第一章 整式的乘法（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材湘教版七年级下册

第一章 整式的乘法·培优卷 【新教材湘教版】 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式，解题的关键是正确掌握相关计算法则． 根据相关计算法则逐项求解判断，即可解题． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，A选项计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，C选项计算错误，不符合题意； D、，D选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）下列整式的乘法计算中，能运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式中代数式的特征是解题的关键． 平方差公式的形式为，即两个二项式中，一项相同，另一项互为相反数，检查各选项变形后是否符合此形式即可． 【详解】选项A：，符合形式，能运用平方差公式，符合题意要求； 选项B：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 选项C：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 选项D：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 故选A． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用单项式乘以多项式法则计算，由结果不含有的一次项，得出满足的条件即可． 【详解】解：， ∵将展开的结果中不含有的一次项， ∴， 故选：B． 4．（25-26八年级上·天津河西·月考）若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式和整式比较大小； 利用作差法比较大小，先化简和，再计算与的差，比较大小即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 5．（25-26八年级上·全国·期末）若是完全平方式，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方式的特点是关键；根据完全平方式的定义，比较系数求解． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 当时，则； 当时，则； ∴或． 故选：D． 6．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）已知，则用含、的式子可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂乘法逆用，利用已知条件，将分解为 ，再应用指数法则转化为含和的表达式即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 7．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）有一块边长为米的正方形土地，若把这块地的一边长增加1米，另一边长减少1米，则与原来相比，这块土地的面积（   ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了整式乘法的应用．求出原正方形面积，变化后长方形的面积，比较后即可判断． 【详解】解：∵原正方形面积为，变化后长方形面积为， ∴， 即面积变小了． 故选：C． 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 通过换元法简化表达式，利用已知条件求解目标代数式的值． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 展开得：， 即， 移项：， 两边除以2：， 又∵， ∴． 故选：C． 9．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答．根据定义列出式子，然后根据整式的运算规则进行计算即可． 【详解】解：由题意可知， 故选：C． 10．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）在长方形内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①，②两种方式放置(图①,②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，图①中阴影部分的面积表示为，图②中阴影部分的面积表示为，以下用含a，b的代数式表示的值正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式和整式的混合运算，解题的关键是：能灵活运用整式的运算法则进行计算． 设，则，根据图形得出，再根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：设，则， 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（25-26八年级上·广东惠州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了积的乘方的逆运算，根据积的乘方的逆运算法则求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 13．（25-26八年级上·山东临沂·月考）若，，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的变形应用，解决本题的关键是对进行变形化简． 将原式利用平方差公式进行变形，然后代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ∵，， ∴上式． 故答案为：． 14．已知：，则 【答案】-2 【分析】根据幂的乘方、负指数幂及同底数幂的运算公式即可求解. 【详解】∵ ∴ 故 ∴3-3x+2x-3=2, 解得x=-2， 故填：-2. 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式及运用. 15．（24-25七年级下·江苏常州·月考）小亮在计算的值时，把的值看错了，其结果等于25，细心的小敏把正确的的值代入计算，其结果也是25．为了探究明白，她又把代入，结果还是25．则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式、单项式乘以多项式等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算完全平方公式与平方差公式、单项式乘以多项式，再令化简结果等于25，计算平方根即可得． 【详解】解： ， 由题意得：， 解得， 故答案为：． 16．（25-26七年级上·上海·期中）如图，将两张边长分别为和的正方形纸片分别按图1和图2两种方式放置在长方形内，（图1和图2中两张长方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为、；设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，当，时， ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，面积的定义，根据平移的知识和面积的定义，列出算式，再去括号，合并同类项即可求解． 【详解】解：图1中阴影部分的面积， 图2中阴影部分的面积， ． ∵ ∴ 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·福建龙岩·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方），解题的关键是熟练掌握幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变、指数相加；幂的乘方，底数不变、指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方法则分别化简各项，再合并同类项； （2）同理，先利用积的乘方、同底数幂的乘法法则化简各项，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（6分）（25-26八年级上·福建厦门·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则化简，再合并同类项即可； （2）根据完全平方公式、平方差公式化简，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（8分）（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知关于的代数式中不含项与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、积的乘方的逆运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出，即可得出m，n的值； （2）将m，n的值代入，再利用积的乘方的逆运算进行计算即可． 【详解】（1）解： =， ∵不含x项与项， ∴， 解得：； （2）． 20．（8分）（25-26八年级上·河南驻马店·期中）若（且，m，n是正有理数数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，同底数幂相乘， （1）逆用幂的乘方将原式整理为，再根据指数相等求出答案； （2）逆用同底数幂相乘法则得，再提出公因式，并根据指数相等得出答案； （3）逆用幂的乘方整理，再代入计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵，， ∴， ∴． 21．（10分）（25-26八年级上·福建厦门·期中）定义：对于依次排列的多项式（是常数），当它们满足：，且为常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如：对于多项式，因为 ，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； (2)若是一组平衡数，且，请直接写出与的数量关系： (3)若是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为14，求的值． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了平衡数与平衡因子概念，整式的混合运算，解题的关键在于正确理解平衡数与平衡因子概念． （1）根据建立等式求解，即可解题； （2）利用整式的混合运算法则，结合，整理得到 ，再根据，且为常数，推出一次项系数为零，即可解题； （3）根据题意列式，再进行整理得到，进而即可计算出的值． 【详解】（1）解：由题知， ； （2）解： ， ， 上式， ，且为常数， ， 整理得； （3）解：由题知， ， ， ， ， 则， 则． 22．（10分）（25-26八年级上·广西崇左·月考）我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，说明如下： 如图1，正方形的面积正方形的面积（长方形的面积长方形的面积）正方形的面积． 即：．还有一些等式也可以用上述方式加以说明，请你尝试完成． (1)如图2，长方形的面积长方形的面积长方形的面积长方形的面积正方形的面积，即： _______________． (2)计算________________．仿照上述方法，画图并说明． 【答案】(1) (2)；见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间的数量关系对公式做出几何解释． （1）利用长方形的面积长方形的面积长方形的面积长方形的面积正方形的面积计算即可． （2）利用长方形的面积正方形的面积正方形的面积长方形的面积长方形的面积长方形的面积正方形的面积计算即可． 【详解】（1）解：∵长方形的面积长方形的面积长方形的面积长方形的面积正方形的面积， ∴ 故答案为： （2）解：； 如图， ∵长方形的面积正方形的面积正方形的面积长方形的面积长方形的面积长方形的面积正方形的面积 ∴ 故答案为：． 23．（12分）（25-26七年级上·全国·期末）综合与探究 【问题背景】有一种可用手掌计算之间的整数相乘的方法．例如：计算时，按图1摆放双手并标记数字．将“7”和“8”对齐摆放，并在它们的上方画一条虚线．在虚线的下方，左手有2个手指，右手有3个手指；在虚线的上方，左手有3个手指，右手有2个手指，取两数乘积作为个位数字（如果乘积满10，则往十位数字进位），即． (1)【类比学习】计算时，按上述方法，可得 ． (2)【归纳总结】设a，b分别为之间的任意整数．在计算时，若a在左手，b在右手，则虚线上方左手有 个手指，右手有 个手指，虚线下方双手共有 个手指，按上述方法，可得 用含a，b的代数式表示，不用化简． (3)【探究提升】若将a，b变为之间的任意整数也满足类似的算法，根据如图2所示的标记数字，也可按相同方法画出虚线．在虚线的上方，如果左、右手分别有m，n个手指．那么 _____．（用含m，n的代数式表示，不用化简） 【答案】(1)； (2)；；； (3) 【分析】此题考查了整式的加减法以及多项式乘多项式的应用、列代数式等知识． （1）根据题中的算法即可得到答案； （2）根据题中的算法得到规律即可； （3）根据计算之间整数相乘的手指算法即可得到答案． 【详解】（1）解：计算时，按上述方法，算法为：； 故答案为：；． （2）解：设分别为中的任一整数．在计算时，在左手，在右手， 则虚线上方左手有个手指，右手有个手指； 虚线下方双手共有个手指． 则算法为：（用含的代数式表示）． 故答案为：；；；． （3）解：由题意可得，若在虚线的上方，左、右手分别有和个手指． 则算法为：， 故答案为：． 24．（12分）（25-26八年级上·北京·期中）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示为非负整数的展开式的项数及各项系数的有关规律．如图． (1)请你按照规律写出展开式______； (2)设，小明发现通过赋值法可求解系数间的关系：如令，可得______；如令，则可得，借助此思路求出______； (3)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期五，再过7天还是星期五，则再过天是星期_____． 【答案】(1) (2) (3)六 【分析】本题主要考查了整式的乘法，多项式的系数和项数的规律问题， 对于（1）根据的系数分别为，可得答案； 对于（2），令，求出，再令，可得， 然后令，可得…，将两式相减可得答案； 对于（3），将改写为，再展开根据结果可得答案. 【详解】（1）解：由题知， 故答案为：； （2）解：当时， ， 所以 又因为当时， ， 当时， …， 两式相减得， ， 所以 故答案为：1，； （3）解：将改写为， 则 因为 所以除以7余1， 因为今天是星期五，再过7天还是星期五，所以再过天是星期六 故答案为：六． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 整式的乘法·培优卷 【新教材湘教版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）下列整式的乘法计算中，能运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·天津河西·月考）若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 5．（25-26八年级上·全国·期末）若是完全平方式，则的值是（    ） A． B． C． D．或 6．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）已知，则用含、的式子可表示为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）有一块边长为米的正方形土地，若把这块地的一边长增加1米，另一边长减少1米，则与原来相比，这块土地的面积（   ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 9．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）在长方形内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①，②两种方式放置(图①,②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，图①中阴影部分的面积表示为，图②中阴影部分的面积表示为，以下用含a，b的代数式表示的值正确的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（25-26八年级上·广东惠州·期中）计算： ． 12．（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）计算： ． 13．（25-26八年级上·山东临沂·月考）若，，则的值为 14．已知：，则 15．（24-25七年级下·江苏常州·月考）小亮在计算的值时，把的值看错了，其结果等于25，细心的小敏把正确的的值代入计算，其结果也是25．为了探究明白，她又把代入，结果还是25．则m的值为 ． 16．（25-26七年级上·上海·期中）如图，将两张边长分别为和的正方形纸片分别按图1和图2两种方式放置在长方形内，（图1和图2中两张长方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为、；设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，当，时， ．（用含的代数式表示） 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·福建龙岩·期中）计算： (1)； (2)． 18．（6分）（25-26八年级上·福建厦门·月考）计算： (1)； (2)． 19．（8分）（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知关于的代数式中不含项与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 20．（8分）（25-26八年级上·河南驻马店·期中）若（且，m，n是正有理数数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 21．（10分）（25-26八年级上·福建厦门·期中）定义：对于依次排列的多项式（是常数），当它们满足：，且为常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如：对于多项式，因为 ，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； (2)若是一组平衡数，且，请直接写出与的数量关系： (3)若是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为14，求的值． 22．（10分）（25-26八年级上·广西崇左·月考）我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，说明如下： 如图1，正方形的面积正方形的面积（长方形的面积长方形的面积）正方形的面积． 即：．还有一些等式也可以用上述方式加以说明，请你尝试完成． (1)如图2，长方形的面积长方形的面积长方形的面积长方形的面积正方形的面积，即： _______________． (2)计算________________．仿照上述方法，画图并说明． 23．（12分）（25-26七年级上·全国·期末）综合与探究 【问题背景】有一种可用手掌计算之间的整数相乘的方法．例如：计算时，按图1摆放双手并标记数字．将“7”和“8”对齐摆放，并在它们的上方画一条虚线．在虚线的下方，左手有2个手指，右手有3个手指；在虚线的上方，左手有3个手指，右手有2个手指，取两数乘积作为个位数字（如果乘积满10，则往十位数字进位），即． (1)【类比学习】计算时，按上述方法，可得 ． (2)【归纳总结】设a，b分别为之间的任意整数．在计算时，若a在左手，b在右手，则虚线上方左手有 个手指，右手有 个手指，虚线下方双手共有 个手指，按上述方法，可得 用含a，b的代数式表示，不用化简． (3)【探究提升】若将a，b变为之间的任意整数也满足类似的算法，根据如图2所示的标记数字，也可按相同方法画出虚线．在虚线的上方，如果左、右手分别有m，n个手指．那么 _____．（用含m，n的代数式表示，不用化简） 24．（12分）（25-26八年级上·北京·期中）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示为非负整数的展开式的项数及各项系数的有关规律．如图． (1)请你按照规律写出展开式______； (2)设，小明发现通过赋值法可求解系数间的关系：如令，可得______；如令，则可得，借助此思路求出______； (3)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期五，再过7天还是星期五，则再过天是星期_____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $