第02讲 整式与分式（4命题点+6题型+2突破）（复习讲义）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“整式与分式”核心模块，覆盖代数式、整式运算、因式分解、分式化简求值等中考必考考点，通过知识网络构建梳理内在联系，设计“考情剖析-考点解析-真题训练-分层突破”教学流程，助力学生系统突破重点难点。 亮点在于“命题预测+思维进阶”双轨设计，如通过2023年中考规律探索题培养数学眼光，结合代数推理题训练数学思维，设置基础巩固、能力提升、全国新趋势三级练习。教师可依托此资料精准把控复习节奏，学生能在实战训练中提升解题能力，高效备战中考。

第一章 数与式 第02讲 整式与分式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 代数式 题型01列代数式 题型02求代数式的值 命题点二 整式 题型03 整式的运算 命题点三 因式分解 题型04 因式分解 命题点四 分式 题型05 分式的概念及其运算 题型06 分式的化简求值 05·重难突破·思维进阶难 17 突破一 代数推理题 突破二 代数式规律探索 06·优题精选·练能提分 21 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 代数式及规律探索 第21题 第18题 第18题 1.借助现实情境了解代数式,进一步理解用字母表示数的意义. 2.能分析具体问题中的简单数量关系,并用代数式表示;能根据特定的问题查阅资料,找到所需的公式. 3.会把具体数代人代数式进行计算. 整式的运算与因式分解 第4题 第4题 第3题 1.了解整数指数幂的意义和基本性质. 2.理解整式的概念,掌握合并同类项和去括号的法则;能进行简单的整式加减运算,能进行简单的整式乘法运算. 3.理解乘法公式，了解公式的几何背景,能利用公式进行简单的计算和推理(新增). 4.能用提公因式法、公式法进行因式分解(指数为正整数). 5.(新增)了解代数推理. 分式的概念与化简求值 第15题 第11题 第15题 了解分式和最简分式的概念,能利用分式的基本性质进行约分和通分;能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. 命题预测 整式的基础运算：必考，多为选择，难度★；乘法公式的直接 / 变形应用：安徽中考常考平方差公式、完全平方公式，两种考法：①直接计算②公式变形求代数式值，多为填空，难度★★；因式分解：必考，填空 / 选择为主，安徽考法明确：结果要分解到不能再分解，优先提公因式，再用公式，极少考十字相乘法，无需拓展，难度★★；整式的化简求值：偶尔考简单解答题，结合因式分解和整式运算，先化简再代入数值，代入的数多为简单整数或分数，侧重运算步骤的规范性，难度★★；分式在安徽中考中考查更偏向基础应用，极少考复杂计算，核心围绕 “有意义条件 - 化简 - 求值 - 简单应用” 展开，多为选择 / 填空，或解答题第 15 题，与整式化简求值交替出现，难度★-★★。 考点一 代数式 代数式 用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子,单独的一个数或一个字母也是代数式 列代数式 (1)实际应用:根据实际问题,列出代数式; (2)规律探索 代数式求值 (1)直接代入求值;(2)整体代入求值(体现整体思想) 1．（2022·安徽·中考真题）某地区2020年进出口总额为520亿元．2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．注：进出口总额＝进口额＋出口额． (1)设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表： 年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元 2020 x y 520 2021 1.25x 1.3y (2)已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额度分别是多少亿元？ 2．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 3．（2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 考点二 整式 整式:单项式与多项式统称整式. 类别 概念 次数 系数 项 整式 单项式 数或字母的 ,这样的式子叫做单项式.  单独的一个数或一个字母也是单项式 单项式中,所有字母的 单项式中的数字因数   多项式 几个单项式的 叫做多项式  多项式里, 项的次数    每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项 【温馨提示】 (1)对于单独一个非零的数,规定它的次数为0; (2)单项式的系数包括前面的符号 类别 法则 整式的加减运算 (1)同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项; (2)合并同类项法则:系数相加减,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变. 一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项 幂的运算 (1)同底数幂的乘法:am•an＝ (m,n都是整数);  (2)幂的乘方:（am）n＝ (m,n都是整数);  (3)积的乘方:（ab）n＝ (n是整数);  (4)同底数幂的除法:am÷an= (a≠0,m,n都是整数);  (5)负整数指数幂:a-m= (a≠0,m是正整数);  (6)零指数幂:a0= (a≠0)  整式的乘除运算 单项式乘单项式 把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘多项式 m(a+b+c)= 多项式乘多项式 (m+n)(a+b)= (转化为单项式乘多项式求解)  乘法公式: (1)平方差公式:(a+b)(a-b)= ;   (2)完全平方公式:(a±b)2= 常用恒等变换: a2+b2=(a+b)2- =(a-b)2+ ;(a-b)2=(a+b)2- 整式的乘除运算 单项式除以单项式 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式 (ma+m)÷m= (转化为单项式除以单项式求解)  【温馨提示】 (1)同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关,如-2xy与yx是同类项; (2)若括号外的因数是负数,去括号时,括号里各项都要改变符号 4．（2023·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽·中考真题）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 考点三 因式分解 概念 把一个多项式化成几个整式的 的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解  方法 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c)(公因式可以是数字、字母或多项式) 公式法 十字相乘法(补充) x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 一般步骤 一提(提公因式,确定公因式时,一看系数、二看字母、三看指数); 二套(套乘法公式); 三检验(检验是否分解到不能分解为止) 6．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 7．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）；（）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数．分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数，则为的倍数．而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数．而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数．而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 考点四 分式 一、分式的概念 概念:一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式. 分式有意义的条件为 ; 分式的值为0的条件为 .   二、分式的基本性质 1.基本性质 ; (其中A,B,C是整式,C≠0) (分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变). 2.性质应用 约分:把一个分式的分子与分母的公因式约去. 通分:把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式. 三、分式的运算 乘除运算 (1)乘法法则: = (正确约分是求解的关键);  (2)除法法则: (将除法转化为乘法)  乘方运算 () n= (n为整数)  加减运算 (1)同分母:= (分母不变,分子相加减);  (2)异分母: (先通分,再加减)  混合运算 (1)运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,有括号,先算括号里面的; (2)实数的运算法则、各种运算律也适用于分式的运算 【温馨提示】分式运算的结果要化成最简分式(分子、分母没有公因式)或整式 8．（2024·安徽·中考真题）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 9．（2025·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 10． （2023·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 命题点一 代数式 ►题型01 列代数式 【典例】（2025·安徽滁州·三模）某省2024年上半年的总值为a万亿元人民币，2024年下半年的总值比2024年上半年增长，预计2025年上半年的总值比2024年下半年增长．若2025年上半年该省的总值为b万亿元人民币，则a，b之间的关系是（  ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·安徽·一模）甲、乙各收集一些废电池，如果甲再多收集6节，就是乙的2倍，若甲收集节，则两人一共收集 节废电池．（用含的整式表示） 【变式2】（2025·安徽安庆·模拟预测）今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． (1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； (2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 【变式3】（2025·安徽·模拟预测）在一个现代化的园艺中心，园艺师计划购买三种不同类型的常绿乔木的树苗来装饰他的花园：黑松、油松以及龙柏．黑松树苗每棵的市场价格为50元；油松树苗每棵的市场价格为30元；三棵龙柏树苗的市场价格合计为10元．园艺师决定用1000元来购买这三种树苗总共100棵，以丰富他的花园生态． (1)设购买黑松树苗棵，油松树苗棵，请用含的代数式填表： 数量（棵） 购买总价（元） 黑松树苗 油松树苗 龙柏树苗 (2)在（1）的条件下，若购买油松树苗数量是黑松树苗数量的5倍少2棵，求此时购买黑松、油松以及龙柏树苗分别有多少棵？ ►题型02 求代数式的值 【典例】（2025·安徽蚌埠·一模）当时，代数式 的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·安徽合肥·二模）已知，，则代数式的值为（   ） A．9 B． C． D．2 【变式2】（2025·安徽芜湖·一模）已知m，n是一元二次方程的两个根，则 ． 【变式3】（2025·安徽阜阳·二模）若，且为两个连续的正整数，则 ． 命题点二 整式 ►题型03 整式的运算 【典例1】（2025·安徽合肥·三模）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·安徽阜阳·三模）计算，结果为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·安徽合肥·一模）下列计算结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·安徽亳州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【变式4】（2025·安徽六安·一模）阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下： ，显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除．设是一个四位数，应用上述材料解答下列问题： (1)直接写出满足什么条件时，它可以被5整除； (2)猜想满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由． 命题点三 因式分解 ►题型04 因式分解 分解因式的基本步骤： （1）先看各项有没有公因式，若有，则先提公因式； （2）再看余下的式子能否用公式法继续分解，直至不能再分解为止． 简记为一“提”、二“套”、三“检查． 【典例1】（2025·安徽滁州·三模）下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（  ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·安徽亳州·模拟预测）分解因式： ． 【变式1】（2025·安徽合肥·模拟预测）分解因式： 【变式2】（2025·安徽滁州·模拟预测）分解因式： ． 命题点四 分式 ►题型05 分式的概念及其运算 【典例1】（2025·安徽宿州·模拟预测）若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【典例2】（2025·安徽滁州·一模）计算： ． 【变式1】（2025·安徽合肥·二模）若分式有意义，则实数的取值范围是 ． 【变式2】（2025·安徽滁州·三模）当分式的值为0时，则实数x的取值是 ． 【变式3】（2025·安徽芜湖·三模）化简：． ►题型06 分式的化简求值 分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0 【典例1】（2025·安徽安庆·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【典例2】（2025·安徽·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（2025·安徽淮南·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（2025·安徽滁州·二模）化简求值：，其中． 突破一 代数推理题 【典例】（2025·安徽马鞍山·一模）已知a，b，c为实数，且，，则a，b，c之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·安徽芜湖·三模）若，，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽六安·三模）规定：是关于x的多项式．例：当时，，．若（a，b，c，d均为常数），且对任意的x都有，，则的值为（   ） A． B． C．4 D． 【变式3】（2025·安徽合肥·三模）已知，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4】（2025·安徽滁州·三模）已知实数a，b，c均不为0，且 ．下列说法中错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 突破二 代数式规律探索 【典例1】（2025·安徽合肥·三模）观察下列等式： ① ② ③ ④ (1)请按以上规律写出第⑥个等式：___________； (2)猜想并写出符合上述规律的第个等式：___________；并证明猜想的正确性． 【典例2】（2025·安徽蚌埠·三模）【问题提出】 因式分解： 【问题探究】 为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解： ① ②由①知，继续添加下一项得： （1）仿照②，把代数式进行因式分解． 【发现规律】 （2）推广到一般形式：______； 【问题解决】 （3）化简：______． 【典例3】（2025·安徽滁州·三模）如图1，将一个基础图形（正方形）不断平移，使得相邻两个基础图形的顶点与对称中心重合． 观察以上图形得到下表： 图形 图① 图② 图③ 图④ … 大正方形数量/个 2 3 4 5 … 小正方形数量/个 1 4 7 10 …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)在图⑤中，正方形的总数为_________． (2)在第n个图形中，正方形的总数为_________． (3)如图2，将图1中某个图形放在平面直角坐标系中，已知基础图形的交点坐标为，，，位置如图所示，则的坐标为_________． 【变式1】（2025·安徽·模拟预测）观察下列等式，按要求回答下列问题． ①        ②         ③             ④ …… (1)根据以上规律，写出第⑥个等式 ； (2)猜想第n（n为正整数）个等式： （用含n的代数式表示） 【变式2】（2025·安徽淮南·一模）某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题． (1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形． (2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？ 【变式3】（2025·安徽阜阳·一模）【观察思考】 毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数． 【规律发现】 （1）图1中，第个三角形数是 ；图2中，第个正方形数是 （请用含的式子表示）． 【猜想验证】 （2） 毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，即第个与第个三角形数之和等于第个的正方形数．请将上述联系用含有的等式表示出来，并证明． 1．（2025·安徽·模拟预测）下列式子变形是正确的因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽宿州·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽淮南·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽淮南·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽淮南·模拟预测）下列选项中，说法正确的是（   ） A．从1，3，5，8中任选两个数组成的两位数是3的倍数的概率为 B．单项式的系数是2 C．两个无理数的积仍为无理数 D．正五边形的外角和为 6．（2025·安徽滁州·三模）因式分解： ． 7．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 8．（2025·安徽马鞍山·三模）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．某茶馆的店主计划购买三种不同类型的茶叶来丰富茶馆的饮品选择，其中包括龙井茶、普洱茶和茉莉花茶．龙井茶的采购价为每千克700元，普洱茶的采购价为每千克300元，茉莉花茶的采购价为每千克200元．店主计划采购这三种茶叶总共50千克，以满足不同顾客的口味需求． (1)设采购龙井茶千克、普洱茶千克，请用含，的代数式填表： 质量/千克 采购总价/元 龙井茶 普洱茶 茉莉花茶 _____ _____ (2)若店主总共花了15000元，其中采购的普洱茶的质量比龙井茶的2倍多1千克，求店主采购的龙井茶、普洱茶以及茉莉花茶各有多少千克． 9．（2025·安徽芜湖·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 10．（2025·安徽阜阳·三模）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出第6个等式： ． (2)请你猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 1．（2025·安徽滁州·三模）已知三个实数a，b，c满足 则下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽淮南·一模）已知实数x，y，z满足，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2025·安徽·模拟预测）分解因式： ． 4．（2025·安徽蚌埠·三模）先化简，再求值：，从的整数解中选取一个合适的代入求值． 5．（2025·安徽淮南·一模）某科技公司主要从事软件工具开发业务，前年在项目运营上收支相抵后，结余200万元．去年公司优化了开发流程，收入比前年增加，支出比前年减少，去年比前年多结余130万元．设该科技公司前年收入为x万元，支出为y万元． (1)请用含x，y的代数式填表： 项目 前年 去年 收入/元 x ______ 支出/元 y ______ (2)列方程组求出x和y的值． 6．（2025·安徽合肥·三模）【综合与实践】某校在10周年校庆前设计了吉祥物“育育”挂件，并根据挂件尺寸设计了长方体的包装盒．设计组有细心的同学发现，把吉祥物“育育”装进包装盒后，拐角处还空余不少空间，这样比较浪费，所以打算进一步探究节省材料的方案． 任务1  探究：对于底面积和高一定的长方体包装盒，什么情况下最省材料（即表面积最小）？ 通过探究发现，问题等价于“底面矩形的面积一定时，周长何时最小？”设计组先假定底面积为16，列出下表： 长 16 14 12 10 8 6 4 宽 1 1.6 2 4 周长 34 23.2 20 16 根据表格，可猜测：矩形的面积一定时，_____时周长最小． 为了证明上述猜测，小丫同学假设矩形面积为，设两邻边长分别为和（均为非负数），则，得． ……（请表示出周长并补全后续的证明过程）． 任务2  计算对比，合理优化． 设计组之前设计的长方体包装盒的尺寸为：长、宽、高，小明同学在保持底面积不变小的前提下，建议将包装盒形状改为底面直径为的圆，高保持不变的圆柱体，从节省材料的角度来看，你觉得合理吗？请判断并说明理由． 7．（2025·安徽合肥·二模）学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 一、单选题 1．（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·福建·中考真题）设，，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 3．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 二、填空题 4．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 5．（2025·福建·中考真题）若直角三角形中有两边的边长为、，这两边长都是质数，且使得代数式及的值都是正整数，则此直角三角形的第三边的长是 ． 三、解答题 6．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 7．（2025·广西·中考真题）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 8．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 9．（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 10．（2025·江苏盐城·中考真题）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律． ［发现问题］ 黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． ［提出问题］ 小明思考：这样的正多面体有几个？ ［分析问题］ 一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据： 正多面体 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 （1）根据表中的数据，请写出、、之间存在的等量关系式_________； （2）小明进一步发现，正面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12． 正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ②从顶点出发：正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ［解决问题］ （3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数． （4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $