专题02一元二次方程及其解法寒假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化题型突破)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题02一元二次方程及其解法寒假预习讲义 一、 重点 1.一元二次方程的定义与标准形式：牢记 “一个未知数、最高次数为 2、整式方程” 三个判断关键；掌握标准形式ax2+bx+c=0（a0，a、b、c为常数），能准确区分二次项系数、一次项系数和常数项，明确a0是方程为二次方程的核心前提。 2.四种解法的核心要点： 直接开平方法：适用于(mx+n)2=p（p≥0）型方程，关键是开平方时不能漏写 “±” 号； 配方法：核心步骤是 “移项→化二次项系数为 1→配方（加一次项系数一半的平方）→开平方”，重点掌握二次项系数不为 1 时的转化技巧； 公式法：通用解法，需先化方程为标准式，准确确定、、的值，熟记求根公式，会计算判别式Δ=b2−4ac； 因式分解法：前提是方程右边化为 0，能运用提公因式、平方差 / 完全平方公式分解左边，再令各因式为 0 求解。 核心思想：理解 “降次” 本质 —— 将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。 二、 难点 1.配方法的灵活运用：二次项系数不为 1 时，易漏将常数项同步除以二次项系数；配方时易漏加 “一次项系数一半的平方”，或加的数值计算错误。 2.公式法的细节把控：确定、、时易忽略标准式中各项的符号（如方程2x2−3x=5化为标准式后c=−5）；对判别式Δ的作用理解不深，无法通过Δ判断根的存在性。 3.因式分解法的易错点：跳过 “移项使右边为 0” 的步骤，直接除以含未知数的式子（如x2=2x时除以x），导致漏根。 4.最优解法的选择：无法根据方程结构快速匹配解法（如平方形式优先直接开平方法、可快速因式分解的优先因式分解法），盲目套用公式法增加计算量。 必备知识 点梳理 1.一元二次方程的定义及标准形式 2.一元二次方程的4种解法 3.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.一元二次方程的定义 2.化成一元二次方程的一般式 3.由一元二次方程的定义求参数 4.判断是否是一元二次方程的解 5.由一元二次方程的解求参数 6.一元二次方程的解的估算 7.解一元二次方程:直接开平法 8.解一元二次方程:配方法 9.配方法的应用 10.解一元二次方程:公式法 11.解一元二次方程:因式分解 12.根据一元二次方程的情况求参数 13.根据判别式判断一元二次方程根的情况 强化巩固 (14题) 【知识点01.一元二次方程的定义与标准形式】 1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程，叫做一元二次方程。 关键词：① 一个未知数；② 最高次数 2；③ 整式方程（分母不含未知数）。 2.标准形式：ax2+bx+c=0（a,b,c为常数，a0） 项的名称 对应项 系数 / 常数 注意事项 二次项 ax2 二次项系数a a0是方程为二次方程的前提 一次项 bx 一次项系数b b可以为 0，此时方程不含一次项 常数项 c 常数项c c可以为 0，此时方程右边为 0 3.判断方法 步骤 1：看是否为整式方程； 步骤 2：看未知数个数是否为 1； 步骤 3：化简后看未知数最高次数是否为 2，且二次项系数不为 0。 【知识点02.一元二次方程的4种解法】 核心思想：降次—— 通过各种方法将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。 1. 直接开平方法 适用方程类型：① x2=p（p≥0）；② (mx+n)2=p（m0,p≥0） 解题步骤： 1.把方程化为(mx+n)2=p的形式 2.当p≥0时，两边开平方得mx+n=±​ 3.解两个一元一次方程，得到方程的根 注意事项： 1 p<0时，方程无实数根； 2 开平方时，不要漏掉 “±” 号。 2. 配方法 适用方程类型：所有一元二次方程，尤其适合二次项系数为 1 的方程 解题步骤（以x2+bx+c=0为例）： 1.移项：把常数项移到右边，得x2+bx=−c 2.配方：两边加一次项系数一半的平方，得x2+bx+()2=−c+()2 3.化为平方形式：(x+)2= 4.用直接开平方法求解 注意事项： 1 若二次项系数不为 1，先化二次项系数为 1（方程两边除以a）； 2 配方时，等式两边同时加同一个数，保持等式成立。 3. 公式法 适用方程类型：所有一元二次方程，是通用解法 解题步骤： 1.把方程化为标准形式ax2+bx+c=0（a0） 2.计算判别式：Δ=b2−4ac 3.若Δ≥0，代入求根公式：；若Δ<0，方程无实数根 注意事项： ① 必须先化为标准形式，确定a,b,c的符号； ② 求根公式中，分子是 “−b±Δ​”，不要漏掉负号。 4. 因式分解法 适用方程类型：能分解为两个一次因式乘积的方程 解题步骤： 1.移项：把方程右边化为 0 2.因式分解：把左边分解为两个一次因式的乘积 3.降次：令每个因式分别为 0，得两个一元一次方程 4.求解：解两个一元一次方程 注意事项： ① 必须先移项使右边为 0，再因式分解； ② 常见因式分解方法：提公因式、平方差公式、完全平方公式。 【知识点03.易错点警示】 1. 忽略a0的条件 例如：关于x的方程(m−1)x2+2x−1=0是一元二次方程，则m的取值范围是m1，不是m为任意实数。 2. 配方时漏乘或漏加常数 例如：解方程2x2−4x−1=0，化二次项系数为 1 得x2−2x−=0，配方时应加1，不是加4。 3. 直接开平方法漏写 “±” 例如：解方程x2=4，根是x=±2，不是只有x=2。 4. 因式分解法未移项直接分解 例如：解方程x2=2x，不能直接两边除以x（会漏根x=0），应移项得x2−2x=0，再因式分解。 . 【题型1.一元二次方程的定义】 【典例】下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【详解】解：A．含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B．含有根号，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C．最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； D．只含一个未知数，最高次数为2，且为整式方程，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】关于的一元二次方程有一个解为0，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和方程的解，将代入方程，得到关于m的方程，结合一元二次方程的定义，二次项系数不为零，求解m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个解为0， ∴将代入方程，得， 解得或， 又∵该方程为一元二次方程， ∴二次项系数，即， ∴． 故答案为． 【跟踪专练2】已知是关于x的一元二次方程的一个根，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和一次函数的象限判断，将代入方程求出m的值，再判断直线不经过的象限即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得； 又∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∴， ∴直线为， ∵， ∴直线经过第二、第三、第四象限，但不经过第一象限， 故选：A． 【题型2.化成一元二次方程的一般式】 【典例】一元二次方程的常数项是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将方程化为标准形式，常数项为，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴常数项为， 故选：C． 【跟踪专练1】化为二次项系数为4的一元二次方程的一般式得 ，它的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式及定义，掌握相关概念是解题的关键． 先依据完全平方公式进行计算，再移项、合并同类项，将方程变形为的形式，从而得到方程的一般形式，进而找出一次项系数即可． 【详解】解：， ， ， 移项得，， 合并同类项得，， 即， 其中一次项系数为， 故答案为：，． 【跟踪专练2】关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 【题型3.由一元二次方程的定义求参数】 【典例】若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据二次项系数不能为零，列式求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴． 故选D． 【跟踪专练1】若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的定义求参数，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，方程是关于的一元二次方程， ∴，解得或 ， 当时，二次项系数，不符合一元二次方程的条件， 当时，二次项系数，符合一元二次方程的条件， ∴a的值为2． 故答案为：2． 【跟踪专练2】若是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ） A．3 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据最高次项次数为2且二次项系数不为零求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， 解得， 所以或， 又∵二次项系数， 当时，，满足， 当时，，不满足， ∴， 故选：A． 【题型4.判断是否是一元二次方程的解】 【典例】若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； B、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； C、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； D、把代入，可得，所以是方程的根，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】已知是一元二次方程一个根，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义等知识，根据是一元二次方程一个根，得到变形为，把变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵ 是一元二次方程一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2026． 【跟踪专练2】下表是某同学求代数式（为常数，且）的值的情况．根据表格中的数据，可知关于的一元二次方程的一个根为（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 3 8 15 ．．． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查代数式的值与方程的解，理解表格信息，掌握方程与解的关系是解题的关键． 通过表格数据，分析当x取不同值时，的值，代入方程观察方程是否成立，即可求解． 【详解】解：根据表格可知， A、当时，，可得，故不是方程的根，选项A不符合题意， B、当时，，可得，故是方程的根，选项B符合题意， C、当时，，可得，故不是方程的根，选项C不符合题意， D、当时，，可得，故不是方程的根，选项D不符合题意． 故选：B． 【题型5.由一元二次方程的解求参数】 【典例】若是关于x的方程的一个根，则m的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，将代入方程求解m即可． 【详解】解：把代入方程， 得，即， 整理得， 解得， 故答案为：3． 【跟踪专练1】关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 将代入方程计算即可． 【详解】解：把代入方程 得， 解得， 又因为，即， 所以， 故选：A． 【跟踪专练2】若是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，将代入方程，得到关于的一元一次方程，解一元一次方程即可求出的值． 【详解】解：将代入方程 ， 可得：， 即， 整理得：， 解得：． 故答案为：． 【题型6.一元二次方程的解的估算】 【典例】根据下表判断方程的一个解的取值范围是（    ） … … … … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的估算，看0在相对应方程的哪两个值之间，那么近似解就在这两个对应的值对应的x的值之间，据此求解即可． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴当时，一定有一个x对应的值，使得， ∴一元二次方程的一个解x的取值范围是， 故选：B． 【跟踪专练1】小刚在探索一元二次方程的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是 ． x 0 1 2 13 【答案】1 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围． 通过观察表格中函数值的变化，确定根所在区间，进而得出整数部分． 【详解】解：当时，； 当时，； 由于函数值在和之间由负变正，根据零点存在定理，方程在1到之间有一个根，因此该根的整数部分是1， 故答案为：1． 【跟踪专练2】我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查求一元二次方程的近似解，通过观察表格数据，找到使的值等于100的x的范围．当时，值为99.41小于100；当时，值为100.84大于100，因此解在1.1和1.2之间． 【详解】解：∵方程， ∴． 由表格： 当时，， 当时，， ∴在和之间，值从99.41增加到100.84，必然经过100， ∴方程的一个解在范围内． 故选：B． 【题型7.解一元二次方程:直接开平法】 【典例】方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查直接开平方法解方程，由，方程等价于，从而直接求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴方程的根为， 故选：A． 【跟踪专练2】若规定两数通过运算“”可得，即，如：．若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了新定义运算． 根据新定义，分别求出，，，得到一元二次方程，然后求解． 【详解】解：由定义，， 因此，，， 代入得， 化简得， 即， 解得． 故答案为：1． 【题型8.解一元二次方程:配方法】 【典例】一元二次方程配方后可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后两边同时，再根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【跟踪专练1】若关于的一元二次方程可配成的形式， ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了配方法的应用．先利用配方法得到，再确定、的值，然后计算的值． 【详解】解：， 整理得， 配方得，即， 所以，， 所以． 故答案为：25． 【跟踪专练2】用配方法解方程，应在方程两边同时加上（    ） A．9 B．6 C．36 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握完全平方式． 要使方程左边配成一个完全平方式，在二次项系数为1的情况下，左右两边应该加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：用配方法解方程， 两边都加上9， 得， 得． 故选：A． 【题型9.配方法的应用】 【典例】已知一元二次方程可以通过配方转化为的形式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．根据配方法的步骤进行配方即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】不论、为何实数，代数式的值（   ） A．总不小于 B．总不小于 C．可为任何实数 D．可能为负数 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的概念，由完全平方式的非负性是解决本题的关键． 对代数式分别对对部分配方和对部分配方得到完全平方式，再通过配方法转化为平方和的形式，结合非负性即可确定其取值范围． 【详解】解：原式可分解为： 对部分配方：； 对部分配方：； 代入原式得：， 由于且，故， 因此原式的最小值为， 综上，代数式的值总不小于2． 故选：A． 【跟踪专练2】一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：a，b，m，n，，均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故正确； ②∵， ∴， 解得：， ∴；故错误； ③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴；故错误； ④当，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，所以c的值不可能是，说法正确； 综上所述：正确的结论有①④； 故答案为①④． 【题型10.解一元二次方程:公式法】 【典例】在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式，可找出，，的值，从而可求解． 【详解】解：由题意得，，，， ∴该一元二次方程为， 故选：A． 【跟踪专练1】若是一元二次方程的根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，利用一元二方程的求根公式求出两根，进而用含的代数式表示出，即可得出结论． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 由求根公式，得， ∴或， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴； 故选B． 【题型11.解一元二次方程:因式分解法】 【典例】方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键． 利用提公因式法求解即可． 【详解】解：， ， ∴或， 解得，． 故答案为：，． 【跟踪专练1】已知实数x、y满足，则的值是（    ） A．3 B． C．1 D．3或 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，由条件可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∵， ∴． 故选：A 【跟踪专练2】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程，先把方程化为，然后通过因式分解法解方程并检验即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解：， ， 或， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型12.根据一元二次方程根的情况求参数】 【典例】若方程没有实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键． 根据方程没有实数根，得到判别式，从而求出的取值范围，进行判断即可． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴， 解得； ∴的值可以是：， 故选：D． 【跟踪专练1】若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，掌握这两个知识点是关键；根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有两个实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于或等于零． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得：且， ∴且． 【跟踪专练2】关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据根的判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围． 【详解】解：当时，方程化为，解得； 当时，则，解得且， 综上所述，的取值范围为． 故选：C． 【题型13.根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【典例】下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根是解题的关键．先求出的值，再比较出其与0的大小关系即可解答． 【详解】解：A．，有两个相等的实数根，不符合题意； B．∵， ∴或， ∴，， ∴有两个不相等的实数根，符合题意； C．∵， ∴此方程无解，不符合题意； D．方程整理得， ， ∴此方程无解，不符合题意， 故选：B． 【跟踪专练1】关于x的一元二次方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 【跟踪专练2】对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（　　） A．只有①② B．只有①②④ C．只有②③④ D．只有②③ 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确； 若方程有两个不相等的实根，则：， 则：的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； 若是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； 若是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴；故④正确； 故选B． 1．下列方程一定是关于的一元二次方程的是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据一元二次方程的定义（整式方程，且未知数的最高次数为2，二次项系数不为0），逐一分析选项即可． 【详解】A．：是整式方程，仅含未知数x，且最高次数为2，二次项系数为1（非零），符合定义． B．：含分式，属于分式方程，非整式方程，不符合定义． C．：未限定，当时方程变为一次方程，不一定是二次方程． D．：含根号和绝对值（），属于根式方程，非整式方程，不符合定义． 故选A． 2．将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将化为的形式为， 故，，， 故选：A． 3．方程化为一般形式后的的值分别为（　　） A．3，1，4 B．3，， C．3，， D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程的一般式． 一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），据此把原方程化为一般式即可得到答案． 【详解】解：方程化为一般形式为， ∴的值分别为3，，， 故选：B． 4．方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直接开平方法，掌握直接开平方法解方程是解题的关键．根据直接开平方法求解方程即可． 【详解】解：， ， 或（舍去）， ， 或． 故答案为：或． 5．若关于x的一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（   ） A．1， B．1， C．2， D．3，0 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程，方程的两根互为相反数，据此可得，求得m的值，继而可得答案． 【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数， ， 解得， ， 故选：C． 6．观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用表中数据可判断方程解的范围为，然后对各选项进行判断即可得出答案． 【详解】解：时，， ， 时，， ， 所以方程解的范围为． 只有选项D符合要求， 故选：D． 7．用换元法解方程时，如果设，那么变形后的整式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是换元法解方程，通过换元法，将分式方程中的复杂分式用新变量表示，从而简化方程，转化为整式方程求解． 【详解】解：设 ，则 ， 代入原方程 得 ． 方程两边乘 （）得 ， 移项得 ． 故答案为： 8．用换元法解方程时，设，则原方程可化为 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法求分式方程，根据换元法及完全平方公式求解． 【详解】解：原方程可化为：，即：， 故答案为：． 9．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为： 解答题 10．方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 11．用适当的方法解一元二次方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）直接开方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）因式分解法解方程即可； （4）因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴； （2）， ， ， ∴， ∴， ∴； （3）， ∴， ∴， ∴或， ∴； （4）， ， ∴或， ∴． 12．请阅读下列材料：已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，∴．故． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． (2)已知，求代数式的值； (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)8 (3)2028 【分析】本题考查了一元二次方程的解，二次根式的乘法，代数式求值，熟练掌握相关定义准确计算为解题关键． （1）先表示出，再展开，得到，即可得到结果； （2）先表示出，再展开，即可得到结果； （3）先表示出，再展开，带入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ，即． ； （2）解：， ， ，即， ． （3）解：， ， ，即， ． 13．阅读材料：为了解方程，我们可将看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过计算，该方程的解为，，然后分别解方程，，得原方程的解为，，，．我们通常把以上这种解决问题的方法叫做换元法，即把问题中的某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），它能将复杂的问题转化成简单的问题． 根据以上材料，解决下列问题： (1)方程的解为：________； (2)解方程：； (3)若实数满足，求的值． 【答案】(1)，，，； (2)，； (3)，． 【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程，分式方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，则原方程可化为，然后解得，，从而求出原方程的解； （）令，则原方程化为，解得，，再把的值代入解方程并检验即可； （）原式变形为，令，则原方程化为，解得，，再把的值代入解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ∴，， ∴，， ∴，，，， 故答案为：，，，； （2）解：令， 则原方程化为， ∴，， 当时，， ∴，； 当时，无解， ∴原方程的解为，； （3）解：原式变形为， 令， 则原方程化为， ∴，， 当时，，无解， 当时，， ∴，， 经检验：，是原方程的解， ∴原方程的解为，． 14．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ， ， 当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】若代数式：当__________时，有最__________值（填“大”或“小”），这个值是__________； (3)【拓展应用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形与长方形面积比为，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)3 (2)，大，1 (3)当时，长方形养殖场的总面积最大，最大值为 【分析】本题考查了配方法求代数式最大值中的应用，不等式的性质，实际应用题中几何关系的建模．正确的配方是解题的关键． （1）将原式配方，根据，再根据不等式的性质求解即可； （2）对代数式进行配方，，结合，再根据不等式的性质求解即可； （3）设，由长方形与长方形面积比为，得到，再根据栅栏总长度表示出的长度，由面积公式建立方程，通过配方，利用不等式的性质求最大值，注意的取值范围． 【详解】（1）解： ， ， 时，取最小值，且最小值为3； （2）解： ， ， 时，取最大值，且最大值为1， 故答案为：，大，1； （3）解：设， ∵长方形与长方形面积比为， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，长方形的面积最大，最大值为48， 即当时，长方形养殖场的总面积最大，最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题02一元二次方程及其解法寒假预习讲义 预习重难点 重点 1.一元二次方程的定义与标准形式：牢记“一个未知数、最高次数为2、整式 方程”三个判断关键；掌握标准形式ax2+bx+c=0(a≠0，a、b、c为常数)， 能准确区分二次项系数、一次项系数和常数项，明确≠0是方程为二次方程 的核心前提。 2.四种解法的核心要点： 直接开平方法：适用于(mx+n)P=p(p≥0)型方程，关键是开平方时不能漏写 生”号； 配方法：核心步骤是“移项→化二次项系数为1→配方（加一次项系数一半的 平方)→开平方”，重点掌握二次项系数不为1时的转化技巧： 公式法：通用解法，需先化方程为标准式，准确确定、、的值，熟记求根公式 x=5c,会计算判别式Ab24ac: 2a 因式分解法：前提是方程右边化为0，能运用提公因式、平方差/完全平方 公式分解左边，再令各因式为0求解。 核心思想：理解“降次”本质一将一元二次方程转化为两个一元一次方程 求解。 二、 难点 1.配方法的灵活运用：二次项系数不为1时，易漏将常数项同步除以二次项系 数；配方时易漏加“一次项系数一半的平方”，或加的数值计算错误。 2.公式法的细节把控：确定、、时易忽略标准式中各项的符号（如方程2x2-3x=5 化为标准式后c=-5)；对判别式△的作用理解不深，无法通过△判断根的存在 性。 3.因式分解法的易错点：跳过“移项使右边为0”的步骤，直接除以含未知数 的式子（如x2=2x时除以x),导致漏根。 4.最优解法的选择：无法根据方程结构快速匹配解法（如平方形式优先直接开 试卷第1页，共3页 平方法、可快速因式分解的优先因式分解法)，盲目套用公式法增加计算量 预习内容概览 必备知识 元二次方程的定义及标准形式 2.一元二次方程的4种解法 点梳理 3.易错点警示 1.一元二次方程的定义 2.化成一元二次方程的一般式 3.由一元二次方程的定义求参数 4.判断是否是一元二次方程的解 5.由一元二次方程的解求参数 6.一元二次方程的解的估算 常考题型 7.解一元二次方程：直接开平法 8.解一元二次方程：配方法 精讲精炼 9.配方法的应用 10.解一元二次方程：公式法 11.解一元二次方程：因式分解 12.根据一元二次方程的情况求参 数 13.根据判别式判断一元二次方程根的情况 强化巩固 (14题) 3 知识点梳理 【知识点01.一元二次方程的定义与标准形式】 1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元 二次方程。 关键词：①一个未知数；②最高次数2；③整式方程（分母不含未知数）。 2.标准形式： ax2+bx+c-0(a,b,c为常数，a≠0》 项的名称 对应项 系数/常数 注意事项 二次项 ax2 次项系数a a≠0是方程为二次方程的前提 次项 bx 次项系数b 可以为0，此时方程不含一次项 常数项 常数项c 可以为0，此时方程右边为0 3.判断方法 步骤1：看是否为整式方程： 试卷第1页，共3页 步骤2：看未知数个数是否为1： 步骤3：化简后看未知数最高次数是否为2，且二次项系数不为0。 【知识点02.一元二次方程的4种解法】 核心思想：降次一一通过各种方法将一元二次方程转化为两个一元一次方程求 解。 1. 直接开平方法 适用方程类型：①x2=p(p≥0)；②(mx+n)2=p(m≠0，p≥0) 解题步骤： 1.把方程化为(mx+n)2=p的形式 2.当p≥0时，两边开平方得mx+n=士Vp 3解两个一元一次方程，得到方程的根 注意事项： ①p<0时，方程无实数根； ②开平方时，不要漏掉“±”号。 2.配方法 适用方程类型：所有一元二次方程，尤其适合二次项系数为1的方程 解题步骤（以x2+bx+c=0为例）： 1.移项：把常数项移到右边，得x2+bx=-c 2配方：两边加一次项系数一半的平方，得x24+bx+(停)2=-c+(停)2 3.化为平方形式：(+号P-c 4.用直接开平方法求解 注意事项： ①若二次项系数不为1，先化二次项系数为1（方程两边除以a); ②配方时，等式两边同时加同一个数，保持等式成立。 3.公式法 适用方程类型：所有一元二次方程，是通用解法 解题步骤 试卷第1页，共3页 l.把方程化为标准形式ax2+bx+c0(a≠0) 2.计算判别式：△=b2-4ac 3.若A0,代入求根公式：x=B4正 ;若△<0，方程无实数根 2a 注意事项： ①必须先化为标准形式，确定a,b,c的符号； ②求根公式中，分子是-b士△”，不要漏掉负号。 4.因式分解法 适用方程类型：能分解为两个一次因式乘积的方程 解题步骤： 1.移项：把方程右边化为0 2.因式分解：把左边分解为两个一次因式的乘积 3.降次：令每个因式分别为0，得两个一元一次方程 4.求解：解两个一元一次方程 注意事项： ①必须先移项使右边为0，再因式分解； ②常见因式分解方法：提公因式、平方差公式、完全平方公式。 【知识点03.易错点警示】 1.忽略a≠0的条件 例如：关于x的方程m-1)x2+2x-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是m≠ 1,不是m为任意实数 2.配方时漏乘或漏加常数 例如：解方程2x2-4x-1=0,化二次项系数为1得x2-2x0,配方时应加1， 不是加4。 3.直接开平方法漏写“±” 例如：解方程x2=4,根是x=±2，不是只有x=2。 4.因式分解法未移项直接分解 例如：解方程x2=2x,不能直接两边除以x（会漏根x=0),应移项得x2-2x=0, 再因式分解。 试卷第1页，共3页 常考题型精讲精练 【题型1.一元二次方程的定义】 【典例】下列方程是一元二次方程的是() A.3x+2y-1=0B.√x-5=0 C.2x+6=0 D.x2-1=0 【跟踪专练1】关于x的一元二次方程m+2)x2-3x+m2-4=0有一个解为0，则 1m= 【跟踪专练2】己知x=0是关于x的一元二次方程(m-1)x2+mx+4m2-4=0的一个根，则 直线y=mx-2不经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【题型2.化成一元二次方程的一般式】 【典例】一元二次方程3x2-4x=2的常数项是() A.-4 B.2 C.-2 D.3 【跟踪专练1】(x+3)2-3x=5x2化为二次项系数为4的一元二次方程的一般式得 它的一次项系数是 【跟踪专练2】关于x的一元二次方程m-1)x2+m2x=x+5化为一般形式后不含一次项， 则m的值为_ 【题型3.由一元二次方程的定义求参数】 【典例】若关于x的方程(k-2)x2+3x-1=0是一元二次方程，则k的取值范围是() A.k≠0 B.k≥2 C.k≤2 D.k≠2 【跟踪专练1】若方程(a+2)x-x=1是关于x的一元二次方程，则a的值为 【跟踪专练2】若(m+3)xm-x-5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为() A.3 B.-3 C.±3 D.0 【题型4.判断是否是一元二次方程的解】 【典例】若一元二次方程有一个根是x=0,则这个方程可以是() A.x+1)x+2)=0 B.x2-2x+1=0 C.x2-1=0 D.x2+x=0 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】己知m是一元二次方程x2-3x+1=0一个根，则2025-m2+3m的值为 【跟踪专练2】下表是某同学求代数式ax2+bx(a,b为常数，且a≠0)的值的情况.根据 表格中的数据，可知关于x的一元二次方程ax2+bx-3=0的一个根为() 0 ax2+bx 0 3 P 15 A.0 B.1 C.2 D.3 【题型5.由一元二次方程的解求参数】 【典例】若x=3是关于x的方程x2-2x-m=0的一个根，则m的值是_ 【跟踪专练1】关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m-4=0有一个根为0，则m的值是 () A.-2 B.2 C.±2 D.0 【跟踪专练2】若x=1是方程x2-2x+m+3=0的一个根，则m=· 【题型6.一元二次方程的解的估算】 【典例】根据下表判断方程x2+2x-10=0的一个解x的取值范围是() -4.5 -4.4 -4.3 -4.2 -4.1 x2+2x-10 1.25 0.56 -0.11 -0.76 -1.39 A. -4.5<x<-4.4 B.-4.4<x<-4.3 C.-4.3<x<-4.2 D.-4.2<x<-4.1 【跟踪专练1】小刚在探索一元二次方程x2+12x-15=0的近似解时做了如下表的计算.观 察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是 0 0.5 1.5 2 x2+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 【跟踪专练2】我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程 成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作。 例如在求(x+6)+7=10时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是() 试卷第1页，共3页 1.1 1.2 1.3 1.4 (x+6)2+72 98 99.41 100.84 102.29 103.76 A.1<x<1.1 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.1.3<x<1.4 【题型7.解一元二次方程：直接开平法】 【典例】方程5(x-V=0的根是 【跟踪专练1】方程(x+1)=16的根是() A.x=-5,x3=3 B.x1=-3,x2=5 C.x1=-1,x2=5 D.x=-3 【跟踪专练2】若规定两数a,b通过运算“O”可得3ab,即a0b=3ab,如： 2⊙6=3×2×6=36，若x0x-20x+101=0,则x的值为 【题型8.解一元二次方程：配方法】 【典例】一元二次方程x2-6x+5=0配方后可化为() A.(x+3)2=14B.(x-3)2=-4 C.(x+3)2=-14D.(x-3)2=4 【跟踪专练1】若关于x的一元二次方程x2-6x-5=0可配成(x+p2=g的形式， p+2q=- 【跟踪专练2】用配方法解方程x2+6x=7,应在方程两边同时加上(） A.9 B.6 C.36 D.3 【题型9.配方法的应用】 【典例】己知一元二次方程x2-6x+m=0可以通过配方转化为(x-n)2=1的形式，则m-n的 值为一 【跟踪专练1】不论x、y为何实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值() A.总不小于2B.总不小于7 C.可为任何实数D.可能为负数 【跟踪专练2】一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式2x2+px+c,-x2+qx+c (其中卫，9，c均是不为零的常数)及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 试卷第1页，共3页 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 2x2+px+c (2x+a)x+b) 2(x-m)2+k1 -x2+qx+c (x+a)(-x+b) -(x-n)2+k3 (说明：a,b,m,n,k1,k2均为常数) 有学生探究得到以下四个结论：①若p+9=12,则2m+6=1；②若p=q=2,则c= 3 ③若有且只有一个x的值，使代数式2x2+px+c的值为0，则p-4g=0;④若m-n=2, 则c的值不可能是-5.其中所有正确结论的序号是 【题型10.解一元二次方程：公式法】 【典例】在用求根公式x=-b±B-4c求一元二次方程的根时，小理正确地代入了a,b 2a ，c得到x 3±V-3)2-4×2×(-1) 则她求解的一元二次方程是() 2×2 A.2x2-3x-1=0 B.2x2+4x-1=0 C.-x2-3x+2=0 D.-x2-3x+2=0 【跟踪专练1】若x= .2±4-4×3×-是一元二次方程ar2+bx+c=0的根，则a+b-c的 2×3 值为 【跟踪专练2】已知关于x的一元二次方程ax2-2(a-2)x+a-4=0(a>0),设方程的两个 实数根分别为x,为（其中x>x2),若y是关于a的函数，且y=x-ax2,若y>0,则(） A.0<a<3 B.0<a<5 C.a>3 D.a>5 【题型11.解一元二次方程：因式分解法】 【典例】方程x2-4x=0的解是 【跟踪专练1】已知实数、y满足(x2+y2)-2(x2+y2)-3=0,则x2+2的值是() A.3 B.-1 C.1 D.3或-1 【跟踪专练2】已知(x2+y2+1x2+y2+3)=8,则x2+y2的值为一· 【题型12.根据一元二次方程根的情况求参数】 试卷第1页，共3页 【典例】若方程x2+2x+m=0没有实数根，则m的值可以是() A.-1 B.O C.1 D.2 【跟踪专练1】若关于x的一元二次方程mx2-3x+1=0有实数根，则m的取值范围 是」 【跟踪专练2】关于x的方程kx2+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是() A.k5-9 B.k≥-2且k≠0 4 4 C.k≥-9 D.k>-9且k0 4 4 【题型13.根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【典例】下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是() A.x2-2x+1=0 B.(x-1)(x-2)=0 C.（x-22+2=0 D.-x2+2x=2025 【跟踪专练1】关于x的一元二次方程x2+mx-4=0的根的情况是」 【跟踪专练2】对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：①若a+b+c=0,则 b2-4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相 等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x是一 元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=(2ax。+b)2,其中正确的() A.只有①② B.只有①②④ C.只有②③④ D.只有②③ 强化巩固 1.下列方程一定是关于x的一元二次方程的是( A.x2+1=0 (-2=0 C.ax2+bx+c=0 D.Vx+√F-2=0 2.将一元二次方程(x-1+4=0化为ax2+bx+c=0的形式，则a,b,c的值分别为() A.1,-2,5B.1,-1,4 C.-1,5,2 D.1,2,5 3.方程3x2-x=4化为一般形式后的a,b,c的值分别为() A.3,1,4B.3,-1,-4 C.3,-4,-1 D.-1,3,-4 试卷第1页，共3页 4.方程(1-2x)4-16=0的解是_ 5.若关于x的一元二次方程a.x2=1a>0)的两根分别是m+1与2m-4,则这两根分别是() A.1,-4 B.1,-1 C.2,-2 D.3,0 6.观察下列表格，一元二次方程x2-3x-4.6=0的一个近似解为() x -1.13 -1.12 -1.11 -1.10 -1.09 -1.08 -1.07 x2-3x 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35 A.-1.088 B.-1.073 C.-1.124 D.-1.118 7.用换元法解方程-2_3北，=2时，如果设-2 =y,那么变形后的整式方程为 x x-2 8。用换元法解方程+日-2x+ -1=0附，设x+=y,则原方程可化 为 9.新定义，若关于x的一元二次方程：a,(x-m)+n=0与a,x-m)2+n=0,称为“同族二次方 程”.如2x-3)}2+4=0与3(x-3)2+4=0是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程： 2(x-1)2+1=0与(a+2)x2+(b-4)x+8=0是“同族二次方程”.那么代数式ar2+bx+2018能取的最小 值是」 解答题 10.方程(m+1xm+(m-3x-1=0. (1)当m取何值时是一元二次方程？ (2)当m取何值时是一元一次方程？ 11.用适当的方法解一元二次方程 (1)(x+22=9: (2)x2-6x+1=0 (3)2x2+1=3x; (4)x2+x=0. 12.请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+c=0,其中b、c均为整数，且有一 个根为x=5+2,求b、c的值， 试卷第1页，共3页