专题2.4 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三专项训练）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

专题2.4 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 1 【题型2 根据函数的单调性求参数】 2 【题型3 函数的最值问题】 2 【题型4 函数的奇偶性及其应用】 3 【题型5 利用函数的性质比较大小、解不等式】 3 【题型6 函数的周期性】 4 【题型7 函数的对称性】 4 【题型8 函数的图象问题】 5 【题型9 原函数与导函数的单调性、奇偶性】 6 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 1．（25-26高一上·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南永州·模拟预测）下列函数中既是奇函数又是增函数的为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 4．（25-26高一上·江西·期中）已知是定义域为的减函数，则是（   ） A．定义域为的增函数 B．定义域为的增函数 C．定义域为的减函数 D．定义域为的减函数 【题型2 根据函数的单调性求参数】 5．（2025·河北保定·二模）若函数在上单调，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 6．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．（2025·河北·模拟预测）若函数，在上单调递增，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河北·模拟预测）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型3 函数的最值问题】 9．（25-26高三上·甘肃白银·月考）已知函数，则在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．最大值为1，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 10．（25-26高三上·安徽·期中）若，则的最小值是（   ） A．12 B．14 C．16 D．20 11．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知是上的奇函数，且，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（   ） A． B． C． D． 【题型4 函数的奇偶性及其应用】 13．（2025·山东·三模）已知为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·广东佛山·一模）设是定义在上的奇函数,当时，,则（   ） A． B． C．4 D．-4 15．（2025·浙江丽水·一模）定义在上的两个函数，恒有，则（　　） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 16．（2025·云南·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【题型5 利用函数的性质比较大小、解不等式】 17．（2025·云南·模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 18．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且在上单调递减.设，则（    ） A． B． C． D． 19．（2025·重庆·二模）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（   ） A． B． C． D． 20．（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型6 函数的周期性】 21．（2025·福建泉州·模拟预测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 22．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义域上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 23．（2025·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记是定义在上的奇函数，且的一个周期为2，则（    ） A．2为的周期 B． C． D． 24．（2025·江苏南通·模拟预测）设是定义在上的函数，对，有，且，则（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【题型7 函数的对称性】 25．（2025·四川·三模）已知函数，则函数的图象（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 26．（2025·辽宁·三模）已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 27．（2025·河南·一模）已知曲线关于点中心对称，则（    ） A．2 B．1 C． D． 28．（2025·河南郑州·三模）已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于对称，若，则（   ） A． B． C．0 D．1 【题型8 函数的图象问题】 29．（2025·四川成都·三模）函数的图象是（   ） A． B． C． D． 30．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 31．（25-26高一上·河北邢台·期中）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   32．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【题型9 原函数与导函数的单调性、奇偶性】 33．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数为，若函数与都是奇函数，且，则（   ） A．-3 B．3 C．-6 D．6 34．（2025·重庆·三模）设函数的定义域为，是的导函数.若是奇函数，则的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 35．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 36．（2025·江西·一模）已知可导函数的定义域为，是的导函数，且为偶函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·江西·模拟预测）已知函数为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海金山·三模）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·吉林长春·二模）已知函数为奇函数，则的值是（   ） A．3 B．1或3 C．2 D．1或2 4．（2025·吉林长春·模拟预测）函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南·模拟预测）已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则的值为（   ） A． B． C． D．2 6．（2025·天津·二模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·湖南·模拟预测）若函数在上的最大值为3，则a的最大值为（    ） A．3 B． C． D．e 8．（2025·河南·三模）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2025·上海奉贤·一模）若函数是偶函数，则实数 ． 10．（2025·山西朔州·模拟预测）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则 ． 11．（2025·全国·模拟预测）已知函数是定义域为的奇函数.设，若在的最小值为2，则在的最大值为 . 12．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数的图象关于中心对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围为 ． B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 3．（2025·湖南郴州·一模）函数对，且为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．若时，则 B．的周期为6 C．的图象关于中心对称 D． 4．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，当时，，则当时，函数的最大值为（   ） A．2 B．1 C．－1 D．0 5．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数的定义域关于原点对称，且满足： （1）当时，； （2）且.则下列关于的判断错误的是（    ） A．为奇函数 B． C．是的一个周期 D．在上单调递减 二、填空题 6．（2025·四川德阳·模拟预测）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 . 7．（2025·青海·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，对任意的，，当时，恒成立．若，则关于的不等式的解集为 ． 三、解答题 8．（2025·福建厦门·二模）已知函数． (1)若在定义域上单调递增，求实数的最小值； (2)当时， ①判断曲线是否为中心对称图形，若是，求出函数的对称中心，若不是，说明理由； ②解不等式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 1 【题型2 根据函数的单调性求参数】 3 【题型3 函数的最值问题】 5 【题型4 函数的奇偶性及其应用】 7 【题型5 利用函数的性质比较大小、解不等式】 9 【题型6 函数的周期性】 11 【题型7 函数的对称性】 13 【题型8 函数的图象问题】 14 【题型9 原函数与导函数的单调性、奇偶性】 17 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 1．（25-26高一上·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【解答过程】由，解得或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又因为为单调递增函数， 所以函数的单调递增区间是. 故选：D. 2．（2025·湖南永州·模拟预测）下列函数中既是奇函数又是增函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】逐项判断函数的奇偶性和单调性即可. 【解答过程】对于A：函数为奇函数，在上单调递减，不符合； 对于B：函数为偶函数，不符合； 对于C：函数为奇函数，在和分别单调递增，但在整个定义域上不具有单调性，不符合； 对于D：函数为奇函数，在上单调递增，符合题意. 故选：D. 3．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【解题思路】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【解答过程】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A. 4．（25-26高一上·江西·期中）已知是定义域为的减函数，则是（   ） A．定义域为的增函数 B．定义域为的增函数 C．定义域为的减函数 D．定义域为的减函数 【答案】B 【解题思路】先根据的定义域求出的定义域，再通过复合函数单调性判断其单调性. 【解答过程】因为的定义域为，所以的定义域为， 令，则， 是一次函数，在定义域上是减函数； 已知是定义域为的减函数，所以在定义域上是减函数， 根据复合函数“同增异减”的单调性原则，为减函数，为减函数，两者单调性相同，因此在定义域上是增函数. 故选：B. 【题型2 根据函数的单调性求参数】 5．（2025·河北保定·二模）若函数在上单调，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据指数函数的单调性可知.对的取值范围进行分类讨论去绝对值，结合指数函数的单调性即可求解. 【解答过程】当时，根据指数函数在上单调递增，可知. 当时，，所以，在上单调递增； 当时，，在上不单调； 当时，，所以，在上单调递减. 综上，. 故选：C. 6．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围. 【解答过程】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 7．（2025·河北·模拟预测）若函数，在上单调递增，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据分段函数的性质结合已知条件对函数进行分段讨论，当，根据对数函数性质得出函数单调性和最大值，当，对函数求导，结合函数单调递增，列出关于的不等式①并得出在上的最小值，再利用时的最小值不小于时的最大值，列出关于的不等式②，合并求出m的取值范围. 【解答过程】若，，因为底数，对数函数为单调递增函数， 在上的最大值为. 若，，求导得， 要使单调递增，则需满足①对所有恒成立，解得， 因为，则，所以， 若在上单调递增，则②，解得， 所以. 故选：C. 8．（2025·河北·模拟预测）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对数函数的性质可得不等式在上恒成立，利用分离参数法和基本不等式可得.再结合复合函数的单调性及二次函数的性质即可求解实数的取值范围. 【解答过程】由题意可知，在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立. 又由基本不等式可得，当且仅当时，取得等号， 所以. 因为函数在上单调， 所以在上单调， 由复合函数单调性可知在上单调， 所以结合二次函数的性质可得：或，解得或. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 【题型3 函数的最值问题】 9．（25-26高三上·甘肃白银·月考）已知函数，则在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．最大值为1，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【答案】B 【解题思路】令，结合对勾函数的性质求出外层函数的最值即可. 【解答过程】函数， 令，则， 由对勾函数的性质得，函数在上单调递增， 故当，即时，，当，即时，． 故选：B． 10．（25-26高三上·安徽·期中）若，则的最小值是（   ） A．12 B．14 C．16 D．20 【答案】A 【解题思路】根据函数解析式作出函数图象，由图象求解. 【解答过程】由， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 作出的图象如图所示， 即在上单调递减，上单调递增， 所以当时，取最小值，即. 故选：A. 11．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先分析函数在各段的单调性，即可求出的取值范围，结合函数存在最小值得到不等式，解得即可. 【解答过程】因为， 当时，所以在上单调递减，则； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使函数存在最小值，则，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 12．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知是上的奇函数，且，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可知，函数是周期为的周期函数，且该函数的图象关于直线对称，只需求该函数在上的最小值，结合单调性与奇偶性可得答案. 【解答过程】因为是上的奇函数，且，则， 所以，即， 故函数是周期为的周期函数， 又因为，所以函数的图象关于直线对称， 要求函数在上的最小值，只需求该函数在区间上的最小值， 由对称性，只需求该函数在区间上的最小值， 因为函数是奇函数且在上单调递增，则该函数在上单调递增， 故函数在上单调递增，故. 故选：B. 【题型4 函数的奇偶性及其应用】 13．（2025·山东·三模）已知为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用偶函数的定义可求出的值. 【解答过程】由可得，故函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 所以对任意的恒成立， 故，解得. 故选：A. 14．（2025·广东佛山·一模）设是定义在上的奇函数,当时，,则（   ） A． B． C．4 D．-4 【答案】D 【解题思路】根据奇函数的性质将转化为即可. 【解答过程】是定义在上的奇函数， . 故选：D. 15．（2025·浙江丽水·一模）定义在上的两个函数，恒有，则（　　） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】B 【解题思路】借助函数奇偶性定义计算即可得. 【解答过程】由，则， 则，又定义域为，故为偶函数，故B正确； 由已知得不到与关系，也得不到是否为，故A、C、D错误. 故选：B. 16．（2025·云南·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解题思路】根据奇函数与偶函数的性质，可得函数的对称性，可得答案. 【解答过程】由函数为偶函数，则轴为该函数图象的一条对称轴； 由函数为奇函数，则原点为该函数图象的一个对称中心. 由函数的图象先向右平移一个单位，再向上平移一个单位，可得到函数的图象， 则是函数的一个对称中心. 所以直线是函数图象的对称轴，是函数图象的对称中心， 由，则，所以. 故选：D. 【题型5 利用函数的性质比较大小、解不等式】 17．（2025·云南·模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据，设函数，则在上递增，判断也是是定义在R上的奇函数，可得在上递增，分类讨论列不等式求解即可. 【解答过程】因为对任意的，均有成立，不妨设， 则，所以， 令，则在上递增， 因为是定义在R上的奇函数，所以是定义在R上的奇函数， 所以在上递增， 不等式化为， 因为，所以，即，所以， 则，即：，所以， 或，即：，所以， 所以不等式的解集为， 故选：A． 18．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且在上单调递减.设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】通过函数的奇偶性和单调性即可判断. 【解答过程】因为的图象关于直线对称，所以的图象关于轴对称，所以为偶函数， 又在上单调递减，所以在上单调递增. 由题得， 又，因，则 所以， 即. 故选：D. 19．（2025·重庆·二模）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】易得函数 在 上为减函数，再利用指数函数和幂函数的单调性得到求解. 【解答过程】因为函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数， 所以函数在上为减函数， 又 ，， 所以，则， 故选：B. 20．（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对进行变形，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式. 【解答过程】由可得，设函数，， 则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数，在上单调递减， 而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 故选：B. 【题型6 函数的周期性】 21．（2025·福建泉州·模拟预测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用函数的性质，得，再将代入，即可求解. 【解答过程】因为奇函数，又，知的一个周期为， 所以， 又当时，，所以，则， 故选：D. 22．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义域上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求得函数的周期，利用周期函数的性质求解即可. 【解答过程】由，可得， 所以是周期为4的周期函数， 所以. 故选：B. 23．（2025·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记是定义在上的奇函数，且的一个周期为2，则（    ） A．2为的周期 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数奇偶性，得到对称性和周期性，逐个计算判断即可. 【解答过程】因为 是定义在 上的奇函数， 所以 , 所以 ， 所以 关于 对称，且 ， 又 的一个周期为 2 ， 所以 ，即 ， 所以 ，所以 的周期为 4 ，所以 A 选项错误； 因为 ， 所以 ， 又 的周期为 4 ，即， 所以 ， 所以 ，所以 B 选项错误； 因为 ， ， 所以 ，, 即 ， ， 所以 ， ， 所以 ， ， 所以 C 选项错误，D 选项正确． 故选：D． 24．（2025·江苏南通·模拟预测）设是定义在上的函数，对，有，且，则（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用赋值法探讨函数的周期，再求出函数值. 【解答过程】函数，对，有， 取，得，而，则， 对，令，得， 即，因此，函数周期为4， 令，得，而，则， 所以. 故选：A. 【题型7 函数的对称性】 25．（2025·四川·三模）已知函数，则函数的图象（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】A 【解题思路】由函数的奇偶性可得为奇函数，再结合函数的平移变换即可得到结果. 【解答过程】因为，则为奇函数， 所以的图象关于原点对称， 函数的图象可由的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到， 所以函数的图象关于点对称． 故选：A. 26．（2025·辽宁·三模）已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】通过已知条件推导出函数的对称中心、对称轴，进而得出函数的周期，再利用周期的性质计算给定求和式的值. 【解答过程】由为奇函数，得， 所以图象的对称中心为，令 由的图象关于直线对称，得， 由得，所以， 则的一个周期为4，则 则． 故选：B. 27．（2025·河南·一模）已知曲线关于点中心对称，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可知，计算即可得出结果. 【解答过程】因为关于点中心对称， 所以， 所以，可得， 故选：C． 28．（2025·河南郑州·三模）已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于对称，若，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【解题思路】由函数的对称性和奇偶性，通过赋值即可得到答案. 【解答过程】因为，所以， 因为是奇函数，，所以， 因为函数的图象关于对称，所以， 即. 故选：D. 【题型8 函数的图象问题】 29．（2025·四川成都·三模）函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分、将函数解析式化简，分别说明函数的单调性与函数的取值情况，即可判断. 【解答过程】函数的定义域为， 当时，所以在上单调递增，且， 当时，所以在上单调递增，且. 所以符合题意的只有D. 故选：D. 30．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用排除法，根据函数定义域、奇偶性以及单调性分析判定即可. 【解答过程】由图可知：函数的图象关于y轴对称，定义域有两个间断点， 对于选项A：令，解得，可知的定义域为， 且，可知函数为奇函数， 其图象关于原点轴对称，故A错误； 对于选项B：令，解得，可知的定义域为， 当时，， 因为在内单调递减，函数在内单调递增，故B错误； 对于选项C：因为，可知的定义域为，故C错误； 故选：D. 31．（25-26高一上·河北邢台·期中）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解题思路】根据奇函数的定义，结合特殊点运用排除法进行判断即可. 【解答过程】因为的定义域为， 且 ， 所以是奇函数，排除 D． 又因为， 所以 ，排除A． 当时，，排除B. 故选：C. 32．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对各选项的单调性与函数值的情况一一判断，利用排除法即可得解； 【解答过程】对于A：，当时， ，故排除A； 对于B：当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，故排除B； 对于D，当时，，，所以在上单调递增，故排除D； 对于C，为偶函数，由可得，满足图象，故C正确. 故选：C． 【题型9 原函数与导函数的单调性、奇偶性】 33．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数为，若函数与都是奇函数，且，则（   ） A．-3 B．3 C．-6 D．6 【答案】A 【解题思路】根据函数是奇函数求导得出，再结合导函数是奇函数，进而得出周期计算求值. 【解答过程】由为奇函数，可得 ， 两边分别求导，可得 ， 即关于直线对称， 且为奇函数， 所以， 且关于对称， 故4是的一个周期. 又由关于对称， 所以， 又关于直线对称， 所以， 即. 由为奇函数，可得 ， 故， 所以. 故选：A. 34．（2025·重庆·三模）设函数的定义域为，是的导函数.若是奇函数，则的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 【答案】B 【解题思路】由题意得，求导得，即可求解. 【解答过程】因为是奇函数，所以，即， 对其求导，则有，所以关于直线对称. 故选：B. 35．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由偶函数的定义结合导数可得出，由已知可得出，可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，可知函数在上为减函数，再由可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解答过程】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，① 因为函数为偶函数，则，② 联立①②可得， 令，则，且不恒为零， 所以，函数在上为减函数，即函数在上为减函数， 故当时，，所以，函数在上为减函数， 由可得， 所以，，整理可得，解得或. 故选：D. 36．（2025·江西·一模）已知可导函数的定义域为，是的导函数，且为偶函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得，由函数奇偶性的定义得出，求导得出，进而可推出函数是周期为的周期函数，以及函数的对称中心为，求出、的值，结合函数周期性可求得的值. 【解答过程】因为函数为奇函数，则， 即，令，则， 所以，函数的对称中心为，且，① 在等式①中，令可得，解得， 在等式①中，令可得, 因为函数为偶函数，则， 令，可得，求导得， 则，② 由①②可得，令，则， 所以，函数是周期为的周期函数， 所以，. 故选：C. A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·江西·模拟预测）已知函数为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据偶函数的定义得到，代入计算即可． 【解答过程】因为函数为偶函数，所以，当时，， 则. 故选：D. 2．（2025·上海金山·三模）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由函数奇偶性和单调性的定义依次判断各选项即可. 【解答过程】对于A，是偶函数，不是奇函数，故A错误； 对于B，是奇函数，且是增函数，故B正确； 对于C，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，是非奇非偶函数，故D错误. 故选：B. 3．（2025·吉林长春·二模）已知函数为奇函数，则的值是（   ） A．3 B．1或3 C．2 D．1或2 【答案】C 【解题思路】根据奇函数在原点处有意义则求出的值，再将的值代回原函数检验即可得解. 【解答过程】因为为奇函数，所以， 解得或. 当时，，，故不合题意，舍去； 当时，，，故符合题意. 故选：C. 4．（2025·吉林长春·模拟预测）函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先观察函数函数的定义域，得到对称中心的横坐标，再代入求对称中心的纵坐标. 【解答过程】因为的定义域为，根据定义域对称且有对称中心，所以对称中心横坐标为1， 由，得对称中心纵坐标为0， 所以对称中心为. 故选：A. 5．（2025·湖南·模拟预测）已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据函数的周期性和偶函数的性质，结合对数的运算性质、代入法进行求解即可. 【解答过程】因为函数是周期为2的偶函数，且当时，， 所以． 故选：C. 6．（2025·天津·二模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过观察图象，根据函数的奇偶性和定义域即可用排除法进行作答. 【解答过程】根据图象可以看出，函数的定义域不包括， 这说明函数在这两个点上无意义，而选项C,D的定义域包括，所以排除C,D. 由图象可以看出，函数关于原点对称，是奇函数，而选项B中， 因为，说明选项B中的函数为偶函数，不符合图象，所以排除. 故选：A. 7．（2025·湖南·模拟预测）若函数在上的最大值为3，则a的最大值为（    ） A．3 B． C． D．e 【答案】B 【解题思路】令，问题转化为函数在上的最大值为3，结合函数的对称性，讨论求最大值得解. 【解答过程】设，则问题转化为函数在上的最大值为3， 因为函数的对称轴为， 当时，，不合题意； 当时，，合题意， 综上，的最大值为. 故选：B. 8．（2025·河南·三模）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据奇函数的特点及题设函数画出函数的图象，进而结合图象求解即可. 【解答过程】因为是定义在上的奇函数，所以， 结合题意作出的大致图象，如图所示， 由图可知，不等式的解集为. 故选：B. 二、填空题 9．（2025·上海奉贤·一模）若函数是偶函数，则实数 ． 【答案】 【解题思路】由偶函数定义建立方程，解得实数. 【解答过程】函数的定义域为， 由题意可知，即， 所以， 因该等式对定义域内的任意都成立，故， 解得 故答案为：. 10．（2025·山西朔州·模拟预测）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则 ． 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用函数的奇偶性和周期性求出函数值. 【解答过程】函数是定义在上周期为4的奇函数，故且， 故，解得，， 又，所以. 故答案为：. 11．（2025·全国·模拟预测）已知函数是定义域为的奇函数.设，若在的最小值为2，则在的最大值为 . 【答案】 【解题思路】根据奇函数图象的对称性，判断在对称区间内的最值情况，根据图象的平移法则，求出平移后函数在给定区间上的最值. 【解答过程】因为是定义域为的奇函数，由在的最小值为2，得在的最大值为， 因为，所以的图象是由的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位后得到， 故在的最大值为. 故答案为：. 12．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数的图象关于中心对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】根据函数图象关于中心对称可得，又因为在上单调递减可推得结合函数关于中心对称进而推得在上单调递减.再利用函数的单调性即可求得的范围. 【解答过程】由函数的图象关于中心对称，则. 又因为在上单调递减，所以时，， 且在上单调递减，且，可得在上单调递减. 又因为，所以可得， 则，得. 故答案为：. B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先判断，得到关于对称，再利用函数和的单调性得到的单调性，然后结合对称性解抽象函数不等式即可. 【解答过程】因为， 所以 ， 所以，所以的图象关于对称， 又因为在上均为单调递增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，结合对称性可得， 两边平方后化简可得，解得或， 所以的取值范围是. 故选：B. 2．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【解题思路】根据已知确定在时，函数具有周期性，然后结合偶函数定义可把转化到已知解析式的区间上求解即可． 【解答过程】，都有， 即当时，函数具有周期性，且周期为4， 又是偶函数，. 故选：D. 3．（2025·湖南郴州·一模）函数对，且为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．若时，则 B．的周期为6 C．的图象关于中心对称 D． 【答案】C 【解题思路】对于A选项，首先通过奇偶性得：，然后根据已知条件通过赋值进行求解； 对于B选项，根据奇偶性及周期性的结论进行求解即可； 对于C选项，通过奇偶性可得函数关于中心对称，再根据函数周期性即可判断正误； 对于D选项，利用函数周期性可得：，再根据通过赋值可得：，进而可以判断选项正误. 【解答过程】对于A选项，已知为奇函数，则有， 令，得：， 又，令，得：， 因此可得：，故A选项错误. 对于B选项，已知为奇函数，则有， 又，则有， 由此可得：，即有： 因此可得：的周期为，故B选项错误. 对于C选项：已知为奇函数，则有， 因此可得：函数关于中心对称，又函数的周期为， 所以关于中心对称，故C选项正确； 对于D选项：已知函数的周期为，则有， 又，令，得：， 因此可得：，即，故D选项错误. 故选：C. 4．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，当时，，则当时，函数的最大值为（   ） A．2 B．1 C．－1 D．0 【答案】D 【解题思路】由题意可得函数的周期为4，且为奇函数，根据解析式及周期性、奇偶性，可得时，的解析式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【解答过程】由题意得， 所以，所以函数的周期为4． 由，得，所以是奇函数． 又当时，， 所以当时， ， 所以． 所以当时，有 ． 二次函数的图像开口向上，对称轴为， 在区间上端点值均为0，最小值为－1， 所以的最大值为0． 故选：D． 5．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数的定义域关于原点对称，且满足： （1）当时，； （2）且.则下列关于的判断错误的是（    ） A．为奇函数 B． C．是的一个周期 D．在上单调递减 【答案】D 【解题思路】利用奇偶性的定义解结合（2）可判断A选项；由奇函数的性质结合（2）可判断B选项；根据（2）以及B选项推导出，可得出，再结合函数周期性的定义可判断C选项；利用（2）结合函数单调性的定义可判断D选项. 【解答过程】因为、，， 所以为上的奇函数，A对； 因为，所以， 所以，B对； 因为， 所以， 所以是的一个周期，C对； 、，且，则， 因为当时，，所以、、均小于， 又，所以，所以， 所以在上单调递增，D错． 故选：D． 二、填空题 6．（2025·四川德阳·模拟预测）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 . 【答案】 【解题思路】根据题意，推得，可得出，得到函数是周期为8的周期函数，分别求得，，得到，结合周期性，即可求解. 【解答过程】因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数， 可得， 所以函数的图象关于对称，且关于对称， 则，所以， 所以，即， 则，所以函数是周期为8的周期函数， 由可得，，，， 所以， 当时，，则， 因为，则. 故答案为：. 7．（2025·青海·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，对任意的，，当时，恒成立．若，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【解题思路】根据题意求出，接着由题设得到，令，得到为偶函数，且在上递增，在上单减，结合，把不等式转化为，得到不等式组，即可求解. 【解答过程】因为是定义在上的偶函数，所以，解得， ，且，则， 又因为，所以， 所以，则， 令，则，故在上单调递增， 因为为上的偶函数，所以为上的偶函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以，即为， 即，则或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 三、解答题 8．（2025·福建厦门·二模）已知函数． (1)若在定义域上单调递增，求实数的最小值； (2)当时， ①判断曲线是否为中心对称图形，若是，求出函数的对称中心，若不是，说明理由； ②解不等式． 【答案】(1)． (2)①是，对称中心为；②． 【解题思路】（1）求导，分析可得在上恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解； （2）①根据题意计算的值，结合中心对称的定义分析证明；②结合函数的对称性整理可得，在结合单调性列式求解，注意函数的定义域. 【解答过程】（1），其中， 因为在定义域上单调递增，所以在上恒成立， 又， 又，当且仅当时等号成立，故的最小值为， 所以，得到， 所以，即，所以a的最小值． （2）①当时，，其中 ， ， 所以， 故曲线为中心对称图形，函数的对称中心为． ②不等式可化为，即， 由第一问可知时，在上单调递增， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $