河南省郑州市三校2025-2026学年九年级上学期期末模拟数学试卷

九年级上学期期末模拟 学校：______________ 班级：______________ 姓名：______________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列方程中，是一元二次方程的是（          ）　 A. B. C.3x+2=0 D. 2.下图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（   ） 3.在正方形ABCD中，AC与BD交于点G，若DE平分∠GDC，连接BE并取中点F，连接AF，则∠AEB的度数是(　　) A．70° B．62.5° C．67.5° D．75° 4.某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次分裂成若干个相同数目的有益菌后母体就不复存在，设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个相同数目的有益菌，根据题意，下面所列方程正确的是(　　) A. 60(1＋x)2＝24000 B. 60(1－x)2＝24000 C. 60(1＋2x)＝24000 D. 60x2＝24000 5.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口P处立一根垂直于井口的木杆PA，视线AC与井口的直径PB交于点D，如果测得PA＝2米，PB＝3.6米，PD＝1米，则BC为（　　） A．3.6米 B．4.2米 C．5.2米 D．7.8米 6.抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是(　　) A.直线x＝2 B.直线x＝－2 C.直线x＝1 D.直线x＝－1 7.如图，在周长为20的菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．已知AC＝6，则BD的长为（          ）　 A．4 B．3 C．8 D．14 8.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD(点A，B的对应点分别是C，D)．若物体AB的高为5cm，小孔O到地面的距离OE为2cm，则实像CD的高度为(　　) A．   B．   C．   D． 9.如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是(　　) A．8cm2 B．16cm2 C．24cm2 D．32cm2 10.为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图①，R1是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻R2绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为0－6V，压力表示数U1与R2的函数图象如图②所示，R2(单位：Ω)与检测物的质量m(单位：kg)的函数关系式为R2＝－2m+240(0≤m≤120)．则下列说法不正确的是(　　) A．当U1＝4V时，R2的阻值为30Ω B．在一定范围内，U1随R2的增大而减小 C．当托盘上货物的质量为110kg时，U1＝3V D．因为压力表量程为0－6V，所以该模型可测量检测物的最大质量是115kg 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.写出一个y关于x的二次函数的解析式，且它的图象的顶点在y轴上：　           　． 12.小兰身高160cm，她站立在阳光下的影子长为80cm，她把手臂竖直举起，此时影子长为100cm，那么小兰的手臂超出头顶            cm． 13.一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，由此估计口袋中共有小球______个． 14.三棱柱的三视图如图所示，在△EFG中，FG=18cm，EG=14cm，∠EGF=30°，则AB的长为      cm． 15.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2AB，延长BA至点E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心．过点O的直线平分该组合图形的面积，并分别交EF，BC于点M，N，则线段MN的长为_________． 三、解答题（75分） 16.（3分）计算：( －3)0－2sin30°－ . 17.（8分）小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次． (1)小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次摸出红球的频率； (2)若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率． 18.（9分）如图，在正方形ABCD中，G是AD上一点，对角线AC交△ABG的外接圆于点F，连接BF，并延长BF交CD于点E； (1)请用尺规作图作出△ABG的外接圆的圆心O的位置；(不要求写作法，但保留作图痕迹)； (2)若CE＝AG，求证：直线DF是⊙O的切线． 19.（9分）阅读理解题： 阅读材料： 如图①，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα＝ ，则tanβ＝ . 证明：设BE＝k，∵tanα＝ ，∴AB＝2k， 易证△AEB≌△EFC(AAS) ∴EC＝2k，CF＝k， ∴FD＝k，AD＝3k， ∴tanβ＝ ＝ ＝ ， 若α＋β＝45°时，当tanα＝ ，则tanβ＝ . 同理：若α＋β＝45°时，当tanα＝ ，则tanβ＝ . 根据上述材料，完成下列问题： 如图②，直线y＝3x－9与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA＝5. (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值； (3)求直线AE的解析式． 20.（10分）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，连接AC，BD交于点E，AB⊥BD，∠BAC＝∠ADB，且 ． (1)求BD的长； (2)若 ，求CD的长． 21.（10分）某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A种20件，B种10件，销售总额为840元，如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元． (1)求A、B两种商品的销售单价． (2)经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？ 22.（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a(x－1)2＋c与x轴的交点为A(－2，0)，B，与y轴交于点(0，－1). (1)求抛物线的解析式； (2)横、纵坐标都是整数的点为整点． ①直接写出线段AB上整点的个数及坐标； ②将抛物线y＝a(x－1)2＋c沿x轴翻折，得到新抛物线，直接写出新抛物线在x轴上方的部分与线段AB所围成的区域内(包含边界)整点的个数． 23.（11分）在一节数学课上，张老师提出了这样一个问题：“如图①，在等腰直角三角形ABC中， ，D是边BC上一动点（不与点B重合）， 交AB于点F.猜想线段BE，DF之间的数量关系并说明理由.”小聪和同桌小明讨论后，仍不得其解.张老师给出提示：数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路.两个人茅塞顿开，于是进行了如下讨论，请仔细阅读，并完成相应的任务. 小聪：已知点D是动点，因此可以将点D移动到一个特殊的位置.当点D与点C重合时，如图②所示．此时可以分别延长BE，CA交于点H，如图 所示，可证明 ，进而得出线段BE，DF之间的数量关系. 小明：对于图②，过点F分别作BE，AC的平行线，交边BC于点M，N，如图 所示，可证明 ，进而得出线段BE，DF之间的数量关系. （1）任务一：如图②，判断线段BE，DF之间的数量关系，并在小聪与小明的方法中选择一种，写出详细的证明过程. （2）任务二：如图①，请猜想BE，DF之间的数量关系为            . （3）任务三：如图①，若  ，当ΔADF是直角三角形时，直接写出BD的长（用含a的代数式表示）. 答案 一、选择题 1.B 2.C 【解析】从上边看第一行是两个小正方形，第二行是一个小正方形并且在第二列． 3.C 【解析】∵四边形ABCD是正方形，AC与BD交于点G，∴AD＝CD＝CB，∠ADC＝∠BCD＝90°，CA垂直平分DB，∴∠DCA＝∠DAC＝45°，∠CDB＝∠CBD＝45°，∵DE平分∠GDC，∴∠CDE＝∠GDE ∠CDB＝22.5°，∴∠AED＝∠DCA+∠CDE＝45°+22.5°＝67.5°，∵DE＝BE，EA⊥DB，∴EA平分∠DEB，∴∠AEB＝∠AED＝67.5°． 4.D 5.C 【解析】由题意可知∠B＝∠APD＝90°，∵PB＝3.6m，PD＝1m，∴BD＝PB﹣PD＝3.6﹣1＝2.6m，∵∠B＝∠APD，∠BDC＝∠PDA，∴△BDC∽△PDA，∴   ，∵PA＝2m，∴   ，∴BC＝5.2m． 6.C　 【解析】∵抛物线y＝－3x2＋6x＋2＝－3(x－1)2＋5，∴抛物线的对称轴为直线x＝1 7.C 【解析】∵四边形ABCD是菱形，菱形ABCD的周长为20，∴AC⊥BD，AD＝DC＝CB＝BA＝5，∵AC＝6，∴AO＝3，∴DO  4，∴BD＝8． 8.A 【解析】依题意，∵EO∥AB，∴△COE∽△CAB，∴ ①，∵EO∥CD∴△BOE∽△BDC，∴ ，由①+②得 ，∴ ，∴ ，∵AB＝5 cm，EO＝2 cm，∴ ，解得 . 9.B 【解析】根据题意点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，∴AP＝2t，AQ＝t，S△APQ＝t2，∵0＜t≤4，∴三角形APQ的最大面积是16． 10.C 【解析】A.当U1＝4V时，根据图象可得R2=30Ω，不符合题意；B.由欧姆定理推导得U1＝ ，当R2增大时，分母增大，U1减小，不符合题意；C.由图②可知，点(10，6)，(30，4)在图象上，代入U1＝ 可得 ，解得 ，当m=110kg时，R2=  Ω，代入U1＝ 得U1＝4.8V，符合题意，故选C；D.当U1＝6V时，代入U1＝ 解得R2=10Ω，对应m=115kg，不符合题意. 二、填空题 12.40 【解析】设手臂竖直举起时总高度x cm，则  ，解得x＝200，200－160＝40(cm)，故小兰的手臂超出头顶40cm. 13.20　 【解析】∵摸到黄球的频率稳定在30%，∴6个黄球占总球数的30%，∴口袋中小球的个数共有6÷30%＝20(个). 14.7 【解析】过点E作EQ⟂FG于点Q，由题意可得，EQ=AB，∵EG=14cm，∠EGF=30°，∴EQ=AB=  4=7（cm）． 解图 15. 【解析】如解图，连接AC，BD交于点H，连接OH并延长，分别交EF于点M，交BC于点N，则MN平分该组合图形的面积．过点M作MR⊥BC于点R，交AD于点P，设MN与AD交于点Q，则四边形EMRB是矩形，设EM＝x，则BR＝x，QG＝EM＝x，∵四边形AEFG是正方形，AE＝AB，∴AG＝AE＝AB＝4，∴Q＝4－x，∴CN＝4－x，∵AB＝4，BC＝2AB，∴BC＝8，∴RN＝BC－BR－CN＝8－x－(4－x)＝4.∵MR＝BE＝AB＋AE＝8，∴MN＝ ＝4 ．    解图 三、解答题 16.解：原式＝1－2× －2＝1－1－2＝－2. 17.解：(1)摸出红球的频率为 ＝ . (2)列表如下： 第一次 第二次 红1 红2 白 黄 红1 (红1，红1) (红1，红2) (红1，白) (红1，黄) 红2 (红2，红1) (红2，红2) (红2，白) (红2，黄) 白 (白，红1) (白，红2) (白，白) (白，黄) 黄 (黄，红1) (黄，红2) (黄，白) (黄，黄) 由上表可知，共有16种等可能的结果，其中摸出一白一黄的结果有2种，∴P(摸出一白一黄)＝ ＝ . 【一题多解】画树状图如解图 由上图可知，共有16种等可能的结果，其中摸出一白一黄的结果有2种，∴P(摸出一白一黄)＝ ＝ . 解图 18.(1)解：如答案图，点O即为所求； (2)证明：连接DF，OF，如答案图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC，∠BAF＝∠DAF＝45°，∠BAG＝∠BCE＝90°， ∵AG＝CE， ∴△ABG≌△CBE(SAS)， ∴∠ABG＝∠CBE， ∵BG为⊙O直径， ∴∠BFG＝90°， ∵∠BGF＝∠BAF＝45°， ∴△BGF是等腰直角三角形， ∴∠GBF＝45°，BF＝GF， ∴∠ABG+∠CBE＝90°－∠GBF＝45°， ∴∠ABG＝∠CBE＝22.5°， ∴∠ABF＝∠ABG+∠GBF＝67.5°， 由正方形的对称性可得∠ADF＝∠ABF＝67.5°，BF＝DF， ∴GF＝DF， ∴∠FGD＝∠ADF＝67.5°， ∴∠DFG＝180°－∠FGD－∠ADF＝45°， ∵△BGF是等腰直角三角形，O为BG的中点， ∴∠FOG＝90°， ∴∠GFO＝45°， ∴∠OFD＝∠GFO+∠DFG＝45°+45°＝90°， ∴OF⊥DF， ∴直线DF是⊙O的切线． 答案图 19.解：(1)将y＝0代入y＝3x－9得，x＝3， ∴B(3，0)， ∵直线y＝3x－9与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交于点A， ∴设A(a，3a－9)， ∵AM⊥x，OA＝5， ∴在Rt△AOM中，OM2＋AM2＝AO2， ∴a2＋(3a－9)2＝52， ∴解得a1＝4，a2＝ ， ∵点A的横坐标要大于点B的横坐标， ∴a2＝ 应舍去， ∴a＝4， ∴A(4，3)， ∴将A(4，3)代入y＝ (x＞0)，解得m＝12， ∴反比例函数的解析式为y＝ (x＞0)； (2)tan∠BAM＝ ，tan∠NAE＝ ； 【解法提示】∵A(4，3)，B(3，0)，∴MO＝4，BO＝3，∴MB＝1，AM＝3，∵AM⊥x轴，∴tan∠BAM＝ ＝ ，∵AN⊥y轴，∠NOM＝90°，∴四边形NOMA是矩形，∴∠NAM＝90°，∵将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，∴∠BAE＝45°，∴∠BAM＋∠NAE＝45°，∵tan∠BAM＝ ，∴tan∠NAE＝ ； (3)∵四边形NOMA是矩形， ∴AN＝OM＝4，NO＝AM＝3， ∵AN⊥y轴，tan∠NAE＝ ， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴解得NE＝2， ∴OE＝ON－NE＝1， ∴E(0，1)， ∴设直线AE的解析式为y＝kx＋b， ∴将E(0，1)和A(4，3)代入得 ， ∴解得 ， ∴直线AE的解析式为y＝ x＋1. 20.解：(1)∵AB⊥BD， ∴∠ABE＝90°， ∵∠BAC＝∠ADB， ∴ ， ∴ ， 设BE＝a，则AB＝2a，BD＝4a， 在Rt△ABE中，由勾股定理得 ， 解得 ， ∴BD＝4a＝6， ∴BD的长为6； (2)如图，过C作CF⊥BD于F， ∵BC∥AD， ∴∠DBC＝∠ADB， ∴ ， 设CF＝b，则BF＝2b， 在Rt△BFC中，由勾股定理得 ， 解得b＝1， ∴BF＝2，CF＝1，DF＝BD－BF＝4， 在Rt△CDF中，由勾股定理得 ， ∴CD的长为 ． 21.解：(1)设A、B两种商品的销售单价分别是x元、y元， 根据题意列方程得 ，解得 答：A、B两种商品的销售单价分别是30元、24元； (2)设其销售总利润为W元，则根据题意，可得 W＝(30－m－20)(40＋10m)＋(24－20)(40＋10m)＝－10m2＋100m＋560＝－10(m2－10m－56)＝－10(m－5)2＋810 ∵A种商品售价不低于B种商品售价， 当m＝5，A售价为25元，符合题意，∴当m＝5时，W取得最大值，最大值是810元． 22.解：(1)将点A(－2，0)，(0，－1)代入抛物线y＝a(x－1)2＋c中， 得 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为y＝ (x－1)2－ ＝ x2－ x－1； (2)①线段AB上有7个整点，线段AB上整点的坐标为(－2，0)，(－1，0)，(0，0)，(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)； 【解法提示】由(1)可得，抛物线的解析式为y＝  x2－  x－1，令  x2－  x－1＝0，解得x1＝－2，x2＝4，∴点B的坐标为(4，0)，作出抛物线如答案图①，由答案图①可知，线段AB上有7个整点． 答案图① ②新抛物线在x轴上方的部分与线段AB所围成的区域内(包含边界)整点的个数为10个． 【解法提示】如答案图②，抛物线y＝  (x－1)2－  沿x轴翻折，得到新抛物线的解析式为y＝－  (x－1)2＋  ，∴新抛物线的顶点坐标为(1，  )，∴新抛物线在x轴上方的部分与线段AB所围成的区域内(包含边界)整点的个数为10个． 答案图② 23.解： 解法一：选择小聪的方法． 证明：如题图 ，延长BE，CA交于点H， ∵ΔABC是等腰直角三角形， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴ 解法二：选择小明的方法． 证明：如题图 ，过点F作FM∥BE交BC于点M，FN∥AC交BC于点N， ∵ΔABC是等腰直角三角形， ， ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∵ ， ∴ ∴ ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴ （2）  ； 【解法提示】如答案图①，过点F作FM∥BE交BC于点M，FN∥AC交BC于点N，∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 答案图① （3）BD的长为  或 【解法提示】∵ ∴ 由题可知，分两种情况：①当 时，点D与点C重合，∴ ②如答案图②，当 时，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ∴ 综上所述，BD的长为 或 答案图② 数学试卷 第1页（共2页） 数学试卷 第2页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $