专题01 相交线与平行线中的四大经典模型（举一反三专项训练）数学新教材人教版七年级下册

专题01 相交线与平行线中的四大经典模型（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 【模型1 “猪蹄”模型】 1 【模型2 “铅笔头”模型】 7 【模型3 “锯齿”模型】 12 【模型4 “三角尺”模型】 24 模型1：“猪蹄”模型 （一）模型特征 条件 AB∥CD，O是平行线间的一点，连接OB，OC，且两条线段凹进去 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 研究拐点较多时的情况 拐点个数 2个 n个 图示 结论 【模型1 “猪蹄”模型】 【例1】【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．    (1)如图①，，E为之间一点，连接，得到．试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，，平分交直线于点F，则 °． 【答案】(1)，理由见解析 (2)58 【分析】（1）过E作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可． 【详解】（1）， 理由如下： 过E作，如图，    ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）同（1）方法可知：， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 【点睛】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，熟练掌握运用平行线的判定和性质是解题关键． 【变式1-1】如图，直线，，则 (    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外角定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握“三角形的一个外角定于与它不相邻的两个内角之和”，“两直线平行，同旁内角互补”．根据三角形的外角定理可得，，再根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意可得： ，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-2】如图，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 (    ) A．30° B．150° C．100° D．120° 【答案】C 【分析】过C作CQAB，得出ABDECQ，根据平行线的性质推出∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，求出∠ECQ，即可求出选项． 【详解】解：过C作CQAB， ∵ABDE， ∴ABDECQ， ∵∠A=30°， ∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°， ∵∠ACE=110°， ∴∠ECQ=110°-30°=80°， ∴∠E=180°-80°=100°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，能正确作辅助线并灵活运用性质进行推理是解此题的关键． 【变式1-3】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝　 　． (2)如图2，，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数． (3)如图3．，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数． 【答案】(1)70° (2)45° (3)129° 【分析】（1）延长CE交AB于点F，利用平行线的性质可得∠AFC=28°，然后再利用三角形的外角可得∠AEC=∠A+∠C，进行计算即可解答； （2）利用猪蹄模型可得：∠AEC=∠A+∠C=90°，再利用对顶角相等可得∠BED=90°，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答； （3）利用平行线的性质可求出∠CDF的度数，从而利用角平分线的定义求出∠CDG的度数，进而利用平行线的性质可求出∠BAD的度数，然后根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，再利用平角定义求出∠EDH的度数，最后根据猪蹄模型可得∠AED=∠BAE+∠EDH，进行计算即可解答． 【详解】（1）延长CE交AB于点F， ∵， ∴∠AFC＝∠C＝28°， ∵∠AEC是△AEF的一个外角， ∴∠AEC＝∠A+∠AFC＝∠A+∠C＝70°， 故答案为：70°； （2）利用（1）的结论可得： ∠AEC＝∠A+∠C＝36°+54°＝90°， ∴∠AEC＝∠BED＝90°， ∵EF平分∠BED， ∴∠BEF＝∠BED＝45°， ∴∠BEF的度数为45°； （3）∵， ∴∠CDF＝180°﹣∠BCD＝124°， ∵DG平分∠CDF， ∴∠CDG＝∠CDF＝62°， ∵， ∴∠BAG＝∠CDG＝62°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠BAD＝31°， ∵∠GDE＝20°， ∴∠EDH＝180°﹣∠CDG﹣∠GDE＝98°， 利用（1）的结论可得： ∠AED＝∠BAE+∠EDH＝31°+98°＝129°， ∴∠AED的度数为129°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，角平分线的性质，熟练掌握猪蹄模型的原理是解题的关键． 模型2：“铅笔头”模型 （一）模型特征 条件 AB∥CD，点O在平行线之间，连接OB，OC，且两条线段凸出来 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 研究拐点较多时的情况 拐点个数 2个 n个 图示 结论 【模型2 “铅笔头”模型】 【例2】如图，如果，那么 ． 【答案】540 【分析】本题主要考查了平行线的性质等知识点，过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答，构造辅助线，是解答本题的关键． 【详解】过点E作，过点F作，如图， ∵，，， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， 故答案为：540． 【变式2-1】（2025·陕西安康·二模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过顶点作，利用平行线的性质得到，利用角的和差得到，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过顶点作， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：D． 【变式2-2】如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】过点F作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 【变式2-3】如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）． 【答案】 360 540 720 180n 【分析】过点作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍； （1）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍； （2）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍； （3）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 【详解】过作（如图②）． ∵原四边形是长方形， ∴， 又∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴， 又∵， ∴；    （）分别过、分别作的平行线，如图③所示，    用上面的方法可得； （）分别过、、分别作的平行线，如图④所示，    用上面的方法可得； （）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 故答案为：；；；． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． 模型3：“锯齿”模型 （一）模型特征 条件 AB∥CD，点E，F在平行线的内部，连接BE，EF，FC，且图形中至少有两个拐点 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 拐点较多时可进行拆分 图示 拆分思路 拆分成“猪蹄”模型和内错角 拆分成2个“猪蹄”模型 【模型3 “锯齿”模型】 【例3】（24-25七年级下·山东青岛·期中）2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】 图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构建新的图形． 【问题解决】 解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 根据 （1） ， 所以， 根据 （2） ， 所以． 因为， 所以 （3） ， 所以 （4） ． 【迁移应用】 如图③是一款手推车的平面示意图，． （1）若，，则________； （2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则________． 【答案】问题解决：（1）平行于同一条直线的两条直线平行；（2）两直线平行，内错角相等；（3）；（4）105；迁移应用：（1）130；（2），理由见解析；拓展提高： 【分析】本题考查了垂直、平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 问题解决：先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差即可得； 迁移应用：（1）过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质求解即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得； 拓展提高：过点作，过点作，先求出，，再根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，最后根据求解即可得． 【详解】解：问题解决：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 根据平行于同一条直线的两条直线平行， 所以， 根据两直线平行，内错角相等， 所以． 因为， 所以， 所以． 故答案为：（1）平行于同一条直线的两条直线平行；（2）两直线平行，内错角相等；（3）；（4）105． 迁移应用：（1）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：130． （2），理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 拓展提高：如图，过点作，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式3-1】如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过作辅助线,过点C和点D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根据ABEF,可得ABEFCGDH,再根据平行线的性质即可得γ+β-α=90°,进而可得结论． 【详解】解：如图,过点C和点D作CGAB,DHAB, ∵CGAB,DHAB, ∴CGDHAB, ∵ABEF, ∴ABEFCGDH, ∵CGAB, ∴∠BCG=α, ∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α, ∵CGDH, ∴∠CDH=∠GCD=β-α, ∵HDEF, ∴∠HDE=γ, ∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°, ∴γ+β-α=90°, ∴β=α+90°-γ． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质． 【变式3-2】直线，是一条折线段，平分． (1)如图1，若，求证：； (2)平分，直线交于点F． ①如图2，写出和的数量关系，并证明； ②当点E在直线之间时，若，直接写出的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，证明见解析；②或或 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，综合较强，正确分情况讨论，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得，由此即可得证； （2）①先根据角平分线的定义可得，，再过点作，过点作，则，根据平行线的性质可得，，，，从而可得，然后根据求解即可得； ②分四种情况：（Ⅰ）当点在直线之间，且为锐角，为钝角时，（Ⅱ）当点在直线之间，且和均为钝角时，（Ⅲ）当点在直线之间，且和均为锐角时，（Ⅳ）当点在直线之间，且为钝角，为锐角时，参照（2）①的方法，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． （2）解：①，证明如下： ∵平分，平分， ∴，， 如图，过点作，过点作， ∴， ∴，， ，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴． ②∵平分，平分， ∴，． （Ⅰ）如图1，当点在直线之间，且为锐角，为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅱ）如图2，当点在直线之间，且和均为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅲ）如图3，当点在直线之间，且和均为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅳ）如图4，当点在直线之间，且为钝角，为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 综上，的度数为或或． 【变式3-3】问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．       经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得． 问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ，． (1)当点P在A、B两点之间运动时， 、、之间有何数量关系？请说明理由． (2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系． (3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ． 【答案】(1)∠CPD=∠α+∠β，理由见解析 (2)∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β (3)∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+ 【分析】（1）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解； （2）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解； （3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解． 【详解】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β； （2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α； 当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β．理由： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β． （3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M， 由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+． 故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第（2）问在解题时注意分类思想的运用． 模型4：“三角尺”模型 （一）模型特征 类 型 1： 单一三角尺 类型2 ：常见角度的拼接 （二）模型拓展 拓展方向：常见的直尺与三角尺的拼接 【模型4 “三角尺”模型】 【例4】一副直角三角尺叠放如图所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相垂直．则的度数为 ．    【答案】或或或 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，分四种情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示：    此时； 当时，如图所示：    此时； 当时，如图所示：    此时； 综上分析可知：的度数为或或或． 故答案为：或或或． 【变式4-1】如图是一副三角尺拼成的图案，则 ° 【答案】 【分析】本题考查邻补角互补，根据与是邻补角直接求解即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， ， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】将两个三角尺如图放置，，，，且点D在上，点B在上，，则的度数为 ． 【答案】/165度 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练的利用平行线的性质，三角形的外角的性质建立角与角之间的数量关系是解本题的关键． 先求解，再证明，再利用三角形的外角的性质求解，再利用邻补角的定义可得答案． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-3】【实践操作】三角尺中的数学 （1）如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则________；若，则________； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． （2）如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，． ①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为．在旋转的过程中，为何值时． 【答案】（1）①；；②，理由见解析；（2）①，理由见解析；②为3秒或21秒 【分析】本题考查了三角板中角度的计算、垂直的定义，仔细观察图形，根据图形得出各角之间的关系是解答本题的关键． （1）①根据角的和差关系即可求解；②根据角的和差关系即可得出结论； （2）①根据角的和差关系即可得出结论；②由得到，再分在的上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）①若，则， ∴； 若，则， ∴； 故答案为：；； ②，理由如下： ∵， ∴， ∴， 即． （2）①，理由如下： ∵， ∴， ∴， 即； ②∵， ∴， 当在上方时， 旋转角度为， ∴（秒）； 当在下方时， 旋转角度为， ∴（秒）； ∴综上所述，为3秒或21秒时． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线中的四大经典模型（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 【模型1 “猪蹄”模型】 1 【模型2 “铅笔头”模型】 3 【模型3 “锯齿”模型】 5 【模型4 “三角尺”模型】 8 模型1：“猪蹄”模型 （一）模型特征 条件 AB∥CD，O是平行线间的一点，连接OB，OC，且两条线段凹进去 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 研究拐点较多时的情况 拐点个数 2个 n个 图示 结论 【模型1 “猪蹄”模型】 【例1】【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．    (1)如图①，，E为之间一点，连接，得到．试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，，平分交直线于点F，则 °． 【变式1-1】如图，直线，，则 (    ) A． B． C． D． 【变式1-2】如图，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 (    ) A．30° B．150° C．100° D．120° 【变式1-3】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝　 　． (2)如图2，，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数． (3)如图3．，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数． 模型2：“铅笔头”模型 （一）模型特征 条件 AB∥CD，点O在平行线之间，连接OB，OC，且两条线段凸出来 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 研究拐点较多时的情况 拐点个数 2个 n个 图示 结论 【模型2 “铅笔头”模型】 【例2】如图，如果，那么 ． 【变式2-1】（2025·陕西安康·二模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 【变式2-2】如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 【变式2-3】如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）． 模型3：“锯齿”模型 （一）模型特征 条件 AB∥CD，点E，F在平行线的内部，连接BE，EF，FC，且图形中至少有两个拐点 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 拐点较多时可进行拆分 图示 拆分思路 拆分成“猪蹄”模型和内错角 拆分成2个“猪蹄”模型 【模型3 “锯齿”模型】 【例3】（24-25七年级下·山东青岛·期中）2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】 图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构建新的图形． 【问题解决】 解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 根据 （1） ， 所以， 根据 （2） ， 所以． 因为， 所以 （3） ， 所以 （4） ． 【迁移应用】 如图③是一款手推车的平面示意图，． （1）若，，则________； （2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则________． 【变式3-1】如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】直线，是一条折线段，平分． (1)如图1，若，求证：； (2)平分，直线交于点F． ①如图2，写出和的数量关系，并证明； ②当点E在直线之间时，若，直接写出的大小． 【变式3-3】问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．       经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得． 问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ，． (1)当点P在A、B两点之间运动时， 、、之间有何数量关系？请说明理由． (2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系． (3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ． 模型4：“三角尺”模型 （一）模型特征 类 型 1： 单一三角尺 类型2 ：常见角度的拼接 （二）模型拓展 拓展方向：常见的直尺与三角尺的拼接 【模型4 “三角尺”模型】 【例4】一副直角三角尺叠放如图所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相垂直．则的度数为 ．    【变式4-1】如图是一副三角尺拼成的图案，则 ° 【变式4-2】将两个三角尺如图放置，，，，且点D在上，点B在上，，则的度数为 ． 【变式4-3】【实践操作】三角尺中的数学 （1）如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则________；若，则________； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． （2）如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，． ①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为．在旋转的过程中，为何值时． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $