专题1.1 三角形内角和定理（知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册同步培优讲义

本初中数学讲义聚焦三角形内角和定理核心知识点，系统梳理定理定义（三角形内角和180°）及外角性质（外角等于不相邻两内角和、外角和360°），通过6类题型（证明、平行线结合、角平分线、应用、折叠、外角问题）构建从基础到应用的递进学习支架。 该资料以题型讲练（典例+变式）培养推理能力（数学思维），中考真题演练衔接实际应用（数学语言），分层训练（基础夯实+培优拔高）满足差异化需求。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升几何直观与问题解决能力。

专题1.1 三角形内角和定理 （知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：三角形内角和定理 1 知识点梳理02：三角形的外角 2 题型讲练 2 题型1：三角形内角和定理的证明 2 题型2：与平行线有关的三角形内角和问题 3 题型3：与角平分线有关的三角形内角和问题 4 题型4：三角形内角和定理的应用 6 题型5：三角形折叠中的角度问题 6 题型6：三角形的外角的定义及性质 7 中考真题 8 分层训练 10 基础夯实 10 培优拔高 12 知识点梳理01：三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 图 (1) 图 (2) 【知识拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 知识点梳理02：三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 2.性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.三角形的外角和等于360°. 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°. 题型1：三角形内角和定理的证明 【典例精讲】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，，，分别平分和． (1)求证：； (2)求证：． 【变式训练1】（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，点为凸透镜的光心，点为凸透镜的焦点，根据凸透镜成像规律：过光心的光线经凸透镜后传播方向不变；过焦点的光线经凸透镜折射后，折射光线平行于主光轴．发光点发出的光经过凸透镜折射后所成的像为，已知，，则 ． 【变式训练2】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）沪科版（数学）（八年级下册）第页第题求五角星形五个角的度数和（如图1）．我们求得 ．爱动脑筋的小聪借助几何画板将图1进行调整，得到图2、图3、图4三个图形，请你帮助小聪解决下列问题： (1)根据图2，直接写出，，，，满足的关系式___________； (2)如图3，点在上，求证：； (3)如图4，点在上方，请问（2）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论，并进行证明． 题型2：与平行线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（24-25八年级下·广西百色·期末）如图，直线，，，则的度数为 ． 【变式训练1】（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练2】（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·月考）如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 题型3：与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知的三条角平分线相交于点O，点D在边上，且有． (1)如图1，求证：． (2)如图2，延长，交的外角的平分线于点F． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②猜想和的数量关系，并给出证明． 【变式训练2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）平面内，四条线段、、、首尾顺次相连，与相交于点O． (1)如图1，若，，和的角平分线交于点M，求的度数； (2)如图2，若，，，，求的度数； (3)如图3，若，，，，试用含n、x、y的代数式表示的度数． 题型4：三角形内角和定理的应用 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·周测）若一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶1，则它们所对边的平方之比为（   ） A．1∶2∶1 B．1∶1∶2 C．1∶4∶1 D．1∶3∶1 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【变式训练2】（23-24八年级下·重庆江津·期末）以下不能构成直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 题型5：三角形折叠中的角度问题 【典例精讲】（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，点E、F在边上，沿向内折叠得到，则图中等于（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25八年级下·贵州遵义·期末）如图，将三角形纸片的一角沿着折叠，使点的对应点落在靠近的三等分线上，且，，，则的度数为 ． 【变式训练2】（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． (1)若，判断与的位置关系并说明理由； (2)若与不平行，，则______． 题型6：三角形的外角的定义及性质 【典例精讲】（23-24八年级下·山东日照·期末）数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线MN折叠，点C的对应点为点D． (1)若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是_______； (2)若如图2所示，点D在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点D在外部，求出，和之间的数量关系． 【变式训练1】（23-24八年级下·安徽亳州·月考）如图是一个不规则的“五角星”，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级下·河南三门峡·期中）如图，平分，平分，的反向延长线交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，，则，，三者之间的关系为___________． 1．（2024·山东威海·中考真题）如图，在中，与的角平分线交于点O，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东茂名·中考真题）如图，在中，，平分交于，，，于，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·中考真题）如图，在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点F处，连接，交于点E．当是直角三角形时，的度数为 ． 4．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在中,平分平分，则 ． 5．（2024·陕西汉中·中考真题）如图，已知，延长分别交、于点、，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 基础夯实 1．（24-25八年级下·黑龙江双鸭山·开学考试）如图，，，，则（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26八年级下·辽宁盘锦·月考）如图，在四边形中，，连接，点在边上，连接，与关于直线对称，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东揭阳·月考）在中，已知，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，相交于点E，若，则的度数是 ． 5．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，在中，，直线分别交、、的延长线于点、、，若，则 ． 6．（25-26八年级下·山东东营·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，，若，则 ． 7．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，已知直线，的顶点A在直线a上，，，若，则的度数是 ． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，分别是的两个外角． (1)若，求的度数． (2)若，请用含的代数式表示的度数． 9．（23-24八年级下·广西北海·期末）已知：如图，．求的度数． 10．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，，分别是的角平分线和高线，则的度数． 培优拔高 11．（2025·内蒙古·模拟预测）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，直线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级下·四川绵阳·月考）如图，在中，，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·辽宁鞍山·月考）如图，，点，在的两条边上运动，和的平分线交于点，则在点，的运动过程中，的度数为 ． 15．（25-26八年级下·河南信阳·月考）如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则 ． 16．（24-25八年级下·吉林长春·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度． 17．（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，是的角平分线，是高，，，则的度数为 ． 18．（24-25八年级下·四川眉山·期中）如图，中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交、于点F、G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 19．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，已知是角平分线，． (1)求的度数； (2)若于E，求的度数． 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，是角平分线，是高，与交于点O．求的度数． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 三角形内角和定理 （知识荟萃+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：三角形内角和定理 1 知识点梳理02：三角形的外角 2 题型讲练 2 题型1：三角形内角和定理的证明 2 题型2：与平行线有关的三角形内角和问题 6 题型3：与角平分线有关的三角形内角和问题 10 题型4：三角形内角和定理的应用 15 题型5：三角形折叠中的角度问题 18 题型6：三角形的外角的定义及性质 20 中考真题 24 分层训练 29 基础夯实 29 培优拔高 35 知识点梳理01：三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 图 (1) 图 (2) 【知识拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 知识点梳理02：三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 2.性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.三角形的外角和等于360°. 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°. 题型1：三角形内角和定理的证明 【典例精讲】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，，，分别平分和． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定及性质，角平分线定义，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据角平分线定义得，进而即可得证； （2）由，得，进而结合角平分线得，，再根据，即可求得，即可得证． 【规范解答】（1）证明：∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴，， ∵分别平分和 ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式训练1】（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，点为凸透镜的光心，点为凸透镜的焦点，根据凸透镜成像规律：过光心的光线经凸透镜后传播方向不变；过焦点的光线经凸透镜折射后，折射光线平行于主光轴．发光点发出的光经过凸透镜折射后所成的像为，已知，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了对顶角相等、三角形内角和定理、平行线的性质．根据对顶角相等可知，根据三角形内角和为可以求出，根据两直线平行同位角相等可得． 【规范解答】解：， ， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）沪科版（数学）（八年级下册）第页第题求五角星形五个角的度数和（如图1）．我们求得 ．爱动脑筋的小聪借助几何画板将图1进行调整，得到图2、图3、图4三个图形，请你帮助小聪解决下列问题： (1)根据图2，直接写出，，，，满足的关系式___________； (2)如图3，点在上，求证：； (3)如图4，点在上方，请问（2）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论，并进行证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)成立，见解析 【思路点拨】本题考查三角形的内角和的知识，解题的关键是掌握三角形的内角和为，平角的性质，平行线的性质，进行解答，即可． （1）连接，设，交于点，根据三角形的内角和，则，得到，根据，等量代换，即可； （2）根据三角形的内角和，则，，可得，根据，等量代换，即可； （3）如图，过点作交于点，交于点，根据平行线的性质，则，，根据三角形的内角和，则，，得到，根据平角的性质，则，等量代换，即可． 【规范解答】（1）解：如图，连接，设，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：成立，理由如下： 如图，过点作交于点，交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型2：与平行线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（24-25八年级下·广西百色·期末）如图，直线，，，则的度数为 ． 【答案】/102度 【思路点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质求出相关角的度数，再结合三角形内角和为求出的度数． 【规范解答】 如图： 故答案为：． 【变式训练1】（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，根据内错角相等，两直线平行，可得，故正确；根据同旁内角互补，两直线平行，可得，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为，等量代换可得：，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为是的余角的倍，可以求出，从而可得：，故正确；根据角平分线的定义可得：，，从而可得：，故错误． 【规范解答】解：和是、被直线所截形成的内错角，且， ， 故正确； ， ， 又， ， ， 故正确； ， ， ， ， 平分， 故正确； ， ， ， ， 设， 是的余角的倍， ， 解得：， ， 在中，， ， ， 故正确； 平分， ， 由可知平分， ， ， 故错误； 综上所述，结论正确的个数是. 故选：C． 【变式训练2】（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·月考）如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【规范解答】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 题型3：与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查三角形的内角和定理、轴对称的性质，角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型． 连接．首先求出，再求出，由折叠可知：，，然后求出即可解决问题． 【规范解答】解：连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由折叠可知：，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式训练1】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知的三条角平分线相交于点O，点D在边上，且有． (1)如图1，求证：． (2)如图2，延长，交的外角的平分线于点F． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②猜想和的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②，证明见解析 【思路点拨】本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于另外两个内角之和，三角形内角和定理：三角形的内角和为，难度适中． （1）先证明，，进而得出，由三角形外角的性质得，然后求出即可； （2）①只要证明即可； ②由三角形外角的性质得，由角平分线的定义得，，然后整理可得． 【规范解答】（1）证明：∵分别平分， ∴， ∴ ． 在中， ． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）①结论：． 理由：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ②∵是的外角， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∵， ∴． 【变式训练2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）平面内，四条线段、、、首尾顺次相连，与相交于点O． (1)如图1，若，，和的角平分线交于点M，求的度数； (2)如图2，若，，，，求的度数； (3)如图3，若，，，，试用含n、x、y的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，，由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，同理可得，由可得，代入计算即可得解； （2）由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，，同理可得，由可得，代入计算即可得解； （3）由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，，同理可得，由可得，计算即可得解． 【规范解答】（1）解：∵和的角平分线交于点M， ∴，， ∵，，， ∴， 同理可得：， 由可得：， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得：， 由可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得：， 由可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 题型4：三角形内角和定理的应用 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·周测）若一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶1，则它们所对边的平方之比为（   ） A．1∶2∶1 B．1∶1∶2 C．1∶4∶1 D．1∶3∶1 【答案】A 【思路点拨】首先根据三角形的内角和定理求出各个角的度数，进而分析该三角形的形状．然后结合勾股定理发现三边的平方关系，注意写答案的时候要注意边的顺序． 先根据角度比求出具体角度，判断三角形为等腰直角三角形，再利用勾股定理求边的平方比即可． 【规范解答】解：设三个内角分别为，，， ∵ , ∴ , ∴ 三个内角分别为, , , ∴ 三角形为等腰直角三角形, 设两直角边均为，则斜边的平方为 ∴ 所对边的平方之比为． 故选：A． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为”是解题的关键． （1）根据折叠性质，，故，，； （2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可． 【规范解答】（1）解：∵点C沿折叠落在点， ∴， 在中， ， ，， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】（23-24八年级下·重庆江津·期末）以下不能构成直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查直角三角形的判定，需熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用．根据勾股定理的逆定理（三边满足两边平方和等于第三边平方）和三角形内角和定理（内角和为），判断各选项是否能构成直角三角形． 【规范解答】解： A：，，， ∴， ∴ 能构成直角三角形； B：，且， ∴， ∴， ∴ 能构成直角三角形； C：，设，，， ∴， ∴， ∴， ∴ 能构成直角三角形； D：，设，，， ∴，， ∵， ∴，且其他组合（如，）， ∴ 不能构成直角三角形． 故选：D． 题型5：三角形折叠中的角度问题 【典例精讲】（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，点E、F在边上，沿向内折叠得到，则图中等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了翻折变换的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握翻折变换的性质和三角形内角和定理．利用三角形内角和定理，先求出，再利用翻折变换的性质求出，再根据，即可求解． 【规范解答】解：在中，，， ， 沿向内折叠得到， ，，， 在中，， ， ， ， 故选：C． 【变式训练1】（24-25八年级下·贵州遵义·期末）如图，将三角形纸片的一角沿着折叠，使点的对应点落在靠近的三等分线上，且，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，根据题意得出，，根据三角形内角和定理求得，进而根据三角形外角的性质求得，进而根据平角的定义，即可求解． 【规范解答】解：∵，点的对应点落在靠近的三等分线上，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式训练2】（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． (1)若，判断与的位置关系并说明理由； (2)若与不平行，，则______． 【答案】(1)，理由见解析 (2)100 【思路点拨】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质及折叠前后对应角相等是解题的关键． （1）由可得，由折叠得，等量代换可得，即可证明； （2）由折叠得，，结合，，，即可推出． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ， ， 由折叠得， ， ； （2）解：由折叠得，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：100． 题型6：三角形的外角的定义及性质 【典例精讲】（23-24八年级下·山东日照·期末）数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线MN折叠，点C的对应点为点D． (1)若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是_______； (2)若如图2所示，点D在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点D在外部，求出，和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质及三角形外角的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到对应边相等、对应角相等的关系，再结合三角形内角和、外角性质或平角定义推导角的数量关系． （1）由折叠的性质可得，则，再由三角形外角的性质可得； （2）先由三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，由平角的定义可得，进而得到； （3）由折叠的性质可得，则由平角的定义可得，则由三角形内角和定理可得，由平角的定义求出，即可推出． 【规范解答】（1）解： 由折叠的性质可得， ， ， ，即； 故答案为： ； （2）解：， ， 由折叠的性质可得， ， ， ； （3）解： 由折叠的性质可得 ， ， ， ， ， ． 【变式训练1】（23-24八年级下·安徽亳州·月考）如图是一个不规则的“五角星”，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，解题的关键是“数形结合”，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和．根据三角形外角的性质得到，，再根据三角形的内角和，即可求解． 【规范解答】解：如图所示；    故选：A． 【变式训练2】（25-26八年级下·河南三门峡·期中）如图，平分，平分，的反向延长线交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，，则，，三者之间的关系为___________． 【答案】(1)的度数为 (2) 【思路点拨】此题考查了角平分线的运用，三角形内角和定理等知识，熟练运用角平分线是解题的关键． （1）连接，根据，平分，求出的度数，然后根据，求出的度数，然后根据是的平分线，求出的度数，最后根据外角的性质即可求出的度数； （2）连接，首先根据三角形内角和定理和平分，表示出的度数，然后根据平分，表示出的度数，利用，即可得到、、三者之间的关系． 【规范解答】（1）解：如图所示，连接， ，平分， ， ，， ， ， 是的平分线， ， ． （2）解：如图所示，连接， 是的平分线， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， ，，三者之间的关系是． 故答案为：． 1．（2024·山东威海·中考真题）如图，在中，与的角平分线交于点O，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据分别是与的角平分线，用的代数式表示出与的和，再根据三角形的内角和定理求出的度数．本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义等知识． 【规范解答】解：， ， 分别是与的角平分线， ， ． 故选： 2．（2024·广东茂名·中考真题）如图，在中，，平分交于，，，于，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，外角的性质． 延长交于点，由平分和，可以证明，由全等三角形的性质和可以证明，且，即可求出的长． 【规范解答】解：延长交于点， 平分， ， ， ， 在与中， ， ， ，，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 3．（2024·全国·中考真题）如图，在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点F处，连接，交于点E．当是直角三角形时，的度数为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，由折叠的性质可得，，再分两种情况：当时；当时，此时点与点重合；分别利用三角形内角和定理以及三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【规范解答】解：由折叠的性质可得：，， ∵是直角三角形， ∴当时，如图， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，此时点与点重合， ， ∴，且、共线， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 4．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在中,平分平分，则 ． 【答案】/120度 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题的关键是先利用三角形内角和求出，再结合角平分线性质得到与的度数，最后再次运用三角形内角和求出． 先根据内角和为，结合已知、，求出的度数；再由BP、CP分别平分、，得到、；最后在中，利用三角形内角和求出． 【规范解答】解：∵ 在中，三角形内角和为，且，， ∴ ； ∵ BP平分，CP平分， ∴ ，； ∵ 在中，三角形内角和为， ∴ ． 故答案为：． 5．（2024·陕西汉中·中考真题）如图，已知，延长分别交、于点、，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质． （1）由角的和差得到，再根据全等的性质得到； （2）根据三角形的内角和求得，根据全等的性质得到，进而根据三角形外角的性质得到，． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 基础夯实 1．（24-25八年级下·黑龙江双鸭山·开学考试）如图，，，，则（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【思路点拨】本题考查三角形的内角和定理和全等三角形的性质，根据三角形的内角和定理求出的度数，然后根据全等三角形的对应角相等解答即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级下·辽宁盘锦·月考）如图，在四边形中，，连接，点在边上，连接，与关于直线对称，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了轴对称的性质，三角形的外角定理，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 根据轴对称可得，再由三角形的外角定理得到，据此即可求解． 【规范解答】解：∵与关于直线对称，， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级下·广东揭阳·月考）在中，已知，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【思路点拨】本题考查了三角形的分类，三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理：三角形的内角和为是解决问题的关键． 根据三角形内角和定理，求出第三个角即可作出判断． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴是直角三角形． 故选B． 4．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，相交于点E，若，则的度数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查全等三角形的性质与等腰三角形、三角形外角定理的应用，掌握全等三角形的对应边、对应角相等，结合等腰三角形性质和外角定理求解角度是解题的关键． 利用全等三角形的性质得到边和角的关系，再结合等腰三角形的性质和三角形外角定理求出的度数． 【规范解答】解：， ， ， ． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，在中，，直线分别交、、的延长线于点、、，若，则 ． 【答案】32 【思路点拨】本题考查了三角形外角性质，以及三角形内角和定理，利用三角形外角性质求出，再结合三角形内角和定理求解，即可解题． 【规范解答】解：是的外角，， ． 在中，， ． 故答案为：． 6．（25-26八年级下·山东东营·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，，若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和是解题的关键． 根据两直线平行，同位角相等，得，，结合和三角形内角和定理即可求得答案． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 7．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，已知直线，的顶点A在直线a上，，，若，则的度数是 ． 【答案】/70度 【思路点拨】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．根据直角三角形的性质求出，根据三角形的外角性质求出，再根据平行线的性质解答即可． 【规范解答】解：如图， 在中，，， 则， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，分别是的两个外角． (1)若，求的度数． (2)若，请用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形外角的性质和三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质可得，由三角形内角和定理可得，据此可得答案； （2）同（1）求解即可． 【规范解答】（1）解：∵分别是的两个外角， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）∵分别是的两个外角， ∴， ∴， ∵，， ∴． 9．（23-24八年级下·广西北海·期末）已知：如图，．求的度数． 【答案】110度 【思路点拨】此题主要考查了三角形的外角性质，正确得出的度数是解题关键． 直接利用三角形外角的性质得出的度数进而得出答案． 【规范解答】解：， ， ∵， ． 10．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，，分别是的角平分线和高线，则的度数． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等，熟知三角形的内角和为，是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，最后根据即可解答． 【规范解答】解：∵，， ∴在中，， ∵是的角平分线， ∴ ， 又∵是的高线， ∴， ∴． 培优拔高 11．（2025·内蒙古·模拟预测）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查平行线的性质，与三角板有关的计算，三角形的外角，掌握相关的性质是解题的关键，根据平行线的性质，得到，三角形的外角求出的度数即可． 【规范解答】解：由题意和图可知：，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 12．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，直线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了三角形外角的性质、平行线的性质等知识点，掌握三角形外角等于与其不相邻的两内角的和是解题的关键． 如图：先根据三角形外角的性质求得，再根据平行线的性质求得的度数即可． 【规范解答】解：如图：∵是的外角， ∴， ∵， ∴． 故选A． 13．（25-26八年级下·四川绵阳·月考）如图，在中，，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了尺规作角平分线，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识．由三角形内角和求得的度数，由角平分线可求得的度数；由高及三角形内角和可求得的度数，则由即可求解． 【规范解答】解：由三角形内角和得， 由尺规作图知，平分， ∴； ∵是高， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 14．（24-25八年级下·辽宁鞍山·月考）如图，，点，在的两条边上运动，和的平分线交于点，则在点，的运动过程中，的度数为 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，先由三角形内角和定理计算得出，再由角平分线的定义求出，最后再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵，，点，在的两条边上运动， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26八年级下·河南信阳·月考）如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则 ． 【答案】/度 【思路点拨】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义．先求出，再得到，求出，得到，即可得到答案． 【规范解答】解：在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分交于F，平分交于G， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·吉林长春·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度． 【答案】43 【思路点拨】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和为180度是解题的关键． 如图：连接，由三角形内角和定理可得出，根据角的和差关系即可得出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】解：如图：连接， 由题意可知，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴，即， 在中，， ∴． 故答案为：43． 17．（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，是的角平分线，是高，，，则的度数为 ． 【答案】/10度 【思路点拨】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的内角和定理求出的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线，是高， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 18．（24-25八年级下·四川眉山·期中）如图，中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交、于点F、G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理和外角的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用“”证明全等即可； （2）根据全等和三角形内角和定理，得出，再根据三角形外角的性质求解即可． 【规范解答】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：，，， ， ， ． 19．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，已知是角平分线，． (1)求的度数； (2)若于E，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和以及角平分线的定义是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义求出，然后根据三角形外角的性质求解即可； （2）由垂直的定义得，然后根据即可求解． 【规范解答】（1）解：∵在中，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴； （2）∵， ∴． ∴． 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，是角平分线，是高，与交于点O．求的度数． 【答案】 【思路点拨】本题考查三角形的角平分线、高线，三角形外角的定义和性质．由角平分线和高线的定义，可得，，最后由三角形外角的性质可得． 【规范解答】解：在中，是角平分线， ， 是高， ， ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $