湖南省湘西土家族苗族自治州泸溪县第一中学2025-2026学年高三上学期期末数学测试卷

22025—2026年泸溪县一中高三数学期末测试卷 一、单选题 1．设函数，函数有6个零点，则非零实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．对于函数，若存在区间使得则称函数为“同域函数”，区间A为函数的一个“同城区间”.给出下列四个函数： ①；②；③；④. 存在“同域区间”的“同域函数”的序号是 A．①②③ B．①② C．②③ D．①②④ 4．2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了“双减”政策，极大缓解了教育的“内卷”现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图所示.它的画法是这样的：取第一个正方形各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为；如图阴影部分，设直角三角形AEH面积为，后续各直角三角形面积依次为，若，下列说法中正确的个数是（    ） 是公比为的等比数列. A．1 B．2 C．3 D．4 5．在中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则角C的大小是（　　） A．或 B． C． D． 6．如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论： ①三棱锥的体积的最大值为； ②的最小值为； ③点到直线的距离的最小值为． 其中所有正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．若曲线在与处的切线互相垂直，且交点在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线C上一点，则（    ） A．曲线C关于x轴对称 B．曲线C关于原点对称 C．点P的纵坐标的取值范围为 D．直线与曲线C有且仅有两个公共点 10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：．该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过的一条直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B． C． D．的面积等于的面积 三、填空题 12．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面BCD，，且，则鳖臑外接球的表面积为 . 13．若函数存在两个极值点，且，则 ． 14．称满足以下条件的函数为“函数”：从定义域D中任取x，总存在唯一的满足．根据该定义，以下命题中所有真命题的序号为 ． ①若为函数，则；②是函数； ③是函数；④是函数； ⑤若为函数，则． 四、解答题 15．已知定义在区间上的函数，，若，存在一个正实数，满足，则称是的“－伴侣函数”，其中的最小值称为“伴侣指数”． (1)已知，判断函数是否为的“－伴侣函数”，若是，求出“伴侣指数”；若不是，请说明理由． (2)求证：在同一给定闭区间上的一次函数是二次函数的“－伴侣函数”． (3)已知，若函数是的“4－伴侣函数”，求实数的取值范围． 16．已知函数，． （1）求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）定义：同时相切于两条（或两条以上）的曲线的直线叫做两条（或两条以上）的曲线公切线．判断与是否存在公切线，如果不存在，请说明理由，如果存在请指出公切线的条数． 17．已知函数（是自然对数的底数）. (1)若，求的极值； (2)若，求； (3)利用（2）中求得的，若，数列满足，且，证明：. 18．已知点为抛物线：的焦点，过且垂直于轴的直线截所得线段长为4． (1)求的值； (2)为抛物线的准线上任意一点，过点作MA，MB与相切，A，B为切点，则直线AB是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由． 19．已知函数,，集合． (1)若集合中有且仅有个整数，求实数的取值范围； (2)集合，若存在实数，使得，求实数b的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025—2026年泸溪县一中高三数学期末测试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C A C D C BCD BC 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】作出函数的图象，原问题转化为函数与共有6个交点，等价于与有三个交点，结合图象得出其范围. 【详解】作出函数的图象如下： 函数，且函数有6个零点等价于有6个解， 等价于或共有6个解 等价于函数与共有6个交点，又， 由图可得与有三个交点，所以与有三个交点， 则直线应位于之间， 所以，解得. 故选：C 2．C 【分析】函数两边同时求导得，即可求，再由解析式求. 【详解】，则，可得 ∴，故. 故选：C 3．A 【详解】① ，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②，x∈[-1，0]时，f（x）∈[-1，0]，所以②存在同域区间；③，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④，判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为①②③． 点睛：本题主要考查了对同域函数及同域区间的理解，涉及到二次函数、余弦函数的值域的求解，函数图像的相交等，属于难题.本题在判断邻域时，需要知道通过判断函数f（x）和函数y=x图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法． 4．C 【分析】由题意知：，，得，再依次结合选项求解即可. 【详解】由题意知：， ， 因为数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 对于①，，得，故①正确； 对于②，，故②正确； 对于③，， 当时，，所以，故③正确； 对于④，， 此时，所以是公比为的等比数列，故④错误， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，得到数列是以为首项，为公比的等比数列，进而求得，从而得解. 5．A 【分析】由可得cosA，进而利用可得sinBsinC=结合内角和定理可得C值. 【详解】∵， ∴cosA， 由0＜A＜π，可得A， ∵，∴sinBsinC= ∴，即 解得tan2C=，又 ∴2C=或，即C=或 故选A 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查两角和差的正弦公式和内角和定理，属于中档题． 6．C 【分析】根据锥体的体积公式判断①，将将翻折到与矩形共面时连接交于点，此时取得最小值，利用勾股定理求出距离最小值，即可判断②，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到距离，再根据函数的性质计算可得. 【详解】在直三棱柱中平面， 对于①：因为点在棱上，所以，又， 又，，，点在棱上，所以，， 所以，当且仅当在点、在点时取等号，故①正确； 对于②：如图将翻折到与矩形共面时连接交于点，此时取得最小值， 因为，，所以，所以， 即的最小值为，故②错误； 对于③：如图建立空间直角坐标系，设，，，， ， 所以，， 则点到直线的距离 ， 当时， 当时，，，则， 所以当取最大值，且时， 即当在点在点时点到直线的距离的最小值为，故③正确； 故选：C 7．D 【分析】由函数的单调性结合，去求解即可. 【详解】，定义域为R， 令，则， 则， 即关于中心对称， 当时，由解析式可知单调递增， 对称性得：当时，单调递增， 所以在上是增函数， 又在上是增函数， 所以在上是增函数， ， 所以 则， 即， 由单调性可得：， 解得：， 所以不等式的解集为， 故选：D 8．C 【分析】根据题意，可得，利用正弦函数的值域分析推得中必有一个为1，另一个为，由此可求得，，即得，结合图象，可得等腰直角三角形，从而得到，对取值即可判断. 【详解】因，故,易知切线的斜率存在． 因曲线在与处的切线互相垂直， 则．因, 不妨设，， 则，， 此时,． 如图，设，，， 则是以为直角顶点的等腰直角三角形（切线的斜率为1，切线的斜率为）． 由图知，， 易得． 取，得．经检验,当时,无法使的值取到,和. 故选:C． 【点睛】思路点睛：本题主要考查导数的几何意义及应用，属于难题． 解题思路是利用切线互相垂直得到，需要借助于正弦函数的值域推得两个分别取1和，从而求得，推得，最后借助于图象理解找到关于的关系式即得. 9．BCD 【分析】根据条件，结合各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，设曲线上任一点为，则有， 点关于x轴对称的点为，代入，得到，不一定成立，所以选项A错误； 对于选项B，设曲线上任一点为，则有， 点关于原点对称的点为，代入，得到，成立，所以选项B正确； 对于选项C，由，得到，看成关于的方程， 则有，整理得到，解得，所以选项C正确； 对于选项D，由，消得到，解得或， 当时，，当时，， 所以直线与曲线C有且仅有两个公共点或，所以选项D正确， 故选：BCD. 10．BC 【分析】A选项，根据的性质得到，从而得到；B选项，根据的特征分组求和即可；C选项，利用，得到C正确；D选项，根据得到，D错误. 【详解】由题意得：每隔两项奇数，出现一项偶数， 故各项为，即， ，A错误； ，B正确； 因为，且， 所以 ，C正确； ， 故，D错误. 故选：BC 【点睛】斐波那契数列的性质：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） 11．ABD 【分析】对于A：根据题意结合抛物线的定义分析判断；对于B：设直线的方程为，利用韦达定理可得，即可得结果；对于C：整理可得，进而分析判断；对于D：整理可得，，结合题意分析证明. 【详解】对于选项A：由几何性质可知，且， 可得，所以，故A正确： 对于选项B：设直线的方程为，， 联立方程，消去y可得， 则，即， 由条件知同号，所以. 则，可得， 因为，则， 同理可得，则，故B正确； 对于选项C：因为， 可得， 当且仅当时，，故C错误； 对于选项D：设， 由，可知直线关于直线对称， 所以. 因为， 可得. 则， ， 所以的面积等于的面积，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 12． 【分析】如图，取的中点为，连接，可证为三棱锥外接球的球心，故可求外接球的表面积. 【详解】 如图，取的中点为，连接， 因为平面BCD，平面，故，， 因为的中点为，故， 而，，平面，故平面， 而平面，故， 故，所以为三棱锥外接球的球心， 又，故，所以， 故三棱锥外接球半径为，故其外接球的表面积为. 故答案为：. 13． 【分析】求导得到，，，，则，解得答案. 【详解】，定义域为，所以， 故，；又，所以． 又，故，所以，所以． 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的极值点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用消元的思想解方程是解题的关键. 14．②⑤ 【分析】①：举例说明不成立； ②：根据函数定义的判断可以证明为函数； ③：取时满足的不是唯一的，判断不是函数； ④：取，满足的无穷多解，判断不是函数； ⑤：由函数得，一定可求得两根， 显然，所以恒成立， 求得的范围. 【详解】①：对，对任意的，取 ，满足; 若即，则，由得，且是唯一的， 所以为函数，但，故①错误； ②：，其图象可看作由 的图象向右平移个单位，向下平移2个单位得到，故的图象关于点中心对称， 所以对定义域内任意有成立，的定义域为，值域，在上均为单调函数， 对定义域内任意，取也在定义域内，都有， 若满足，则，由值域知故 ，故,又在上均为单调函数，故满足的是存在且唯一的， 所以是函数，故②正确； ③，定义域为，取，由得，即，解得或，故 不是唯一的， 所以不是函数，故③错误； ④：，取，由得， 即，当时均成立，故 不是唯一的， 所以不是函数，故④错误； ⑤若为函数，显然, 则满足的是唯一的 ， 由得 ， 即，一定可求得两根， 显然， 按函数定义知， 所以，即恒成立， 所以，解得．故⑤正确； 故答案为：②⑤ 【点睛】若关于中心对称，且在中心两侧为单调函数，则为“函数”， 由对称中心知，故存在满足．由单调函数知满足的是唯一存在的. 在本题中①②③④⑤都可用此结论引导求解. 15．(1)是的“－伴侣函数”，且“伴侣指数”是3 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）假设是的“－伴侣函数”，得到关于的不等式，求出的范围后可得结论； （2）设出一次函数与二次函数的解析式，，根据新定义利用放缩法证明问题：，记，则； （3）根据已知得到关于的不等式，且，这说明函数递增，函数递减， 利用函数与导数的关系得到关于的不等式．构造函数，利用导数求函数的最值，得参数范围． 【详解】（1）假设是的“－伴侣函数”， 则，，即， 则，． （点拨：因为，所以） 因为且，所以，因此，因此，（注意等号能否取到） 因此是的“－伴侣函数”，且“伴侣指数”是3． （2）设，，，， ， ． 记，则，（放缩法的应用） 记，则，即， 因此是的“－伴侣函数”，即在同一给定闭区间上的一次函数是二次函数的“－伴侣函数”． （3）由题知，， 即，不妨假设， 则， 则且， 所以函数递增，函数递减， 故，， 则，，又， 故， 所以． 令，则， （技巧：将的分子写成两项之积的形式，以便确定的正负） 令，易知在上单调递减，则， 故，（提示：当时，，） 则在上单调递减，则，因此． 令，则， 令，易知在上单调递减，且，， 则，，即，（零点存在定理的应用） 当时，，即，则在上单调递增， 当时，，即，则在上单调递减， 则． 由，得，则， 因此． 又，所以，即实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：本题考查新定义，考查导数求最值，难度很大．新定义中，在是上的单调函数时，不等式可化为这样我们只要利用不等式的性质对进行变形求范围，另外也可以令，可以去掉绝对值符号，把问题简化． 16．（1）分类讨论，答案见解析；（2）分类讨论，答案见解析；（3）存在两条公切线． 【分析】（1）求导函数，由确定增区间，确定减区间后可得极值． （2）求，根据的解的情况分类讨论确定其正负得单调性； （3）根据公切线定义把问题转化，首先设存在公切线，与、分别切于点，．求出两函数图象的切线方程，由它们是同一条直线得出的关系，再消元得一元方程，然后引入新函数，证明新函数在上有两个不等实根，从而可得结论成立． 【详解】解：（1）∵，∴ ①当时，在上恒成立，故是上的减函数，故不存在极值． ②当时，由得． 进一步时，故在区间上是减函数， 时，故在区间上是增函数． ∴当时有极小值，无极大值． （2）∵，∴（且）， 令， ①时，∴即恒成立， 故函数单调递增区间是，． ②当时，方程有两个不等的负根，易知且，恒成立， 故函数单调递增区间是，． ③当时， 方程有两个不等的正根，， ． 易知函数单调递增区间是，；单调递减区间是，． （3）假设存在公切线，与、分别切于点，．，． 则公切线：，即． 同时公切线：，即， ∴． 消去得 是否存在公切线等价转化为方程在是否有解． 令，① 由（2）得在，上递增，，． 所以存在，使得，又，所以必有使得． 故方程①只有两解．即与是存在两条公切线． 【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，求函数极值，考查公切线问题．对公切线这个新定义，解题关键是问题的转化，在两个函数图象上设出两个切点坐标，求出切线方程，由两条切线重合去确定切点是存在的，再把求切点坐标问题转化为方程有两个不等实根，然后利用导数求解． 17．(1)极大值为，无极小值； (2) (3)证明过程见解析 【分析】（1）求导，得到函数单调性，进而得到在处取得极大值，极大值为，无极小值； （2）放缩得到，构造函数，注意到，所以，即为的极大值点，求导，根据求出，检验后得到答案； （3）求出，求导，得到其单调性，故，求出，构造，求导得到其单调性，得到，作差法求出，所以，即，故，又，证明出，证毕. 【详解】（1）由题意得， 则，为减函数， 令得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值； （2）因为，所以， 从而， 所以，即， 设，注意到， 所以，即为的极大值点， 由，令，解得， 检验，当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以成立， 综上，； （3）由（2）得，从而，， 则， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，所以，，……，， 令， 则， 所以在上单调递减，且， 因为，又，所以， 所以， 所以，即， 所以，故， 又，所以，即，证毕. 【点睛】方法点睛：导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到. 18．(1) (2)直线恒过定点，理由见解析 【分析】（1）求出焦点坐标，将代入抛物线方程，得到，故，求出答案； （2）设直线的方程为，与联立，根据求出，，同理可得，又点在，得到直线的方程为，求出定点坐标. 【详解】（1）由题意知，，将代入抛物线方程得，， 故，故过且垂直于轴的直线截所得线段长为， 由可知； （2）直线恒过定点，定点坐标为，理由如下： 设， 由题意可知直线的斜率均存在，且不为0，， 设直线的方程为，与联立得， 由于直线为切线． 故，又， 则，解得， 所以直线，即， 同理直线的方程为， 又点在上，所以， 从而直线的方程为：，即， 故直线恒过定点． 【点睛】圆锥曲线中探究性问题解题策略： （1）先假设存在或结论成立，然后引进未知数，参数并建立有关未知数，参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立； （2）在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证也可. 19．(1)； (2)． 【分析】（1）根据条件解不等式，即，分、、得到集合，通过二次函数的对称轴分析，又集合中有且仅有3个整数，故个整数只可能是，然后由集合列出不等式组，解不等式组即可得的取值范围； （2）分和两种情况分别写出集合， 对应的解集，根据列出不等式组，综合利用不等式的性质，求出的取值范围即可． 【详解】（1）由， 由于对称轴为，所以，集合中有且仅有个整数，所以集合的个整数只可能是， 若即时，集合与题意矛盾，所以； 若即时，集合， 则解得， 若即时，集合， 则解得， 综上所述实数的取值范围是； （2）若即时，集合，， 因为，所以即解得， 若即时，集合， 则 设集合，因为，即，如图所示， 则即得， 所以可得，所以，所以 又因为， 所以即. 综上所述的取值范围是． 【点睛】本题考查利用不等式的整数解求参数，由于二次函数的零点之间的大小不确定，需对参数进行讨论，考查了分类讨论思想的应用，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，正确理解并表达集合是解题的关键，属于难题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $