精品解析：山东省滨州市滨城区莲华学校2025-2026学年九年级上学期第三次测试数学试题

2025-2026学年度第一学第三次教学质量检测 九年级数学试题（A） 温馨提示： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分120分．考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分30分． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 它的图象是轴对称图形，有两条对称轴 D. 随的增大而增大 4. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点若的顶点都在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点为边上任一点，交于点，连接相交于点，则下列等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是（ ） A. 24 B. 28 C. 32 D. 36 7. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论不正确的是（ ） A. 第一轮后共有个人患了流感 B. 第二轮后又增加个人患流感 C. 依题意可以列方程 D. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有人患流感 8. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是的中线，E是上一点，且，的延长线交于点F，若，则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4.5 D. 5.5 10. 已知点在函数的图象上，，设，当且时，则下列结论正确的是（ ）． A. m有最大值，也有最小值 B. m有最小值，但没有最大值 C. m有最大值，但没有最小值 D. m没有最小值，也没有最大值 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到新抛物线的顶点坐标为_______． 12. 如图，P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转，能与重合，若，则______． 13. 如图，正六边形的边长为1，以点A为圆心，长为半径画弧，得，连接，，则图中扇形的面积为 __________________．（结果保留π） 14. 海丰塔是无棣县著名的旅游景点，被称为“冀鲁三胜”之一．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量海丰塔的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得海丰塔顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得海丰塔的高度是______m．（参考数据：） 15. 如图，在中，，截三边所得的弦长相等，则的度数是__________． 16. 已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图像对称轴之间的距离为______． 三．解答题：（本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程．） 17. 解方程与计算 （1）； （2）； （3）； （4）； 18. 某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为，，，四个等级．其等级对应的分值分别为100分分、90分8分、80分分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． （1）由图可知该校初三共 名学生，比赛成绩等级为级的学生人数是 人； （2）由图可知的值为 ； （3）初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，现从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的人中至少有1个女生的概率． 19. 如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： （1）与关于原点O中心对称，则的坐标为 ； （2）画出绕原点O顺时针旋转的； （3）外接圆圆心的坐标为 ． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． （1）求一次函数的表达式和m值 （2）请根据图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的最小值为______． 21. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）在（2）的条件下，求的值． 22. 2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办．“冰雪同梦，亚洲同心”推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价．现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价元（为整数）． （1）设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为元，求出与的函数关系式； （2）在（1）的条件下，特许零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 23. 已知二次函数（b，c为常数）的顶点坐标为 （1）求二次函数的表达式； （2）将顶点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时， 二次函数的最大值与最小值差为5，则n的值为 ． 24. 【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学第三次教学质量检测 九年级数学试题（A） 温馨提示： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分120分．考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分30分． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，中心对称图形绕着某点旋转180度后，能够与原图形重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 选项B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 选项C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 选项D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图的定义，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 俯视图是从上面向下看，据此解答即可． 【详解】解：从上面向下看，可得俯视图是圆位于正方形中心，且左下角有缺失， 故选：D． 3. 已知反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 它的图象是轴对称图形，有两条对称轴 D. 随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，轴对称图形概念，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的关键．通过反比例函数图象和性质、点的坐标特征、增减性、对称性，轴对称图形概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：因为反比例函数解析式为，且， A、因为，所以图象经过点，选项说法正确，不符合题意； B、因为，所以图象位于第二、四象限，选项说法正确，不符合题意； C、它的图象是轴对称图形，有两条对称轴，选项说法正确，不符合题意； D、在每个象限内，随的增大而增大，选项说法错误，符合题意； 故选：D． 4. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点若的顶点都在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数等知识，先证明是直角三角形，再利用正弦的定义，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，， ，，， ， 是直角三角形，， ， 故选：B． 5. 如图，点为边上任一点，交于点，连接相交于点，则下列等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理即可判断B、C，根据相似三角形的性质即可判断A、D． 【详解】解：∵， ∴，，，故B、C不符合题意； ∴，故A不符合题意， ∴，故D符合题意； 故选D． 6. 如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是（ ） A. 24 B. 28 C. 32 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形，设，则， 在中 ， 解得：， ，， ． 故选：A． 7. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论不正确的是（ ） A. 第一轮后共有个人患了流感 B. 第二轮后又增加个人患流感 C. 依题意可以列方程 D. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有人患流感 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键； 本题属于传播问题，依次表示第一轮传染，第二轮传染后的量，再结合最后共有人感染可得方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染增加了个人患了流感，第一轮后共有个人患了流感； 第二轮传染后增加了个人患了流感，第二轮传染后共有个人患了流感，可得方程； 解得：，或（舍去） 第三轮传染后增加了人，此时共有人患流感， 故选项A、B、C、均正确，不符合题意， D选项错误，符合题意； 故选：D 8. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案. 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：B 9. 如图是的中线，E是上一点，且，的延长线交于点F，若，则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4.5 D. 5.5 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作，交于点M，根据平行线分线段定理得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，交于点M， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 10. 已知点在函数的图象上，，设，当且时，则下列结论正确的是（ ）． A. m有最大值，也有最小值 B. m有最小值，但没有最大值 C. m有最大值，但没有最小值 D. m没有最小值，也没有最大值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，先由题意得，进而得，进而可得结论． 【详解】解：∵点在函数的图象上，即， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，m有最小值，但没有最大值， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到新抛物线的顶点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】抛物线， 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线为，即． 此时抛物线顶点坐标是． 故答案为：． 12. 如图，P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转，能与重合，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，图形的旋转问题，勾股定理．根据正方形的性质以及旋转的性质可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴． 故答案为： 13. 如图，正六边形的边长为1，以点A为圆心，长为半径画弧，得，连接，，则图中扇形的面积为 __________________．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正六边形的性质，三角函数值，扇形的面积，根据六边形的性质得出，，，作于点H，则 ，，再根据扇形面积公式得出答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ∴，，， ∴，， ∴， 作于点H，则 ，， 扇形的面积＝． 故答案为：． 14. 海丰塔是无棣县著名的旅游景点，被称为“冀鲁三胜”之一．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量海丰塔的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得海丰塔顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得海丰塔的高度是______m．（参考数据：） 【答案】42 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点C作，延长交于，易证得四边形是矩形，则，在中，根据求出的值，进而得到，根据进行求解即可． 【详解】解：过点C作，延长交于，如图： ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：42． 15. 如图，在中，，截三边所得的弦长相等，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的内心，三角形内角和定理，掌握三角形内心的定义是解题关键．根据截三边所得的弦长相等可知，到三条边的距离相等，即是的内心，进而得到，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：截三边所得的弦长相等， 到三条边的距离相等，即是的内心， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图像对称轴之间的距离为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件构建方程． 求出四个交点坐标，在构建方程求解即可． 【详解】解：如图所示： 令，则和， ∴或或或， ∵这两个函数的图象与x轴都有两个交点， ∴， ∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， 若 ， 则， ∴或（舍去） 若 ， 则， ∴或（舍去） ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为， ∴这两个函数图象对称轴之间的距离， 故答案为：2． 三．解答题：（本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程．） 17. 解方程与计算 （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】（1） （2） （3） （4）6 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握解一元二次方程的基本方法和特殊角的三角函数值，是解题的关键． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）先移项，然后用因式分解法解一元二次方程即可； （3）用因式分解法解一元二次方程即可； （4）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ∴， 即，； 【小问2详解】 解： 移项得：， 分解因式得：， ∴，， 解得：； 【小问3详解】 解：， 分解因式得：， ∴，， 解得：； 【小问4详解】 解： ． 18. 某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为，，，四个等级．其等级对应的分值分别为100分分、90分8分、80分分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． （1）由图可知该校初三共 名学生，比赛成绩等级为级的学生人数是 人； （2）由图可知的值为 ； （3）初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，现从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的人中至少有1个女生的概率． 【答案】（1）500，210 （2）18 （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的关联、列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率． （1）用等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用总人数乘以等级人数所占的百分比得到等级人数； （2）先用1分别减去、、等级的百分比得到等级所占的百分比，从而确定的值； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽取的2人中至少有1个女生的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：(名)， 所以该校初三共500名学生， 比赛成绩等级为级的学生人数为(名)； 故答案为：500，210； 【小问2详解】 解：等级人数所占的百分比为， 所以， 故答案为：18； 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个女生的结果数为10种， 所以抽取的2人中至少有1个女生的概率． 19. 如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： （1）与关于原点O中心对称，则的坐标为 ； （2）画出绕原点O顺时针旋转的； （3）外接圆圆心的坐标为 ． 【答案】（1） （2） 如图所示，分别作绕原点O顺时针旋转后对应的点 ,顺次连接，即可得到； （3） 【解析】 【分析】（1）根据关于原点成中心对称的两点坐标之间的关系，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可根据点B的坐标求得点的坐标； （2）根据旋转的性质，分别求得三点对应的点的坐标，顺次连接，即可求解； （3）根据三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，结合顶点坐标，即可求解． 【小问1详解】 如图所示，即为所求． 因为点B的坐标为， 故点B关于原点O中心对称的点的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为关于直线对称， 又关于直线对称， 所以外接圆圆心即直线与的交点， 即外接圆圆心的坐标为． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的作法，成中心对称的点的坐标之间的关系，坐标的旋转变换及三角形外接圆圆心，熟练掌握平面直角坐标系内点的坐标的变换是解题的关键． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． （1）求一次函数的表达式和m值 （2）请根据图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的最小值为______． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入得b，即得一次函数的解析式为，将代入一次函数解析式得m； （2）求出，由图可得，根据直线在双曲线上方的部分的自变量的范围即的解集，即可求解； （3）由点P是线段上一点，可设，且，可得，根据二次函数的性质即可求得最小值． 【小问1详解】 解：一次函数图象过点， ， 解得， 一次函数解析式是 在一次函数的图象上， ， ， 【小问2详解】 有（1）得点， 由图可得，一次函数与反比例函数的交点分别为点和， 则得解集为：或，； 【小问3详解】 ∵点是线段上一点，设， ∴， ∴， ∵且， ∴当或时，有最小值，且最小值是． 故答案：. 21. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是 的直径， ∴，， ∵， ∴点D是中点， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆的基本性质可得，，结合等腰三角形的性质，可证明； （2）根据直角三角形的性质，可以求出．利用勾股定理，可以算出的长，通过面积法，可以算出．再一次使用勾股定理，可以得到； （3）利用同弧所对的圆周角相等，将转化为，根据正切函数的定义求出数值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是 的直径， ∴， ∵， ∴点D是直角斜边上的中点， ∴，， 在直角中，， ， ∴，解得，， 在直角中，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 在直角中，， ∴． 【点睛】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理和锐角三角函数，掌握好圆的基本性质是解题关键． 22. 2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办．“冰雪同梦，亚洲同心”推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价．现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价元（为整数）． （1）设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为元，求出与的函数关系式； （2）在（1）的条件下，特许零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）定价46元，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大，最大利润是2112元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用——销售问题．根据销售量与原销售量和增加销售量的关系，总利润与每个利润和销售量的关系，列出函数关系式是解题的关键． （1）根据总利润等于每个利润乘销售量列出函数关系式即可解题； （2）根据，开口向下，得到时，有最大值，然后计算定价即可． 【小问1详解】 解：（1）与的函数关系式为：， ， ， 答：与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意，， ，且为整数， 当时，最大值为2112， 此时定价为：（元）， 答：定价46元，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大，最大利润是2112元． 23. 已知二次函数（b，c为常数）的顶点坐标为 （1）求二次函数的表达式； （2）将顶点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时， 二次函数的最大值与最小值差为5，则n的值为 ． 【答案】（1） （2）m的值为 （3）的值为： 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求顶点出平移后的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数（b，c为常数）的顶点坐标为 ∴二次函数的解析式为， ∴； 【小问2详解】 解：将顶点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度后的坐标为：， 则， 解得， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：∵的对称轴为直线：， 当时， ∴函数最大值为：， 函数最小值为， ∴，即， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴； 当时， ∴函数最大值为：， 函数最小值为， ∴，不符合题意； 当时， ∴函数最大值为：， 函数最小值为， ∴，即， 解得：，（不符合题意，都舍去）； 综上：的值为：． 24. 【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长． 【答案】（1）相等 （2）成立， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴∠； （3）6或2 【解析】 【分析】（1）利用证明 ，得； （2）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立； （3）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立． 【详解】解：（1）相等，∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：相等； （2）略 （3）当点D在线段上时，如图2， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 当点D在线段的延长线上时，如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上可知，的长为2或6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明是解（1）的关键，证明是解（2）（3）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 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