专题06 导数及其应用（切线、单调性、极值、最值）（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦导数及其应用专题，涵盖切线问题（“在”点、“过”点、公切线、切线条数求参数）和单调性、极值、最值等高考核心考点，按考情精解、知能框架、分考点攻坚的逻辑架构知识体系，通过必备知识梳理、命题预测分析、真题模拟训练等环节，帮助学生系统构建解题方法，突破导数应用难点。 资料以分层考向设计为特色，如切线问题细分“在”与“过”点解法，单调性结合分类讨论策略，融入近三年高考真题与模拟题，培养学生数学思维与运算能力。通过“知识梳理-方法提炼-真题演练”三步教学活动，助力学生高效掌握导数工具性应用，为教师把控复习节奏提供精准指导。

专题06 导数及其应用（切线、单调性、极值、最值） 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 3 考点一 切线问题 3 真题动向 必备知识 知识1求曲线“在”点处的切线方程： 知识2求曲线“过”点处的切线方程 知识3过点，可作的（）条切线问题 知识4和存在（）条公切线问题 命题预测 考向1“在”点的切线问题 考向2“过”点的切线问题 考向3公切线问题 考向4已知切线条数求参数 考点二 函数的单调性、极值、最值 26 真题动向 必备知识 知识1函数单调性 知识2函数的极值 知识3函数的最值 命题预测 考向1函数与导数函数图象问题 考向2已知函数的单调性求参数 考向3已知极值（点）求参数 考向4解决实际问题中的最值 考向5构造函数解不等式 考向6含参讨论单调区间 命题轨迹透视 近三年全国卷重，导数考查聚焦核心考点，稳定性强。切线问题以解答题为主，难度中等，重点考查切线方程求解，偶涉公切线问题，常结合参数、曲线性质综合命题，强调导数几何意义与求导运算的精准性。 单调性、极值、最值是高频重点，贯穿解答题核心，多与不等式、零点等跨模块融合。命题紧扣“导数工具性”本质，需通过数形结合、分类讨论转化问题，落脚点始终是单调性与最值分析。能力上侧重逻辑推理与运算规范，凸显对数学思想与综合应用能力的检验。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 切线问题 一卷T12，5分 I卷T17，5分 II卷T16（1），5分 甲卷（理）T6，5分 甲卷（文）T7，5分 甲卷（文）T8，5分 乙卷（理）T21（1），4分 乙卷（文）T20（1），5分 单调性、极值、最值 一卷T19，17分 二卷T13，5分 二卷T18，17分 I卷T10，6分 II卷T16（2），8分 甲卷（理）T21，12分 甲卷（文）T20，12分 I卷T19，12分 II卷T6，5分 II卷T22，12分 甲卷（理）T21，12分 甲卷（文）T20，12分 乙卷（理）T21，12分 乙卷（文）T20，12分 2026命题预测 2026年全国卷导数考查将延续稳定态势。切线问题聚焦“在点”与“过点”求解，大概率结合参数、复合函数。单调性、极值、最值仍是核心，或与三角函数、不等式跨模块融合，强调分类讨论与转化思想。设问分层，既考基础运算，也检验思维严谨性与知识迁移能力。 考点一 切线问题 1．（2024·全国甲卷·高考真题，6，5分）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·全国甲卷·高考真题，8，5分）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·全国一卷·高考真题，12，5分）若直线是曲线的一条切线，则 . 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题，17，5分）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，16，5分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 6．（2023·全国乙卷·高考真题，21，4分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． 知识1求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 知识2求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 知识3过点，可作的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解； 知识4和存在（）条公切线问题 第一步：求公切线的斜率，设的切点，设的切点； 第二步：求公切线的斜率与； 第三步：写出并整理切线 （1）整理得： （2）整理得： 第四步：联立已知条件 消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数； 消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数； 考向1“在”点的切线问题 1．（2025·陕西榆林·模拟预测）曲线在处的切线如图所示，则＝（   ）    A．0 B．2 C．－2 D．－1 2．（2025·广西贺州·三模）曲线在点处的切线的斜率是 . 3．（2025·江西抚州·模拟预测）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 . 4．（2025·江苏苏州·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 5．（2025·海南儋州·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； 6．（2025·江苏南京·二模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； 考向2“过”点的切线问题 7．（2025·甘肃定西·模拟预测）（多选）过点向曲线作切线，切线方程可能是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·广西河池·二模）已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程 . 9．（2025·广东深圳·二模）已知直线l为曲线过点的切线．则直线l的方程为 ． 10．（2025·广东云浮·模拟预测）将曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则（   ） A． B． C． D． 11．（2025·陕西商洛·二模）已知函数. (1)求过点并与图象相切的直线； 12．（2025·吉林吉林·一模）已知函数的图象在点处的切线斜率为． (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)求曲线过原点的切线方程． 考向3公切线问题 13．（2024·陕西汉中·一模）已知直线是函数与的两条公切线，式子的值为的是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·辽宁丹东·模拟预测）若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 15．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数，则与曲线，都相切的直线的方程是 ． 16．（2025·广东潮州·模拟预测）若曲线与有公共的切线，则的最大值为（   ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 17．（2024·四川巴中·模拟预测）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 18．（2024·山东聊城·一模）若直线同时与曲线和曲线相切，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考向4已知切线条数求参数 19．（2025·河北唐山·模拟预测）函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．（2025·广东茂名·三模）（多选）已知函数，则满足过点可作出3条直线与图象相切的充分条件是（   ） A．， B． C．点在射线上 D．点在曲线上 21．（2025·河北廊坊·一模）已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为 . 22．（2025·河南开封·一模）已知函数，且曲线上有且仅有两个不同的点满足：存在过该点的两条曲线的切线，且它们相互垂直，则的值为 . 23．（2025·云南普洱·三模）若过点只有一条直线与函数的图象相切，则的取值范围为 . 24．（2025·安徽安庆·一模）已知函数. (1)当时，过点可以作曲线两条切线，求实数的取值范围； 考点二 单调性、极值、最值 1．（2025·全国二卷·高考真题，13，5分）若是函数的极值点，则 2．（2023·全国乙卷·高考真题，16，5分）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 3．（2025·全国二卷·高考真题，18，6分）（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题，10，6分）（多选）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，11，6分）（多选）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 6．（2024·全国甲卷·高考真题，21，12分）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 7．（2024·全国甲卷·高考真题，20，5分）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 8．（2025·全国二卷·高考真题，18，17分）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 知识1函数单调性 1．单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.nn 2．求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 3．函数在区间上单调与求函数单调区间 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 知识2函数的极值 1．极值的概念：若函数在点附近有定义， 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作； 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作； 极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 2．求可导函数极值的步骤 求导函数求方程的根考查在方程的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 知识3函数的最值 1．最值的概念： 函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 2．求可导函数最值的步骤： 求在内的极值（极大值或极小值）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 3．函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 考向1函数与导数函数图象问题 1．（2025·四川雅安·三模）设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（    ）    A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ）    A．2为的极大值点 B．在区间上单调递增 C．为的极小值点 D．在区间上单调递增 3．（2024·浙江温州·三模）函数的大致图象如图所示，则大小顺序为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·广东汕头·模拟预测）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 5．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（   ） A． B． C． D． 考向2已知函数的单调性求参数 6．（2025·河南信阳·三模）若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·陕西西安·一模）若在上不单调，则实数的取值范围是 ． 8．（2024·黑龙江绥化·一模）若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2025·云南玉溪·二模）已知函数在 上单调递增，则a的最大值是（    ） A．0 B． C．e D．3 10．（2025·安徽淮北·三模）若函数在上单调递增，则实数的最大值为 . 11．（2025·四川南充·一模）若对任意的，，且，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考向3已知极值（点）求参数 12．（2025·四川遂宁·二模）已知函数（，且），若在处取得极值为1，则（   ） A． B． C． D． 13．（2025·广东肇庆·一模）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·云南保山·一模）已知函数的极小值大于0，则的取值范围为 . 15．（2025·辽宁大连·模拟预测）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是 ． 16．（2025·广东惠州·二模）已知在处有极小值. (1)求的值； (2)设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）. 17．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在区间没有极值点，求的取值范围； (3)证明：当时，. 考向4解决实际问题中的最值 18．（2024·广东阳江·二模）在新型太空舱生命维持系统的储液罐设计中，采用一种胶囊形结构：中间部分为圆柱体，左、右两端均为半球形封头，圆柱底面半径和半球半径均为.已知储液罐外表面积为定值，当储液罐的体积取最大值时（    ） A． B． C． D． 19．（2025·广西柳州·一模）将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（   ） A． B． C． D． 20．（2024·吉林长春·模拟预测）某学校组织学生到一个木工工厂参加劳动，在木工师傅指导下要把一个体积为的圆锥切割成一个圆柱，切割过程中磨损忽略不计，则圆柱体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 21．（2024·黑龙江七台河·模拟预测）滑县木版画是河南安阳最传统的手工艺品，创始于明朝初期，距今已有六百多年的历史了，滑县木版画制作工艺考究，至今一直都是纯手工制作，颜色精细淡雅，色彩和谐，人物造型夸张，线条刚劲有力，极具当地的民俗特色．张华的伯伯制作滑县木版画并出售，寒假期间张华通过调研得知伯伯制作的A系列木版画的成本为30元/套，每月的销售量（单位：套）与销售价格x（单位：元/套）近似满足关系式，其中，则当A系列木版画销售价格定为 元/套时，月利润最大． 22．（2025·河北石家庄·二模）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚､全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为 万元. 23．（2025·河南洛阳·一模）某零食生产厂家准备用长为，宽为4cm的长方形纸板剪去阴影部分（如图，阴影部分是全等四边形），再将剩余部分折成一个底面为长方形的四棱锥形状的包装盒，则该包装盒容积的最大值为 .    考向5构造函数解不等式 24．（2025·湖南怀化·三模）已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 25．（2024·湖南郴州·一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（2025·山东济宁·三模）定义在上的函数满足，当时，恒成立.若，则实数的取值范围为 . 27．（2025·山东泰安·三模）若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（2025·山西吕梁·一模）已知，，若不等式的解集中只含有两个正整数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 29．（2025·湖北随州·一模）对于任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 . 考向6含参讨论单调区间 30．（2025·江苏泰州·二模）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 31．（2025·山东青岛·一模）已知函数． (1)讨论的单调性． 32．（2025·宁夏中卫·模拟预测）已知函数() (1)讨论函数的单调性 33．（2024·河北承德·三模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； 34．（2025·江西南昌·模拟预测）已知，，. (1)讨论函数的单调性； 35．（2024·四川攀枝花·三模）已知函数． (1)若，证明：在上恒成立； (2)讨论函数的单调性． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 导数及其应用（切线、单调性、极值、最值） 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 3 考点一 切线问题 3 真题动向 必备知识 知识1求曲线“在”点处的切线方程： 知识2求曲线“过”点处的切线方程 知识3过点，可作的（）条切线问题 知识4和存在（）条公切线问题 命题预测 考向1“在”点的切线问题 考向2“过”点的切线问题 考向3公切线问题 考向4已知切线条数求参数 考点二 函数的单调性、极值、最值 26 真题动向 必备知识 知识1函数单调性 知识2函数的极值 知识3函数的最值 命题预测 考向1函数与导数函数图象问题 考向2已知函数的单调性求参数 考向3已知极值（点）求参数 考向4解决实际问题中的最值 考向5构造函数解不等式 考向6含参讨论单调区间 命题轨迹透视 近三年全国卷重，导数考查聚焦核心考点，稳定性强。切线问题以解答题为主，难度中等，重点考查切线方程求解，偶涉公切线问题，常结合参数、曲线性质综合命题，强调导数几何意义与求导运算的精准性。 单调性、极值、最值是高频重点，贯穿解答题核心，多与不等式、零点等跨模块融合。命题紧扣“导数工具性”本质，需通过数形结合、分类讨论转化问题，落脚点始终是单调性与最值分析。能力上侧重逻辑推理与运算规范，凸显对数学思想与综合应用能力的检验。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 切线问题 一卷T12，5分 I卷T17，5分 II卷T16（1），5分 甲卷（理）T6，5分 甲卷（文）T7，5分 甲卷（文）T8，5分 乙卷（理）T21（1），4分 乙卷（文）T20（1），5分 单调性、极值、最值 一卷T19，17分 二卷T13，5分 二卷T18，17分 I卷T10，6分 II卷T16（2），8分 甲卷（理）T21，12分 甲卷（文）T20，12分 I卷T19，12分 II卷T6，5分 II卷T22，12分 甲卷（理）T21，12分 甲卷（文）T20，12分 乙卷（理）T21，12分 乙卷（文）T20，12分 2026命题预测 2026年全国卷导数考查将延续稳定态势。切线问题聚焦“在点”与“过点”求解，大概率结合参数、复合函数。单调性、极值、最值仍是核心，或与三角函数、不等式跨模块融合，强调分类讨论与转化思想。设问分层，既考基础运算，也检验思维严谨性与知识迁移能力。 考点一 切线问题 1．（2024·全国甲卷·高考真题，6，5分）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 2．（2023·全国甲卷·高考真题，8，5分）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 3．（2025·全国一卷·高考真题，12，5分）若直线是曲线的一条切线，则 . 【答案】 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题，17，5分）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，16，5分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 【答案】(1) 【分析】 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 6．（2023·全国乙卷·高考真题，21，4分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1)； 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. 知识1求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 知识2求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 知识3过点，可作的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解； 知识4和存在（）条公切线问题 第一步：求公切线的斜率，设的切点，设的切点； 第二步：求公切线的斜率与； 第三步：写出并整理切线 （1）整理得： （2）整理得： 第四步：联立已知条件 消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数； 消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数； 考向1“在”点的切线问题 1．（2025·陕西榆林·模拟预测）曲线在处的切线如图所示，则＝（   ）    A．0 B．2 C．－2 D．－1 【答案】C 【详解】设曲线在处的切线方程为， 则解得 所以曲线在处的切线方程为，则切线斜率为1， 所以， 因此，． 故选：C. 2．（2025·广西贺州·三模）曲线在点处的切线的斜率是 . 【答案】 【详解】由可得， 故当时，， 故在点处的切线的斜率为， 故答案为： 3．（2025·江西抚州·模拟预测）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 . 【答案】 【详解】对求导得，所以， 因为函数的图象在处的切线与直线垂直且直线斜率为， 所以，解得. 故答案为：. 4．（2025·江苏苏州·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】 【详解】（1）由， 得， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为在上单调递增，所以. 由（1）知， 因为，所以，即在上恒成立， 所以，又，所以， 即的取值范围为. （3）①当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 所以不存在极值，不合题意； ②当时，，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以无极大值，不合题意； ③当时，的定义域为， 令，得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为，且，不合题意； ④当时，的定义域为，且， 令，得，且， 当时，；当时，；当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，极小值为，且， ， ， 因为，所以，所以， 即，符合题意. 综上所述，的取值范围为. 5．（2025·海南儋州·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）当时，，所以， 所以， 所以切线方程为，即. （2）因为，所以， 当时，显然，故在上单调递减， 当时，令，解得， 若，则，故在上单调递减， 若，则，故在上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，在上单调递减，此时不可能有两个零点， 当时，由（2）可知， 若有两个零点，则一定有， 令，则，所以在上单调递增， 因为，所以若，则有， 下面证明：时，有两个零点； 因为， 由零点的存在性定理可知在上存在唯一零点， 当时，由的单调性可知，所以， 所以，所以，所以， 又因为， 令，所以，令，解得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以， 故当时，， 由零点的存在性定理可知在上存在唯一零点， 所以有两个零点， 综上所述，若有两个零点，则的取值范围是. 6．（2025·江苏南京·二模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，讨论函数在上的单调性和零点个数． 【答案】(1) (2)在上单调递增，零点个数为1 【分析】 【详解】（1）当时，， 则，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）当时，，则， 当时，，则， 故在上单调递增． 又因为，所以在上的零点个数为1． 考向2“过”点的切线问题 7．（2025·甘肃定西·模拟预测）（多选）过点向曲线作切线，切线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】令，则，设切点为， 则切线方程为， 将点代入，整理得， 即，解得或， 当时，切线方程为；当时，切线方程为． 故答案为：AC. 8．（2025·广西河池·二模）已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程 . 【答案】或（写出其中一条即可） 【详解】，设切点， 则切线方程为，即， 因为过点，所以， 解得或， 所以切线方程为或 故答案为：或（写出其中一条即可） 9．（2025·广东深圳·二模）已知直线l为曲线过点的切线．则直线l的方程为 ． 【答案】或 【详解】∵，∴. 设直线与曲线相切于点，则直线的斜率为， ∴过点的切线方程为， 即，又点在切线上， ∴，整理得， ∴， 解得或； ∴所求的切线方程为或. 故答案为：或. 10．（2025·广东云浮·模拟预测）将曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与轴相切， 则是曲线过原点的切线． 设切点坐标为， 又由，即切点处切线的斜率． 即把切点坐标代入，得，解得， 故，所以，故. 故选：D． 11．（2025·陕西商洛·二模）已知函数. (1)求过点并与图象相切的直线； (2)若实数满足，求证：； (3)若，求证：对于任意，直线与有唯一的公共点. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）设经过点的直线与函数相切时的切点为， 因，由，可解得. 即切点为，，故所求的切线方程为：，即. （2）因，可设， 则， 设，则， 设，则，由可得. 当时，，则在上单调递增，又，故， 即函数在上单调递增，故，即此时； 当时，，则在上单调递增，又，故， 即函数在上单调递减，故，即此时. 综上可得，成立. （3）依题意，要证，直线与有唯一的公共点， 即证，只有一个实根，即需对，只有一个实根. 设，，则，设，则， 由，可得，由，可得， 即函数（即）在上单调递减，在上单调递增，故. ①若，即时，，则函数在上单调递增， 故与只有一个交点，即方程只有一个实根，命题得证； ②若，即时，因， 又当时，，故必存在，使得（*）， 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 而；由（*），可得， 于是，， 不妨设，则， 即函数在上单调递增，故，即， 故当时，与只有一个交点，即方程只有一个实根. 综上所述，对于任意，直线与有唯一的公共点. 12．（2025·吉林吉林·一模）已知函数的图象在点处的切线斜率为． (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)求曲线过原点的切线方程． 【答案】(1)； (2)递减区间为，递增区间为； (3)或. 【分析】 【详解】（1）函数，求导得，依题意，， 所以. （2）由（1）得，其定义域为R，， 当时，；当时，， 所以的单调递减区间为，递增区间为. （3）设曲线过原点的切线的切点为，则， 原点不在曲线上，于是，解得， 当时，；当时，， 所以曲线过原点的切线方程为或. 考向3公切线问题 13．（2024·陕西汉中·一模）已知直线是函数与的两条公切线，式子的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设函数的切点为， 对函数求导可得， 则函数在点切线的斜率为， 故切线方程为，即， 设函数的切点为， 对函数求导可得， 则函数在点切线的斜率为， 故切线方程为，即， 由题意可得， 所以，， 即，解得或， 当时，，此时切线方程为， 当时，，此时切线方程为， 所以，，，， ，，，. 故选：A 14．（2024·辽宁丹东·模拟预测）若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】设直线与曲线的切点为， 由，得，即. 切线方程为，代入、，得. 因该切线为，故，解得. 设直线与曲线的切点为， 由，得，即. 切线方程为，化简得. 因该切线为，故，解得. 故选：B 15．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数，则与曲线，都相切的直线的方程是 ． 【答案】 【详解】由题可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，直线与，的切点分别为，， ，，，， 对于，切线方程为， 对于，切线方程为， 所以，解得， 所以直线的方程为， 故答案为：． 16．（2025·广东潮州·模拟预测）若曲线与有公共的切线，则的最大值为（   ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】D 【详解】设直线与相切于， 则直线：， 直线与相切于， 则直线：， 因为曲线与有公共的切线，则两条切线方程的斜率、截距相同， 故， 则. 令，， 则在单调递增，且， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，于是有， 即. 故选：D. 17．（2024·四川巴中·模拟预测）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【分析】 【详解】解法一：令，，则， 设直线与的切点为， 则切线方程为，即， 又因为，所以，解得，，所以切线方程为， 令，则， 设直线与的切点为，所以  ①， 又因为切点在直线上，所以，即  ②， 由①和②可得，所以，解得． 解法二：设切点分别为，， ．∴，． 同理．∴，∴，∴． 故选：B． 18．（2024·山东聊城·一模）若直线同时与曲线和曲线相切，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为和曲线， 所以，，， 设切线分别切两曲线于，， 则直线斜率为，所以， 所以，， 设，，则，， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，且当与时，， 所以 故选：B. 考向4已知切线条数求参数 19．（2025·河北唐山·模拟预测）函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】， ， 设切点为，切线方程为， 将原点代入切线方程可得， 所以， 化简可得，解得或， 当时，，，切线方程为； 当时，解得，当为偶数时，对应的切线方程为；当为奇数时，对应的切线方程为； 所以共有3条不同的切线. 故选：C 20．（2025·广东茂名·三模）（多选）已知函数，则满足过点可作出3条直线与图象相切的充分条件是（   ） A．， B． C．点在射线上 D．点在曲线上 【答案】ACD 【详解】因为，所以， 设过点的直线与的图象切于点， 则切线斜率，即， 去分母整理得，切线有3条， 设，则有3个零点， ，令，得或， 所以， 对于A，取，得，A正确； 对于B，取，则，不满足，B错误； 对于C，令，，则，，满足，C正确； 对于D，令，，则，，满足，D正确； 故选：ACD. 21．（2025·河北廊坊·一模）已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】设切点坐标为，则，即， 整理得，令， 依题意，函数有3个不同的零点，求导得 ，当时，，在上单调递减，值域为； 当时，，在是单调递增，值域为； 当时，在上单调递减，值域为， 由函数有3个零点，得，即， 解得，又，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 22．（2025·河南开封·一模）已知函数，且曲线上有且仅有两个不同的点满足：存在过该点的两条曲线的切线，且它们相互垂直，则的值为 . 【答案】 【详解】已知，则， 设切点为，切线斜率， 根据切线方程，可得， 过该点有两条曲线的切线，则有两个解，因式分解得，解得或， 所以另一个切点的横坐标为，此点切线斜率为， 此两条切线垂直，则， 令，则原方程为，化简得， 此方程只有一个正数解，则， 则， 解得，因为，即，所以. 故答案为：. 23．（2025·云南普洱·三模）若过点只有一条直线与函数的图象相切，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】    设过点的切线与的切点为， 因为，则切线的斜率为， 所以切线的方程为， 代入得， 即. 设，则， 由，得或， 当或时，，在，上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以，， 因为，所以，， 作出的大致图象如图所示， 由图象可知只有一条直线与的图象相切时，或. 故答案为： 24．（2025·安徽安庆·一模）已知函数. (1)当时，过点可以作曲线两条切线，求实数的取值范围； (2)若有两个零点，（其中）， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】 【详解】（1）当时，，则， 设切点，则切线斜率为， 切线方程为， 将点的坐标代入得， 即， 设，则， 可知当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，取得极大值， 由于时，，当时，， 当有两个不相等的实数根时，， 即过点可以作曲线两条切线时，实数的取值范围是； （2）由， 得， （ⅰ）当时，，单调递减， 最多只有一个零点，不符合题意， 当时，若，则，单调递减， 若，，单调递增， 时，取得极小值，也即为最小值， 又当时，，时，， 函数有两个零点，则， 得，即， 由于，则函数是增函数，且， 不等式的解为， 实数的取值范围是； （ⅱ）①由（ⅰ）知，，， 要证，只需证，即证明， 令，则， 则单调递增，， 即，； ②取，则， 则， 令，则，， 设，则，单调递增， 则，，， 要证，只需证， 令，则且， 只需证明. 令，则， 单调递减，， 即，得证， 综上所述， .考点二 单调性、极值、最值 1．（2025·全国二卷·高考真题，13，5分）若是函数的极值点，则 【答案】 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 2．（2023·全国乙卷·高考真题，16，5分）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（2025·全国二卷·高考真题，18，6分）（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题，10，6分）（多选）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，11，6分）（多选）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 6．（2024·全国甲卷·高考真题，21，12分）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 7．（2024·全国甲卷·高考真题，20，5分）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【分析】 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 8．（2025·全国二卷·高考真题，18，17分）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【分析】 【详解】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 知识1函数单调性 1．单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.nn 2．求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 3．函数在区间上单调与求函数单调区间 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 知识2函数的极值 1．极值的概念：若函数在点附近有定义， 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作； 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作； 极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 2．求可导函数极值的步骤 求导函数求方程的根考查在方程的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 知识3函数的最值 1．最值的概念： 函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 2．求可导函数最值的步骤： 求在内的极值（极大值或极小值）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 3．函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 考向1函数与导数函数图象问题 1．（2025·四川雅安·三模）设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（    ）    A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 【答案】B 【详解】由图象可知，当时，， 所以函数在上单调递减，A错误； 当时， 所以函数在上单调递增，B正确，C错误； 函数在处取得极小值，D错误． 故选：B 2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ）    A．2为的极大值点 B．在区间上单调递增 C．为的极小值点 D．在区间上单调递增 【答案】A 【详解】由导函数图象可得当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且在的左边，在的右边， 所以的极大值点为、，极小值点为. 故选：A 3．（2024·浙江温州·三模）函数的大致图象如图所示，则大小顺序为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 由得， 因为定义域上单调递增，结合图象知函数在上递增，在递减， 所以且，所以， 又过点， 所以，即， 所以 故选：B. 4．（2024·广东汕头·模拟预测）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的图象可知当或时，； 当时，， 等价于或， 故不等式的解集为， 故选：A 5．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， ∴，故在区间上为减函数，排除AB； 当时，，∴， 故在区间上为减函数，排除D. 故选：C. 考向2已知函数的单调性求参数 6．（2025·河南信阳·三模）若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域为，， 因为函数在其定义域内单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 故选：B 7．（2025·陕西西安·一模）若在上不单调，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，可得， 所以在上不单调，所以在上有解， 即在有解，即存在，使得， 又因为在上单调递减，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 8．（2024·黑龙江绥化·一模）若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】由题设在区间上单调递增，所以恒成立， 所以上恒成立，即恒成立， 而在上递增，故. 所以A符合要求. 故选：A 9．（2025·云南玉溪·二模）已知函数在 上单调递增，则a的最大值是（    ） A．0 B． C．e D．3 【答案】A 【详解】由函数，可得， 因为在上单调递增，所以恒成立， 即恒成立， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以实数的最大值为． 故选：A. 10．（2025·安徽淮北·三模）若函数在上单调递增，则实数的最大值为 . 【答案】2 【详解】由题意可知时恒成立，即， 令，易知， 显然时，，此时单调递减， 时，，此时单调递增，即， 所以，即的最大值为. 故答案为：2 【点睛】思路点睛：因为函数定义域内单调递增，所以函数的导函数非负，得出，构造函数利用导数求的最小值即可. 11．（2025·四川南充·一模）若对任意的，，且，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对任意的，，且，，易知， 则，所以， 即． 令，则函数在上单调递减． 因为，由，可得， 所以函数的单调递减区间为， 所以，故， 即实数的取值范围为． 故选：C． 考向3已知极值（点）求参数 12．（2025·四川遂宁·二模）已知函数（，且），若在处取得极值为1，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】函数（，且），. 若在处取得极值为1，则，所以. 化简得，整理得，所以. 故选：C. 13．（2025·广东肇庆·一模）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，求导得， 由函数有两个极值点，得函数在上有两个变号零点， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，而当从大于0的方向趋近于0时，， 当时，，因此当且仅当时，有两个零点， 即，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D 14．（2024·云南保山·一模）已知函数的极小值大于0，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】. 因为的极小值大于0，所以存在两个不同的根，设， 当或时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减，则为极大值，为极小值， 又极小值大于0，所以极大值，所以只有一个零点， 又，显然是的零点， 所以方程无实数根，即，即， 因为， 若，因为在单调递增，结合，可得，与条件矛盾， 所以，又，，所以， 即的极大值点与极小值点均大于0， 且方程的2个实数根均大于0， 所以，解得， 综上可得：，故的取值范围为， 故答案为： 15．（2025·辽宁大连·模拟预测）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题，， 若，则，无极值点， 若，则单调递增， 令得， 在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 则的极小值点为，无极大值点， 则，得， 故答案为：. 16．（2025·广东惠州·二模）已知在处有极小值. (1)求的值； (2)设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）. 【答案】(1) (2). 【分析】 【详解】（1）因为， 所以，依题意可得，解得. 当时，定义域为，且， 所以当或时，当时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在处有极小值，所以符合题意. （2）由题意在上恒成立，所以只需， 由（1）知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又， 因为，所以， 即，所以. 17．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在区间没有极值点，求的取值范围； (3)证明：当时，. 【答案】(1)①当时，在上单调递增，在上单调递减； ②当时，在上单调递增，在和上单调递减； ③当时，在上单调递减; ④当时，在上单调递增，在和上单调递减. (2). (3)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）对求导得： ， ①当时，恒成立，令，解得 ， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； ②当时，令，解得，， 当时，，单调递增； 当或时，，单调递减； ③当时，恒成立，在上单调递减. ④当时，令，解得，， 当时，，单调递增； 当或时，，单调递减. 综上所述： ①当时，在上单调递增，在上单调递减； ②当时，在上单调递增，在和上单调递减； ③当时，在上单调递减； ④当时，在上单调递增，在和上单调递减. （2）函数在区间没有极值点等价于在区间上无异号零点， 因为， 由（1）知当时，在上单调递减，满足题意； 当时，令，解得， 因为，故只需，则或 解得：或, 综上所述：的取值范围为 （3）令， 则视为关于的一元二次函数， 二次函数的二次项系数为，开口向上， 判别式：， 令，则， 求导得：， 因为，， 所以恒成立， 所以在上单调递减，又， 所以恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立， 所以当时，成立. 考向4解决实际问题中的最值 18．（2024·广东阳江·二模）在新型太空舱生命维持系统的储液罐设计中，采用一种胶囊形结构：中间部分为圆柱体，左、右两端均为半球形封头，圆柱底面半径和半球半径均为.已知储液罐外表面积为定值，当储液罐的体积取最大值时（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆柱的高为，则储液罐的表面积为，所以， 则由得，储液罐的体积为， 所以，所以函数在定义域上单调递增， 所以时，取最大值. 故选：C 19．（2025·广西柳州·一模）将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设正三棱柱的底面边长为x，侧棱长为y，则，即． 正三棱柱的体积． 当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，V取得最大值，最大值为． 故选：C. 20．（2024·吉林长春·模拟预测）某学校组织学生到一个木工工厂参加劳动，在木工师傅指导下要把一个体积为的圆锥切割成一个圆柱，切割过程中磨损忽略不计，则圆柱体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，圆柱的底面半径为，高为， 则，所以， 所以. 设，则. 令，得或（舍去）， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以的最大值为， 所以的最大值为. 故选：C. 21．（2024·黑龙江七台河·模拟预测）滑县木版画是河南安阳最传统的手工艺品，创始于明朝初期，距今已有六百多年的历史了，滑县木版画制作工艺考究，至今一直都是纯手工制作，颜色精细淡雅，色彩和谐，人物造型夸张，线条刚劲有力，极具当地的民俗特色．张华的伯伯制作滑县木版画并出售，寒假期间张华通过调研得知伯伯制作的A系列木版画的成本为30元/套，每月的销售量（单位：套）与销售价格x（单位：元/套）近似满足关系式，其中，则当A系列木版画销售价格定为 元/套时，月利润最大． 【答案】50 【详解】设A系列木版画的月利润为，则，， 可得， 令，则， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，利润取到极大值，也是最大值， 即当A系列木版画销售价格定为50元/套时，月利润最大． 故答案为：50. 22．（2025·河北石家庄·二模）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚､全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为 万元. 【答案】1000 【详解】由题意得，销售收入为万元， 当产量不足50万件时，利润； 当产量不小于50万件时，利润. 所以利润 因为当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则； 当时，，当且仅当时取等号. 又，故当时，所获利润最大，最大值为1000万元. 故答案为：1000 23．（2025·河南洛阳·一模）某零食生产厂家准备用长为，宽为4cm的长方形纸板剪去阴影部分（如图，阴影部分是全等四边形），再将剩余部分折成一个底面为长方形的四棱锥形状的包装盒，则该包装盒容积的最大值为 .    【答案】/ 【详解】如图是四棱锥形包装盒的直观图，设，连接，易知平面， 设、的中点分别为、，连接、， 设，，， 则，因为， 所以，整理得，所以， 同理，所以，整理得，所以， 所以 ， 因为，所以， 令，， 则， 因为，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得最大值，即， 所以包装盒容积的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是找到，，的关系，将锥体的体积转化为的函数，再利用导数求出函数的最大值. 考向5构造函数解不等式 24．（2025·湖南怀化·三模）已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， 所以可以转化为，即， 因为 所以函数为奇函数， ，所以函数在上单调递增， ，即， 因为为奇函数，所以， 所以，所以 即或者，所以实数的取值范围是 故选：C 25．（2024·湖南郴州·一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以为上的奇函数． 又因为， 所以在上单调递增. 又恒成立， 所以，则， 因此恒成立． 设，则，令，解得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，因此． 故选：C． 26．（2025·山东济宁·三模）定义在上的函数满足，当时，恒成立.若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由可得， 构造函数，则， 所以，函数为偶函数， 当时，， 所以，函数在上单调递增，则该函数在上单调递减， ， 由得， 即，即，则， 由于函数在上单调递减，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是． 故答案为：． 27．（2025·山东泰安·三模）若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，可得， 构建，则， 令，解得；令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减，可得， 且， 由题意可得，解得， 所以的取值范围是. 故选：C.    28．（2025·山西吕梁·一模）已知，，若不等式的解集中只含有两个正整数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】定义域为， ， 令，再上， 再上单调递增， 从趋向于0时，趋向于0，则趋向于， 设，即，， 则在上，在上， 在上，在上， 在上单调递减，在上单调递增， ， 则等价于， ，定义域为， 则，即，等价于， 令，则， ，解得，，解得， 则当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即的最大值在处取得， 令，解得，即函数与轴交于点， 函数当由时，，，则， 当由时，，，但的增长要远远大于，则， 作图象如下： 要使解集中只含有两个正整数，只能是2,3， ，解得，即 故选：C. 【点睛】利用导数求函数单调性时，若一次得不出来就将无法确定范围的部分构建新函数再导一次，如若不行就再导，直到求出； 在解不等式上常用参变分离，将分离部分看做新函数利用导数得出其草图，即可在图象上将不等式等价上去求解. 29．（2025·湖北随州·一模）对于任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为不等式恒成立，， 所以恒成立，则恒成立， 即恒成立，令，可得恒成立， 而，令，，令，， 得到在上单调递增，在上单调递减， 而，，则， 当时，满足，符合题意， 当时，可得恒成立， 则恒成立，令，而， 当时，，则在上单调递增， 可得，得到，故. 综上，正数的取值范围是, 故答案为： 考向6含参讨论单调区间 30．（2025·江苏泰州·二模）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案详见解析 【分析】 【详解】（1）若，则，． 又，所以， 故曲线在处的切线方程为，即； （2）的定义域为，． 当时，，故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； 31．（2025·山东青岛·一模）已知函数． (1)讨论的单调性． 【答案】(1)答案见解析； 【分析】 【详解】（1）由可知， 对于方程，若，即或， ①当时，有两个不等正实根， 此时在上，在上， 当，有两个不等负实根，此时在上， ②若时，恒成立，此时在上， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减； 32．（2025·宁夏中卫·模拟预测）已知函数() (1)讨论函数的单调性 【答案】(1)答案见解析 【分析】 【详解】（1）对求导有（）， ①当时，，故在单调递减； ②当时，由；由. 所以在单调递减，在单调递增. 33．（2024·河北承德·三模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）函数，，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 34．（2025·江西南昌·模拟预测）已知，，. (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析； 【详解】（1）由， 当时，，则在上单调递增； 当时，由可解得：， 由可解得：或， 则在区间上单调递增，在区间，上单调递减； 即可得， 从而可得，即可证明原不等式成立. 所以实数的取值范围是. 35．（2024·四川攀枝花·三模）已知函数． (1)若，证明：在上恒成立； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）先构造差函数 ，再对求导，分析导数在区间内的符号（判断单调性），最后验证最小值≥0即可完成证明； （2）先明确函数的定义域，对原函数求导并化简，再找出导函数的零点（临界点），根据参数对零点的影响，分类讨论参数取值，并在每类参数范围内，分析导函数的符号确定单调性，最后综合所有情况总结结论即可. 【详解】（1）若，则，要证在上恒成立， 等价于证明：在上恒成立， 令，， 则， 令，， 因为在上单调递增，故，则， 故在上单调递增，则，即， 故在上恒成立． （2）因为函数的定义域为， 所以， 令，即，则或，解得或； ①若： 则当时，，，，单调递减， 当时，，，，单调递增； ②若： 则当时，，，，单调递增， 当时，，，，单调递减， 当时，，，，单调递增； ③若：则当时，单调递增； ④若： 则当时，，，，单调递增， 当时，，，，单调递减， 当时，，，，单调递增． 综上，当的单调递减区间为，单调递增区间为； 当的单调递减区间为，单调递增区间为和； 当无单调递减区间，单调递增区间为； 当的单调递减区间为，单调递增区间为和． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $