕迹 (2)在（1）的条件下，若的周长为10，，则的周长为多少？ 10．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，分别过点，作，的垂线，两条垂线交于点，连接．判断线段与的位置关系，并说明理由． 培优拔高 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点为上一点，垂直平分，交于点，连接，且平分，点在线段上，连接，若，则的长为（   ） A．2 B． C．1 D．3 12．（2025·山东德州·中考真题）如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·四川成都·月考）如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N，且分别交于点D，E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，则 ．    15．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，中，，是边的垂直平分线，与分别交于点D、点E，将沿翻折得到，若，则的度数为 度． 16．（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，的边，的垂直平分线，相交于点O．若，则 ． 17．（2025·四川·中考真题）如图，在中，，．分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接，则的大小为 °． 18．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，，点是直角边上的一点，连接，以为边向上作等边，延长到点，使，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)求的度数． 19．（24-25八年级下·山东威海·期中）如图，在中，，，D为上一点，且D到A，B两点的距离相等． (1)用直尺和圆规作出点D的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若，，求的长． 20．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，在四边形中，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作出四边形的对称轴l； (2)如图2，，过点D作的垂线． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 线段的垂直平分线 （知识荟萃+3个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共34题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：线段的垂直平分线的性质定理 1 知识点梳理02：线段的垂直平分线的判定定理 2 知识点梳理03：尺规作图——作线段的垂直平分线： 2 题型讲练 3 题型1：线段垂直平分线的性质 3 题型2：线段垂直平分线的判定 6 题型3：作垂线(尺规作图) 10 中考真题 13 分层训练 18 基础夯实 18 培优拔高 25 知识点梳理01：线段的垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. ①如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.试说明P1A= P1B. ∵直线l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB. 又CA=CB，P1C= P1C， ∴△P1CA≌△P1CB (SAS). ∴P1A= P1B. 几何语言叙述： ∵直线l垂直平分AB，P是直线l上任意一点， ∴PA=PB. 知识点梳理02：线段的垂直平分线的判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 如图，在△PAB中，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？请证明这个结论？ 点P在线段AB的垂直平分线上 作PC⊥AB，垂足为C，则∠ACP=∠BCP=90°， 在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL). ∴AC=BC. ∴PC是AB的垂直平分线， 即点P在线段AB的垂直平分线上. 几何语言叙述： ∵PA=PB; ∴P点在AB的垂直平分线上. 知识点梳理03：尺规作图——作线段的垂直平分线： （1）分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； 说明：作弧时的半径必须大于的长，否则就不能得到两弧的交点了； （2）作直线CD，CD即为所求直线； 说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线. 题型1：线段垂直平分线的性质 【典例精讲】（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，直线m，n分别是、的垂直平分线，m，n交于点P，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 连接、、，设直线m交于点D，设，根据线段垂直平分线的性质得到、，进而得到是线段的垂直平分线，根据等腰三角形的性质得到，进而得到，再根据和，得到，则，从而得出的度数． 【规范解答】解：连接、、，设直线m交于点D，如图： 设 直线m，n分别是、的垂直平分线 、 、 是线段的垂直平分线 解得 故答案为：． 【变式训练1】（24-25八年级下·广西北海·期中）如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是 ． 【答案】7 【思路点拨】本题考查了轴对称-最短路径问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据中垂线的性质，得到，进而得到，根据三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】解：在中，，于点D， ∴， 连接，如图， ∵直线垂直平分， ∴， ∴，当且仅当点为与的交点时取等号， ∵，，的面积为， ∴， 解得：， ∴的周长 故答案为： 7． 【变式训练2】（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，在中，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D，连接．若平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．由题意可得：直线垂直平分线段，得到，推出，结合平分，可得，最后结合，根据三角形的内角和定理即可求解． 【规范解答】解：∵分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D， ∴直线垂直平分线段， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选：D． 题型2：线段垂直平分线的判定 【典例精讲】（24-25八年级下·四川成都·月考）如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求，即可求解． 【规范解答】（1）解：是等边三角形，理由如下； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：∵，， ∴是的垂直平分线，即， ∵， ∴平分； （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 【变式训练1】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，D为上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作的垂线，F为垂线上任意一点，G为的中点，则线段长的最小值是（    ） A． B．9 C． D．6 【答案】D 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，等边三角形的性质，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键． 连接，设交于点H，由等边三角形的性质及直角三角形斜边中线的性质得垂直平分线段，过B作交射线于，则当G与重合时，取得最小值，最小值为线段的长，再可证明，则，从而求得最小值． 【规范解答】解：如图，连接，设交于点H， ∵，G为的中点， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴垂直平分线段， ∴， ∴点G在射线上， 过B作交射线于， 则当G与重合时，取得最小值，最小值为线段的长， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为6， 故选：D． 【变式训练2】（24-25八年级下·山东日照·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)12 (2)点O 在的垂直平分线上，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【规范解答】（1）解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为12； （2）解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 题型3：作垂线(尺规作图) 【典例精讲】（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，，是的平分线． (1)尺规作图：过点D作的垂线，垂足为E．（保留作图痕迹，不写作法） (2)判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查了尺规作图，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）利用尺规作图过点D作出的垂线，垂足为E即可； （2）利用角平分线的定义结合三角形内角和定理求得，推出，再利用等腰三角形的性质即可得到． 【规范解答】（1）解：所作图形如图所示： ； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式训练1】（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不用写作法）． (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【思路点拨】本题考查了作垂线、三角形的内角和定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握作垂线的尺规作图和等腰三角形的性质是解题关键． （1）分别以点为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点，交于点，由此即可得； （2）先根据三角形的内角和定理可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得证． 【规范解答】（1）解：作的垂直平分线，交于点，交于点，如图所示： ． （2）证明：如图，连接， ∵在中，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【变式训练2】（25-26八年级下·重庆九龙坡·月考）如图，点为的角平分线上一点，垂直于点．点在射线上，且． (1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线交于点（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）； (2)在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程． 证明：平分， ___________ 在和中， ___________④___________ ___________⑤___________ 【答案】(1)见详解 (2)，，， 【思路点拨】本题考查了作垂线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，过点作的垂线，与的交点为点F，即可作答． （2）根据已有的过程，且结合全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，进行分析再补充完整，即可作答． 【规范解答】（1）解：点如图所示 （2）证明：平分， ； ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 1．（2024·江西吉安·中考真题）如图，为内一点，过点的线段分别交，于点，，且，分别在，的垂直平分线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，由三角形内角和定理得，又，分别在，的垂直平分线上，则，，故有，，通过外角性质求出，最后由平角定义即可求解，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵，分别在，的垂直平分线上， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 2．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M、N，直线交于点D．连结，再按如图所示作射线，交于点P，根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了角平分线作法、线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及外角定理； A.由作法得D在的垂直平分线上，即可判断；B.由作法得平分，即可判断；C.由等腰三角形的性质得，即可判断；D.由等腰三角形的性质得，结合等腰三角形的性质及三角形内角和定理，即可判断． 【规范解答】解：A.由作法得D在的垂直平分线上，所以，结论正确，故不符合题意； B.由作法得平分，所以，结论正确，故不符合题意； C.由选项A得，所以，结论正确，故不符合题意； D.因为，，所以，所以， ，所以 ，结论错误，故符合题意； 故选：D． 3．（2024·山西晋中·中考真题）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】11 【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【规范解答】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，，，分别以、两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、，画直线交于点，交于点，则线段的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理．由题意知，是线段的垂直平分线，故，在中，由勾股定理得的值，设，则在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， 由题意知，是线段的垂直平分线 ∴， 在中，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， 故答案为：． 5．（2024·山东泰安·中考真题）如图，在中，，D，E分别是上的点，且，的垂直平分线交于点F，交于点G，连接． (1)求证：； (2)若四边形的周长为14，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握这两个性质是关键； （1）由线段垂直平分线的性质得，则有；由得，再由直角三角形的性质得，即可证明； （2）四边形的周长为，再结合已知即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形的周长为14， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 基础夯实 1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，交于点，，连接交于点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线性质是关键．根据作图得到垂直平分，进而得到，得到，再根据三角形的内角和，即可得出结果． 【规范解答】解：由作图可知：垂直平分， ， ， ， ， ； 故选：A． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，由题意结合线段垂直平分线的性质可得，，，，先由的周长为，求出，再由的周长为，得出，即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【规范解答】解：由题意结合线段垂直平分线的性质可得：，，，， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2024·湖南·模拟预测）如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线，连接．则下列说法正确的是（   ） A．垂直平分线段 B．是等边三角形 C．射线是的平分线 D．，两点关于所在直线对称 【答案】C 【思路点拨】本题考查了尺规作图作一个角的平分线、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，由尺规作图可知，，所以是线段的垂直平分线，故A选项错误；由作图可知，所以是等腰三角形，不一定是等边三角形，故B选项错误；由作图可知射线是的平分线，故C选项正确；因为是的垂直平分线，所以点、关于直线对称，故D选项错误． 【规范解答】解：如下图所示，连接、， 由作图可知，， 是线段的垂直平分线，不一定是的垂直平分线， 故A选项错误； 由作图可知， 是等腰三角形，不一定是等边三角形， 故B选项错误； 在和中，， ， ， 射线是的平分线， 故C选项正确； 由作图可知，， 是线段的垂直平分线， 、两点关于直线对称，、两点不一定关于所在直线对称， 故D选项错误． 故选：C． 4．（2025·甘肃·一模）如图，的边的垂直平分线交于点D，连接．若，，则 ． 【答案】8 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是掌握线段垂直平分线的性质并能运用求解． 根据题意得到，得到，即可得到答案． 【规范解答】解：∵的边的垂直平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的长为8， 故答案为：8． 5．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边点D、E且的周长为，则的长为 ． 【答案】32 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线性质得出、是解此题的关键． 根据线段垂直平分线性质得出，，求出即可． 【规范解答】解：，分别是，的垂直平分线， ，， 的周长为， ， ， 即， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，分别是的垂直平分线，分别交 于点 ，连接，若，则的周长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了线段的垂直平分线的性质，由线段的垂直平分线的性质可得，，进而得到的周长，即可求解，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵分别是 的垂直平分线， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，作线段的垂直平分线，交于点，连接．若，，则的周长为 ． 【答案】10 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式计算即可得． 【规范解答】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长为， 故答案为：10． 8．（25-26七年级上·山东淄博·月考）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． (1)求线段的长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质得出，再根据即可得出结论； （2）先根据三角形的内角和求得，再根据等腰三角形的性质可得，进而计算即可． 【规范解答】（1）解：∵直线分别是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的周长为，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 9．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，为锐角三角形． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接；保留作图痕迹 (2)在（1）的条件下，若的周长为10，，则的周长为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线是解题的关键． （1）根据题中步骤作图； （2）根据线段的垂直平分线的性质进行转化求解． 【规范解答】（1）解：如图： （2）解：由作图得：垂直平分， ， 的周长为10，即：， 的周长为：， 所以的周长为． 10．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，分别过点，作，的垂线，两条垂线交于点，连接．判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】线段垂直平分，见解析 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定．通过证明三角形全等，得出对应角相等，进而判断线段之间的位置关系． 【规范解答】解：线段垂直平分． 证明：，， ， 又， ， ， 点，在线段的垂直平分线上， 线段垂直平分． 培优拔高 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点为上一点，垂直平分，交于点，连接，且平分，点在线段上，连接，若，则的长为（   ） A．2 B． C．1 D．3 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，熟练掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质，可得，从而得到，再由角平分线的定义可得到，再根据三角形内角和定理可得，从而得到，进而得到，然后根据三角形外角的性质可得，从而得到，即可求解． 【规范解答】解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 12．（2025·山东德州·中考真题）如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出和的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出，进而求出的度数，最后通过求出的度数． 【规范解答】解：∵ ，， ∴ ， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：． 13．（24-25八年级下·四川成都·月考）如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N，且分别交于点D，E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质和等边对等角得出，然后利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【规范解答】解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 14．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，则 ．    【答案】 【思路点拨】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． 由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，中，，是边的垂直平分线，与分别交于点D、点E，将沿翻折得到，若，则的度数为 度． 【答案】26 【思路点拨】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质及平行线的性质．由平行线的性质可得，设，则，由翻折的性质可得，可得，求得，再利用线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质解决即可． 【规范解答】解：，， ， 设，则， 将沿翻折得到， ， ， ， ， ， 是边的垂直平分线， ， ， ， ， 故答案为：26． 16．（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，的边，的垂直平分线，相交于点O．若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，，根据四边形内角和等于计算即可． 【规范解答】解：如图，连接， ，的垂直平分线，相交于点， ，， ∴， ，， ， ， 故答案为：． 17．（2025·四川·中考真题）如图，在中，，．分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接，则的大小为 °． 【答案】 【思路点拨】本题考查了基本尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出，由作图过程可知垂直平分线段，得到，再根据等腰三角形的性质求出，由三角形外角的性质即可求得． 【规范解答】，， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ， 是的一个外角， ， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，，点是直角边上的一点，连接，以为边向上作等边，延长到点，使，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】（）先证明是等腰三角形，再证明即可求证； （）证明即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ∴垂直平分， ∴， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形； （2）解：是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ． 19．（24-25八年级下·山东威海·期中）如图，在中，，，D为上一点，且D到A，B两点的距离相等． (1)用直尺和圆规作出点D的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的判定定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）D到A，B两点的距离相等，则点D在线段的垂直平分线上，据此作图即可； （2）设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图所示，点D即为所求； （2）解：如图， ∵D到A，B两点的距离相等， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴． 20．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，在四边形中，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作出四边形的对称轴l； (2)如图2，，过点D作的垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称图形的性质是解答本题的关键； （1）作直线，即为所求的直线． （2）连接交于点，作直线，交于点，则直线即为所求． 【规范解答】（1）解：如图1，作直线， 则直线即为所求的直线． （2）解：如图2，连接交于点，作直线，交于点， 则直线即为所求． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $